Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:
60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số công thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
8

2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới . . . . .
2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích, phương trình đẳng
cấp bậc hai, bậc ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình. . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Phương pháp 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . .
2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vế
của phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
13
20
21

3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . .
3.2 Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhân liên hợp
3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thức . . . . . . . . . . .
3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Xây dựng từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" . . . . . . . . .
3.6 Xây dựng từ hệ phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác .
3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . .

59
59
60
62
64
64
64
66

67
69
71
71

1

28
32
37
43
46
51
51
55


MỤC LỤC

3.8.2 Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . 72
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2


Mở đầu
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là một lớp các bài toán có vị trí đặc
biệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông. Nó xuất hiện nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học. Học sinh

phải đối mặt với rất nhều dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mà
phương pháp giải chúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa. Đó là các
dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giải bằng phương pháp đặt ẩn
phụ không hoàn toàn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa,....
Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là niềm say mê
của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp dạy toán. Chính vì
vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài
"Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn"
Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về
một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của
mình trong nhà trường phổ thông. Luận văn được hoản thành dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của TS. Phạm Văn Quốc.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc đến người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ
bảo và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào
tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc
Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, cùng toàn thể các học
viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luận
văn này.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
3


MỤC LỤC

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,
nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luận
văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy tác giả mong nhận
được nhiều ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn học viên
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2015.
Học viên thực hiện

Mai Thị Thu Nhàn

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số công thức cần nhớ

1. Căn bậc hai và căn bậc ba của một tích
√
ab = |a| |b| với a, b ∈ R, ab ≥ 0
√
√ √
3
ab = 3 a 3 b với a, b ∈ R.
2. Căn bậc hai và căn bậc ba của một thương

3

a
=
b
a
=
b

|a|
|b|

√
3
a
√
3
b

với a, b ∈ R, ab ≥ 0, b = 0

với a, b ∈ R, b = 0.

3. Căn của một lũy thừa
√
√ m
m
n
am = a n = ( n a) , với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ , n ≥ 2.
4. Căn nhiều lớp
n

√
m

a=

m

√
n

a=

√

nm

a với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 2.

5. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai
√
√
a2 b = |a| b, với a ∈ R, b ∈ R+ .
6. Đưa một thừa số vào trong dấu căn bậc hai
√
√
a b = a2 .b khi a, b ≥ 0; a, b ∈ R
√
√
a b = − a2 .b khi a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈ R.

7. Tích của hai căn

√
√
√
√ m+n
1
1
1
1
m+n
mn
m
a n a = a m a n = a m + n = a mn =
am+n = ( mn a)

với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 2.
8. Thương của hai căn

√
1
m
√
√ n−m
a
am
1
mn
− n1 = a n−m
m

mn =
√
=
=
a
an−m = ( mn a)
1
n
a
an
5


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 2.
9.
10.
11.
12.

√
√

A=B⇔

A=

√
3

√
3

A=

√
B⇔
√
3

B≥0
A = B2.
A≥0
A = B.

B ⇔ A = B.

A = B ⇔ A = B3.

13. Phương trình tương đương
Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập nghiệm. Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương
trình f2 (x) = g2 (x) thì ta viết
f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x).

Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D (hay có
cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là D) và tương đương với nhau,
ta nói
- Hai phương trình tương đương với nhau trên D, hoặc
- Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với nhau.

Chẳng hạn với x > 0, hai phương trình x2 = 1 và x = 1 tương đương với
nhau.
Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là các phép biến
đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Ta gọi chúng là các
phép biến đổi tương đương. Như vậy, phép biến đổi tương đương biến một
phương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực
hiện các phép biến đổi đồng nhất ở mỗi vế của một phương trình và không
thay đổi tập xác định của nó là một phép biến đổi tương đương.
14. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
Hàm số y = f (x) được gọi đồng biến (tăng) trong khoảng (a,b) nếu với
∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ).
Hàm số y = f (x) được gọi nghịch biến (giảm) trong khoảng (a,b) nếu với
∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ).
Hàm số y = f (x) đồng biến hoặc nghịch biến trên (a,b), ta nói hàm số
y = f (x) đơn điệu trên (a,b).
Định lý. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trong (a,b). Khi đó :
6


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

- Hàm số y = f (x) đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f , (x) = 0
chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b).
- Hàm số y = f (x) đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f , (x) = 0
chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b).
- Nếu f , (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên tục trên [a, b] thì y = f (x) đồng biến trên
[a, b].
- Nếu f , (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên tục trên [a, b] thì y = f (x) nghịch biến
trên [a, b].
15. Hệ phương trình đối xứng loại I

f (x, y) = 0
(I) với f (x, y) = f (y, x) và g(x, y) = g(y, x)
g(x, y) = 0

Phương pháp giải.
Biến đổi về tổng, tích và đặt

S =x+y
đưa hệ phương trình mới với ẩn
P = xy

S,P. Giải hệ phương trình mới tìm được S, P và điều kiện có nghiệm (x, y)
là S 2 ≥ 4P.
Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình X 2 − SX + P = 0 hoặc nhẩm
nghiệm với S, P đơn giản.
16. Hệ phương trình đối xứng loại II
f (x, y) = 0
f (y, x) = 0

(1)
(2)

Phương pháp giải.
Trừ (1) và (2) vế cho vế ta được hệ phương trình mới
f (x, y) − f (y, x) = 0
f (x, y) = 0

(3)
(1)

Biến đổi (3) về phương trình tích (x − y).g(x, y) = 0 ⇔
Khi đó giải hai trường hợp

f (x, y) = 0
∨
x=y

x=y
g(x, y) = 0.

f (x, y) = 0
g(x, y) = 0

Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ đã cho.
17. Một số công thức lượng giác hay dùng.
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
7


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
1 + cos 2x
cos2 x =
2
1 − cos 2x
2
.

sin x =
2

1.2

Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1.1. Giải phương trình
1+

2
3

x − x2 =

√

x+

√

1 − x.

Nhận xét. Trước hết có điều kiện 0 ≤ x ≤ 1. Để giải phương trình này thì
rõ ràng ta sẽ tìm cách làm mất căn thức. Có nhiều cách để làm mất căn
thức.
Cách 1. Đầu tiên ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương
trình đã cho luôn không âm với điều kiện xác định nên ta có thể bình
phương hai vế để thu được phương trình tương đương sau

√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x
3
2
√
√
2√
2
⇔ 1+
x − x2 =
x+ 1−x
3
√
4√
9
⇔1+
x − x2 +
x − x2 = 1 + 2 x − x2
3
√4
⇔ 27(x − x2 ) − 8 x − x2 = 0
√
√
⇔ x − x2 27 x − x2 − 8 = 0
√
x√− x2 = 0
⇔
27 x − x2 − 8 = 0


x = 0 (thỏa mãn)
 x = 1 (thỏa mãn)
√
⇔
27 ± 473
x=
(thỏa mãn)
54
√
27 ± 473
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1, x =
.
54
√
√
√
2
Cách 2. Ta thấy
x + 1 − x2 = 1 + 2 x − x2 .
√
√
√
y2 − 1
Do đó nếu đặt y = x + 1 − x2 . Suy ra, ta sẽ tính được x − x2 =
.
2
Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y là
1+

1+

y2 − 1
= y ⇔ y 2 − 3y + 2 = 0 ⇔
3

8

y=1
y = 2.


Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương
trình, NXB Giáo Dục.
[2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo
Dục.
[3] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức,
NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội
[4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB
Giáo Dục .
[5] Tạp chí toán học tuổi trẻ.
[6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình trên mạng Internet.
[7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm.

77