phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2

Bài tập đại số tuyến tính: Không gian véc tơ
Dạng 1 Chứng minh tập hợp S là một không gian véc tơ con của không gian V.
S  

Phương pháp S là không gian véc tơ con của V  u, v  S  u  v  S
k  R, u  S  ku  S


Ví dụ 1 Cho tập hợp S  (x, y,z)  R 3 | x  0 . Chứng minh S là không gian véc tơ con của R 3
Giải   (0,0,0) S  S   (1)
Giả sử u, v S  u  (0, y,z);v  (0, y1 ,z1 ) . Khi đó u  v  (0, y  y1 ,z  z1 ) S (2)
Với k  R  ku  k(0, y,z) (0,ky,kz) S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của R 3
Ví dụ 2 Chứng minh tập S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  2x 2  0 là không gian véc tơ con của R 3
Giải   (0,0,0)  S (vì 0  2.0  0 ) nên S   (1)
Giả sử u  (x1 , x 2 , x3 );v  (y1 , y2 , y3 ) S  x1  2x 2  0 và y1  2y2  0 . u  v  (x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ) có
(x1  y1 )  2(x 2  y2 )  (x1  2x 2 )  (y1  2y2 )  0  0  0

nên u  v  S (2).
Với k  R thì ku  (kx1 ,kx 2 ,kx 3 ) có (kx1 )  2(kx 2 )  k(x1  2x 2 )  0 nên ku  S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của R 3
Ví dụ 3 Chứng minh tập S  p(x)  ax 2  bx  c  P2 | a  b  2c  0 là không gian véc tơ con của P2
Giải   0x 2  0x  0 S (vì 0  0  2.0  0 ) nên S   (1)
Giả sử p(x)  ax 2  bx  c;q(x)  mx 2  nx  p S  a  b  2c  0;m  n  2p  0

p(x)  q(x)  (a  m)x 2  (b  n)x  (c  p) có (a  m)  (b  n)  2(c  p)  (a  b  2c)  (m  n  2p)  0
Nên p(x)  q(x)  S (2).
Với k  R  kp(x)  (ka)x 2 (kb)x (kc) có (ka)  (kb)  2(kc)  k(a  b  2c)  0 nên kp(x)  S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của P2
 a b 




Ví dụ 4 Chứng minh tập S  
  M 2 | a  b  c  d  là không gian véc tơ con của M 2


 c d 


 0 0
Giải   
  S (vì 0  0  0  0 ) nên S   (1)
 0 0


a  b  c  d
a b
 x y
Giả sử A  
 ;B  
 S  
c d
z t 
x  y  z  t
a  x b  y
AB
 có (a  x)  (b  y)  (a  b)  (x  y)  (c  d)  (z  t)  (c  z)  (d  t)
cz dt 

nên A  B  S (2)

 ka kb 
Với k  R  kA  
 có (ka)  (kb)  k(a  b)  k(c  d)  (kc)  (kd) nên kA  S (3)
 kc kd 

Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của M 2
Ví dụ 5 Chứng minh tập S  (x1 , x 2 , x 3 , x 4 )  R 4 | x1  x 2  x 4  0, x1  2x 2  x 3  0 là không gian véc tơ
con của R 4
Giải   (0,0,0,0)  S (vì 0  0  0  0,0  2.0  0  0 ) nên S   (1)

 x1  x 2  x 4  0
Giả sử u  (x1 , x 2 , x 3 , x 4 );v  (y1 , y2 , y3 , y4 ) S  
và
 x1  2x 2  x 3  0

 y1  y 2  y 4  0

 y1  2y 2  y3  0

u  v  (x1  y1 , x 2  y2 , x 3  y3 , x 4  y4 ) có

(x1  y1 )  (x 2  y2 )  (x 4  y4 )  (x1  x 2  x 4 )  (y1  y2  y4 )  0  0  0 và
(x1  y1 )  2(x 2  y2 )  (x3  y3 )  (x1  2x 2  x 3 )  (y1  2y2  y3 )  0  0  0 nên u  v  S (2)

