Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



VẤN ĐỀ I:
Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến số
1. Dự đoán được điều kiện đẳng thức xảy ra

om

B = a5  b5  2 .
Ví dụ 1: Cho a  b  2 . Chứng minh rằng:
 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.
Do vậy ta đặt: a  1  x . Từ giả thiết suy ra: b  1  x , ( x  R ).
Ta có:
B = a5  b5  (1  x )5  (1  x)5  10 x 4  20 x 2  2  2
Đẳng thức xảy ra  x = 0, hay a = b = 1. Vậy B  2.

C = b3  a3  6b2  a2  9b  0 .

.c

Ví dụ 2: Cho a  b  3, a  1 . Chứng minh rằng:

 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2.
Do vậy ta đặt a  1  x , với x  0. Từ giả thiết suy ra b  2  x .

C = b3  a3  6b2  a2  9b = (2  x )3  (1  x )3  6(2  x )2  (1  x )2  9(2  x )

oc

Ta có:

= x 3  2 x 2  x = x( x  1)2  0 (vì x  0).
Đẳng thức xảy ra  x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3. Vậy C  0.

cu

Ví dụ 3: Cho a  b  c  3 . Chứng minh rằng: A = a2  b2  c 2  ab  bc  ca  6 .
 Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Do vậy ta đặt: a  1  x, b  1  y , ( x, y  R ). Từ giả thiết suy ra: c  1  x  y .
A = a2  b2  c 2  ab  bc  ca

Ta có:

bo

= (1  x )2  (1  y)2  (1  x  y)2  (1  x )(1  y )  (1  y)(1  x  y )  (1  x  y )(1  x )
2


1  3
= x  xy  y  6 =  x  y   y 2  6  6
2  4

1
Đẳng thức xảy ra  y = 0 và x  y  0  x = y = 0 hay a = b = c =1. Vậy A  6.
2
2

on
g

2

Ví dụ 4: Cho a  b  c  d . Chứng minh rằng: D = a2  b2  ab  3cd .
 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d.
Do vậy đặt: a  c  x , với x  R. Từ giả thiết suy ra b  d  x .
Ta có:

D = (c  x )2  (d  x )2  (c  x )(d  x ) = c 2  d 2  x 2  cd  cx  dx
2

kh




1  3
1
3
=  c2  d 2  x 2  2cd  cx  dx   3cd  x 2 =  c  d  x   x 2  3cd  3cd .
4
4

2  4


1
Đẳng thức xảy ra  x = 0 và c  d  x  0  x = 0 và c = d hay a = b = c = d.

2
Vậy D  3cd.

Ví dụ 5: Cho a  b  2 . Chứng minh rằng:
a3  b3  a4  b 4 .
 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.
Do vậy đặt a  1  x, b  1  y . Từ giả thiết suy ra x  y  0 .

Trang 1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Ta có:

Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

a3  b3  a4  b 4  (1  x )3  (1  y)3  (1  x )4  (1  y)4

 (1  x )4  (1  y)4  (1  x )3  (1  y)3  0  x(1  x )3  y(1  y)3  0
 x  y  3( x  y)( x 2  xy  y 2 )  3( x 2  y 2 )  x 4  y 4  0 ( Đúng vì x + y  0)
Đẳng thức xảy ra  x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
E = a2 (2  a)  32  0 .

 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 4.
Do vậy đặt a  4  x . Từ giả thiết suy ra x  0.
Ta có: E = (4  x )2 (2  4  x )  x 3  10 x 2  32 x  x ( x  5)2  7   0 .
Đẳng thức xảy ra x = 0 hay a = 4. Vậy E  0 .

oc

.c

Ví dụ 7: Cho ab  1. Chứng minh rằng:
a2  b2  a  b .
 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.
Do vậy đặt a  1  x; b  1  y .
Ta có: ab  1  (1  x )(1  y)  1  x  y  xy   0

om

Ví dụ 6: Cho a  4. Chứng minh rằng:

Mặt khác: a2  b2  a  b  (1  x )2  (1  y )2  (1  x )  (1  y )  x 2  y 2  x  y  0
Lại có: x 2  y 2  2 xy , với mọi x, y nên ta có:

cu

1
x 2  y 2  x  y  ( x 2  y 2 )  xy  x  y  0 (Đúng vì xy + x + y  0)
2
Đẳng thức xảy ra  x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy BĐT được chứng minh.

bo

2. Dạng cho biết điều kiện của tổng các biến nhưng không ( hoặc khó) dự đoán
điều kiện của biến để đẳng thức xảy ra.
Đối với loại này ta cũng có thể đổi biến như trên.

27
0
4
 Đặt a = 1– x và a + b = 3 + y. Từ giả thiết suy ra x, y  0 nên ta có: b = 2 + x + y.
27
25
Từ đó : F = 3(1– x )2  (2  x  y)2   3(1 – x )(2  x  y) –  = x 2  y 2  5 x  7 y  xy 
4
4
F = 3a2  b2  3ab 

on
g

Ví dụ 8: Cho a  1; a + b  3. Chứng minh rằng:

2

kh


1
5 3
9
=  x  y    y2  y  0
2
2 4
2

5

3
9
Đẳng thức xảy ra  x = và y = 0 hay a =  và b = .
2
2
2
Vậy bất đẳng thức F  0 được chứng minh.

Ví dụ 9: Cho a, b, c  [1; 3] và a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
a) a2  b2  c2   14
b) a3  b3  c 3   36
 Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + 1. Khi đó x, y, z  [0; 2] và x + y + z = 3
Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z = 3  3x  1  x  2  (x –1)(x –2)  0
nên: x 2  y2  z2   x 2  ( y  z)2  x 2  (3 – x )2   5  2( x –1)( x – 2)   5
Tức là: x 2  y2  z2   5 (*). Tương tự ta chứng minh được x 3  y3  z3    9 (**)
Trang 2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



a) Ta có: a2  b2  c2  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  x 2  y2  z2  2( x  y  z)  3

(1)

Thay (*) vào (1) ta có: a2  b2  c2   14 là điều phải chứng minh.
b) Ta có:

a3  b3  c3  ( x  1)3  ( y  1)3  ( z  1)3  x 3  y3  z3  3( x 2  y2  z2 )  3( x  y  z)  9 (2)
Thay (*) và (**) vào (2) ta có: a3  b3  c 3   36 là điều phải chứng minh.
2

 Đặt c  

2

om

Ví dụ 10: Cho các số thực a, b với a + b  0. Chứng minh:

 1  ab 
a b 
 2.
 ab 
2

1 ab
. Ta có: ab + bc + ca = –1 và lúc này BĐT cần chứng minh trở thành:
ab

(luôn đúng).

