phuơng pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 3

Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính
Dạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tính
u, v  V : f (u  v)  f (u)  f (v)
Phương pháp f : V  V1 là ánh xạ tuyến tính  
k  R,u  V : f (ku)  kf (u)

Ví dụ 1 Cho f :

3



2

, f (x, y, z)  (x  y, z  x) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Giải Xét u  (x, y,z), v  (x1 , y1 ,z1 ) 

3

;k  . Ta có u  v  (x  x1 , y  y1 ,z  z1 )

 f (u  v)   (x  x1 )  (y  y1 ),(z  z1 )  (x  x1 )    (x  y)  (x1  y1 ),(z  x)  (z1  x1 ) 
 (x  y,z  x)  (x1  y1 ,z1  x1 )  f (u)  f (v) (1)

ku  (kx,ky,kz)  f (ku)  (kx  ky,kz  kx)  k(x  y,z  x)  kf (u) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 2 Cho f : P2 

2

,f (ax 2  bx  c)  (a  c,b) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

Giải Xét p  ax 2  bx  c,q  a1x 2  b1x  c1  P2 ,k 

. Ta có p  q  (a  a1 )x 2  (b  b1 )x  (c  c1 ) Suy ra

f (p  q)  f ((a  a1 )x 2  (b  b1 )x  (c  c1 ))  ((a  a1 )  (c  c1 ),b  b1 )  ((a  c)  (a1  c1 ),b  b1 )
 (a  c,b)  (a1  c1 ,b1 )  f (p)  f (q) (1)

kp  kax 2  kbx  kc suy ra f (kp)  f (kax 2  kbx  kc)  (ka  kc,kb)  k(a  c,b)  kf (p) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 3 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  b  c,d, 0) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
 c d

 a1 b1 
a b
Giải Xét A  
  M 2 ,k 
 ;B  
c d
 c1 d1 

 a  a1
. Ta có A  B  

 c  c1

b  b1 
 . Suy ra
d  d1 

  a  a1 b  b1  
f (A  B)  f  
   ((a  a1 )  (b  b1 )  (c  c1 ),(d  d1 ), 0)  (a  b  c,d, 0)  (a 1  b1  c1 ,d1 , 0)
  c  c1 d  d1  

 f (A)  f (B) (1).
  ka kb  
 ka kb 
kA  
  f (kA)  f  
   (ka  kb  kc, kd, 0)  k(a  b  c,d, 0)  kf (A) (2)
 kc kd 
  kc kd  

Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V  V1
Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u  Kerf  f (u)   . Từ đó dẫn đến mô tả cho Kerf


Tìm Imf : Xét một cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của không gian nguồn V. Khi đó Imf  L  f (u1 ),f (u 2 ),...,f (u n ) 
Ví dụ 1 Cho f :

3



2

,f (x, y,z)  (x  z, y  z) . Tìm Imf và Kerf.

x  z
Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y, z)  Kerf  f (u)    (x  z, y  z)  (0, 0)  
 u  (z, z,z), z 
 y  z

Vậy Kerf  u  (z, z,z) | z 



Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0, 0);u 2  (0,1, 0);u 3  (0, 0,1) của

3

. Ta có f (u1 )  f (1, 0, 0)  (1, 0)  v1;

f (u 2 )  f (0,1, 0)  (0,1)  v2 ;f (u 3 )  f (0, 0,1)  ( 1,1)  v3 . Vậy Imf  L v 1,v 2,v 3 

Nhận xét: Do Imf là không gian con của
Ví dụ 2 Cho f :

2



3

2

và dễ thấy dimImf  2 nên Imf 

2

, f (x, y)  (x  y, y, x) . Tìm Kerf và Imf.

Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y)  Kerf  f (u)    (x  y, y, x)  (0, 0, 0)  x  y  0  u  (0, 0)
Vậy Kerf  u  ( 0, 0) 
Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0),u 2  (0,1) của

2

. Ta có f (u1 )  f (1, 0)  (1, 0,1)  v1;f (u 2 )  f (0,1)  (1,1, 0)  v 2

Vậy Imf  L(v 1,v 2)
Ví dụ 3 Cho f : P2 

3

, f (ax 2  bx  c)  (a  b,b  c,c  a) . Tìm Kerf và Imf.

a  b  0
 a  c

Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b, b  c,c  a)  (0, 0, 0)  b  c  0  
b  c

c  a  0

2

 p  cx 2  cx  c . Vậy Kerf  p  cx 2  cx  c | c 



Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1;p2  x;p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (0, 1,1)  v1;f (p2 )  f (x)  (1,1, 0)  v 2 ;

f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0,1)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3)
Ví dụ 4 Cho f : P2 

2

, f (ax 2  bx  c)  (a  b  c,c) . Tìm Kerf và Imf

a   b
a  b  c  0 
 b 
Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b  c,c)  (0, 0)  
c  0
c  0

2

 p  bx 2  bx . Vậy Kerf  p  bx 2  bx | b 



Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1,p2  x,p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (1,1)  v1 ,f (p2 )  f (x)  (1, 0)  v2 ,

f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2)


