Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị (DF) không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MẠNH HÀ

TÍNH CHÍNH QUY
CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MẠNH HÀ

TÍNH CHÍNH QUY
CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô phòng Sau
đại học, cùng các Thầy, Cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải
tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Trong quá trình tiến hành nghiên cứu không tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót, tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp đã nhận
được của các Thầy giáo, Cô giáo và các bạn học viên để luận văn được
hoàn thành.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Mạnh Hà


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài
“Tính chính quy của không gian mầm
các hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian”
được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với
bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Mạnh Hà


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Đối ngẫu của không gian Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Đối ngẫu và tô pô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Pô la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3. Đa thức trên không gian lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.4. Ánh xạ chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.5. Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . .

27

1.3.6. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.4. Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet . .

31

1.4.1. Bất biến tô pô tuyến tính (DN ) trên không gian . . . . . . .

31

1.4.2. Bất biến tô pô tuyến tính Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 2. Tính chính quy của không gian mầm . . . . . . . .

38

2.1. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị . . . . . . . . . . . .

45

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt
ra đối với lý thuyết các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phương
trên một tập con X nào đó của một không gian lồi địa phương. Điều đó
dẫn tới khái niệm mầm hàm chỉnh hình trên tập X. Ý nghĩa quan trọng
của khái niệm này là sự địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho

việc xét một phần tử cố định nào đó người ta xét lớp tất cả các phần tử
tương đương đối với phần tử này.
Một trong các vấn đề được quan tâm nhiều trên lớp không gian mầm các
hàm chỉnh hình là việc đặc trưng các tập bị chặn của nó. Nhớ lại rằng,
không gian mầm H(K, F ) được xây dựng từ không gian H(U, F ) các
hàm chỉnh hình trên lân cận mở U của K trong một không gian lồi địa
phương E, với giá trị trong một không gian lồi địa phương F , bằng giới
hạn quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương. Như vậy,
không gian mầm H(K, F ) được gọi là chính quy nếu giới hạn quy nạp
trên là chính quy. Nghĩa là, mỗi tập con bị chặn của H(K, F ) là được
bao hàm và bị chặn trong một không gian H(U, F ) nào đó. Tính chính
quy của không gian mầm H(K) = H(K, C) đã được nhiều tác giả quan
tâm. Mở đầu cho hướng nghiên cứu này là Chae [4, 5] và Hirschowitz
[11]. Trong đó, các tác giả xét bài toán cho trường hợp K là một tập
con compact của một không gian Banach. Các kết quả này được tổng
quát hóa và làm sâu sắc hơn bởi Mujica [14] chuyển sang lớp không gian
lồi địa phương khả metric. Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chính quy


2

của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị vô hướng vẫn đang
còn là vấn đề mang tính thời sự. Theo hướng nghiên cứu này và được sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, tôi đã chọn đề tài
Tính chính quy của không gian mầm
các hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian.
2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu không gian mầm các hàm chỉnh
hình với giá trị trong một không gian là đối ngẫu mạnh của một không
gian Frechet thương siêu phản xạ và nghiên cứu không gian mầm các
hàm chỉnh hình với giá trị trong (DF) - không gian hạch.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ
thống, làm rõ lý thuyết về không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá
trị trong một không gian là đối ngẫu mạnh của không gian Frechet siêu
phản xạ và giá trị trong (DF) - không gian hạch.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Tính chính quy của không
gian mầm hàm chỉnh hình H(K, F ) với K là tập compact trong một
không gian Frechet - Schwartz và F là một (DF) - không gian hạch.
5. Giả thuyết khoa học. Trình bày một cách có hệ thống một số kết
quả về tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với miền
giá trị (DF) - không gian.
6. Phương pháp nghiên cứu. Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên
khảo. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian vectơ và A là một tập
con của E
(i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx+(1 − λ) y ∈ A,
trong đó 0 ≤ λ ≤ 1.
(ii) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n

n

λi xi với λi ≥ 0,
i=1

λi = 1, xi ∈ A
i=1

là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A.
(iii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A khi
|λ| ≤ 1.
(iv) Tập A được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó đồng thời lồi và cân.
(v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu
hạn

n
i=1

λi xi với λi ≥ 0,

nhỏ nhất chứa A).

