Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Giảng viên hướng dẫn:
PGS.TS. Đặng Đình Châu

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp và chỉ bảo tận tình
của thầy PGS.TS. Đặng Đình Châu. Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới
thầy, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thầy giáo, cô giáo
đã và đang công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu
trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn
này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ở bên cạnh, động viên,
nhiệt tình giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn trong quãng thời gian tôi làm luận văn
cũng như trong suốt các năm học tập tại trường.
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên

Bùi Trọng Quy

1


Lời nói đầu
Phương trình vi phân hàm lần đầu tiên được A.D. Mushkic (nhà toán học Nga)
nghiên cứu từ năm 1950, cho đến nay đã được phát triển một cách khá hoàn thiện.
Phương trình vi phân hàm có thể được xem là các phương trình vi phân trong không
gian Banach với các không gian pha là những không gian các hàm liên tục trên một
miền J của trục thực R. Các kết quả về lý thuyết định tính của phương trình vi phân
hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9],[12]). Nội dung

luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân
có chậm. Phương pháp được sử dụng chủ yếu là các phương pháp thông dụng trong
lý thuyết định tính của phương trình vi phân tuyến tính. Trong phần cuối có áp dụng
thêm phương pháp nửa nhóm và phương pháp họ toán tử tiến hóa trong không gian
Banach.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
• Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của
quý thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên: Bùi Trọng Quy

2


Mục lục
1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

6

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian
Banach và toán tử sinh của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương trình vi
phân có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach 10

1.4

Tính chất nghiệm của các phương trình vi phân so sánh tích phân được
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1

Tính ổn định phải và tính ổn định trái theo Lyapunov. . . . . .

13

1.4.2

Các phương trình so sánh tích phân được . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3

Sự tương đương tiệm cận của các phương trình so sánh tích

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
2.1

3

8

1.3

phân được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

6

15
17

Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghiệm
của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Phương pháp giải phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . .

19

2.2

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm . . . . . .

24

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu
3

26


MỤC LỤC

3.1

Họ toán tử tiến hóa phi tuyến U (t, s) và sự tồn tại duy nhất nghiệm
của phương trình tích phân Volterra có chậm . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Các tính chất của họ toán tử tiến hóa U (t, s) . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Sự tương đương tiệm cận của phương trình vi phân hàm bị nhiễu . . .

31

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42

Tài liệu tham khảo

43

4


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
X - Không gian Banach

L( X ) - Không gian Banach của tất cả toán tử tuyến tính bị chặn trên X
C (ω ) - Không gian các hàm liên tục trên ω
C ( X, Y ) - Không gian các hàm liên tục từ X đến Y
D ( A) - Miền xác định của A
C k ( J ) - Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trên J

( T (t))t≥0 - Nửa nhóm một tham số các toán tử tuyến tính
R(λ, A) - Giải của A
ρ( A) - Tập giải của A
U (t, s) - Họ hai tham số của các toán tử tuyến tính...
Mn(R) - Không gian các ma trận (thực) vuông cấp n: A = ( aij )n.n
l2 - Không gian các dãy số (ξ n ) được xác định bởi:
l2 = { ξ ∈ l2 , ξ =

(ξ n )∞
n =1

∞

:

∑ | ξ n |2 < + ∞ }

n =1

với chuẩn

∞

∑ | ξ n |2

||ξ || =

n =1

.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản được sử dụng
trong các chương sau. Các kết quả trong chương này không có chứng minh và được
trích dẫn trong các tài liệu [2],[4],[8], [10].

1.1

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh
trong không gian Banach và toán tử sinh của nó

Định nghĩa 1.1. Họ các toán tử tuyến tính bị chặn ( T (t))t≥0 trên không gian Banach X
được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn:
T (t + s) = T (t) T (s) với mọi t, s ≥ 0
T (0) = 1
và là liên tục mạnh. Tức là ánh xạ quỹ đạo ξ x : t → ξ x (t) = T (t) x là liên tục từ R+ vào X
với mọi x ∈ X.
Các tính chất trên thỏa mãn trên R thay vì R+ ta gọi ( T (t))t∈R là nhóm liên tục
mạnh trên X.

