Lý thuyết Toán cao cấp I

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số f(x) khi x→a : Giáo trình trang 27
Hằng số b được gọi là giới hạn của hàm số y=f(x) khi x→a(tại điểm a) nếu với mỗi > 0 bé
tùy ý cho trước, đều có số > 0 để cho x mà 0 < |x-a|< thì ta có |f(x)-b| <
Kí hiệu :
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số f(x) khi x→ : Giáo trình trang 30
Hằng số b được gọi là giới hạn của hàm số y=f(x) khi x→ nếu với mỗi > 0 bé tùy ý cho
trước, đều có số > 0 để cho x mà x > thì ta có |f(x)-b| <
Kí hiệu :
Định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số f(x) khi x→a : Giáo trình trang 32
Hàm số y = f(x) được gọi là có giới hạn (+) khi x→a nếu với mỗi M > 0 lớn tùy ý cho
trước, đều có số > 0 để cho x mà 0 < |x-a|< thì ta có f(x) > M
Kí hiệu :
Định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số f(x) khi x→ : Giáo trình trang 33
Hàm số y = f(x) được gọi là có giới hạn (+) khi x→ nếu với mỗi M > 0 lớn tùy ý cho trước,
đều có số > 0 để cho x > thì ta có f(x) > M
Kí hiệu :
Định nghĩa đại lượng VCB : Giáo trình trang 36
Đại lượng
Định lý cơ bản về mối liên hệ giữa hàm số hàm số có giới hạn hữu hạn và VCB : Giáo trình
trang 38
Điều kiện cần và đủ để hàm y = f(x) có giới hạn hữu hạn b khi là nó có thế viết được
dưới dạng f(x) = b +, trong đó là 1 VCB khi
Định nghĩa hàm số liên tục tại 1 điểm : Giáo trình trang 51
Cho hàm y = f(x) xác định tại và lân cận của nó. Nếu thì hàm y = f(x) được gọi là liên tục
tại . Điểm gọi là điểm liên tục của hàm số.


Định nghĩa đạo hàm hữu hạn của hàm số tại 1 điểm: Giáo trình trang 71
Nếu hàm số có đạo hàm tại và y’() là một số hữu hạn thì ta nói hàm f(x) có đạo hàm hữu
hạn tại
Phát biểu + chứng minh định lý Rolle + ý nghĩa : Giáo trình trang 98 + 99

f ( x)
Định lí: Nếu y =

f (a ) = f (b)

[ a ; b]
là hàm liên tục trên đoạn

c ∈ (a; b)
thì tồn tại

( a; b )
, có đạo hàm trên khoảng

và

f '(c) = 0
sao cho

.

Chứng minh:

f ( x)
Vì hàm y =

f ( x)
liên tục trên [a; b] nên theo định lí Weierstrass 2,

[ a; b ]
giá trị nhỏ nhất m trên [a; b]. Nghĩa là tồn tại

f ( x)
- Khi

M = m thì

nhận giá trị lớn nhất M và

[ a ; b]
để sao cho: m = f() = M x

[a; b]
=m x

=> x (a;b) thì f’(x) = 0

f (a) = f (b)
- Khi M > m, và

thì trong 2 điểm phải có ít nhất 1 điểm nằm trong khoảng (a,b), chẳng

hạn (a, b), vậy:



Ta có :

 f(x) có đạo hàm hữu hạn tại

 f’(
 f’(f’( hay c =


Chứng minh tương tự ta dược nếu (a;b) thì f’() = 0 → đpcm

Phát biểu + chứng minh định lý Lagrange + ý nghĩa : Giáo trình trang 100 + 101

f ( x)
Định lí: Nếu

[ a; b ]
là hàm liên tục trên đoạn

f '(c) =

c ∈ (a; b)
thì tồn tại ít nhất 1 điểm

sao cho

( a; b)
, có đạo hàm hữu hạn trên khoảng

f (b) − f (a)
b−a

.

Chứng minh:

Đặt :

[a; b]
Vì f(x) là hàm liên tục trên đoạn

( a; b )
, có đạo hàm hữu hạn trên khoảng

[a; b]
 g(x) là hàm liên tục trên đoạn

( a; b)
, có đạo hàm hữu hạn trên khoảng

c ∈ (a; b)
 Theo định lý Rolle tồn tại ít nhất một điểm

sao cho g’(c) = 0

Ta có :


f '(c ) =


f (b) − f (a)
b−a

. (đpcm)

c ∈ (a; b)
Theo định lí Rolle tồn tại

F '(c ) = 0
sao cho

.

f (a) = f (b)
Định lí Rolle là một hệ quả của định lí Lagrange (trong trường hợp

)

Định lý về mối liên hệ giữa nguyên hàm với tích phân với cận trên biến đổi = Định lý NeutonLeibnitz : Giáo trình trang 174 + 175


Nếu ƒ(x) liên tục trên và F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x) trên thì: ƒ(x)dx = F(b) - F(a)

Định lý về mối liên hệ giữa tính khả vi và tính liên tục của hàm số
Hàm số y = f(x) khả vi tại thì y=f(x) là liên tục tại