n

λi ≤ 1 và với mọi xi ∈ A (là tập tuyệt đối lồi

i=1

(vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X, tồn tại λ > 0 sao cho
x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ.
Định nghĩa 1.1.2. Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm những
lân cận cân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồi địa
phương (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa

4

phương.
Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K
(K = R hoặc K = C). Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và
không âm (hữu hạn) được gọi là nửa chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E và
λ ∈ K ta có
(i) p (x) ≥ 0
(ii) p (λx) = |λ| .p (x)
(iii) p (x + y) ≤ p (x) + p (y)
Mệnh đề 1.1.1. [16] Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt
đối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ của tập A.
Mệnh đề 1.1.2. Trong một không gian lồi địa phương E, một nửa
chuẩn p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc.
Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước
thì tồn tại một lân cận V sao cho p (x) < ε khi x ∈ V . Do đó, với a là
một điểm tuỳ ý của E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε khi x ∈ a+V.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn
nếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p.
Mệnh đề 1.1.3. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và
chỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô
pô của một không gian khả metric luôn có thể xác định được bởi một
metric, bất biến đối với các phép tịnh tiến.
Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một
cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc.
Ngược lại, giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được. Khi đó, bởi vì mỗi
lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (un )


5

những lân cận tuyệt đối lồi. Gọi pn là hàm cỡ của un . Đặt
∞

2−n inf {pn (x) , 1}

f (x) =
n=1

Thế thì
f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) .
Hơn nữa, bời vì E là tách nên nếu f (x) = 0 thì pn (x) = 0, với mọi n và
x = 0. Đặt d (x, y) = f (x − y) thì d là một metric và
d (x + z, y + z) = d (x, y) .
Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric,
các tập hợp
Vn = x : f (x) < 2−n
lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng Vn là mở đối với tô pô xuất phát
bởi mỗi pn và cả f là liên tục. Hơn nữa Vn ⊂ Un bởi vì nếu x ∈
/ Un thì
pn (x) ≥ 1 , vậy f (x) ≥ 2−n. Thành thử d xác định tô pô xuất phát của
E.
Định nghĩa 1.1.5. Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ (x) (trong không
gian thực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ (αx) = |α| ϕ (x) với mọi
x ∈ X và mọi số α ∈ K.
Mệnh đề 1.1.4. Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là
hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một sơ chuẩn khi và chỉ khi nó
là một hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường
thẳng nào.
Chứng minh. Nếu B là một tập lồi, cân, hút thì hàm cỡ pB của nó

6

nghiệm đúng đẳng thức
pB (−x) = pB (x) .
Do đó
pB (αx) = −αpB (−x) ; với mọi α < 0.
Điều đó chứng tỏ rằng pB (αx) = |α| pB (x) với mọi α và pB là một sơ
chuẩn.
Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p (x) < 1} lồi vì với
x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có
p (αx + (1 − α) y) ≤ αp (x) + (1 − α) p (y) < 1.
Hơn nữa B cân đối vì p (x) < 1 kéo theo p (−x) = p (x) < 1 và B cũng
là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p (x/λ) = p (x) /λ < 1. Dễ thấy
p (x) = inf {λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p (x) = pB (x). Sau cùng, nếu p là
một chuẩn thì với mọi x = 0, p (x) > 0 cho nên p (αx) = αp (x) ≥ 1 (với
α đủ lớn), tức là αx = B, chứng tỏ B không chứa trọn đường thẳng nào
qua 0 và x.
Mệnh đề 1.1.5. Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ
chuẩn Γ tuỳ ý. Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số,
trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương
và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng
x : sup pi (x) < ε (ε > 0, pi ∈ Γ) .
1≤i≤n

Nó là một tô pô Hausdorff khi và chỉ khi
(x = 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0.

7

Chứng minh. Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p (x) < 1},
với p ∈ Γ. Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tương
hợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là
theo mệnh đề 1.1.4. mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục. Tô pô ấy lồi địa
phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng
n

Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 ) .