Ví dụ 5 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  b, b  c,c  d) . Tìm Kerf , Imf
 c d

a   d
a  b  0 
a b
 d d 

 b  d
Giải Tìm Kerf: Xét A  
A
  Kerf  (a  b, b  c,c  d)  (0, 0, 0)  b  c  0  

c d
 d d 
c  d  0
c  d



d 


 d d 

Vậy Kerf  A  
| d

 d d 









1 0
0 1
0 0
 0 0 


Tìm Imf: Xét cơ sở A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  
  của M 2 . Ta có


0 0
0 0
1 0
 0 1 


f (A1 )  (1, 0, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (0, 1,1)  v3 ,f (A 4 )  (0, 0,1)  v 4 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3,v 4)

Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  V1 trong cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của V và U1  s1 ,s2 ,...,s m 
của V1
Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f (u1 )  v1 ,f (u 2 )  v2 ,...,f (u n )  vn
Khi đó ma trận A có cột thứ i là viU 
1

Ví dụ 1 Cho f :

3



2

,f (x, y,z)  (x  z, x  y) . Tìm ma trận của f trong cơ sở

U  u1  (1, 2,1),u 2  (0,1, 1),u 3  (0,1, 0) của

3

và U1  s1  (1, 2);s2  (1, 3) của

2

Giải Ta có f (u1 )  f (1, 2,1)  (2, 1)  v1 ,f (u 2 )  f (0,1, 1)  (1, 1)  v 2 ,f (u 2 )  f (0, 1, 0)  (0, 1)  v3 . Xét

k  k 2  2
k  5
v1  k1s1  k 2s2  (2, 1)  k1 (1, 2)  k 2 (1, 3)  (2, 1)  (k1  k 2 , 2k1  3k 2 )   1
 1
2k1  3k 2  1 k 2  3
 5
 3 
 1
 5 3 1
Vậy v1U     . Tương tự v1U     , v1U     .Ma trận cần tìm là A  

1
1
1
 3
 4 
 1
 3 4 1

Ví dụ 2 Cho f : P2 

3

,f (ax 2  bx  c)  (a  b  c,a  b,c) . Tìm ma trận của f trong cơ sở

U  p1  x 2  x  1,p2  x 2  2x,p3  2x  1 của P2 và U1  s1  (2,1, 0),s2  (1,1,1),s3  (1, 0, 0) của

Giải Ta có f (p1 )  f (x 2  x  1)  (1, 2, 1)  v1 ,f (p2 )  f (x 2  2x)  (3, 3, 0)  v 2 ;f (p3 )  f (2x  1)  (3, 2,1)  v3
Xét v1  k1s1  k 2s2  k 3s3  (1, 2, 1)  k1 (2,1, 0)  k 2 (1,1,1)  k 3 (1, 0, 0)  (1, 2, 1)  (2k1  k 2  k 3 ,k1  k 2 ,k 2 )
2 k 1  k 2  k 3  1  k 1  3
 3
3
1


 
 
 
  k1  k 2  2
 k 2  1 . Vậy v1 U1    1  . Tương tự v2 U1    0  ; v3 U1    1 
k  1
k  4
 4 
 3 
0
 
 
 
 2
 3

3


 3 3 1



Ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở đã cho là A   1 0 1 
 4 3 0 



Ví dụ 3 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  c, b  d,d) Tìm ma trận của f trong cơ sở
 c d



 1 1
 0 1
0 0 
 0 0 

U  A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  
  của M 2 và

0 0 
 1 0 

 1 1
 0 1 


U1  s1  (1, 2, 3),s2  (0,1, 2),s3  (1,1, 6) của

3

Giải Ta có f (A1 )  (1, 1, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (1, 1, 1)  v 3 ,f (A 4 )  (0, 1, 1)  v 4
Xét v1  k1s1  k 2s2  k3s3  (1, 1, 0)  (k1  k 3 , 2k1  k 2  k 3 , 3k1  2k 2  6k 3 )
 k1  k 3  1
k1  10
 10 
 10 
 11 
 3 








 
 2k1  k 2  k 3  1  k 2  12  v1 U1    12  Tương tự v2 U1    12  , v3 U1    3  , v 4 U1    4 
3k  2k  6k  0
k  9
 9 
 9 

 10 
3






 
2
3
 1
 3

 10 10 11 3 


Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở trên là A   12 12
3 4 
 9
9 10 3 


Dạng 4 Tìm giá trị riêng của ma trận
Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình | A  I | 0
 2 2 10 


Ví dụ 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A   8 2 20 
 1 2 9 




Giải Xét phương trình
2  
2
10
2   20
2 10
2
10
| A  I | 0  8
2   20  0  (2  )
 8.
 1.
0
2
9
2 9  
2   20
1
2
9

 (2  )(2  7  22)  8(2  2)  (20  10)  0  3  5 2  2  8  0  (  2)( 2  3  4)  0
 (  2)(  1)(  4)  0  1  2, 2  1, 3  4 . Vậy A có 3 giá trị riêng là 2, 1, 4

Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau
 1 2 6 



A   2 1 4 
2 1 6



 10 8 2 


B   11 9 2 
 3 4 5 



Đáp số: A: 1, 2, 3;B: 3, 1, 4;C: 1, 1, 2;D: 2, 2, 1

 1 2 2 


C 4 5 4 
 1 1 0 



2 0 0


D 1 3 4 
 4 1 2 


