phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 1

Bài tập đại số tuyến tính: Ma trận – Hệ phương trình
Dạng 1 Thực hiện các phép toán về ma trận
Tính chất thường dùng: (AB)t  Bt At ;AB  AC  A(B  C) ; AA t luôn là ma trận đối xứng.
 1 2 1 
2 4



Ví dụ 1 Cho các ma trận A   3 4 2  B  6 1
2 1 5 
1 1




7 

3  . Tính A2 ;AAt ;AB;Bt At ;BA
2 

 1 2 1   1 2 1   5 9 2 



 
Giải A  A.A   3 4 2   3 4 2   19 24 15 
 2 1 5   2 1 5  15 13 25 



 

2

 1 2 1  1 3 2   6 9 1 
 1 2 1  2 4 7   13 5 3 





 
AA   3 4 2   2 4 1    9 29 20  ; AB   3 4 2   6 1 3    32 18 5 
 2 1 5   1 2 5   1 20 30 
 2 1 5   1 1 2   15 14 1 

 


 



t

 13 5 3   13 32

 
t t
t
B A  (AB)   32 18 5    5 18
 15 14 1   3 5


 
Chú ý AB  BA
2 1 3 


Ví dụ 2 Cho các ma trận A   4 1 0  ;
 3 2 5 


t

2 1 3 


t
Giải AB   4 1 0 
 3 2 5 



15 

14  (Chú ý) ; BA 
1

 2 4 7   1 2 1  0 13 29 




 
 6 1 3   3 4 2   15 19 11 
 1 1 2   2 1 5   8 8 11 



 

1 1 4 
 1 3 4




B   2 5 1  ; C   3 2 0  Tính ABt ;BAt ;A2  AC
 2 2 6 
 3 1 6





 17 4 25   17 7 11
 1 2 3   17 4 25 

 


 


t
t t
 3 5 1    7 3 13  ; BA  (AB )   7 3 13    4 3 1 
 11 1 19   25 13 19 
 4 1 6   11 1 19 

 


 

t

2 1 3 


A  AC  A(A  C)   4 1 0 
 3 2 5 


2

 2

2
Ví dụ 3 Cho ma trận A  
 1

 5

1
1
2
1

a. Đặt C  AB . Tìm c32

1 0 1  6 1 1 

 

1 1 0    5 1 4 
1 0 1   0 2 8 

 


3
4
6
7

5
 2 7 



7
5 6


B
1 3 
8



2
1 4 

b. Đặt D  AAt . Tính d 43  d34

 7 
 
6
Giải a. Ta có c32  1 2 6 8     1.(7)  2.6  6.3  8.4  55
 3
 
 4



b. Ta có AA t

  A  A
t

t t

t

 AA t nên D là ma trận đối xứng. Vậy d 43  d34

1
 
2
d 43   5 1 7 2     5.1  1.2  7.6  2.8  65 suy ra d43  d34  2d43  2.65  130
6
 
8


Dạng 2 Định thức của ma trận và các tính chất liên quan
Chú ý các tính chất: | A t || A |;| A k || A |k ;| A 1 |

1
; | kA | k n | A | (n là cấp của ma trận A); | AB || A || B |
|A|

2 1 3


Ví dụ 1 Cho ma trận A   1 1 1  . Tính | A |,| 2A |;| 4At |;| 2A5 |;| (2A)1 |
1 2 1



Giải Khai triển theo cột 1, ta được: | A | 2.

1 1
1 3

1 3
 1.
 1.
 2.(3)  1.(5)  1.4  3
2 1
2 1
1 1

| 2A | 23 | A | 23.3  24 ; | 4At | 43 | At | 43 | A | 43.3  192 ;
| 2A5 | (2)3 | A5 | (2)3 | A |5  (2)3 .35  1944 ; | (2A)1 |

1
1
1
1
 3
 3 
| 2A | 2 | A | 2 .3 24

2 1 3 
2 1 4 




Ví dụ 2 Cho các ma trận A   3 2 1  và B   0 1 2  Tính | A |,| B|,| AB|,| A t B2 |;| ABA 1 | ; | (2AB)t |
0 0 4 
 1 0 13 






Giải Khai triển theo hàng 3, ta được | A | 1.

1 4
2 1
 13.
 7  13  6 ; Do B là ma trận chéo nên
2 1
3 2

| B | 2.1.4  8 . Vậy: | AB|| A | .| B| 6.8  48

| At B2 || At || B2 || A | .| B|2  6.82  384
| ABA 1 || A || B.A 1 || A | .| B | .| A 1 || A | .| B | .