Với k  R  ku  (kx 1,kx 2,kx 3,kx 4) có (kx1 )  (kx 2 )  (kx 4 )  k(x1  x 2  x 4 )  k.0  0
và (kx1 )  2(kx 2 )  (kx3 )  k(x1  2x 2  x3 )  k.0  0 nên ku  S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của R 4
Ví dụ 6 Tập hợp S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  x 22  có là không gian véc tơ con của R 3 ?
Giải Không. Vì u  (1,1,2);v  (4, 2,0) S ( 1  12 ,4  (2)2 ) nhưng u  v  (5, 1,2) S
Ví dụ 7 Tìm m để S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  x 2  x 3  m là không gian véc tơ con của R 3 .

Giải Điều kiện cần: S là không gian véc tơ nên   (0,0,0)  S ,suy ra 0  0  0  m  m  0
Điều kiện đủ: Với m  0 ta sẽ chứng minh S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  x 2  x 3  0 là một không gian véc tơ
con của R 3 . Việc chứng minh này tiến hành tương tự như các ví dụ trên.
Dạng 2 Tìm cơ sở, số chiều của một không gian véc tơ con S .
Phương pháp Giả sử v là véc tơ bất kì của S
Tìm hệ sinh U của S .


Chứng minh U độc lập tuyến tính. Suy ra U là cơ sở của S
Số chiều của S bằng số véc tơ có trong U
Ví dụ 1 Cho S  (x, y)  R 2 | x  y  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S
Giải Giả sử v  S  v  (x, x) (x  R) . Ta có v  x(1,1) nên U  u  (1,1) là hệ sinh của S .

u  (1,1)    U độc lập tuyến tính, và vì vậy U là cơ sở của S . dimS  1
Ví dụ 2 Cho S  (x, y,z)  R 3 | x  y  2z  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S
Giải Giả sử v  S  v  (y  2z, y,z) (y,z  R) . Ta có v  (y, y,0)  (2z,0,z)  y(1,1,0)  z(2,0,1)
nên U  u1  (1,1,0),u 2  (2,0,1) là hệ sinh của S .
Xét   k1u1  k 2 u 2  (0,0,0)  (k1 ,k1 ,0)  (2k 2 ,0,k 2 )  (0,0,0)  (k1  2k 2 ,k1 ,k 2 )  k1  k 2  0
Vậy U độc lập tuyến tính. Do đó U là cơ sở cho S . dimS  2
Ví dụ 3 Cho S  ax 2  bx  c  P2 | a  b  3c  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S
Giải Giả sử p  S  p  (b  3c)x 2  bx  c (b,c  R) .
Ta có p  (bx 2  bx)  (3cx 2  c)  b(x 2  x)  c(3x 2  1) nên U  p1  x 2  x,p2  3x 2  1 là hệ sinh của S .
Xét   k1p1  k 2 p2    k1 (x 2  x)  k 2 (3x 2  1)  0x 2  0x  0  (k1  3k 2 )x 2  k1x  k 2  k1  k 2  0 . Vậy

U độc lập tuyến tính. Do đó U là cơ sở cho S . dimS  2


 a b 

Ví dụ 4 Cho S  

  M 2 | a  b  c  2d  0  . Tìm cơ sở và số chiều của S
c
d





 b  c  2d b 
 b b   c 0   2d 0 
Giải Giả sử A  S  A  
 (b,c,d  R) . Ta có A  



c
d

 0 0  c 0  0 d 



 1 1  1 0 
 2 0
1 1
1 0 
 2 0 

 b
, A2  

, A3  
 là hệ sinh của S .
  c
  d
 nên U  A1  




 0 0  1 0 
0 1
 0 0
1 0 
 0 1 



 k1  k 2  2k 3
 0 0
1 1
1 0 
 2 0
Xét   k1A1  k 2 A2  k 3 A3  
  k1 
  k2 
  k3 
 
k2
 0 0
 0 0

1 0 
 0 1

 k1  k 2  k3  0 . Vậy U độc lập tuyến tính. Do đó U là cơ sở cho S. dimS  3 .

