Một số dạng toán liên quan đến định lý rolle đảo đối với đa thức và phân thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

Vũ Thị Phương

một số dạng toán liên quan đến
định lý rolle đảo
đối với đa thức và phân thức

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 Một số kiến thức bổ trợ
4
1.1 Tính chất của đa thức và phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Định lý Rolle và một số tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Định lý dạng Viète đối với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Định lý Rolle đảo
2.1 Định lý Rolle đảo đối với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Định lý Rolle đảo đối với phân thức . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định lý Rolle đảo đối với phân thức có mẫu bậc nhất
2.2.2 Định lý Rolle đảo đối với phân thức có mẫu bậc hai .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

17
17
32
32
41

3 Một số dạng toán liên quan

66

KẾT LUẬN

83

Tài liệu tham khảo

84

1


MỞ ĐẦU
Đa thức và phân thức là những đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số
có vị trí rất quan trọng trong toán học. Vấn đề khảo sát số nghiệm thực của đa
thức nhờ công cụ giải tích, cụ thể là định lý Lagrange và định lý Rolle nên việc
khảo sát số nghiệm thực của đa thức đạo hàm trên một khoảng được tiến hành
dễ dàng. Đó là, khi đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực trong khoảng (a, b) thì
đa thức P (x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực trong khoảng đó.
Một câu hỏi được đặt ra, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm
thực cho trước trong khoảng (a, b) sẽ cho ta một nguyên hàm
x

F (x) =

P (t)dt
x1

có đủ k + 1 nghiệm thực trên khoảng (a, b).

Tương tự, một phân thức có k nghiệm thực cho trước sẽ thỏa mãn điều kiện
nào để nguyên hàm của nó có đủ k + 1 nghiệm thực.
Luận văn "Một số dạng toán liên quan đến định lý Rolle đảo đối với đa thức
và phân thức" trình bày một số vấn đề liên quan đến các bài toán xác định số
nghiệm thực của nguyên hàm của đa thức và nguyên hàm của phân thức hữu
tỷ với các hệ số thực.
Luận văn gồm ba chương và mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 tóm tắt các khái niệm và tính chất của đa thức và phân thức. Chứng
minh các kết quả về nghiệm thực của đa thức đạo hàm trong một khoảng, mở
rộng định lý Rolle cho phân thức hữu tỷ trên khoảng (a, b).
Chương 2 gồm hai phần, phần đầu đưa ra định lý Rolle đảo cho đa thức P (x)
cấp n có n nghiệm thực phân biệt, từ đó đưa ra các mở rộng của định lý cho đa
thức có k nghiệm thực (k ≤ n) và l nghiệm bội xét trên khoảng (a, b). Phần tiếp
theo cũng là phần chính của luận văn, tác giả khảo sát nghiệm của nguyên hàm
của một số dạng phân thức hữu tỷ sơ cấp ở phổ thông và phân thức hữu tỷ có
mẫu bậc hai. Sau đó, tác giả đưa ra các bài toán tổng quát, phát biểu định lý
Rolle đảo cho các trường hợp này.
2


MỞ ĐẦU

Chương 3 trình bày một số bài toán áp dụng các định lý ở chương 2.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS.TSKH. Nguyễn
Văn Mậu, người Thầy đã giúp cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Toán học,
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập từ khi còn
là sinh viên đến khi hoàn thành Luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học
Khoa Toán - Cơ - Tin học, các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp Cao học
Toán niên khóa 2013 - 2015, các thầy cô và các anh chị của Semina "Phương

pháp Toán sơ cấp" trường ĐH Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện giúp đỡ cho
tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường.
Nhân đây tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em học viên cao học khóa 2013
- 2015, gia đình và bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả hoàn thành khóa học và Luận văn này. Mặc dù tác giả đã cố gắng rất nhiều
nhưng kết quả đạt được trong luận văn còn khiêm tốn và khó tránh khỏi những
khiếm khuyết. Tác giả mong được sự đóng góp quý báu của các thầy cô và các
độc giả để Luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 21 tháng 4 năm 2015.
Học viên

Vũ Thị Phương

3


Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ
1.1

Tính chất của đa thức và phân thức

Định nghĩa 1.1 (xem [4]). Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

trong đó các hệ số an , an−1 , . . . , a0 là những số thực và an = 0, n ∈ N.
Định nghĩa 1.2 (xem [4]). Cho đa thức
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , với an = 0,
α ∈ R được gọi là nghiệm của đa thức Pn (x) nếu Pn (α) = 0.