1
| B | 8
|A|

| (2AB)t || 2AB| 23 | AB| 23 | A | .| B| 23.6.8  384
1 2

2 1
Ví dụ 3 Cho A  
 3 1

3 2
Giải Ta có

1 2 3 1 1
2 1 3 0 0
| A |

3 1 4 1 0
3 2 1 5 0

3
3
4
1

1

0
. Tính | A |;| 2A |;| 3A t |
1

5

2 3 1
5 3 2
7 13 4
4 8 2

5 3 2
 h 2  2h1 
13 4
3 2
3 2



 h 3  3h1   1. 7 13 4  5 8 2  7 8 2  4 13 4
 h  3h 
4 8 2
1 
 4

 5.58  7.(22)  4.14  192

| 2A | 24 | A | 24.(192)  3072

| 3At | 34 | At | 34.| A | 34.(192)  15552

Dạng 3 Ma trận khả nghịch và các bài toán liên quan.
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:
P 2 1 Bước 1: Tính | A | , nếu | A | 0 thì A là ma trận khả nghịch (tức là có ma trận nghịch đảo), chuyến bước 2
Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A t . Từ A t xác định ma trận phụ hợp A* của A.
A* có được từ A t bằng cách thay mỗi phần tử của A t bởi phần bù đại số tương ứng của nó.
1 *
Bước 3: Ma trận nghịch đảo A 1 
A
|A|

P2 2

Dùng phép biến đổi sơ cấp  A | I    I | A 1 


Bài toán giải phương trình ma trận: Nếu A khả nghịch thì AX  B  X  A1B

XA  B  X  BA1
 2 1 3


Ví dụ 1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A   3 0 1 
 1 1 3 



Giải | A | 2.

0 1
1 3
1 3
 3.
 ( 1)
 2.( 1)  3. 0  ( 1). 1  3 . | A | 0 nên A là ma trận khả nghịch.
1 3
1 3
0 1

 0

 1
 2 3 1 
 3


Xét ma trận chuyển vị A t   1 0 1   Ma trận phụ hợp A*   

 1
3 1 3 



 3
 0


 1 0 1 
1 * 1


  10 9 7  . Vậy A 1 
A 
|
A
|
3
 3 3 3 



 1 0 1 


 10 9 7 
 3 3 3 





1
3

2 1
3 3

1
1



1 1
3 3

2 1
1 1

1 0 

3 1 
2 3


3 1

2 3 
1 0 

1 
 1
 3 0
3 


10
7 

3
 3
3 


1 
 1 1





2 1 3


Ví dụ 2 Cho ma trận A   1 3 2  . a. Tìm m để A khả nghịch.
 3 m 5



Giải a. Ta có | A | 2.

1
3

B. Với m  1 , hãy tìm A 1

3 2
1 3
1 3
 1.
3
 2(15  2m)  (5  3m)  3.(7)  4  m
m 5
m 5
3 2

A khả nghịch | A | 0  m  4
b. Với m  1 | A | 4  1  3  0 nên A khả nghịch. Ta có
 3

 2
 2 1 3
 1


A t   1 3 1   Ma trận phụ hợp A*   
 2
 3 2 5




 1
 3


 13 2 7 
1 * 1

A 
A   1 1 1 
|A|
3
5 
 8 1
1

 13
 3

1

 3

 8

 3

2
3

1
3
1
3

1
5
3
5
3
1



1 1
3 5

2 3
3 5


2 3
1 1

1 3 

3 2 
 13 2 7 
2 1 
  1 1 1 



3 2  


8
1
5

 
2 1 
1 3 

7 
3 

1 
3 

5 

3 

2 1 3 
1 0



Ví dụ 3 Cho ma trận A   1 1 1 B   0 2
1 0 6 

0 0



a. Tìm X để AX  B
b. Tính

1

4
2 

|X|

c. Tìm Y để YAt  Bt


Giải. a. Ta có | A | 1.