.c

a2  b2  c2  2  a2  b 2  c2  2(ab  bc  ca)  (a  b  c)2  0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

oc

3. Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích bằng 1
x
y
z
Cách1 : Đặt a  ; b  ; c  , với x, y, z  0.
y
z
x
Sau đây là một số ví dụ làm sáng tỏ điều này.

on
g

bo

cu

Ví dụ 11: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
3



a(b  1) b(c  1) c(a  1) 2
 Nhận xét: a, b, c là các số thực dương và abc = 1 nên ta đặt:
x
y

z
a  ; b  ; c  , với x, y, z là các số thực dương.
y
z
x
1
1
1
3
1
1
1
3
Ta có:


 



a(b  1) b(c  1) c(a  1) 2
xy  y z  zx  2
1
  1
  1
y  z  z  x  x  y 

yz
zx
xy

3



xy  zx yz  xy zx  yz 2
Đây chính là BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy ra điều phải chứng minh.


kh

Ví dụ 12: (Ôlimpic quốc tế 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1.

1 
1 
1
Chứng minh rằng:
 a  1   b  1   c  1    1 .
b 
c 
a

 Nhận xét: a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt:
x
y
z
a  ; b  ; c  , với x, y, z là các số thực dương.
y
z
x


( x  y  z)( y  z  x )(z  x  y )
1 
1 
1
Ta có:
1
 a  1   b  1   c  1    1 
xyz
b 
c 
a

(*)
 ( x  y  z)( y  z  x )( z  x  y )  xyz
Đặt x  m  n; y  n  p; z  p  m . Khi đó (*)  (m  n)(n  p)( p  m )  8mnp (**)
Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: m  n  2 mn ; n  p  2 np ; p  m  2 pm
Trang 3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

Ba bất đẳng thức trên có hai vế đều dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần
chứng minh.
Chú ý: Ta có thể chứng minh (*) theo cách sau đây:
Do vai trò x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát nên giả sử : x  y  z > 0.
Như vậy x – y +z > 0 và y – z + x > 0.
+ Nếu z – x + y  0 thì (*) hiển nhiên đúng.

+ Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có:

om

( x  y  z)( y  z  x )  x ;
( y  z  x )( z  x  y)  y ; ( z  x  y)( x  y  z)  z
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, suy ra (*).
Vậy (*) đúng cho mọi x, y, z là các số thực dương, suy ra bài toán được chứng minh.

Phát hiện: Việc đổi biến và vận dụng (**) một cách khéo léo giúp ta giải được bài toán
ở Ví dụ 13 sau đây:

a
2

; y

b
2

; z

c
2

oc

 Đặt x 

.c

Ví dụ 13: (Ôlimpic quốc tế 2001) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
a
b
c


 1.
2
2
2
a  8bc
b  8ca
c  8ab
.

a  8bc
b  8ca
c  8ab
Ta thấy x, y, z đều dương và BĐT cần chứng minh trở thành S = x  y  z  1 .
2

2

cu



a
a2

1
8bc
 x 
=

1 
.
Do x 

2
2
2
 2

2
a

8
bc
x
a
a  8bc
 a  8bc 
1
8ca 1
8ab
1 
;
Tương tự ta có:
.

1 
y2
b2
z2
c2

a

on
g

bo

 1
 1
 1
 3
(1)
 2  1 2  1 2  1  8
x
 y

 z
Mặt khác nếu S = x + y + z < 1
 S 2  S 2
 S 2 
 1
 1
 1


thì: T =   1  1  1 >   1

1
  1

2
  z2
 x 2   y2
 x 2   y 2


 z

(2)
– Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x)  8xyz (theo (**) ở ví dụ 12)
– Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (S  x )(S  y)(S  z)  64 xyz
(3)
Suy ra:

– Nhân (2) và (3) vế với vế, ta được: (S 2 – x 2 )(S 2 – y 2 )(S 2 – z2 )  83 x 2 y 2 z2
 S 2  S 2   S 2
 3

1

1
  1


  8


  z2
 x 2   y 2


3
Từ đây suy ra: T > 8 mâu thuẩn với (1).
Vậy S = x + y + z  1, tức bài toán được chứng minh.

kh

hay:

Ngược lại, đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các biểu thức ( hoặc
x y z
biến đổi của nó) có chứa các biểu thức có dạng: ; ; , với x, y, z  0. Lúc này việc
y z x
x
y
z
đặt a  ; b  ; c  , với abc = 1 là một phương pháp hữu hiệu, sau đây là các ví dụ
y
z
x
minh chứng điều này:
Trang 4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

.c

om

Ví dụ 14: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
b
c
a
a
b
c
1)


1


 1.
2)
a  2 b b  2c c  2 a
a  2 b b  2c c  2 a
1
1
1
1) BĐT 



 1.
a
b
c
2
2
2
b
c
a
a
b
c
Đặt x  ; y  ; z  . Ta có x, y, z là các số thực dương có tích xyz = 1.
b
c
a
1
1
1
1
1
1
Suy ra:


1 


1

a
b
c
x 2 y2 z2
2
2
2
b
c
a
 (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2)  (x + 2)(y + 2)(z + 2)
 (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12  xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 8
 4  xyz + xy + yz + zx  3  xy + yz + zx.
Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có:

Cách 2 : Ngoài cách đặt a 

cu

oc

xy  yz  zx  3 3 ( xyz)2  3 . Suy ra điều phải chứng minh.
2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1).
 b
c
a   a
b
c 





Cách 2: Ta có: 2 

3
 a  2 b b  2 c c  2 a   a  2 b b  2c c  2 a 
Áp dụng kết quả bài toán 1), ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

x
y
z
; b  ; c  như trên ta còn có cách đổi biến khác. Cụ thể
y
z
x

bo

ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 15: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh:
a
b
c
4
1





(a  1)2 (b  1)2 (c  1)2 (a  1)(b  1)(c  1) 4

(*)

on
g

1 a
1 b
1 c
1 x
1 y
1 z
;y
; z
 –1;b
;c
.
1 a
1 b
1 c
1 x
1 y
1 z
Từ abc = 1  (1 – x)(1 – y)(1 – z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z)  x + y + z + xyz = 0.
4a
2
Mặt khác:
 1  x2;

 1 x
a 1
(a  1)2
 Đặt: x 

4b

kh

Tương tự:

nên:

(b  1)2

(*) 

4a
2

(a  1)
2



 1  y2;
4b
2

(b  1)

2



2
4c
2
 1  y và
 1  z2 ;
 1 z
b 1
c 1
(c  1)2
4c
2

(c  1)

 1  2.

2
2
2
.
.
(a  1) (b  1) (c  1)

2

 1  x  1  y  1  z  1  2(1  x )(1  y)(1  z)

 x 2  y 2  z2  2( xy  yz  zx )  2( x  y  z  xyz)  0  ( x  y  z)2  0 .
Đây là bất đẳng thức luôn đúng nên bài toán được chứng minh.