Ví dụ 5 Cho S  (x, y,z, t)  R 4 | x  2y  t  0,2x  y  z  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S .

k1 

k3 


2
1

x  5 z  5 t

 t0
 x  2y  t  0
 x  2y
1
2


 y  z  t
Giải Xét điều kiện 
5
5
2x  y  z  0  5y  z  2t  0 
z, t  R



2
1 1
2
Giả sử v  S  v  ( z  t, z  t, z, t) (z, t  R) . Ta có
5
5 5
5
2 1
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2


v  ( z, z,z,0)  ( t, t,0, t)  z( , ,1,0)  t(  , ,0,1) nên U  u1  ( , ,1,0), u 2  ( , ,0,1)  là hệ
5 5
5 5
5 5
5 5
5 5
5 5


sinh của S .
2 1
1 2
2

1
1
2
Xét   k1u1  k 2 u 2    k1 ( , ,1,0)  k 2 ( , ,0,1)  (0,0,0,0)  ( k1  k 2 , k1  k 2 , k1 , k 2 )
5 5
5 5
5
5
5
5
 k1  k 2  0 . Vậy U độc lập tuyến tính nên là cơ sở của S . dimS  2

Ví dụ 6 Cho S  (x, y,z)  R 3 | 2x  y  z  0, x  y  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S
2x  y  z  0
x  y
Giải Xét điều kiện 
. Giả sử v  S  v  (y, y,3y) (y  R) . Ta có

x  y  0
z  3y

v  y(1,1,3) nên U  u1  (1,1,3) là hệ sinh của S . Do u1   nên S độc lập tuyến tính và là cơ sở của U .

dimS  1 .
Dạng 3 Tìm hạng của một hệ véc tơ U ; Xác định số chiều và cơ sở cho không gian véc tơ sinh L(U)
Phương pháp Xác định ma trận A tương ứng với hệ U trong cơ sở chính tắc.
Tìm hạng của A

dimL(U)  r(U)  r(A)
Từ dạng hình thang của ma trận A ta sẽ xác định được cơ sở cho L(U) (đó là một tập hợp con của U )

Ví dụ 1 Cho hệ véc tơ U  u1  (1,2,2, 1);u 2  (2,3,1,4);u 3  (1,3,5,1),u 4  (1, 1, 7,1)
b) Tìm cơ sở và số chiều của L(U)

a) Tìm hạng của hệ U
Giải
a) Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc
1

2
A
2

 1

2
3
1
4

1 1
1 2
 h 2  2h1 
3 1  h3  2h1  0 1

5 7  h 4  h1  0 3


1 1
0 6

1 1
1 2


1 3  h3 3h 2  0 1

3 9  h 4  6h 2  0 0


2 2
0 0

1 1 
1 2


1 3  h3  h 4  0 1

0 0
0 0 


8 16 
0 0

Vậy r(U)  r(A) 3
b) dimL(U)  r(U)  3 . Cơ sở cho L(U) là hệ S  u1 ,u 2 ,u 3  (theo biến đổi trên r(S)  3 )

1 1 


1 3 
8 16 

0 0 


Ví dụ 2 Cho hệ véc tơ U  p1  x 2  x  2,p2  2x 2  3x  1,p3  x 2  x  7,p 4  3x 2  x  1
Tìm số chiều và cơ sở cho không gian véc tơ sinh bới hệ U
Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc
3
3
1 2 1 3
1 2 1
1 2 1






h 2  h1
h 3 5h 2
A   1 3 1 1 
h 3  2h1
 0 1 2 4    0 1 2 4 
 2 1 7 1
 0 5 5 5 
 0 0 5 25 








Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 . Cơ sở cho L(U) là hệ S  p1 ,p2 ,p3  (theo biến đổi trên r(S)  3 )


1 2 
 1 3 
 1 1
 4 6  

Ví dụ 3 Cho hệ véc tơ U  A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  


1 3 
2 4 
0 2 
 3 9 



Tìm cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi U
Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc
1 1 1 4
1 1 1 4 

