Bất phương trình diophante tuyến tính

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆

❚❘❺◆ ❚❘×❮◆● ❙■◆❍

❇❻❚ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍
❉■❖P❍❆◆❚❊ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿

P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P

▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✶✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙ß ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
●❙✳❚❙❑❍ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ▼❾❯

❍⑨ ◆❐■ ✲ ✷✵✶✺


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✷

✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✹

✶✳✶

×î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷

▲✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✸✳✶

❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ r✐➯♥❣ ❞ü❛ ✈➔♦ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✸✳✷

❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ r✐➯♥❣ ❞ü❛ ✈➔♦ t❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

◆❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✹

✷ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤

✷✻

✷✳✶

❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✷

❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✧❜à ❝❤➦♥✧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸

◆❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳

✸✹

✷✳✸✳✶

▼ët sè ✈➼ ❞ö ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✷✳✸✳✷

❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ ❞↕♥❣ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✸ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✸✳✶

✹✸

◆❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱
❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✷
✸✳✸

✹✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✼

❳→❝ ✤à♥❤ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tr÷î❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✻

❑➳t ❧✉➟♥

✻✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✻✺
✶



Pữỡ tr ỏ ồ ữỡ tr t
ởt tr ỳ t ớ t ừ ồ ổ q
ữỡ tr t t ồ t r ữủ ỳ t t
s s ừ số số ỳ t số số ữỡ tr t
ữ sỹ r ớ ừ số ỵ tt ữớ t ỵ tt
t t ữ ữỡ số ồ r
t ữỡ tr t t t tỹ t ữỡ tr
t t t õ ự t số õ t õ ởt t
ợ ữ ờ tr ý t ồ s ọ ờ tổ
r t ổ õ t ồ qt t
t ữỡ tr t t t ừ s ự
t ữỡ tr ợ ố ồ
s ởt t ờ t ổ ồ s tr
q tr ổ t ồ s ọ
ữủ ữỡ
ữỡ ởt số tự
ữỡ t ữỡ tr t t t
ữỡ ởt số t q

t tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s s tợ
tớ ữợ ụ
ữ t ừ ồ trỏ tr sốt q tr ồ t
ự ú ù t t
ụ ỷ ớ ỡ t t tợ
Pỏ t ồ ỡ ồ t ổ
t t ủ t õ t t ử ừ



ỡ ổ q t ở ờ
ụ t tốt t t tr sốt tớ t ồ
t t trữớ ồ ồ ỹ ồ ố ở
ũ õ ố ữ tớ tr ở ỏ
õ tr ọ ỳ t sõt t rt
ữủ sỹ õ ỵ ừ t ổ ụ ữ ỗ
ữủ t ỡ
t ỡ
ở t
ồ tỹ

r rữớ




❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ×î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ❙è ♥❣✉②➯♥ ❝ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè

♥❣✉②➯♥ ❛ ✈➔ ❜ ✭❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✮ ♥➳✉ ❝ ❝❤✐❛ ❤➳t ❛ ✈➔ ❝ ❝❤✐❛ ❤➳t ❜✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ▼ët ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❞ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❛ ✈➔ ❜ ✭❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣
t❤í✐ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❛ ✈➔ ❜ ♥➳✉ ♠å✐ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣
❝ ❝õ❛ ❛ ✈➔ ❜ ✤➲✉ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ ❞✳