Trang 5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

x
y
z
; b  ; c  ở đây còn áp dụng được rất
y
z
x
hay ở bài toán chứng minh đẳng thức, ví dụ 16; 17 sau đây cho thấy điều này. (Việc
đưa ra hai ví dụ sau nhằm nhấn mạnh thêm tính đa dạng và hữu hiệu của phương
pháp đổi biến trong giải toán nói chung).
Phát hiện: Việc đổi biến bằng cách đặt a 

.c

om

Ví dụ 16: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1

1
1


1
1  a  ab 1  b  bc 1  c  ca
x
y
z
 Nhận xét: Vì abc = 1 nên ta có thể đặt a  ; b  ; c  , với x, y, z  0.
y
z
x
Khi đó vế trái của đẳng thức trên được biến đổi thành:
1
1
1
yz
zx
xy
=


= 1 (đpcm).


x x
y y
z z
xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx

1 
1 
1 
y z
z x
x y

oc

Ví dụ 17: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1 
1 
1 
1 
1 
1
 a  1   b  1   c  1     a  1   b  1   c  1  
b 
c 
a 
b 
c 
a


(*)

cu

x
y
z
 Nhận xét: Tương tự trên ta đặt a  ; b  ; c  , với x, y, z  0.
y
z
x
Khi đó vế trái của đẳng thức (*) được biến đổi thành:
x
z  y
x  z
y  x yz yz x zx y
.
.
  1    1     1   
y  z
y  x
x
y
z
x
y

bo

( x  y  z)( y  z  x )( z  x  y )
(1)
xyz
Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của (*) về biểu thức (1), suy ra đpcm.
=

on
g

4. Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm có
vai trò như nhau ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau:
y  ab  bc  ca ;
Đặt x  a  b  c ;
z  abc .
Ta có các đẳng thức sau:
xy – z  (a  b)(b  c)(c  a)
(1)

x 2  y  (a  b)(b  c)  (b  c)(c  a)  (c  a)(a  b)
2

2

2

kh

x  2y  a  b  c

2

(2)
(3)

x 3  3 xy  3z  a3  b3  c3

Cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức sau:

(4)

x 2  3y

(5)

x 3  27z

(6)

2

y  3xz
xy  9z

(7)
(8)

x 3  4 xy  9z  0
(Bạn đọc tự chứng minh các bất đẳng thức trên).
Trang 6

(9)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

Sau đây là một số ví dụ để làm sáng tỏ vấn đề này:
Ví dụ 18: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh:
(a  b)(b  c)(c  a)   2(1  a  b  c)

om

 Đặt x  a  b  c ;
y  ab  bc  ca ;
z  abc .
Theo (1) thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
xy  z  2(1  x )  xy  1  2(1  x )  x( y  2)  3 .
Do z = abc = 1 nên theo (6) và (7) suy ra: x  3; y  3 suy ra: x(y – 2)  3 là BĐT đúng.
Đẳng thức xảy ra  x = y = 3 hay a = b = c =1. Suy ra bài toán được chứng minh.

oc

.c

Ví dụ 19: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh:
12
abc 
5
ab  bc  ca
 Đặt x  a  b  c ;
y  ab  bc  ca ;
z  abc .
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
12

z  5
(*)
y
Theo (9) kết hợp với x = a + b + c =3 ta có: 27  12 y  9z  0 .

4y  9
12 4 y  9 12
 z 

(**)
3
y
3
y
4 y  9 12
Mặt khác:
  5  4 y2  9y  36  15y  ( y  3)2  0 (đúng với mọi y).
3
y
Từ (*) và (**) suy ra bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c =1.
z

cu

Suy ra:

bo

Ví dụ 20: Cho ba số không âm a, b, c, thoả mãn: ab  bc  ca  abc  4 . Chứng minh:

3(a 2  b2  c2 )  abc  10

(*)

 Đặt x  a  b  c ;
y  ab  bc  ca ;
z  abc .
Do y  z  ab  bc  ca  abc  4 , nên theo (3) bất đẳng thức (*) trở thành:

on
g

3( x 2  2 y)  z  10  3x 2  6  7 y .
Mặt khác, theo (9) suy ra:
x 3  36
4x  9
x 3  36
Vậy để hoàn thành bài toán ta cần chứng minh: 3x 2  6  7.
.
4x  9
Thật vậy, từ (5) và (6) suy ra:

kh

x 3  4 xy  9( y  z)  9y  x 3  36  9 y  4 xy  y 

x 2 x3

 x 3  9 x 2  108  0  ( x  3)( x 2  12 x  36)  0  x  3 .

3 27
x 3  36
3x 2  6  7.
 12 x 3  24 x  27 x 2  54  7 x 3  252
Từ đó ta có:
4x  9
4 yz

( x  3)(5 x 2  42 x  102)  0

Đây là bất đẳng thức đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1.

Trang 7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 21: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh:
1
1
1
abc
3





ab bc ca
6
abc
 Đặt x  a  b  c ;
y  ab  bc  ca  3 ;
z  abc .

1
1
1
abc
3




ab bc ca
6
abc
(a  b)(b  c)  (b  c)(c  a)  (c  a)(a  b) a  b  c
3



abc
(a  b)(b  c)(c  a)
6
Theo (1) và (2) thì (*) trở thành:

Ta có:

om

x2  y x 3
   ( x 2  3)6 x  ( x 2  18)(3 x  z)  0
xy  z 6 x

(*)



6 x 3  18 x  3 x 3  54 x  x 2 z  18z  0  3 x 3  36 x  x 2 z  18z  0



3( x 3  12 x  9z)  x 2 z  9z  0

.c

 3( x 3  4 xy  9z)  z( x 2  9)  0

oc

Do y = 3 nên từ (5) suy ra x 2  9 , kết hợp (9) ta có bất đẳng thức trên đúng, suy ra bài toán
được chứng minh. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.
Ví dụ 22: Cho ba số a, b, c thuộc (0; 1) thoả mãn abc  (1– a)(1– b)(1 – c) . Chứng minh:

cu

a3  b3  c3  5abc  1

 Ta có: abc  (1– a)(1– b)(1 – c) = 1–(a  b  c)  (ab  bc  ca) – abc .
Do vậy, nếu đặt x  a  b  c ; y  ab  bc  ca  3 ; z  abc thì ta có: 2z  1– x  y .
Theo (9) thì ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

x 3  3 xy  3z  5z  1  x 3  3xy  8z  1  x 3  4 x  3  y(3 x  4)

bo

Chú ý rằng: 1– x  y  2z  0 và x 2  3y suy ra: x  1  y 

x2
.
3

Ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu x  1 thì x 3  4 x  3  (1  x )(3  x  x 2 )  0  y(3x  4) .

4
thì: 3x – 4< 0 và 0 < x – 1 < y, suy ra:
3

on
g

Trường hợp 2: Nếu 1  x 

( x 3  4 x  3)  y(3x  4)  ( x 3  4 x  3)  ( x  1)(3x  4)  ( x  1)3  0

Trường hợp 3: Nếu x 

4
thì:
3

( x 3  4 x  3)  y (3x  4)  ( x 3  4 x  3) 

x2
(2 x  3)2
(3 x  4) 
0
3
2

kh

Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có x 3  4 x  3  y(3 x  4) luôn đúng, suy ra bài toán
được chứng minh.
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = .
2
II. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
3

 14 .
a) Cho a, b > 0 thoả mãn a + b = 1. Chứng minh:
2
ab a  b2

Trang 8


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



b) Cho a + b + c + d = 1. Chứng minh: (a  c)(b  d )  2(ac  bd ) 

1
.
2

c) Cho a + b + c  3. Chứng minh: a4  b 4  c 4  a3  b3  c 3 .