1 1

 h 2  2h1 


2 3 1 6  h3  h1
h3  h 2
 0 1 1 2  
 0 1

A

h4 h2
h 4  3h1
1 2 0 3
 0 1 1 1 
0 0





 3 4 2 9
 0 1 1 3 
0 0
1 1

0 1
h 4  h3
 

0 0

0 0

1
1
0
0

1 4

1 2
0 1

0 1

4

2
. Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 . Cơ sở cho L(U) là hệ S  A1 ,A2 ,A4 
1

0

Ví dụ 4 Cho hệ véc tơ U  u1  (1,3,2,m),u 2  (2,2,1,3),u 3  (3,1,1,0) . Tìm m để dimL(U) nhỏ nhất.
Giải Gọi A là ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc. Do dimL(U)  r(A) nên cần tìm m để r(A) nhỏ
nhất. Xét
1

3

A
2

m

2
2
1
3

3
m 
m 
 1 3 2 m
1 3 2
1 3 2

1  A A t 
 h 2  2h1 
 h3  h 2 

  2 2 1 3  
0 8 5 2m  3    0 8 5 2m  3 
h 3  3h1

1
 3 1 1 0
 0 8 5 3m 
 0 0 0 m  3 








0

Vậy r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m  3 hay m  3 là giá trị cần tìm
Dạng 4 Chứng minh hệ véc tơ U  u1 , u 2 ,..., u m  là hệ độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.
Phương pháp Cách 1: Chứng minh bằng định nghĩa. Xét   k1u1  k 2 u 2  ...  k m u m , dẫn đến hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất m ẩn k1,k 2 ,...,k m . Hệ này có ma trận hệ số ẩn A .
Nếu r(A)  m thì hệ U độc lập tuyến tính
Nếu r(A)  m thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.( m là số véc tơ của hệ U)


Cách 2: Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc.
Nếu r(A)  m thì hệ U độc lập tuyến tính
Nếu r(A)  m thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1 Chứng minh hệ véc tơ U  u1  (1,2,3, 1),u 2  (2,1,1,3),u 3  (1,5,1, 6) độc lập tuyến tính.
Giải Xét ma trận của U trong cơ sở chính tắc của R 4 :
1

2
A
3

 1

2 1


1 5  A A t

1 1

3 6 

 1 2 3 1 
 1 2 3 1 
 1 2 3 1

 h 2 2h1 
 h3  h 2 

h 3  h1
 2 1 1 3  
 0 3 5 5    0 3 5 5 
 1 5 1 6 
 0 3 2 5 
 0 0 7 0 







Vậy r(U)  r(A) 3 nên hệ U độc lập tuyến tính
Ví dụ 2 Hệ U  u1  (1,3,2);u 2  (1,0,1);u 3  (2,3,3) độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải Cách 1. Giả sử   k1u1  k 2 u 2  k3u3    k1 (1,3,2)  k 2 (1,0,1)  k 3 (2,3,3)

k1  k 2  2k 3  0

(*) Hệ phương trình có ma trận hệ
 (0,0,0)  (k1  k 2  2k 3 ,3k1  3k 3 ,2k1  k 2  3k 3 )  3k1  3k 3  0
2k  k  3k  0
2
3
 1

 1 1 2
1 1 2 
1 1 2 

 h 2 3h1 
 3h3  h 2 

số ẩn: A   3 0 3  
h 3  2h1
 0 3 3    0 3 3  r(A)  2  3 nên hệ (*) có vô số nghiệm,
 2 1 3
 0 1 1 
0 0 0 






suy ra hệ véc tơ U là hệ phụ thuộc tuyến tính.

Cách 2. Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc:
 1 1 2
1 1 2 
1 1 2 

 h 2 3h1 
 3h3  h 2 

A   3 0 3  
h 3  2h1
 0 3 3    0 3 3  Vậy r(U)  r(A)  2 3 nên U phụ thuộc tuyến
 2 1 3
 0 1 1 
0 0 0 






tính.