1 3
2 1
 6.
 4  6  2  0 nên A khả nghịch. Vậy AX=B  X=A 1B
1 1
1 1

2 1 1


Ma trận chuyển vị A   1 1 0   Ma trận phụ hợp

 3 1 6 


t

 1 0

 1 6
 1 1
A*   
 1 6

 1 1
 1 0




1 0
3 6

2 1
3 6


2 1
1 0

1 1 


3 1 
 6 6 4 
2 1  

  7 9

5
3 1  

  1 1 1 
2 1 
1 1 

 6 6 4   1 0 1 
1 *
1


Vậy X  A B 
5  0 2 4 
A B   7 9
|A|
2


 1 1 1   0 0 2 
1




 3 6 5 
 6 12 10  

1
7
19 

  7 18 19   
9
 2
2
2
1  
 1 2
1 
 1 1
2
 2

b. Ta có | B| 1.2.(2)  4 . Suy ra | X || A 1B || A 1 || B |

c. Ta có YA t  Bt   YA t    Bt 
t

t

7

 3
2


 AY t  B  Y t  A 1B  X  Y  X t   6 9

19
 5
2


 3 1 4 


Ví dụ 4 Cho các ma trận A   2 1 1 
 8 3 2 



a. Tìm X để XA  B
Giải a. | A | 3.

| B | 4

 2
|A| 2

2 1 0 


B   2 1 3 
4 2 5 




b. Tìm Y để YA  A  2B

1 1
1 4
1 4
2
8
 3.(5)  2.10  8.5  5  0 nên A khả nghịch.
3 2
3 2
1 1

 3 2 8


Vậy XA  B  X  BA . Xét A   1 1 3   Ma trận phụ hợp
 4 1 2 


1

t

1 
2 

1 
1 


2 


 1

 1
 2
A*   
 1

 2
 1


3
2

1
3
4 2

8
2

3 8
4 2

8
3



 1 * 1
1
X  BA  B 
A 
(BA* ) 
|
A
|
|
A
|
5


1



3 8
1 3

1 1 

4 1 
 5 10 5 
3 2 
  12 26 11 



4 1  
1 
  2 1
3 2 
1 1 

 2 1 0   5 10 5 



 2 1 3   12 26 11 
 4 2 5   2 1
1 



 2

 2 6 1   5
1
8

  8 9 4   
 5
5

 6 7 3   6



 5

 2
 5
1 0 0

8


1
1
1
b. YA  A  2 B  Y  (A  2 B)A  AA  2 BA  I 2 X   0 1 0   2 . 
 5
0 0 1



 6

 5
 9
 5

16

 5

 12


 5

12
5
23
5
14
5

6
5
9
5
7
5

6
5
9
5
7
5

1 
5 

4 
5 


3 

5 

1 
5 

4 
5 

3 

5 

2 
5 

8 
5 

11 

5 

2 1 
2 1 0
Ví dụ 5 Cho các ma trận A  
 B
 . Tìm X để AX  B
 3 4 

 1 1 2 

Giải | A | 2.( 4)  3. 1  11  0 nên A khả nghịch. Vậy AX  B  X  A 1B
 4
2 3 
*
Ma trận chuyển vị A t  
  Ma trận phụ hợp A  
 1 4 
 3

 1   4 1

2   3 2 

9 3


4

1
2
1
0

9

3

2







1
1
1
X  A 1B 
A* B 
  11 11





|A|
11  3 2   1 1 2  11  4 5 4   4 5

 11 11

2 
11 

4 

11 

Dạng 4 Hạng của ma trận

r(A) : Hạng của ma trận A.
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi sơ cấp A  B (dạng hình thang). Khi đó r(A)  r(B)
Trường hợp đặc biệt A là ma trận vuông cấp n có thể tìm hạng của A dựa vào kết quả r(A)  n | A | 0
 1 2 4 


Ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận A   3 1 5 
1 7 1 




 1 2 4 
 1 2 4 

 h 3 h 2 

Giải Cách 1: Ta có biến đổi A   0 5 17    0 5 17   B . Vậy r(A)  r(B)  3
0 5 5 
 0 0 22 




h 2  3h 1
h 3  h1

Cách 2: Ta có | A | 1

1 5

2 4
2 4
3
1
 110  0 nên r(A)  3
7 1
7 1
1 5

 1 2 1 3


2 1 4 5 

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận A 
 3 2 1 0 


 1 4 11 13 
1 2 1 3 
1 2 1 3 
1 2 1 3 






0 5 2 1  5h3 8h2  0 5 2 1  h4 2 h3  0 5 2 1 
h 2  2 h1




Giải Ta có A 

B
h 3  3h1
 0 8 4 9  5h4 6 h2  0 0 36 37 
 0 0 36 37 
h 4  h1






 0 6 12 16 
 0 0 72 74 
0 0 0 0 
Vậy r(A)  r(B)  3
 2 1 3

m 2 6
Ví dụ 3 Tìm m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất A  
 3 1 3

 1 2 6

1


2
2

1

2 
2 
 1 1 3 2 
 1 1 3
 1 1 3

 h2 2 h1 



2 2 6 m  h3 2 h1  0 0 0 m  2  h 4  h3  0 0 0 m  2 
c1 c4

Giải Ta có A 



h 4  h1
 2 1 3 3 
 0 3 9
 0 3 9
1 
1 







1 
0 
 1 2 6 1 
 0 3 9
0 0 0
2 
 1 1 3


0 3 9
1 
h 2  h3


 B . Nếu m  2  r(A)  r(B)  2 . Nếu m  2  r(A)  r(B)  3 .
0 0 0 m  2


0 
0 0 0

Vậy m  2 thì hạng của A nhỏ nhất.
Dạng 5 Giải hệ phương trình tuyến tính
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1

22 2
2n n
2
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn: 
................................................