ε
i=1

Nhưng rõ ràng
n

Vi = {εx : pi (x) < 1, i = 1, 2, 3, ..., n}

ε
i=1

= {εx : pi (x) < ε, i = 1, 2, 3, ..., n}
=

x : sup pi (x) < ε .
1≤i≤n

Nghĩa là tập ε

n

Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 ) chính là các tập

i=1

x : sup pi (x) < ε (ε > 0, pi ∈ Γ) .
1≤i≤n

Mặt khác, X là không gian Hausdorrff khi và chỉ khi giao của tất cả các
tập

x : sup pi (x) < ε (ε > 0, pi ∈ Γ) là {0}, mà điều này lại tương
1≤i≤n

đương với: bất kỳ x = 0, tồn tại một tập x : sup pi (x) < ε (ε > 0, pi ∈ Γ)
1≤i≤n

không chứa x, tức là tồn tại một số ε > 0 và một p ∈ Γ sao cho p (x) > ε.
Mệnh đề được chứng minh.

1.2. Không gian Frechet
Định nghĩa 1.2.1
a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một


8

họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thoả mãn điều kiện tách
(x = 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0, gọi là không gian đếm được chuẩn.

b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là không gian Frechet.
Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều là
không gian Frechet.
c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hút trong một không gian lồi địa phương
gọi là một thùng. Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng
đều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọi không gian
Frechet là không gian thùng.
Định nghĩa 1.2.2. Cho I là tập chỉ số định hướng tuỳ ý. Với mỗi
α ∈ I, và υα : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ
E vào không gian lồi địa phương Eα . Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu
nhất trên E sao cho tất cảc các ánh xạ υα là liên tục.
Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính
η : G → E của một không gian véc tơ G vào E là liên tục khi và chỉ khi
υα ◦ η là liên tục với mọi α ∈ I.
Định nghĩa 1.2.3. Cho I là tập chỉ số định hướng. Với mỗi α ∈ I, cho
Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồn
tại một ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho
(i). uαα là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I.
(ii). uαβ ◦ uβγ = uαγ , với mọi α ≤ β ≤ γ.
Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {Eα , uαβ } được gọi
là một hệ xạ ảnh. Không gian con
Eα : uαβ (xβ ) = xα với mọi α ≤ β}

E = {{xα } ∈
α∈I


9

của

Eα với tô pô cảm sinh được gọi là giới hạn xạ ảnh của {Eα , uαβ }
α∈I

và ta viết là
E = lim proj Eα .
α

Mệnh đề 1.2.1. Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh của
một họ không gian định chuẩn.
Chứng minh. Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là
một họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X. Ta biết trong một
không gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập
bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1 (0) là một không gian con
của X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1 (0).
Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử x˜ ∈ Xp (˜
x
là lớp các x′ ∈ X với p (x′ − x) = 0) và theo mệnh đề 1.1.5 ta thấy X
chính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với up .
Mệnh đề 1.2.2. [6] Giới hạn xạ ảnh của họ các không gian lồi địa
phương đầy là đầy.
Mệnh đề 1.2.3. [6] Nếu E là không gian lồi địa phương Hausdorff và
đầy thì
E = lim proj E/ ker α
α

ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E.
Mệnh đề 1.2.4. [6] Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi
địa phương Eα đối với các ánh xạ υα . Một tập M trong E bị chặn khi
và chỉ khi υα (M) cũng bị chặn.

Định nghĩa 1.2.4. Cho I là một tập chỉ số định hướng tuỳ ý. Với mỗi
α ∈ I, cho υα : Eα → E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa


10

phương Eα vào không gian véc tơ E = ∪ υα (Eα ). Tô pô quy nạp trên E
α

là tô pô mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ υα là liên tục.
Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính
η : E → C là liên tục khi và chỉ khi η ◦ υα là liên tục với mọi α ∈ I.
Định nghĩa 1.2.5. Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ các
không gian lồi địa phương {Eα } được định hướng bởi quan hệ bao hàm
và mỗi ánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục. Khi đó, E được trang bị
bởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạn
quy nạp của các không gian con Eα và được ký hiệu bởi
E = lim ind Eα .
α