Ví dụ 3 Hệ U  p1  x 2  x  1,p2  2x 2  2x  3,p3  x 2  4x  2 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải Cách 1. Giả sử   k1p1  k 2 p2  k3p3    k1 (x 2  x  1)  k 2 (2x 2  2x  3)  k 3 (x 2  4x  2)
k1  2k 2  k 3  0

 0.x  0.x  0  (k1  2k 2  k3 )x  (k1  2k 2  4k 3 )x  (k1  3k 2  2k 3 )  k1  2k 2  4k 3  0 (*)
k  3k  2k  0
2
3

 1
2

2

 1 2 1 
 1 2 1 
 1 2 1 

 h 2  h1 
 4h3 5h 2 

  0 4 3  
  0 4 3  r(A)  3 nên hệ (*)
Hệ này có ma trận hệ số ẩn A   1 2 4  
h 3  h1
 1 3 2 
 0 5 3 
 0 0 27 






có nghiệm duy nhất k1  k 2  k3  0 , tức hệ U độc lập tuyến tính.


Cách 2. Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc
 1 2 1 

 1 2 1 
 1 2 1 

 h 2  h1 
 4h3 5h 2 

A   1 2 4  
  0 4 3  
  0 4 3  Vậy r(U)  r(A) 3 nên U độc lập tuyến tính.
h 3  h1
 1 3 2 
 0 5 3 
 0 0 27 







1 3 
 1 2 
 1 1
 1 1 


Ví dụ 4 Cho hệ véc tơ U  A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  

  . Tìm m để U độc lập

1 1 
1 0
m 0 
 3 2 



tuyến tính.
Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc
 1 1 1

3 2 1
A
1 1 m

1 0 0

1
1
1
1 
 1 1 1
 1 1 1
 1 1 1
 h 2 3h1 






1  h3  h1  0 1
2
2  h3  2h 2  0 1
2
2  c3 c4  0 1 2
2 




 0 2 2 m  1
3  h 4  h1  0 2 m  1 2  h 4  h 2  0 2 m  1 2 







2
1
1
1
1
1 
0 1
0 1
0 1 1

1 
1 
 1 1 1
 1 1 1




2  2h4 h3  0 1 2
2 
h 3  2h 2
 0 1 2


h4 h2
 0 0 6 m  3
 0 0 6 m  3




1 
0 0 3
0 0 0 1 m 

Hệ U độc lập tuyến tính thì r(U)  r(A)  4  m  1
Ví dụ 5 Chứng minh hệ U  u1  (1, 1,2,1),u 2  (0,1,1,3),u 3  (2, 1,5,5),u 4  (1,2,3,m) luôn phụ thuộc tuyến
tính với mọi m
Giải Xét ma trận tương ứng với hệ U trong cơ sở chính tắc

1

1
A
2

1

0 2 1
1
 h 2  h1 
1 1 2  h3  2h1  0

1 5 3  h 4  h1  0


3 5 m
0

0
1
1
3

2
1 
1


1

3  h3 h 2  0

1
1  h 4 3h 2  0


3 m  1
0

0
1
0
0

2
1 
1


1
3  2h 4  (m 10)h 3  0

0
0
2 


0 m  10 
0

0
1
0
0

2 1

1 3
0 2 

0 0

Vậy r(U)  r(A) 3  4 m nên U luôn phụ thuộc tuyến tính với mọi m.
Ví dụ 6 Chứng minh rằng hệ U  u1  (1,3,1);u 2  (m,m  1,2),u 3  (3,m  1,2m  3);u 4  (1,1, m) luôn phụ
thuộc tuyến tính với mọi m.
Giải. Hệ U thuộc không gian R 3 có dimR 3  3 nên phụ thuộc tuyến tính
(Ta có định lí: Trong không gian n chiều, mọi hệ gồm n  1 véc tơ trở lên đều phụ thuộc tuyến tính)
Dạng 5 Kiểm tra hệ U  u1 ,u 2 ,...,u m  có là cơ sở của không gian véc tơ V?
Phương pháp Nếu dimV  m thì U không là cơ sở của V.