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  b m
a1n b1 
 a11 a 12 ... a 1n 
 a11 a12




a
a 22 ... a 2 n 
a
a 22
a 2 n b2 
Chú ý: Ma trận hệ số ẩn A   21
, ma trận bổ sung B   21








a mn 

a mn b m 
 a m1 a m 2
 a m1 a m 2
Sử dụng phương pháp khử ẩn Gauss: Xét ma trận bổ sung B của hệ. Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa B về
dạng hình thang. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình có ma trận hình thang thu được
Ta có kết quả sau: Nếu r(A)  r(B) : Hệ đã cho vô nghiệm

Nếu r(A)  r(B)  n (n là số ẩn): Hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Nếu r(A)  r(B)  r  n (n là số ẩn): Hệ đã cho có vô số nghiệm với n  r nghiệm tự do


2 x  y  z  4 t  4

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau 3x  2 y  12z  t  1
 x  4 y  10z  9t  9

Giải Xét ma trận bổ sung
4
4 
4
4 
 2 1 1 4 4 
 2 1 1
 2 1 1

 2 h2 3h1 
 h3  h2 

B   3 2 12 1 1  
  0 7 21 14 14    0 7 21 14 14 

2 h 3  h1
 1 4 10 9 9 
 0 7 21 14 14 
0 0
0
0
0 






 2 1 1 4 4 



  0 1 3 2 2  . r(A)  r(B)  2  4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 nghiệm tự do.
0 0 0 0 0 


1
h2  h2
7

 x  2z  t  1
2 x  y  z  4 t  4

Hệ đã cho tương đương với hệ 
  y  3z  2 t  2

y  3z  2 t  2

z, t 

Vậy nghiệm của hệ (x, y,z, t)  (2z  t  1, 3z  2t  2,z, t) (z, t  )
 x  3y  z  2
2 x  y  z  11t  9

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau 
4 x  y  3z  15t  17
3x  2 y  2z  17t  15
0
2 
1
0
2 
1 3 1
1 3

 h 2 2 h1 

2 1 1 11 9  h3  4 h1  0 7 3 11 13  7 h3 11h2


Giải Xét ma trận bổ sung B  

 4 1 3 15 17  h 4  3h1  0 11 7 15 25  7 h 4 11h2





21 
 3 2 2 17 15 
 0 11 5 17

1
0
2 
1
0
2 
0
2 
1 3
1 3
1 3 1



 h 1h 

0 7 3 11 13 
3
3
8h 4  h3
16
 0 7 3 11 13  
 0 7 3 11 13  



 0 0 16 16 32 
 0 0 16 16 32 
 0 0 1 1
2 






2
2
4 
0
0
0 
0
0 
0 0
0 0
0 0 0

r(A)  r(B)  3  4 nên hệ có vô số nghiệm với 1 nghiệm tự do
 x  5t  3
 x  3y  z  2
 y  2 t  1


Hệ đã cho tương đương với hệ 7 y  3z  11t  13  
z  t  2

z  t  2


t 

Vậy nghiệm của hệ là (x, y,z, t)  (5t  3, 2t  1, t  2, t) (t  )
3x  y  5z  7
 x  2 y  3z  7t  0

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau 
2 x  y  5t  3
4 x  5y  6z  19t  3


0 7 
 3 1 5 0 7 
 3 1 5

 3h 2  h1


1 2 3 7 0  3h3  2 h1  0 7 14 21 7 
Giải Xét ma trận bổ sung B  


 2 1 0
5
3  3h 4  4 h1  0 5 10 15 5 





 4 5 6 19 3 
 0 19 38 57 19 

 3 1 5 0 7 
 3 1 5 0 7 




0 1 2 3 1  h3  h2  0 1 2 3 1 


. r(A)  r(B)  2  4 nên hệ có vô số


 0 1 2 3 1  h3  h2  0 0 0 0 0 




 0 1 2 3 1 
0 0 0 0 0 
nghiệm với 2 nghiệm tự do.
x  z  t  2
3x  y  5z  7 
Hệ đã cho tương đương với hệ 
  y  2z  3t  1
 y  2z  3t  1

z, t 

1
h2  h2
7
1
h 3  h 3
5
1
h4  h4
19

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y,z, t)  (z  t  2, 2z  3t  1,z, t) (z, t  )
x  y  z  2t  1
2 x  3 y  z  t  2