Ví dụ 1.2.1. Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là
không gian thương. Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là một
không gian tuyến tính con của X0 và X = X0/M. Gọi υ là ánh xạ chính
tắc từ X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tương
đương x˜ chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa
phương mạnh nhất để η liên tục.
Định nghĩa 1.2.6. Cho E = lim ind Eα là giới hạn quy nạp của các
α

không gian con Eα . Khi đó ta nói rằng

(i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Fβ mỗi
khi Eα ⊂ Eβ .
(ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ.
(iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là
bị chứa và bị chặn trong Eα .
(iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E


11

bị chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ra
mọi lưới {xα } ⊂ B là E - Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα - Cauchy.
Mệnh đề 1.2.5. [6] Cho E = lim ind En là giới hạn quy nạp chặt của
n

một dãy các không gian con En thì
(i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E.
(ii) Nếu En trong En+1 với mọi n thì E = lim ind En là giới hạn quy
n

nạp chính quy Cauchy.
(iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy thì E là hausdorff và đầy.

1.3. Đối ngẫu của không gian Frechet
1.3.1. Đối ngẫu và tô pô yếu
Định nghĩa 1.3.1.1. Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; · ) hoặc viết
(E, F ) trong đó
(i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng.
(ii) · : E × F → K là dạng song tuyến tính thoả mãn
DE ) nếu x, u = 0 với mọi u ∈ F thì x = 0.

DF ) nếu x, u = 0 với mọi x ∈ E thì u = 0.
Ta có · : E × F → K là song tuyến tính nếu
a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x → x, u là dạng tuyến tính trên E.
b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u → x, u là dạng tuyến tính trên F .
Các ví dụ 1.3.1.1
1. Nếu E, F là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) → x, u xác định cặp đối
ngẫu F, E .
2. Giả sử E là không gian véc tơ và E ∗ là đối ngẫu đại số của nó. Khi


12

đó dạng (x, u) → u (x) , x ∈ E, u ∈ E ∗ xác định cặp đối ngẫu E, E ∗ .
3. Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối ngẫu tô pô E ′ .
Khi đó dạng (x, u) → u (x) , x ∈ E, u ∈ E ′ cho ta cặp đối ngẫu E, E ′ .
Định nghĩa 1.3.1.2. Giả sử E, F là cặp đối ngẫu. Với mọi u ∈ F
xác định nửa chuẩn pu trên E
pu (x) = | x, u | , x ∈ E.
Tô pô lồi địa phương trên E sinh bởi các nửa chuẩn {pu , u ∈ F } ký hiệu
là σ (E, F ) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu E, F .
Mệnh đề 1.3.1.1.

Nếu E, F là cặp đối ngẫu thì σ (E, F ) là tô pô

lồi địa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn
(E, σ (E, F ))′ = F.
Chứng minh. Do DE , σ (E, F ) là Hausdorff. Vì pu liên tục với mọi
u ∈ F , suy ra F ⊂ (E, σ (E, F ))′ . Mặt khác giả sử f ∈ (E, σ (E, F ))′ ,
khi đó tồn tại u1 , u2, ..., un và ε > 0 sao cho
|f (x)| ≤ 1 với mọi x ∈ W (u1, u2, ..., un, ε) .

Đặc biệt
f (x) = 0; với mọi x ∈ E.
Do đó u1 (x) = u2 (x) = ... = un (x) = 0. Vậy f là tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, ..., un, tức là f ∈ F . Từ đó suy ra σ (E, F ) là tô pô lồi địa phương
yếu nhất trên E để
(E, σ (E, F ))′ ∈ F.
Định nghĩa 1.3.1.3. Giả sử E, F là cặp đối ngẫu. Tô pô lồi địa
phương ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu E, F . Nếu (E, ξ)′ = F .


