LT HÌNH học 10 CHƯƠNG i VÉCTƠ

HÌNH HỌC 10

FB: />
CHƯƠNG I. VÉCTƠ

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Đoạn thẳng, đường thẳng và tia:
B

x
A

A

Cho hai điểm A, B ta có
một đoạn thẳng duy nhất, kí
hiệu: AB hoặc BA.
(Giới hạn hai đầu)

d

Tia Ax
(Giới hạn một đầu)

Đường thẳng d
(Không giới hạn - dài vô tận)

2. Trọng tâm tam giác:
A

Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba

đường trung tuyến,

2
và AG  AM
3

b

c

.

G

a

B

C

M

3. Đường trung bình của tam giác:
A

Đường trung bình trong tam giác song song
và bằng

1
cạnh

2

đáy.

N

M

C

B

4. Hình bình hành:
Cho hình bình hành ABCD. Ta có:
AB // DC và AB = DC
BC // AD và BC = AD
AC và BD cắt nhau tại trung điểm O
của mỗi đường. Khi đó O gọi là tâm của hình
bình hành.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

B

C

O

A

D

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Khái niệm vectơ:
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì
đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.
Đònh nghóa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
 Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là: AB
B
A

 Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ thì vectơ được kí hiệu là:
   
a , b , x , y ,... gọi là các vectơ tự do.
x

a

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng:
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của
vectơ đó.
giá của vectơ AB

B
A

Đònh nghóa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc
trùng nhau.
 Nhận xét:
 Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc
ngược hướng.
 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB
và AC cùng phương.
3. Hai vectơ bằng nhau:
 Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của
vectơ đó. Độ dài vectơ AB được kí hiệu là AB . Vậy: AB  AB  BA
 Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vò.




 Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài,
 
kí hiệu a  b .

* Chú ý: Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy

nhất sao cho OA  a .
4. Vectơ - không:
 Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng
nhau), được kí hiệu là: AA và gọi là vectơ - không.
 Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
 Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau.



 Vectơ - không được kí hiệu: 0 .
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
1. Tổng của hai vectơ:

Đònh nghóa: Cho hai vectơ a và b .

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB  a và

BC = b . Vectơ AC được gọi là tổng của

hai vectơ a và b . Ta kí hiệu tổng hai

 
vectơ a và b là a  b .
 
Vậy: AC  a  b

a

b

2. Quy tắc hình bình hành:
B

C

Nếu ABCD là hình bình hành thì:
AB  AD  AC

A

D

3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
  
Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có:

   
a  b  b  a (tính chất giao hoán)
     
(a  b )  c  a  (b  c ) (tính chất kết hợp)
    
a  0  0  a  a (tính chất của vectơ - không)

4. Hiệu của hai vectơ:

a) Vectơ đối: Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướn g với


vectơ đối của vectơ a , kí hiệu là - a .

* Chú ý:  Vectơ đối của vectơ AB là BA , nghóa là
A
 AB  BA




a

được gọi là
B



 Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
b) Đònh nghóa hiệu của hai vectơ:


Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu




của hai vectơ a và b là vectơ a  (b ) , kí
 
hiệu a  b . Vậy:

a



  
a  b  a  (b )

* Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai
vectơ còn gọi là phép trừ vectơ.
c) Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:
AB  BC  AC

b

O

AB  AC  CB

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
5. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:


 Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA  IB  0 .

 Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 .

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng
cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ.
Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM  a , trong đó O và a
đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
§3. TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
1. Đònh nghóa:


Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a ,

cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a .
Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.



Quy ước: 0. a = 0 , k. 0 = 0 .
2. Tính chất:
Với hai vectơ



a





và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:




 (h + k) a  ha  ka
1. a = a , (-1). a = - a .

 k( a  b ) = ka  kb
 h(k a ) = (hk) a

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có :

MA  MB  2MI .
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có :
MA  MB  MC  3MG

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:



a







 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  0 ) cùng phương là có một số k để

= kb .
 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC .

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:




Cho hai vectơ a và b không cùng phương.

Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một



cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghóa



là có duy nhất cặp số h, k sao cho x  ha  kb

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

A'

C
x

A
a
O

b

B

B'

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />

Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau

 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn
đẳng thức AB  k AC , với k  0.
 Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng
thức OM  ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN  0 .
Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ
đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực
của đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có
tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
§4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục:
 Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác đònh một
điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vò e .
Kí hiệu: (O; e ).
O

e

M

 Cho điểm M nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM =k e .
Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
 Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB =a e .
Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với hệ trục đã cho và kí hiệu a = AB .
* Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e thì AB = AB, còn nếu AB ngược hướng e thì
AB = -AB. Độ dài đại số của vectơ OM chính là tọa độ điểm M.
 Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b - a.
2. Hệ trục tọa độ:
a) Đònh nghóa:
 


Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) và (O; j ) vuông góc với nhau.
 Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.

 Trục (O; i ) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox

 Trục (O; j ) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy.

 

 Các vectơ i và j là các vectơ đơn vò trên Ox và Oy và i  j = 1.
 

Hệ trục tọa độ (O; i , j ) còn được gọi là Oxy.
trục tung (Oy)

y

y

trục hoành (Ox)
j

i

O

x

2i

1
-1

1

O

2

x

* Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng đó là
mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ:
 





Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ), mọi vectơ u đều được biểu diễn u = x i +y j với
(x; y) là cặp số duy nhất.


Khi đó: cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là: u = (x; y) hay

u (x; y).




Như vậy: u = (x; y)  u = x i + y j
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
* Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và
tung độ bằng nhau.




Nếu u  ( x; y ) , u '  ( x' ; y ' ) thì

 x  x'
 y  y'

 
u  u'



c) Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được
gọi là tọa độ của điểm M.
 Cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = (x; y). Ta viết: M(x; y) hoặc
M = (x; y).
Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu xM, tung độ điểm M còn được kí hiệu yM.
y

 Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu của M
trên Ox, Oy. Khi đó, nếu M(x; y) thì
x = OM 1
y = OM 2

M(x; y)

M2

j

O

M1

i

x

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:
Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA)

3. Tọa độ của các vectơ


    
u  v , u  v , ku :



Cho u = (u1; u2) và v = (v1 ; v2). Khi đó:
 
 u  v = (u1 + v1; u2 + v2);
 u  v = (u1 - v1; u2 - v2);




 k a = (kx; ky) với k  R;




* Chú ý: Vectơ u =(u1; u2) cùng phương với vectơ v =(v1; v2) với v  0 khi và chỉ khi
tồn tại số thực k khác 0 sao cho



u  kv

 u1  kv1
.
u 2  kv2

hay 

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam giác:
 Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB). Khi đó tọa độ trung điểm I(xI; yI) của
AB được tính theo công thức: x I 

x A  xB
2

, yI 

y A  yB
2

.

 Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG; yG) được tính theo công thức xG 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x A  xB  xC
3

, yG 

y A  y B  yC
3

.

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

FB: />
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Trục toạ độ
 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một
vectơ đơn vị e . Kí hiệu  O; e  .
 Toạ độ của vectơ trên trục: u  (a)  u  a.e .
 Toạ độ của điểm trên trục: M (k )  OM  k.e .
 Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB  a  AB  a.e .
Chú ý:
+ Nếu AB cùng hướng với e thì AB  AB .
Nếu AB ngược hướng với e thì AB   AB .
+ Nếu A(a), B(b) thì AB  b  a .

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB  BC  AC .
2. Hệ trục toạ độ
 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần
lượt là i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.
 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u  ( x; y)  u  x.i  y. j .
 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M ( x; y)  OM  x.i  y. j .
 Tính chất: Cho a  ( x; y), b  ( x; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :




 y  y

+ a  b   x  x

+ a  b  ( x  x; y  y )

+ b cùng phương với a  0

+ ka  (kx; ky )

 k  R: x  kx và y  ky .


x  y

x
y

(nếu x  0, y  0).

+ AB  ( xB  x A ; yB  y A ) .
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI 
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG 

x A  xB

; yI 

2
x A  xB  xC
3

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: xM 

y A  yB
2

; yG 

x A  kxB
1 k

.

y A  yB  yC

; yM 

3

y A  kyB
1 k

.
.

( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k MB ).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