Nếu dimV  m , tìm r(U) . Nếu r(U)  m thì U sẽ là cơ sở của V (do U lúc này là hệ độc lập tuyến tính)
Ví dụ 1 Hệ U  u1  (1,2,3, 1),u 2  (1,0,2,1),u 3  (1,4,4,1),u 4  (1,1,1, 1) có là cơ sở của R 4 ?
Giải dimR 4  4 nên U sẽ là cơ sở nếu nó độc lập tuyến tính hay r(U)  4
Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc của R 4
1

2
A
3


 1

1
0
2
1

1 1
1 1 1 1 
1 1
 h 2  2h1 


4 1  h3 3h1  0 2 2 1  2h3  h 2  0 2


4 1  h 4  h1  0 1 1 2  h 4  h 2  0 0




1 1
0 2 2 0 
0 0

1 1
1 1



2 1  h3  h 4  0 2

0 0
0 3 


4 1 
0 0

1 1

2 1 
4 1 

0 3 

r(U)  r(A)  4 nên U là cơ sở của R 4
Ví dụ 2 Chứng minh hệ S  p1  x 2  x  1,p2  2x 2  3x  1,p3  3x 2  2x  1 là một cơ sở của P2 ?
Giải dimP2  3 nên để chứng minh S là cơ sở ta chỉ cần chỉ ra r(S)  3
Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc của P2
 1 2 3
1 2 3 
1 2 3 

 h 2  h1 
 h3  h 2 

A   1 3 2  
  0 1 1   0 1 1 r(S)  r(A)  3 nên S là cơ sở của P2
h 3  h1

 1 1 1 
0 1 2 
0 0 3 







 2 1
 1 2
 3 3
1 0  


Ví dụ 3 Tìm m để hệ U  A1  
 , A1  
 , A1  
 , A1  
  là một cơ sở của M 2

 1 3 
 m 4
0 7
1 1  



Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc của M 2

2 1

1 2
A
 1 m

3 4

3
3
0
7

1
2


0  c2  c4  1

 1
1


1
3

1 
2 1 3



3 .
6h 4  h 3
 0 1 3

 0 0 12 2m  10 


 0 0 0 2  2m 

1
0
1
1

3 1
2 1
 2h 2  h1 
3 2  2h3  h1  0 1


0 m  2h 4 3h1  0 3


7 4
 0 1

3
1 
1 
2 1 3




3
3  h3 3h 2  0 1 3
3 

3 2m  1 h 4  h 2  0 0 12 2m  10 



5
5 
2 
0 0 2

U là cơ sở của M 2 thì r(U)  r(A)  dimM2  4  m  1

Ví dụ 4 Cho U  u1 ,u 2 ,u 3  là một cơ sở của không gian V. Chứng minh rằng 3 véc tơ v1  2u1  3u 2  u 3
v1  2u1  3u 2  u 3 , v2  u1  u 2  2u 3 , v3  u1  u 2  3u 3 cũng lập thành cơ sở của không gian V.

Giải Xét ma trận tương ứng của S  v1 , v2 , v3 trong cơ sở U:


2 1 1
2 1 1 
2 1 1 

 2h 2 3h1 
 h3  h 2 


A   3 1 1  
  0 5 1    0 5 1  . r(S)  r(A)  3  dimV nên S là một cơ sở
2h 3  h1
 1 2 3 
 0 5 5 
 0 0 6 






của không gian V.

Ví dụ 5 Hệ U  u1  (1,2,3),u 2  (1,1,0),u 3  (2,1,3),u 4  ( 1,1,1) có là cơ sở của R 3 hay không?
Giải Số véc tơ của hệ U là 4  dimR 3  3 nên U không thể là cơ sở của R 3
Dạng 6 Xác định tọa độ của véc tơ trong một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở
Trong không gian véc tơ V cho cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  . Nếu v  V thỏa mãn v  k1u1  k 2 u 2  ...  k n u n thì