Định lý 1.1 (xem [4]). Mọi đa thức hệ số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng
Pn (x) = a0 (x − α1 )n1 . . . (x − αr )nr (x2 + p1 x + q1 )m1 . . . (x2 + ps x + qs )ms

trong đó

r

s

mi = n, p2i − 4pi < 0, i = 1, s.

ni + 2
i=1

i=1

và α0 , α1 , . . . , αr ; q1 , p1 , . . . , qs , ps ∈ R.
Hệ quả 1.1. Giả sử Pn (x) là đa thức bậc n có k nghiệm thực k ≤ n thì n và k
cùng tính chẵn lẻ.
Bổ đề 1.1. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực.
Định lý 1.2 (xem [4]). Cho đa thức P (x) ∈ R[x]. Khi đó P (x) có tập xác định
và liên tục trên R. Ngoài ra, khi x → +∞ thì P (x) → d(an )∞.
Khi x → −∞ thì P (x) → (1)n d(an )∞, trong đó n = deg P, an là hệ số chính và

+ khi an > 0
d(an ) := − khi an < 0

0
khi an = 0

4


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.3 (xem [4]). Nếu đa thức Pk (x) ∈ R[x] có k nghiệm dương (k ∈ N∗ )
thì tồn tại s ∈ N để đa thức Qk (x) dạng Qk (x) = Pk (x)(x + 1)s có dãy hệ số đỏi
dấu đúng k lần.
Hệ quả 1.2 (xem [4]). Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] chỉ có các nghiệm thực thì số
nghiệm dương của đa thức bằng số lần đổi dấu của dãy hệ số.
Chứng minh. Giả sử deg P (x) = n, n ∈ N∗ , do đa thức P (x) chỉ có nghiệm thực
nên P (x) có tất cả n nghiệm đều thực và viết được dưới dạng sau.
P (x) = (α1 + x)(α2 + x) . . . (αr + x)xm (β1 − x)(β2 − x) . . . (βp − x), (r + m + p = n),

trong đó r, m, p ∈ N, αi > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , r, βj > 0, ∀j ∈ 1, 2, . . . , p.
Xét đa thức
Q(x) = (α1 + x)(α2 + x) . . . (αr + x)

có αi > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , r nên sau khi khai triển Q(x) có dạng
Q(x) = Er + Er−1 x + Er−2 x2 + · · · + E1 xr−1 + xr

trong đó Ei (i ∈ 1, 2, . . . , r) là các đa thức đối xứng Viète bậc i của các số thực
dương α1 , α2 , . . . , αr . Nhận xét rằng, Ei > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , r nên dãy hệ số của đa
thức Q(x) không đổi dấu.
Xét tích
Q1 (x) := (β1 − x)Q(x)
= (β1 − x)(Er + Er−1 x + Er−2 x2 + · · · + E1 xr−1 + xr ).

Thay x bởi β1 x ta thu được
Q1 (x) = (β1 − β1 x)(Er + Er−1 β1 x + Er−2 β12 x2 + · · · + E1 β1r−1 xr−1 + β1r xr ).

= Er β1 + (Er−1 β1 − Er )β1 x + (Er−2 β1 − Er−1 )β12 x2
+ · · · + (E1 β1 − E2 )β1r−1 xr−1 + (β1 − E1 )β1r xr − β1r+1 xr+1

là đa thức có dãy hệ số như sau
Er β1 , (Er−1 β1 − Er )β1 , (Er−2 β1 − Er−1 )β12 , . . . , (E1 β1 − E2 )β1r−1 , (β1 − E1 )β1r , −β1r+1 .