.c

om

d) Cho a + b > 8 và b  3. Chứng minh: 27a2  10b3  945 .
1
1
1
Bài 2: Cho a, b, c là các số dương và


 2 . Chứng minh: 8abc  1
a 1 b 1 c 1

Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh:
(a + b)(b + c)(c + a)  5(a + b + c) – 7
Bài 4: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh:
a3
b3
c3


3
(a  1)2 (b  1)2 (c  1)2
a b c 3
Bài 5: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh:    (a  b  c  1) .
b c a 2
Bài 6: Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh:
0  27(ab  bc  ca)  54abc  7
Bài 7: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh:

oc

2(1  a 2 )(1  b 2 )(1  c2 )  (1  a)(1  b)(1  c)  2(1  abc )

bo

cu

VẤN ĐỀ II:
Chứng minh Bất đẳng thức bằng cách sử dụng vai trò như nhau
của các biến

Ví dụ 1: Cho các số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng:

a(a  b)(a  c)  b(b  c )(b  a)  c(c  a)(c  b)  0

(*)

on
g

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c.
+ Nếu có hai trong ba số a, b, c bằng nhau thì BĐT hiển nhiên đúng.
+ Nếu a > b > c, chia hai vế của (*) cho (a  b)(b  c)(a  c) ta được BĐT tương đương:

a
b
c
(1)


0
bc ac ab
a
b
c
a  b  0
(1) luôn đúng do 


và
0.
ab
bc ac

0  b  c  a  c

kh

Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc đoạn [0; 2]. Chứng minh rằng:
1
1
1
9



(*)
2
2
2
4
(a  b)
(b  c ) (c  a)

 Sử dụng BĐT Cô-si với x > 0, y > 0, ta có:

Suy ra:

1
x

2



1
y

2



8
( x  y )2

 1
1 
1
2
 2  2  ( x  y)  2. .4 xy  8 .
xy
y 
x

(1). Đẳng thức xảy ra  x = y.

Trang 9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

om

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a > b > c. Áp dụng BĐT (1) cho cặp số
1
1
8
8
dương a – b và b – c, ta có:



.
2
2
2
( a  b ) ( b  c)
( a  b  b  c)
(a  c)2
Đẳng thức xảy ra  a – b = b – c.
1
1
1
8
1
9






.
Suy ra:
(a  b)2 (b  c )2 (c  a)2 (a  c)2 (c  a)2 (a  c)2
Mặt khác, do a, c  [0; 2] và a > c nên 0 < a – c  2. Đẳng thức xảy ra  a = 2 và c = 0.
1
1
1
9
9
Do đó:



 .
(a  b)2 (b  c )2 (c  a)2 (a  c)2 4
Đẳng thức xảy ra khi (a; b; c) = (2; 1; 0) và các hoán vị.

.c

Ví dụ 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a  b  c  abc  4 . Chứng minh rằng:
a  b  c  ab  bc  ca
 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c.
3c  c 3  4  a  b  c  abc  3a  a3  a  1 và c  1.

Từ giả thiết ta có:

oc

+ Nếu a  b  1  c thì 4  a  b  2 ab  ab  4. Do đó:

(a  b  2)2  4(a  1)(b  1)  ab(a  1)(b  1)

 (a  b  ab)(ab  1)  (4  a  b)(a  b  1)  a  b  ab 

4ab
(a  b  1)
ab  1

(1)

bo

cu

4ab
. Kết hợp với (1) ta có:
ab  1
a  b  ab  c(a  b  1)  a  b  c  ab  bc  ca (đpcm).
+ Nếu a  1  b  c thì ta có (a  1)(b  1)(c  1)  0  a  b  c  ab  bc  ca  1  abc (2)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, ta có:
Mặt khác, từ giả thiết suy ra c 

4  a  b  c  abc  4 4 abcabc  abc  1.
Kết hợp với (2) ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra  a = b= c = 1.

on
g

Ví dụ 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1
1
1
3



1  a2
1  b2
1  c2 2

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c.
Vì abc = 1 nên bc  1 và a  1. Ta có:
2


 1  b2c 2 

 1
1 
1  b2 c 2



2
=
2
1

2



1



2
2
 (1  b2 )(1  c2 ) 
 (1  bc)2 


1
1
b
c







4
4a
=

1  bc 1  a
1
1

a

2
(1)
2
2

a
1
1 b
1 c

kh

 1
1


2
1  c2
 1 b

Suy ra:

Mặt khác ta có:

1
1 a

2



2
1 a

(2)

Trang 10


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

2

Ta sẽ chứng minh:



a
2
3
(3)


1 a 1 a
2
2

Thật vậy, (3)  1  3a  2 2a(1  a)  0   2a  1  a   0 (luôn đúng).
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.
Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

om

a2  b2  c2  abc  4
 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c. Suy ra c  1.

Ta có: a2  b2  c2  abc  9  2(ab  bc  ca)  abc = 9  ab(c  2)  2c(3  c) .
2

2

2

 3 c 
a  b  c  9  (c  2) 
  2c(3  c)
 2 
2

2

2

2

(1)

(2)

oc

Ta sẽ chứng minh:

 3c 
9  (c  2) 
  2c(3  c)  4
 2 

.c

 a b   3c 
Lại có: ab  
 
 và c – 2 < 0 nên
 2   2 

cu

Thật vậy, (2)  (c  1)2 (c  2)  0 (luôn đúng).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.

Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a2  b2  c 2  3 . Chứng minh rằng:
ab  bc  ca  2  abc
 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a = max{a, b, c}. Xét hai khả năng:
+ Với a  b  c  0. Khi đó:

bo

a(b  a)(b  c)  0  a2 b  abc  ab2  ca 2  ab2  bc2  ca2  a2 b  bc2  abc
Mà a2 b  bc2  2  b(3  b2 )  2  (b  1)2 (b  2)  0
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
+ Với a  c  b  0. Khi đó:

on
g

b(c  a)(c  b)  0  ab2  bc2  ca2  ca2  cb2  abc
2

2

2

2

Lại có: ca  cb  2  c(3  c )  2  (c  1) (c  2)  0
Từ (3) và (4) suy ra đpcm.

(1)

(2)

(3)
(4)

Đẳng thức xảy ra  (a; b; c)  (1;1;1),  2;0;1 ,  0;1; 2  , 1; 2; 0  .

kh

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực không âm, thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
1
ab  bc  ca  3abc  .
4
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực không âm, thoả mãn a2  b2  c2  abc  4 . Chứng minh rằng:
abc  2  ab  bc  ca  abc .
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [–1; 1]. Chứng minh rằng:
5
(a  b)(b  c)  (b  c)(c  a)  (c  a)(a  b)  (a  b)(b  c )(c  a) .
2
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2]. Chứng minh rằng:

Trang 11


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

 1 1 1
(a  b  c)      10 .
a b c
Bài 5: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng:
a(1  b)  b(1  c)  c(1  a)  1 .