Tọa độ của v trong cơ sở U là : (k1 ,k 2 ,...,k n ) ; Tọa độ cột của v trong cơ sở U: v U

 k1 
 
k
 2
 
 
 kn 

Xét thêm một cơ sở U1  s1 ,s2 ,...,sn  của không gian V. Ma trận A chuyển từ cơ sở U sang U1 được thành lập
từ các tọa độ cột: s1U ,s2U ,...,snU . Cụ thể siU sẽ là cột thứ i của ma trận A. Khi đó Ax U1   x U
Chú ý: Nếu A chuyển cơ sở U sang U1 thì A 1 chuyển cơ sở U1 sang U, và do đó A1x U  x U1 
Ví dụ 1 Trong R 3 xét 2 cơ sở U  u1  (2,3,1),u 2  (1,2, 1),u 3  (3,5,1) và
U1  s1  (2,1,3),s2  (1,1,2),s3  (1,1,1)

a) Cho x  (3,3,4) . Tìm x  U

b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang U1

Giải a.Giả sử x  k1u1  k 2 u 2  k3u3  (3,3,4)  (2k1  k 2  3k 3 ,3k1  2k 2  5k 3 ,k1  k 2  k 3 )
2k1  k 2  3k 3  3
 k1  5
 5


 
 3k1  2k 2  5k 3  3  k 2  1 Vậy x  U   1 
k  k  k  4
k  2
 2 
 
2
3
 3
 1

b. Để xác định ma trận A chuyển U sang U1 ta sẽ phải xác định s1U ,s 2 U  ,s 3 U  .
Giả sử s1  k1u1  k 2 u 2  k3u3  (2,1,3)  (2k1  k 2  3k 3 ,3k1  2k 2  5k 3 ,k1  k 2  k 3 )
2k1  k 2  3k 3  2

 k1  7
7
1
2


 
 
 
 3k1  2k 2  5k 3  1  k 2  0 Vậy s1 U   0  Tương tự s 2U   1 ;s3U   0 
k  k  k  3

 4 
0
 1
 
 
 
2
3
k 3  4
 1

7 1 2


Vậy A   0 1 0 
 4 0 1 



Ví dụ 2 Trong P2 xét 2 cơ sở U  p1  3x 2  2x  2,p2  x 2  x  3,p3  x 2  và

U1  s1  x 2  3x  2,s2  x 2  x  1,s3  x 2  x  8


Tìm ma trận chuyển từ U sang U1
Giải Để xác định ma trận A chuyển U sang U1 ta sẽ phải xác định s1U ,s2 U ,s3 U
Giả sử s1  k1p1  k 2 p2  k3p3  s1  k1 (3x 2  2x  2)  k 2 (x 2  x  3)  k 3x 2

 x 2  3x  2  (3k1  k 2  k3 )x 2  (2k1  k 2 )x  (2k1  3k 2 )
11

 11 
 11 
 1 
 8 
 8 
 k1  8
 2 
3k1  k 2  k 3  1





 
1
1 
7 





Vậy s1U 
. Tương tự s 2U   0  ; s3U 
 2k1  k 2
 3  k 2 
 4 
 4 
4
2k  3k  2

 5 




1
2

27

 
 27 
 11 
k

 2 
 8 

 8 
 3
8






 11
 8

1
Vậy A  
 4

 27
 8


1
2
0
5
2

11 
8 

7 

4 

11 
8 

Ví dụ 3 Trong không gian V cho cơ sở U  u1 ,u 2 ,u 3  . Xét hệ
S  s1  2u1  u 2  2u3 ,s2  u1  u 2  u 3 ,s3  u1  2u 2  2u 3 

a) Chứng minh S cũng là cơ sở của V
 2
 
b) Biết x  U   1  . Tìm xS  ?
 3
 
2 1 1


Giải a. Tương tự dạng 5. Xét ma trận tương ứng của hệ S trong cơ sở U: A   1 1 2  .Ta kiểm tra được
 2 1 2


r(A)  3 nên r(S)  3 hay S độc lập tuyến tính và là cơ sở của V.

b. Ma trận A chính là ma trận chuyển từ cơ sở U sang S nên ta có AxS  xU  xS  A1xU
 2 1 2
 0 1 1 
 0 1 1 
1 * 






*
1
A   2 2 3 
Xét A   1 1 1   A   2 2 3   A 
|A|
1 2 2
 1 0 1 
 1 0 1 






t

Vậy x S

 0 1 1  2   2 

   
 A x U   2 2 3 1    3 
 1 0 1  3   1 

   
1