13

Mệnh đề 1.3.1.2. Nếu E, F là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của
E, thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu E, F .
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng tỏ
cℓξ A = cℓσ(E,F ) A,
với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu. Trong đó cℓξ A ký hiệu bao đóng
của A đối với ξ. Trước hết do σ (E, F ) ≤ ξ nên cℓξ A ⊆ cℓσ(E,F ) A.
Giả sử a ∈
/ cℓξ A, chọn lân cận lồi mở U của 0 ∈ E đối với tô pô ξ
sao cho (a + U ) ∩ A = ∅. Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ)′ = F sao cho
f (a + U ) ∩ f (A) = ∅. Do đó f (U ) là mở, nên f (a) ∈
/ f (A). Suy ra tồn
tại δ > 0 để
|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ, ∀x ∈ A.
Vậy nếu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân cận của a đối với
σ (E, F ) không giao với A.
1.3.2. Pô la
Định nghĩa 1.3.2.1. Giả sử (E, E ′) là một cặp đối ngẫu, A ⊂ E. Khi
đó tập hợp

{x′ ∈ E ′ : sup { x, x′ ≤ 1 : x ∈ A}}
được gọi là một pôla (trong E ′ ) của A và ký hiệu bởi A0.
Mệnh đề 1.3.2.1. Giả sử (E, E ′) là một cặp đối ngẫu . Pôla trong E ′
của các tập con của E có các tính chất sau đây
(i) A0 là lồi, cân và σ (E, E ′) - đóng.
(ii) Nếu A ⊂ B thì B 0 ⊂ A0.


14

(iii) Nếu λ = 0 thì (λA)0 = |λ|−1 A0.
0

(iv)

Aα

=

α∈I

α∈I

Chứng minh

A0α .

(i) Ta có A là lồi cân trong F . Mặt khác từ hệ thức
A0 =

{u ∈ F : | x, u | ≤ 1}
x∈A

và từ tính σ (E, F ) - đóng của {u ∈ F : | x, u | ≤ 1} đối với mọi x ∈ E,
ta suy ra A0 là σ (E, F ) - đóng.
(ii) Ta có
{u ∈ F : | x, u | ≤ 1}, B 0 =

A0 =

{u ∈ F : | x, u | ≤ 1}.
x∈B

x∈A

Bởi vì A ⊂ B nên B 0 ⊂ A0 .
(iii) Bởi vì u ∈ (tA)0 nên u ∈ (|t| A)0 và | |t| x, u | ≤ 1∀x ∈ A. Do đó, ta
có
| |t| x, u | ≤ 1∀x ∈ A.
Điều đó chứng tỏ
u∈

1 0
A.
|t|

(iv) Hiển nhiên ta có
0

Aα

α∈I

A0α .

=
α∈I

Định lý 1.3.2.1. Giả sử E, F là cặp đối ngẫu và M ⊂ E là tập lồi
cân. Khi đó, ta có
M 00 = MF0

0
E


15

với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu và M 00 = MF0

0
.
E

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh
M 00 = cℓσ(E,F ) M.
Thật vậy do M ⊂ M 0 và M 00 là σ (E, F ) - đóng ta có cℓσ(E,F ) M ⊂ M 00 .
Mặt khác nếu a ∈
/ cℓσ(E,F ) M nên tồn tại dạng song tuyến tính
f ∈ (E, σ (E, F ))′ = F
sao cho

| a, f | ≤ 1∀x ∈ M hay f ∈ M 00
và
| a, f | > 1.
Do đó
a∈
/ M 00 ⇒ M 00 ⊂ cℓσ(E,F ) M.
Vậy
M 00 = cℓσ(E,F ) M.
Mệnh đề 1.3.2.2. Giả sử ξ là tô pô của cặp đối ngẫu (E, F ) trên E.
Khi đó
(i) U 0 = UE0 # với mọi lân cận U của 0 ∈ E đối với ξ.
(ii) F = U U 0 : U ∈ u ở đây u là cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ E.
Chứng minh
(i) Do F ⊂ E # , ta có U 0 ⊂ UE0 # . Mặt khác với mọi f ∈ UE0 # ta có
| x, f | ≤ PU (x) ∀x ∈ E,


16

ở đây PU là nửa chuẩn kết hợp với U . Do PU là liên tục với ξ, suy ra
UE # ⊂ U 0. Vậy UE # = UE0 # .
(ii) Từ (i) và hệ thức (E, ξ)′ = F ta có F = U U0 : U ∈ u .
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.3.2.3. Giả sử E là không gian véc tơ. Khi đó E # là đầy
đối với σ E # , E - tô pô.
Chứng minh. Thật vậy cho {uα }α∈I là dãy suy rộng Cauchy trong
E # , σ E # , E . Khi đó { x, uα } là dãy suy rộng Cauchy trong K. Vì
K là đầy, dãy suy rộng này hội tụ tới x, u ∈ K. Hiển nhiên dạng
x → x, u xác định u ∈ E # và {uα } hội tụ tới u đối với σ E # , E - tô
pô.