(2)

.c

I. Một số phương pháp
1. Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản sau:
Với a, b, c là ba số thực dương tuỳ ý, ta có:
1 1
4
1 1 1
9
 
(1)
  
a b ab
a b c abc

om

VẤN ĐỀ III:
Chứng minh Bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu

cu

oc

Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
1
1

 16

(*)
ac bc
1
1 11 1
4
4
 Áp dụng (1) ta có:

   

 16 .
ac bc c  a b  c(a  b)  c  a  b 2




2
1
1
Đẳng thức xảy ra  c  , a  b  .
2
4

on
g

bo

Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c  3. Chứng minh rằng:
1

2009

 670 .
a 2  b2  c2 ab  bc  ca
 Áp dụng (2), ta có:
1
1
1
9



2
2
2
2
2
2
ab  bc  ca ab  bc  ca a  b  c  2(ab  bc  ca)
a b c
9
(3)

1
(a  b  c)2
2007
3.2007

 669
ab  bc  ca (a  b  c)2

Từ (3) và (4) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra  a  b  c  1 .

kh

Mặt khác, ta có: 3(ab  bc  ca)  (a  b  c)2 

(4)

2. Đặt mẫu là các biến mới

25x
4y
9z


 12 (*)
y z z x x y
 Đặt a  y  z, b  z  x , c  x  y (với a > 0, b > 0, c > 0).
Ví dụ 3: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

Suy ra:

x

bca
cab
abc
,y
,z
.

2
2
2

Trang 12


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



25(b  c  a) 4(c  a  b) 9(a  b  c )


2a
2b
2c
 25b 4a   25c 9a   4a 9b 
 
       19  10 + 15 + 6 – 19 = 12.
=
 2a 2b   2a 2c   2b 2c 
5b  2a
Đẳng thức xảy ra  
 5b  5c  5a  x = 0 (vô lí). Vậy BĐT (*) đúng.
5c  3a

Ta có: VT (*) =

a
b
c


 3.
bca
cab
abc
2

bca bca
bc

1 

a
a
a

a
2a

.
bca bc

.c

 Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

om

3. Đánh giá nghịch đảo
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b
2b
c
2c

;

cab ac
abc ab
a
b
c
3
là xong.



Ta chỉ cần chứng minh:
bc ca ab 2

oc

Tương tự:

a

1  a2

a





a

ab  bc  ca  a2
b
b 
1 b
 

,
2
a

b
b

c
2


1 b

bo

 Ta có:

cu

4. Đưa về đồng bậc
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng:
a
b
c
3


 .
1  a2
1  b2
1  c2 2

Tương tự:

a 
1 a
 

.
(a  b)(a  c) 2  a  b a  c 
c

c 
1 c

 

.
2
a

c
b

c
2


1 c

on
g

Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra  a  b  c 
5. Thêm bớt biểu thức để khử mẫu
Ví dụ 6: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng:

x3

3

kh

y 8

 Ta có:

x3

y3  8



y3
3

z 8



z3
3

x 8

VT (*) 



1 2
 ( xy  yz  zx ) .
9 27

(*)

y  2 y2  2y  4 x
x3
9 x  y  y2  6

 

.
27
27
3
27
y3  8

9 y  z  z2  6
;
27
z3  8
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta có:

Tương tự:

y3





z3
x3  8



9z  x  x 2  6
.
27

10( x  y  z)  ( x 2  y 2  z2 )  18 12  ( x 2  y 2  z2 )
=
=
27
27

Trang 13

1
3

.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

3  ( x  y  z)2  ( x 2  y 2  z2 ) 1 2
=  ( xy  yz  zx ) (đpcm).
27
9 27
Đẳng thức xảy ra  x  y  z  1 .

=

a
1  b2



a(1  b 2 )  ab 2

 a

1  b2
b
bc
 b ;
2
1  c2

Tương tự:

ab2
1  b2

c
1  a2

 a

c

ab
.
2

ac
.
2

.c

 Ta có:

om

Ví dụ 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:
a
b
c
3


 .
(*)
2
2
2
2
1 b 1 c 1 a

1

3
a  b  c  (ab  bc  ca)  .
2
2

oc

Do đó, ta chỉ cần chứng minh:

Từ BĐT 3(ab  bc  ca)  (a  b  c)2 suy ra ab  bc  ca  3 .

1
3
a  b  c  (ab  bc  ca)  . Đẳng thức xảy ra  a  b  c  1 .
2
2

cu

Do đó:

6. Đánh giá mẫu
Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a2

3b2  8c2  14bc

bo

3a2  8b2  14ab

b2





c2

1
 (a  b  c )
3c 2  8a2  14ca 5

(*)

1
3a2  8b2  14ab  (a  4b)(3a  2b)  (4 a  6 b)  2 a  3b .
2
Tương tự với các mẫu số còn lại. Từ đó:

 Ta có:

a2
b2
c2
(a  b  c )2
1




 (a  b  c) (đpcm).
2a  3b 2b  3c 2c  3a 2a  3b  2b  3c  2c  3a 5
Đẳng thức xảy ra  a  b  c .

on
g

VT (*) 

Ví dụ 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc  1 . Chứng minh rằng:
ab
bc
ca


 1.
(*)
5
5
5
5
5
a  b  ab b  c  bc c  a5  ca

kh

 Trước hết ta chứng minh BĐT:

x 5  y 5  x 2 y 2 ( x  y ) (1) với mọi x > 0, y > 0.

Ta có: (1)  x 3 ( x 2  y 2 )  y3 ( y 2  x 2 )  0  ( x 3  y3 )( x 2  y2 )  0

Do đó:

Tương tự:

 ( x  y)2 ( x  y)( x 2  xy  y2 )  0 (luôn đúng với mọi x > 0, y > 0).
ab
a 5  b5  ab
bc



ab

a2 b2 (a  b)  ab
1

;
5
5
b  c  bc bc(a  b  c )



1
1

.

ab(a  b)  abc ab(a  b  c)

Trang 14

ca
5

5

c  a  ca



1
.
ca(a  b  c)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



1
1
1
abc




 1 . (đpcm)
ab(a  b  c ) bc(a  b  c ) ca(a  b  c ) abc(a  b  c )
Đẳng thức xảy ra  a  b  c  1 .
Suy ra: VT (*) 

II. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
2 a3

2 b3

2c3

a
b
c
 
.
a 6  bc b6  ca c 6  ab bc ca ab
Bài 2: Cho ba số thực dương x, y, z thảo mãn x  2 y  3z  18 . Chứng minh rằng:




om



oc

.c

2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51


 .
1 x
1  2y
1  3z
7
Bài 3: Cho hai số a, b dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ab
P=
.
a(4 a  5b)  b(4b  5a)
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  2 . Chứng minh rằng:
ab
bc
ca


1.
2c  ab
2a  bc
2 b  ca
Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
3
6
1