❈❤ó þ ✶✳✶✳ ◆➳✉ ❞ ❧➔ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❛ ✈➔ ❜ t❤➻ −d ❝ô♥❣ ❧➔ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥
♥❤➜t ❝õ❛ ❛ ✈➔ ❜✳ ❱➟② t❛ q✉② ÷î❝ r➡♥❣ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❛ ✈➔ ❜ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥
❞÷ì♥❣✳
×î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè ❛ ✈➔ ❜ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ ✭❛✱❜✮ ❤❛② ❣❝❞✭❛✱❜✮ ✭❣r❡❛t❡st
❝♦♠♠♦♥ ❞✐✈✐s♦r✮✳ ◆❤÷ ✈➟② ❞ ❂ ✭❛✱❜✮ ❤❛② ❞ ❂ ❣❝❞✭❛✱❜✮✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ✭✷✺✱✸✵✮ ❂ ✺✱ ✭✷✺✱✲✼✷✮ ❂ ✶✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ▼ët sè ♥❣✉②➯♥ ❝ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♥ sè
♥❣✉②➯♥ a1 , a2 , a3 , . . . , an ✭❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✮ ♥➳✉ ❝ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ ♠é✐ sè ✤â✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ▼ët ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❞ ❝õ❛ ♥ sè ♥❣✉②➯♥ a1, a2, a3, . . . , an
✭❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ a1 , a2 , a3 , . . . , an
♥➳✉ ♠å✐ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❝ ❝õ❛ a1 , a2 , a3 , . . . , an ✤➲✉ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ ❞✳
❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝ô♥❣ q✉② ÷î❝ r➡♥❣ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ♥ sè ♥❣✉②➯♥ a1 , a2 , a3 , . . . , an
❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ×î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ a1 , a2 , a3 , . . . , an ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ ✭a1 , a2 , a3 , . . . , an ✮
❤❛② ❣❝❞✭a1 , a2 , a3 , . . . , an ✮✳ ◆❤÷ ✈➟② ❞ ❂ (a1 , a2 , a3 , . . . , an ) ❤❛② ❞ ❂ ❣❝❞✭a1 , a2 , a3 , . . . , an ✮✳
✹


✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ✭✈➲ sü tç♥ t↕✐ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ sè✱ ①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ ❝→❝ sè
♥❣✉②➯♥ a1 , a2 , a3 , . . . , an ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥
♥❤➜t ❝õ❛ a1 , a2 , a3 , . . . , an ✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ❈❤♦ ❛✱ ❜✱ q✱ r ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✭a2 + b2 = 0✮✳ ◆➳✉ a = bq + r

✈➔ 0 ≤ r < |b| t❤➻ ✭❛✱❜✮ ❂ ✭❜✱r✮✳

❚❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ ✭t❤✉➟t t♦→♥ t➻♠ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✮✳

●✐↔ sû r0 = a, r1 = b ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❚❛ →♣ ❞ö♥❣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐❛

ri = ri+1 qi+1 + ri+2 ,
tr♦♥❣ ✤â 0 ≤ ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, 2, . . . ✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ♣❤➛♥ ❞÷ r1 , r2 , . . . ✈î✐

r1 > r2 > . . . ✤➳♥ ❦❤✐ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♣❤➛♥ ❞÷ rn = 0 ✭n ≥ 2, 0 < ri+2 <
ri+1 , ∀i = 0, 1, . . . , n − 3✮✳ ❑❤✐ ✤â
(a, b) = (r0 , r1 ) = (r1 , r2 ) = . . . = (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 .qn−1 , rn−1 ) = rn−1 .
❱➟②

(a, b) = rn−1 .

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ ❉ò♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ t➻♠ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ✸✹✽✹ ✈➔ ✸✷✼✻✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

❚❛ ❝â

3484 = 3276.1 + 208
3276 = 208.15 + 156
208 = 156.1 + 52
156 = 52.3 + 0.
❱➟②

gcd(3484, 3276) = 52.

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳ ❚➻♠ ♠ët ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ ①✱ ② ✤➸

3484x + 3276y = 52.
▲í✐ ❣✐↔✐✳

❚❤❡♦ ✈➼ ✈ö tr➯♥ t❛ ❝â

✺


52 = 208 156.1
52 = 208 (3276 208.15) .1 = 16.208 3276
156 = 3276 208.15
52 = 3276 + 16.208
52 = 3276 + 16. (3484 3276.1) = 16.3484 17.3276
208 = 3484 3276.1
õ

3484.16 + 3276.(17) = 52.