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình sau 
 x  2 y  3z  2 t  1
 x  3y  2 z  3t  0

1
 1 1 1 2 1 
 1 1 1 2

 h 2 2 h1 

2 3 1 1 2  h3  h1
0 5 1 5 0  5h3 3h2





Giải Xét ma trận bổ sung B 

 1 2 3 2 1  h 4  h1  0 3 4 4 2  5h4 2 h2




1 3 2 3 0 
 0 2 3 1 1 
1 
1 
 1 1 1 2
 1 1 1 2




0 5 1 5 0 
h 4  h3
 0 5 1 5 0  
r(A)  3  r(B)  4 nên hệ đã cho vô nghiệm

 0 0 17 5 10 
 0 0 17 5 10 





5 
 0 0 17 5 5 
0 0 0 0

x  y  z  t  5
2 x  3y  z  t  0

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình sau 
 x  y  3z  2 t  8
3x  2 y  z  t  6
1 1

2 3
Giải Xét ma trận bổ sung B  
 1 1

3 2

1 1
1 1
3 2
1 1

5
5 
1 1 1 1
 h2 2 h1 

0  h3  h1
5h3  2 h 2

 0 5 1 3 10  


8  h3 3h1  0 2 4
3 13  5h4  h2



6
 0 1 2 4 9 

1
5 
1
5 
1 1 1
1 1 1




2 h 4  h3
 0 5 1 3 10  
 0 5 1 3 10  r(A)  r(B)  4 nên hệ có nghiệm duy nhất
 0 0 18
 0 0 18 9
9
45 
45 





 0 0 9 17 35 
 0 0 0 25 25 


x  y  z  t  5
x  1
  5y  z  3t  10
y  1


Hệ đã cho tương đương với hệ 

18z  9t  45

z  2

 25t  25 

t  1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y,z, t)  (1,1, 2,1)
Dạng 6 Biện luận hệ phương trình tuyến tính
Kiến thức sử dụng: Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn: Có nghiệm duy nhất khi r(A)  r(B)  n
Có vô số nghiệm khi r(A)  r(B)  n
Vô nghiệm khi r(A)  r(B)
Có nghiệm khi r(A)  r(B)
Đặc biệt nếu hệ đã cho có số phương trình bằng số ẩn thì hệ có nghiệm duy nhất | A | 0

 4 x  3y  z  t  1

Ví dụ 1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 x  y  3z  t  2
 x  2 y  2z  mt  0

Giải Xét ma trận bổ sung
1
1
1
1
 4 3 1 1 1 
 4 3 1
 4 3 1

 2 h2  h1 
 h3  h 2 

B   2 1 3 1 2  
3
3    0 5 7
3
3
4 h 3  h1
 0 5 7
 1 2 2 m 0 
 0 5 7 4m  1 1
 0 0 0 4m  4 2 







Hệ có nghiệm thì r(A)  r(B)  4m  4  0  m  1
 x  3y  z  t  1

Ví dụ 2 Tìm m để hệ sau vô nghiệm  x  2y  2z  3t  2
 x  8y  t  m


Giải Xét ma trận bổ sung
1 
1 
 1 3 1 1 1
1 3 1 1
1 3 1 1

 h 2  h1 
 h3 h2 

B   1 2 2 3 2  
  0 5 1 2
3    0 5 1 2
3 
h 3  h1
 1 8 0 1 m 
 0 5 1 2 m  1
0 0 0 0 m  4







Hệ vô nghiệm thì r(A)  r(B)  m  4  0  m  4
2 x  y  z  t  4

Ví dụ 3 Tìm m để hệ sau có nghiệm 3x  2 y  z  2t   1
 x  4 y  3z  4t  m

Giải Xét ma trận bổ sung
4 
4 
 2 1 1 1 4 
 2 1 1 1
 2 1 1 1

 2 h2 3h1 
 h3  h2 

B   3 2 1 2 1  
  0 7 5 7
14    0 7 5 7
14 
2 h 3  h1
 1 4 3 4 m 
 0 7 5 7 2 m  4 
 0 0 0 0 2 m  18 








Hệ có nghiệm thì r(A)  r(B)  2m  18  0  m  9