.
ab  bc  ca a  b  c

thức:

M=

a5
3

2

cu

Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a2  b2  c 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


b5

3

2



c5

3

2

 a4  b4  c 4 .

bo

b c
c a
a b
Bài 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn ab  bc  ca  3 . Chứng minh rằng:
1
1
1
1



.
2
2
2
1  a (b  c) 1  b (c  a) 1  c (a  b) abc

Bài 8: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a2  b2  c2  1 . Chứng minh rằng:

kh

on
g

a5  b5

b5  c 5
c 5  a5


 3(ab  bc  ca)  2 .
ab(a  b) bc(b  c) ca(c  a)
Bài 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc  1 . Chứng minh rằng:

1 
1 
1  27
.
a 
 b 
 c 

a  1 
b  1 
c 1 8

Bài 10: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a 2  bc b2  ca c2  ab


 abc.
bc
ca
ab

Trang 15


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

VẤN ĐỀ IV:
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
TỪ NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

om

Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới
một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu
biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở
nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh
một phương pháp mà từ trước đến nay thông thường các em ít nghĩ đến.
I. Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?

 Từ điều kiện a, b, c  R  , ab  bc  ca  1 luôn tồn tại 3 góc của ABC sao cho:

A
B
C
, b  tan , c  tan
2
2
2

.c

a  tan

 Từ điều kiện a, b, c  R  , ab  bc  ca  abc luôn tồn tại 3 góc của ABC sao cho:
a  tan A, b  tan B, c  tan C

oc

 Từ điều kiện a, b, c  R  , a2  b2  c2   bc (*) với   (0;2)  Tồn tại ABC có 3 góc
thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……..

cu

 Từ điều kiện a2  b2  c2  2abc  1, a, b, c   1;1 luôn tồn tại:
a = cosA, b = cosB, c = cosC với A  B  C  
II. Một số kết quả cơ bản
 Khi ta đặt a  tan

A
2a
1  a2
A
a
A
1
 sin A 
; cos A 
;sin 

; cos 
2
2
2
1  a2
1  a2
1  a2
1  a2

bo

 a, b, c R  , ab + bc + ca = 1

 1  a2  (a  b)(a  c),
1  ab

1  a2 1  b 2

1

on
g

 a, b R  

1  b2  (b  c)(b  a),

1  c2  (c  a)(c  b) (1)

(2)

Thật vậy (2) tương đương với (1  ab)2  (1  a 2 )(1  b2 )  2ab  a2  b 2

a

 a, b, c  R  , ab  bc  ca  1 

2



b

kh

1 a 1 b
Thật vậy trước hết ta chứng minh:
a
b
1  ab


1  a2 1  b2
(1  a 2 )(1  b2 )(1  c 2 )

2



1

1  c2

a(b  c)  b(c  a)
1  ab

(Áp dụng kết quả (1))
(a  b)(b  c)(c  a) (a  b)(b  c )(c  a)
 a(b  c)  b(c  a)  1  ab  ab  bc  ca  1



Vì

1  ab
2

2

 1  đpcm

(1  a )(1  b )
 a, b, c  R  , ab  bc  ca  1 

1  a2
1  a2



1  b2
1  b2

Trang 16



2c
1  c2

(3)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

Thật vậy trước hết ta chứng minh



1  a2
1  a2



1  b2
1  b2



2c(1  ab)
(1  a 2 )(1  b2 )(1  c 2 )

Nhưng ta có: cos A  cos B  2sin

C
2

oc

 Ta thấy (4)  cos A  cos B  2 sin

.c

om

Sau đó dùng kết quả (2), ta có điều phải chứng minh.
III. Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác:
1
ab

1
 Ta thấy (2) 
1  a2 1  b2
1  a2 1  b2
 A B
A
B
A
B
 cos .cos  sin .sin  1  cos     1
2

2
2
2
2 2
Rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng.
C
 Ta thấy (3)  sin A  sin B  2 cos
2
 AB
 AB
C
Nhưng ta có: sin A  sin B  2 cos .cos 
 , cos 
  1  đpcm.
2
 2 
 2 

 AB
 AB
C
.cos 
 , cos 
  1  đpcm.
2
 2 
 2 

cu

Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn.
Bài 1. Cho a, b, c  0, ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng:

Lại có sin A  sin B  2 cos

on
g

Theo BĐT Bunhiacopxki

1 a

2



b
1 b

2



3c
1  c2

 10

(1)

C
 2 10 .
2

bo

 Ta thấy (1)  sin A  sin B  6 sin

a

C
C
C
, nên ta sẽ chứng minh 3sin  cos  10 .
2
2
2
2


 2C
C
C
C
 cos2   10  đpcm.
 3sin  cos   (9  1)  sin
2
2
2
2




Bài 2. Cho a, b, c  0, abc  a  c  b . Chứng minh rằng:

2
1 a

2



2
1 b

2



3
1 c

2



 Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy abc  a  c  b  ac 

10
3

(2)

a c
  1.
b b

A 1
B
C
,  tan , c  tan .
2 b
2
2

A
B
C 10
C  10
(2)  2 cos2  2sin2  3 cos2 
 (cos A  1)  (1  cos B)  3  1  sin2  
2
2
2 3
2 3

 AB
C
1
2C

(*)
 2sin .cos 

  3sin
2
2 3
 2 

kh

Từ đó ta đặt a  tan

 AB
C
2C
Vì cos 
  1  VT (*)  2 sin  3sin
2
2
 2 
Ta sẽ chứng minh:
Trang 17


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
2

 C 1
C
C 1
C
C 1
2sin  3sin 2   2sin  3sin2   0  3  sin    0 .
2
2 3
2
2 3
2 3

Điều này là hiển nhiên  đpcm.

om

Bài 3. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x(x + y + z)=3yz. Chứng minh rằng:
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x +y)(y +z )(z + x) ≤ 5(y + z)3 (TSĐH 2009A)
 Đặt a = x + y , b = y + z, c = z + x thì a, b, c là các số dương và
bca
cab
abc
x
; y
; z
2
2
2

Bài toán trở thành: Cho a, b, c là các số dương thỏa mản a2  b 2  c 2  bc . Chứng minh:

(*)
b3  c3  3abc  5a3
Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác, ta suy ra góc A = 600

.c

Ta có (*)  (b  c)(b2  bc  c2 )  3abc  a2 (b  c)  3abc  5a3

 a(b  c)  3bc  5a2
(**)
0
Vận dụng điều kiện góc A = 60 và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC

oc

Ta có (**)  2 3(sin B  sin C )  12sin B.sin C  15
Mặt khác ta có:

2

cu


 B  C 
2 sin 

2

B C
(sin B  sin C )

3
 2 
)  3, sin B sin C 


sinB + sinC  2 sin(
2
4
4
4
Ta suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c  x  y  z .
Bài 4. Cho a, b, c  0, a 2  b2  c 2  2abc  4 . Chứng minh rằng a  b  c  abc  2