Mệnh đề 1.1. Cho nửa nhóm( T (t))t≥0 trên không gian Banach X, các khẳng định sau là
tương đương:
(a) ( T (t))t≥0 là liên tục mạnh.
(b) lim T (t) x = x với mọi x ∈ X.
t →0

(c) Tồn tại δ > 0, M > 1 và tập con trù mật D ⊂ X sao cho: T (t) ≤ M với mọi t ∈ [0, δ]
và lim T (t) x = x với mọi x ∈ D.
t →0

6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Mệnh đề 1.2. Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 sao
cho T (t) ≤ Mewt với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2. Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , gọi
w0 ( T ) = in f {w ∈ R : ∃ Mw ≥ 1, T (t) ≤ Mw ewt ∀t ≥ 0}
là cận tăng trưởng hoặc kiểu tăng trưởng của nửa nhóm.
Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi là bị chặn nếu w = 0, nửa nhóm co nếu có
thể lấy w = 0 và M = 1, nửa nhóm đẳng cự nếu T (t) x = x với mọi t ≥ 0 và
x ∈ X.
Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X của nửa nhóm liên tục mạnh ( T (t))t≥0
trên không gian Banach X là toán tử
.
1
Ax := ξ x (0) = lim ( T (h) x − x )
h →0 h

xác định với mọi x trong miền

D ( A) := { x ∈ X : ξ x là khả vi}
Mệnh đề 1.3. Với toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X của nửa nhóm ( T (t))t≥0 ta có các tính
chất sau đây:
(a) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ) x =

+∞ −λs
e
T (s) xds
0

tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ( A) và

R(λ, A) = R(λ).
(b) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ( A) và giải thức R(λ, A) xác định trong phần (a).
(c) R(λ, A) ≤
Khi đó R(λ, A) x

M
Reλ−w ∀ λ : Reλ > w.
+∞
= 0 e−λs T (s) xds gọi

là biểu diễn tích phân của giải thức.

Định lý 1.1. (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida về toán tử sinh)
Đối với toán tử ( A, D ( A)) trên không gian Banach X các tính chất sau là tương đương:
(a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ( A) và
λR(λ, A) ≤ 1
7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(c) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈ C với Reλ > 0 ta có λ ∈ ρ( A) và
R(λ, A) ≤

1
Reλ

.

1.2

Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương
trình vi phân có chậm

( Xem tài liệu [2])
Định nghĩa 1.4. Hàm giá trị phức f (t) = u(t) + iv(t) của biến thực t được gọi là hàm gốc
nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) f (t) ≡ 0, với mọi t < 0.
2) f (t) liên tục (hoặc liên tục từng khúc), có đạo hàm liên tục đến cấp n (hoặc đạo hàm liên
tục từng khúc đến cấp n).
3) Khi t → +∞, hàm f (t) có bậc tăng bị chặn, tức là tồn tại các số M > 0 và α > 0 sao cho
với mọi t > 0 thì

| f (t)| ≤ Meαt
Tức là hàm | f (t)| tăng không nhanh hơn hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f (t) là hàm gốc. Khi đó hàm biến phức F ( p) được xác định bởi công
thức:
F ( p) =

∞
0

f (t)e− pt dt

được gọi là ảnh của f (t) qua phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi
L : f (t) → F ( p)
được gọi là phép biến đổi Laplace. Ta kí hiệu:
F ( p) = L[ f (t)]
Giả sử f (t) là hàm gốc và
F ( p) =

+∞
0

8

f (t)e− pt dt


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB
ĐHQG Hà Nội (2000)
[2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS. 20. KHTN,
(2000)
[3] C. Travis and G. Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional differential equations, Proc. Amer. Math. Soc., in press.
[4] D. D. Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach
Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38.
[5] D. D. Chau and N. B. Cuong, On the asymptotic behavior of delay differential equations and its relationship with C0 − semigroup, VNU Journ of Science,

Mathematics- Physic 23 (2007) 63-69.
[6] J. D.Murray. Mathematical Biology: I.An Introduction Third Edition, Springer, (2002).
[7] J. K. Hale and S. M. Verduyn Lunel, Introduction of Functional Differential Equations, New York, (1991).
[8] Ju. L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974).
[9] J. Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de
Gruyter. New York, (2001).
[10] K. J. Engel and R. Nagel, One- parametter Semigroup for Linear Evolution Equations,
Springer- Verlag , (2000).
43


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[11] K. J. Engel and R. Nagel, A Short Course on Operator Semigroup, Springer , (2006).
[12] Y. Kuang, Delay differential equations, Boston San Diego New York, (1992).
[13] D.Guo, V. Lakshmikantham and X. Liu, Nolinear Integral Equations in Abstract
Spaces, Springer.
[14] A.D. Mushkic, Phương trình vi phân tuyến tính có chậm, Matcova, (1972), (bản tiếng
Nga).

44