Mệnh đề 1.3.2.4. Nếu E là không gian lồi địa phương tách và U là
một cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì đối ngẫu (tô pô) E ′ của E là tập hợp
E ′ = ∪ U 0 , U ⊂ u . Trong đó U 0 được lấy trong đối ngẫu đại số E ∗.
Chứng minh. Với mọi x′ ∈ E ′ thì x′ là một dạng tuyến tính liên
tục trên E. Nên có thể tìm được U ∈ u x′ ∈ U 0 , U ∈ u và do đó
x′ ∈ ∪ U 0 , U ∈ u . Ngược lại giả sử x′ ∈ E ∗ và x′ ∈ U 0 với U ∈ u nào
đó, thế thì x′ liên tục trên E, Vậy x′ ∈ E.
1.3.3. Đa thức trên không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho E và F là hai không gian véc tơ trên trường
số phức. Một ánh xạ L : E n → F được gọi là n tuyến tính trên E nếu
nó tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại. Ta ký
hiệu La (n E; F ) là tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính từ E vào F .


17

Định nghĩa 1.3.3.2. Một ánh xạ n tuyến tính L : E n → F được gọi
là đối xứng nếu
L (x1, x2, ..., xn) = L xσ(1) , xσ(2) , ..., xσ(n) ,
với mọi x1, x2, ..., xn ∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên
đầu tiên. Ta ký hiệu Lsa (n E; F ) là không gian véc tơ của tất cả các ánh
xạ n tuyến tính đối xứng từ E vào F .
Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyến
tính bởi toàn ánh chính tắc s : La (n E; F ) → Lsa (n E; F ) được xác định
bởi công thức
s (L) (x1, x2, ..., xn) =

1
n!

σ∈Sn

L xσ(1) , xσ(2) , ..., xσ(n) ,

ở đó Sn ký hiệu là tập tất cả các phép hoán vị của n số tự nhiên đầu
tiên.
Định nghĩa 1.3.3.3. Cho E và F là hai không gian véc tơ tô pô lồi
địa phương trên C. Một ánh xạ P : E → F được gọi là một đa thức n
thuần nhất nếu tồn tại một ánh xạ n tuyến tính L : E → E n sao cho
P = L ◦ ∆, trong đó ∆ (x) = xn ; x ∈ E. Ký hiệu Pa (n E; F ) là không
gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất từ E vào F .
Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần
nhất từ E vào F . Ta ký hiệu Pa (E; F ) là không gian véc tơ tất cả các
đa thức từ E vào F .
Ví dụ 1.3.3.1. Giả sử L : Cn × Cn → C là một ánh xạ 2 tuyến tính
trên Cn . Khi đó tồn tại một ma trận A = (aij )1≤i≤n,1≤j≤n sao cho
L (z, w) =

aij zi wj ,
1≤i≤n
1≤j≤n


18

với mọi z = (z1 , z2, ...zn) ∈ Cn và w = (w1, w2, ...wn) ∈ Cn . Do đó, một
đa thức 2 thuần nhất P : Cn → Cn trên Cn có dạng
P (z) = L (z, z) =

aij zi zj

1≤i≤n
1≤j≤n

Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức
n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính. Tuy nhiên nếu chỉ hạn chế
trên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được một
tương ứng duy nhất. Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất và
toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán
La (n E; F )

✲

Lsa (n E; F )

❍
❍❍
❍❍
❍❍
❥
❍

↓∧

Pa (n E; F )
Như một hệ quả của bổ đề phân rã dưới đây, chúng ta chứng minh được
ánh xạ ∧ là một đơn ánh. Do đó, chúng ta nhận được một song ánh
chính tắc giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không
gian các đa thức n thuần nhất trên E.
Định lý 1.3.3.1. (công thức phân rã) Cho E và F là hai không gian
địa phương trên C. Khi đó, nếu L ∈ Lsa (E n ; F ) và x1, x2, ..., xn ∈ E, thì