(4)

bo

 
 Từ giả thiết suy ra a, b, c   0;2  , do đó tồn tại A, B, C   0;  sao cho
 2

on
g

a = 2cosA, b = 2cosB, c = 2cosC và a2  b2  c2  2abc  1
Suy ra A, B, C là các đỉnh của tam giác nhọn ABC.
(4)  cos A  cos B  cos C  4 cos A.cos B.cos C  1
A
B
C

 sin sin sin  cos A.cos B.cos C
2
2
2

 cos A  cos B 2

 AB
C
2C
.cos2 
  sin
4
2
2
 2 
Tương tự có 2 bất đẳng thức nữa. Sau đó nhân vế với vế, 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có
điều phải chứng minh.
 sin 2

kh

Ta có cos A.cos B 

 x , y, z  0
. Chứng minh rằng:
Bài 5. Cho 
 x  y  z  xyz

x

1 x

2



y
1 y

2



z
1 z

2



3 3
2

 Đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC với A, B, C là 3 góc nhọn của tam giác ABC
thì

(5)  sin A  sin B  sin C 

3 3
2

Trang 18

(5)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



Tacó

 AB
 AB
 AB
sin A  sin B  2 sin 
 .cos 
  2 sin 

 2 
 2 
 2 

và

 C  60 0 
sin C  sin 60 0  2 sin 

 2 

hay

sin A  sin B  sin C 

om

 A  B  C  600 
4 3
Từ đó suy ra sin A  sin B  sin C  sin 600  4 sin 
  4 sin 600 


4
2



3 3
(đpcm).
2

oc

.c

VẤN ĐỀ V:
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi (tác giả) đã lập bảng một số dấu hiệu
nhận biết sau: ( Giả sử các hàm số lượng giác sau đều có nghĩa)

1 x 2

2 tan t

2 tan t
2 tan t

1 x 2

1  tan 2 t

1  tan 2 t

xy
1  xy

tan   tan 
1  tan  .tan 

on
g
...

2

1
2

cos 
....

 tan 2t
 sin 2t

tan   tan 
 tan(   )
1  tan  .tan 

1

1
2

cos 

 1  tan 2 
......

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

I. DẠNG 1: Sử dụng hệ thức sin 2   cos2   1
1. Phương pháp:

 x  sin 
a) Nếu thấy x 2  y 2  1 thì đặt 
 y  cos 

Trang 19

cos2 t

2 cos2 t  1  cos 2t

2 tan t

x2  1

kh

2 cos2 t  1

1  tan 2 t

2x

1

4 cos3 t  3 cos t  cos3t

1  tan t

1 x

2

1  tan 2 t 

4 cos3 t  3 cos t

bo

2x

Công thức lượng giác

1  tan 2 t

4 x3  3x
2 x2  1

Biểu thức lượng giác
tương tự

cu

Biểu thức đại số

với   [0; 2].


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

 x  a sin 
với   [0; 2].

b) Nếu thấy x 2  y2  a2 (a > 0) thì đặt 
 y  a cos 
2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2  b2  c 2  d 2  1 . Chứng minh rằng:

 2  S  a(c  d )  b(c  d )  2

(1)

om

a  sin u
c  sin v
và 
 Đặt 

b
cos
u

d  cos v
 S = sin u(sin v  cos v)  cos u(sin v  cos v)

= (sin u cos v  sin v cos u)  (cos u cos v  sin u sin v) = sin(u  v)  cos(u  v)

.c



2 sin (u  v)     2  S  a(c  d )  b(c  d )  2 (đpcm).


4

=

2

2

oc


1  
1 
25
Ví dụ 2: Cho a  b  1 . Chứng minh rằng:  a2     b2   
2
a2  
b2 

2

2

 Đặt a  cos  , b  sin  với 0    2.
2

2

2

1
cos4 



1

sin 4 

 4 = cos4   sin 4  

bo

= cos4   sin4  

cu


1  
1  
1   2
1 
VT (2) =  a2     b2     cos2  
  sin  

2
2
2 
a  

b  
cos   
sin2  



1
= cos4   sin4   1 
 cos4  .sin4 






=  cos2   sin2 




cos4   sin 4 
cos4  .sin 4 

4


4


 1


 1
16 
17
25
=  1  sin2 2  1 
 4   1   (1  16)  4   4 

2
2
 2
 sin 4 2 
 2

Dấu "=" xảy ra  sin 2  1  a  b 

kh

2


4



1
 2 cos2  sin2    1 
4
4
  cos  .sin 

on
g



2

(2)

(đpcm)

2
.
2

Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2  b2  1 .

Ví dụ 3: Cho a2  b2  2a  4b  4  0 . Chứng minh rằng:
A = a2  b2  2 3ab  2(1  2 3)a  (4  2 3)b  4 3  3  2

 Biến đổi điều kiện: a2  b2  2a  4b  4  0  (a  1)2  (b  2)2  1 .

a  1  sin 
a  1  sin 

.
Đặt 
b  2  cos 
b  2  cos 

Trang 20

(3)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



 A  sin2   cos2   2 3 sin  cos 



3 sin 2  cos 2  2


3
1

sin 2  cos 2  2 sin  2    2

2
2
6

om




1
3
a  1 
a  2
2 hoặc 
Dấu "=" xảy ra  
.
5
3
b 
b  2 


2
2

(đpcm)

Ví dụ 4: Cho a, b thoả mãn : 5a  12b  7  13 . Chứng minh rằng: a2  b2  2(b  1)  1

a  1  R sin 
với R  0 
Đặt 
b  1  R cos 

.c

 Biến đổi bất đẳng thức (4)  (a  1)2  (b  1)2  1

a  R sin   1

2
2
2
b  R cos   1  (a  1)  (b  1)  R


 5R sin   12 R cos   13  1  R

oc

Ta có: 5a  12b  7  13  5( R sin   1)  12( R cos   1)  7  13


5
12
5
sin   cos   R sin    arccos   R
13
13
13 


cu

Từ đó suy ra (a  1)2  (b  1)2  R 2  1 (đpcm).

bo




18
8
a  13
a  13
hoặc 
.
Dấu "=" xảy ra  
1
25
b  
b  

13

13

II. DẠNG 2: Sử dụng tập giá trị sin   1;

cos   1

on
g

1. Phương pháp:


  
 x  sin  khi     ; 
a) Nếu thấy x  1 thì đặt 
 2 2

 x  cos  khi    0;  

kh


  
 x  m sin  khi     ; 
b) Nếu thấy x  m ( m  0 ) thì đặt 
 2 2
 x  m cos  khi    0;  

2. Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (1  x ) p  (1  x ) p  2 p , với x  1, p  1 .
 Đặt x = cos với   [0; ].
Khi đó

(1  x ) p  (1  x ) p  (1  cos  ) p  (1  cos  ) p

Trang 21

(4)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
p

p




 





=  2 cos2    2sin 2   2 p  cos2 p  sin 2 p   2 p  cos2  sin 2   2 p
2 
2
2
2
2
2




Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

3  2  A  2 3a2  2a 1  a 2  3  2

om

 Từ đk 1  a 2  0  a  1 nên đặt a = cos với 0      1 a2 = sin.
Khi đó ta có:

A = 2 3a2  2a 1  a2  2 3 cos2   2 cos  sin   3(1  cos 2 )  sin 2

.c

 3


1

=2
cos 2  sin 2   3  2sin  2    3  3  2  A  3  2 (đpcm)
2
3

 2


 Từ đk a  1 nên đặt a = cos với [0, ]

(1)  1  2 sin


;
2


1  a  2 cos ;
2

(1)

1  a2  sin 

cu

 1  a  2 sin

oc

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1  1  a2  (1  a)3  (1  a)3   2 2  2  2 a2










cos .2 2  cos3  sin 3   2 2  2 2 sin cos
2
2
2
2
2
2


bo

 
 

 






  sin  cos  cos  sin  cos2  sin cos  sin2   1  sin cos
2
2 
2
2 
2
2
2
2
2
2


on
g

 
 





  sin  cos  cos  sin   cos2  sin2  cos   1 đúng  (đpcm)
2
2 
2
2
2
2


Ví dụ 4: Chứng minh rằng: S = 4  (1  a 2 )3  a3   3  a  1  a2   2

 

Từ đk a  1 nên đặt a = cos với   [0, ]  1 a2 = sin.

kh

Khi đó: S = 4(sin3   cos3  )  3(cos   sin  )  (3sin   4sin3  )  (4 cos3   3 cos )


= sin 3  cos3  2 sin  3    2  (đpcm)
4


Ví dụ 5: Chứng minh rằng A = a 1  b2  b 1  a2  3  ab  (1  a2 )(1  b2 )   2



 Từ điều kiện: 1  a2  0, 1  b2  0  a  1, b  1 nên:

Trang 22


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức



  
Đặt a = sin, b = sin  với ,     ; 
 2 2
Khi đó A = sin  cos   cos  sin   3 cos(   )
1
3
sin(   ) 
cos(   )
2
2



= 2 sin (   )    2
3


om

= sin(   )  3 cos(   )  2

(đpcm)

Ví dụ 6: Chứng minh rằng: A = 4a3  24a2  45a  26  1, a  1;3 .

.c

 Do a  [1; 3] nên a  2  1 nên ta đặt a  2  cos   a  2  cos  .

= cos3  1

Ví dụ 7: Chứng minh rằng: A =

(đpcm)

oc

Ta có: A = 4(2  cos  )3  24(2  cos  )2  45(2  cos  )  26  4 cos3   3 cos 

2a  a2  3a  3  2,  a [0;2]

Ta có: A =

cu

 Do a  [0; 2] nên a  1  1 nên ta đặt a  1  cos  với   [0; ].

2(1  cos  )  (1  cos  )2  3(1  cos  )  3  1  cos2   3 cos 

bo

1


3

cos   2 sin      2
= sin   3 cos   2  sin  
2

2
3




on
g

III. DẠNG 3: Sử dụng công thức: 1  tan 2  

1
2

cos 

 tan2  

1. Phương pháp:

a) Nếu x  1 hoặc bài toán có chứa biểu thức

kh

thì đặt x 

    3 
1
với   0;    , 
cos 
 2  2 

b) Nếu x  m hoặc bài toán có chứa biểu thức
thì đặt x 

x2  1

x 2  m2

    3 
m
với   0;    , 
cos 
 2  2 

2. Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng A =

a2  1  3
 2,  a  1
a

Trang 23

1
2

cos 

(đpcm)

 1 ( 


 k )
2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

 Do a  1 nên đặt a 

    3
1
với   0;    ,

cos 
 2  2





a 2  1  tan2   tan  .

Khi đó:

 Do a  1 nên đặt a 

a

2

5  12 a2  1
a2

 9,  a  1

    3
1
với   0;    ,
cos 
 2  2

5  12 a2  1

Khi đó: A =

 4 

4  A 





a 2  1  tan2   tan  .

.c

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

om


a2  1  3 

 tan   3  cos   sin   3 cos   2 sin      2 (đpcm)
3
a


= (5  12 tan  ) cos2   5 cos2   12sin  cos 

5(1  cos 2 )
 6sin 2

2

=

 5 13

5 13  5
12
5
  cos 2  sin 2    cos  2  arccos 
2 2  13
13
13 
 2 2


oc

=

cu

A=


5 13
5 13
5  5 13
 (1)  A   cos  2  arccos    .1  9 (đpcm)
2 2

2 2
13  2 2

a 2  1  b2  1
 1,
ab

 a , b  1.

bo

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: A =

 Do a , b  1 nên đặt a 

on
g

Khi đó ta có:

    3
1
1
, b
với ,   0;    ,
cos 
cos 
 2  2



.


A = (tan   tan  ) cos  cos   sin  cos   sin  cos   sin(   )  1 (đpcm)

kh

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

 Do a  1 nên đặt a =

a

a
2

 2 2 ,  a 1

a 1

 
1
với   0;  
cos 
 2

a
a2  1



1
1
1
.

.
cos tan2  sin 

Khi đó:

a

a
2

a 1



1
1
1
1
2 2

 2.
.

2 2

cos  sin 
cos  sin 
sin 2

Trang 24

(đpcm)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

y x 2  1  4 y 2  1  3  xy 26 ,  x ; y  1

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:

(*)



2
x2  1 1  4 y  1 3 


 26 (1)
x
x
y
y




Do x , y  1 nên đặt x 

 
1
1
, y
với ,   0,  .
cos 
cos 
 2

Khi đó: (1)  S = sin + cos(4sin + 3cos)  26
Ta có: S  sin + cos (42  32 )(sin2   cos2  )  sin   5cos 
 (12  52 )(sin2   cos2  )  26  (đpcm)

1

.c

IV. DẠNG 4: Sử dụng công thức 1  tan 2  

om

 Bất đẳng thức (*) 



cos2 

oc

1. Phương pháp:

  
a) Nếu x  R và bài toán chứa 1 x 2 thì đặt x  tan  với     , 
 2 2

2. Các ví dụ minh hoạ:
S=

3x

2

4x3



bo

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

cu

  
b) Nếu x  R và bài toán chứa x 2  m2 thì đặt x  m tan  với     , 
 2 2

1 x

2 3

1

(1  x )

  
1
 Đặt x  tan  với     ,   1  x 2 
.
cos 
 2 2

on
g

Khi đó: S = 3 tan  .cos   4 tan3  .cos3   3sin   4sin3   sin 3  1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

kh

  
 Đặt a 2  tan  với     , 
 2 2

A=

3  4 tan2   3 tan 4 
(1  tan2  )2

=

(1  2a2 )2

thì ta có:

3cos4   4sin2  cos2   3sin 4 
(cos2   sin2  )2

= 3(sin2   cos2  )2  2sin2  cos2  = 3 



A=

3  8a2  12a 4

5
1
sin2 2
0
 3  A  3
2 3
2
2
2
2

Trang 25

sin2 2
2

(đpcm)