(x; y) = (16; 17).

số
số ỳ số ỳ õ ở
n N tự õ

1

a0 +

1

a1 +

1

a2 + . . . +

an1 +

1
an

tr õ a0 số ai số ữỡ i = 1, 2, . . . , n an > 1 ợ

n > 0 số tr ữủ ỵ [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]

số ổ a0, a1, a2, . . . ổ
số ai > 0 ợ i 1 ợ ộ t Ck = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ] õ tỗ t
ợ

lim Ck = .

k+

) ữợ

ỹ tỗ t s ữủ õ ró tr t t (

ú t ồ tr ừ số ổ [a0 ; a1 , a2 , . . .] ỵ

= [a0 ; a1 , a2 , . . .] .

t ộ số ỳ t ởt số ỳ
ự

a
, b > 0, a, b Z t r0 = a, r1 = b t õ
b
r0 = r1 q1 + r2
(0 < r2 < r1 )
r1 = r2 q2 + r3
(0 < r3 < r2 )
...
rn2 = rn1 qn1 + rn
(0 < rn < rn1 )
rn1 = rn qn
+0

sỷ x =

❙✉② r❛

x=

a
r0
r2
1
1
1
=
= q1 +
= q 1 + r1 = q 1 +
= . . . = q1 +
r
3
1
b
r1
r1
q2 +
q2 + . . . +
r2
r2
1
qn−1 +
qn

⇒ x = [q1 ; q2 , . . . , qn ] .

243 62
❱➼ ❞ö ✶✳✹✳ ❍➣② ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛ 327 ✱ 243
✱−
✱
t❤➔♥❤ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè✳
37
37 23
▲í✐ ❣✐↔✐✳

❚❛ ❝â

32 = 4.7 + 4
7 = 1.4 + 3
4 = 1.3 + 1
3 = 3.1
⇒

32
= [4; 1, 1, 3] = 4 +
7

1

❧➔ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❝â ✤ë ❞➔✐ ✸✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝ô♥❣ ❝â

1

1+

1

3
243
243
62
= [6; 1, 1, 3, 5]✱ −
= [−7; 2, 3, 5]✱
= [2; 1, 2, 3, 2]✳
37
37
23
1+

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳ ✭❱➲ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥✱ ①❡♠ ❬✸❪✮ ❙ü ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
♠ët sè ❤ú✉ t➾ q ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✹✳ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥✱ ①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]✳ ❳➨t ❤❛✐ ❞➣② (pk )nk=0 ✈➔ (qk )nk=0 ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉
p 0 = a0
p 1 = a1 a0 + 1
pk = ak pk−1 + pk−2

,

q0 = 1
q 1 = a1
qk = ak qk−1 + qk−2

, ∀k = 2, 3, . . .

pk

❑❤✐ ✤â ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❦ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] ❧➔ Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] = ✳
qk
pk
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] =
❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ ❦✱
qk
1
✈î✐ ❧÷✉ þ ❧➔ Ck ✭❦ ❃ ✵✮ ✤÷ñ❝ s✉② r❛ tø Ck−1 ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ak−1 ❜ð✐ ak−1 + ✳
ak
❚❤➟t ✈➟②
a0
p0
C0 = [a0 ] = a0 =
=
,
1
q0
1
a1 a0 + 1
p1
C1 = [a0 ; a1 ] = a0 +
=
=
,
a1
a1
q1
✼

a1 +
C2 = [a0 ; a1 , a2 ] =

1
a2

a1 +
=

a0 + 1
1
a2

a2 (a1 a0 + 1) + a0
a2 p 1 + p 0
p2
=
= .
a2 a1 + 1
a2 q 1 + q 0
q2

●✐↔ sû

Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] =

ak pk−1 + pk−2
pk
= , k ≥ 2.