1
ˆ
L (x1, x2, ..., xn) = n
ε1 ...εnL
2 n! ε =±1
i

n

εj x j

.

j=1

Chứng minh. Bởi tính tuyến tính và tính đối xứng, ta có
ˆ
L

n
j=1

n

n

εj x j

εj x j

εj xj , ...,

=L
j=1

j=1


19

=
0≤mi ≤n
mi =n

mn
m2
m1
m2
n!
mn
1
εm
1 .ε2 ...εn m1 !...mn ! L(x1 ) (x2 ) ...(xn ) .

Do đó
1
2n n!

=

ˆ
ε1 ...εnL
εi =±1

1
2n

0≤mi ≤n
mi =n

n

εj x j

=

j=1
mn
m1
n!
mn
1
εm
1 ...εn m1 !...mn ! L(x1 ) ...(xn )

Nếu m1 = m2 = ... = mn = 1 thì
εj =±1
i≤j≤n







 εj =±1

1 +1
n +1
εm
...εm
n
1

i≤j≤n
m1 +1
n +1
ε1 ...εm
n







.

= 2n và các hệ số

của L (x1 , x2, ..., xn) trong khai triển trên bằng 1.

Nếu mi > 1 với i nào đó thì mj = 0 với j nào đó. Khi đó chúng ta nhận
được
1 +1
n +1
...εm
=
εm
n
1

εj =±1
1≤i≤n

m

εj =±1

+1 m

+1

j+1
j−1
1 +1
n +1
...εm
= 0.
εj+1
εm
...εj−1

n
1

εj
εj =±1
1≤i≤n,i=j

Do đó, tất cả các số hạng khác triệt tiêu và công thức phân rã được
chứng minh.
Hệ quả 1.3.3.1. Ánh xạ ∧ : Lsa (n E; F ) → Pa (n E; F ) là một song ánh
tuyến tính.
Chứng minh. Bởi công thức phân rã L ∈ Lsa (n E; F ) đồng nhất bằng
ˆ đồng nhất bằng 0. Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính có
0 nếu và chỉ nếu L
hạt nhân bằng 0 và là đơn ánh. Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính.
Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm f : A → F
và β là một nửa chuẩn trên F ta đặt
f

β,A

= sup β (f (x))
x∈A

và ta nhận được kết quả.
Định lý 1.3.3.2.

Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên

20

C và A là một tập lồi cân trong E và β là một nửa chuẩn trên F . Khi
đó ta có
ˆ
L

β,A

≤ L

β,An

≤

nn ˆ
L
n!

β,A

,

với mọi L ∈ Lsa (n E, F ).
Chứng minh.

ˆ (A) ⊂
Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì L

L (An ). Theo công thức phân rã, chúng ta có

L

β,An

1 1
= n.
2 n!

n

ˆ
L

sup β

.

εi x i

εi =±1 xi ∈A
1≤i≤n

i=1

Bởi vì A là lồi cân nên nếu xi ∈ A; với mỗi i = 1, 2, ..., n và εi = ±1 thì
1 n
εi xi ∈ A. Do đó
n i=1
n

β

ˆ
L

εi x i

1
n

ˆ
L

n

=n β

i=1

ˆ
≤ nn L

β,A

n

εi x i
i=1

.

Từ đó, chúng ta nhận được
L

β,An

1 1
≤ n.
2 n!

n

n

ˆ
L

εi =±1
1≤i≤n

β,A

nn
=
L
n!

β,An .

Định lý được chứng minh.

Bổ đề 1.3.3.1.

ˆ ∈ Pa (n E; F ) thì với mọi
L ∈ Lsa (n E; F ) và P = L

x, y ∈ E và λ ∈ C ta có
n

P (x + λy) =
r=0




n
r





 L(x)n−r (y)r  λr

n−1

P (x + y) = P (x) + P (y) +
r=0




n
r



 L(x)n−r (y)r .