ak qk−1 + qk−2
qk

❑❤✐ ✤â

ak +
Ck+1 =
ak +
=

1
ak+1
1
ak+1

pk−1 + pk−2
qk−1 + qk−2

ak+1 pk + pk−1
ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1
=
.
ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1
ak+1 qk + qk−1

❉♦ ✤â

Ck+1 =

pk+1

.
qk+1

❱➟② t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝

Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] =

pk
.
qk

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳ ❚➻♠ ❝→❝ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè [6; 1, 1, 3, 5]✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

❚❛ ❝â ❜↔♥❣ s❛✉
❦
ak
pk
qk

✵
✻
✻
✶

✶
✶
✼
✶

✷
✶
✶✸
✷

✸
✸
✹✻
✼

✹
✺
✷✹✸
✸✼

❱➟②

C0 = 6, C1 = 7, C2 =

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✺

13
46
243
, C3 = , C4 =
.
2
7
37

✳

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ Ck ❧➔ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❦ ❝õ❛ [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]✱ ✈î✐

✶✳✹)✳ ❑❤✐ ✤â

1 ≤ k ≤ n ✈➔ pk , qk ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr♦♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t (

pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 .

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✻ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ●✐↔ sû {Ck } ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ s❛✉
✽


✐✮ Ck − Ck−1

(−1)k−1
=
✱ ✈î✐ 1 ≤ k ≤ n.
qk qk−1

✐✐✮ Ck − Ck−2 =

ak (−1)k
✱ ✈î✐ 2 ≤ k ≤ n.
qk qk−2

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❱î✐ ❝→❝ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ Ck ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥ [a0; a1, a2, . . . , an]
t❛ ❝â ❝→❝ ❞➣② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

✐✮ C1 > C3 > C5 > . . .
✐✐✮ C0 < C2 < C4 < . . .
✐✐✐✮ ♠é✐ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❧➫ C2j−1 ✤➲✉ ❧î♥ ❤ì♥ ♠é✐ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❝❤➤♥ C2i ✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✽ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❱î✐ ♠å✐ k = 0, 1, . . . , n t❤➻ (pk , qk ) = 1 ✭tù❝ ❧➔ pk , qk
♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✮✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✾ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❈❤♦ a0, a1, a2, . . . ❧➔ ❞➣② ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✱ ai > 0 ✈î✐
∀i ≥ 1✳ ❱î✐ ♠é✐ ❦✱ ✤➦t Ck = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ]✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥
lim Ck .

k→+∞

❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t (

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✼) t❛ ❝â

C1 > C3 > C5 > . . . > C2n−1 > C2n+1 > . . .
C0 < C2 < C4 < . . . < C2n−2 < C2n < . . .
C2j−1 > C2i ,
✈î✐ ♠å✐ ✐✱ ❥✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ❞➣② {C2k+1 }✱ k = 0, 1, . . . ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐ ❜ð✐

C0 ✱ ❝á♥ ❞➣② {C2k }✱ k = 0, 1, . . . ❧➔ ❞➣② t➠♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ❜ð✐ C1 ✳ ❚❤❡♦ ❧þ t❤✉②➳t ✈➲
❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② sè t❤➻ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥

lim C2k+1 = α ,

k→+∞

lim C2k = β.

k→+∞

✶✳✻) t❛ ❝â

❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t (

C2k+1 − C2k

1
(−1)2k
=
> 0.
=
q2k+1 q2k
q2k+1 q2k
✾

✭❛✮


t
ụ ữỡ tr t t t t s
ồ ồ ồ ỹ ồ ố ở
P

t ỡ ừ số ồ ử

số ồ ỗ ữù ồ s ọ t tr
ồ Pữỡ tr ử tr

P



ố ồ ử



t tự ử ử

r ụ ũ

ởt số số ồ ồ ồ ử
ũ ồ ụ ừ
ử



số ồ