Ta thấy dãy hệ số
Er , Er−1 , Er−2 , . . . , E1 , 1

có cùng vị trí đổi dấu với dãy hệ số
Er β1 , (Er−1 β1 − Er )β1 , (Er−2 β1 − Er−1 )β12 , . . . , (E1 β1 − E2 )β1r−1 , (β1 − E1 )β1r .
5


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Suy ra dãy hệ số
Er β1 , (Er−1 β1 − Er )β1 , (Er−2 β1 − Er−1 )β12 , . . . , (E1 β1 − E2 )β1r−1 , (β1 − E1 )β1r .

không đổi dấu và đều là các số thực dương.
Mặt khác, −β1r+1 < 0 nên dãy hệ số của đa thức Q1 (β1 x) đổi dấu 1 lần. Do hai
đa thức Q1 (x) và Q1 (β1 x) có cùng vị trí đổi dấu nên dãy hệ số của đa thức Q1 (x)
đổi dấu một lần. Không giảm tính tổng quát, ta giả sử
Q1 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ar xr − ar+1 xr+1

trong đó ai > 0, ∀x ∈ 1, 2, . . . , r, r + 1.
Xét tích
Q2 (x) := (β2 − x)Q1 (x)
= (β2 − x)(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ar xr − ar+1 xr+1 ).

Thay x bởi β2 x ta được
Q2 (x) = (β2 − β2 x)(a0 + a1 β2 x + a2 β22 x2 + · · · + ar β2r xr − ar+1 β2r+1 xr+1 ).
= a0 β2 + (a1 β2 − a0 )β2 x + (a2 β2 − a1 )β22 x2 + · · · + (ar β2 − ar−1 )β2r xr
− (ar+1 β2 + ar )β2r+1 xr+1 + ar+1 β2r+2 xr+2 .

Để ý rằng, dãy hệ số a0 , a1 , a2 , . . . , ar , ar+1 của đa thức Q1 (x) có cùng vị trí đổi
dấu như đối với dãy hệ số
a0 β2 , (a1 β2 − a0 )β2 , (a2 β2 − a1 )β22 , . . . , (ar β2 − ar−1 )β2r , −(ar+1 β2 + ar )β2r+1 .

Suy ra dãy
a0 β2 , (a1 β2 − a0 )β2 , (a2 β2 − a1 )β22 , . . . , (ar β2 − ar−1 )β2r , −(ar+1 β2 + ar )β2r+1 .

đổi dấu một lần, trong đó hệ số của tất cả các hạng tử có bậc nhỏ hơn r + 1
đều dương, hệ số của hạng tử bậc r + 1 âm. Do hệ số của hạng tử bậc r + 2 là
ar+1 β2r+2 > 0 nên dãy hệ số của đa thức Q2 (β2 x) đổi dấu hai lần.
Mặt khác, hai đa thức Q2 (x) và Q2 (β2 x) có cùng vị trí đổi dấu nên dãy hệ số của
đa thức Q2 (x) đổi dấu hai lần.
Tiến hành tương tự như trên sau p bước, ta được đa thức Qp (x) có dãy hệ số
đổi dấu p lần. Do đa thức P (x) có p nghiệm dương nên số nghiệm dương của đa
thức bằng số lần đổi dấu của dãy hệ số.

6


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.4 (Phân tích phân thức hữu tỷ ra thừa số). Giả sử x = x0 là nghiệm
của

P (x)

= 0 (P, Q nguyên tố cùng nhau) thì
Q(x)
P (x) P (x0 )
P1 (x)
−
= (x − x0 )
,
Q(x) Q(x0 )
Q(x)

trong đó deg P1 = deg P − 1.
Hệ quả 1.3. Nếu x = 0 là nghiệm của

P (x)
= 0 thì
Q(x)

P1 (x)
P (x) P (0)
−
=x
,
Q(x) Q(0)
Q(x)

trong đó deg P1 = deg P − 1.
Bài toán 1.1. Cho hàm phân thức hữu tỷ
f (x) =

1

∈ Q với mọi x ∈ Z.
ax + b

Chứng minh rằng a, b ∈ Q.
1
Lời giải. Do f (x) =
∈ Q với mọi x ∈ Z, nên
ax + b

ax + b =

1
với mọi x ∈ Z.
f (x)

Vậy ax + b ∈ Q[x] hay a, b ∈ Q.
Bài toán 1.2. Cho hàm phân thức hữu tỷ
ax + b
∈ Q với mọi x ∈ Z.
cx + d

Chứng minh rằng f (x) có thể biểu diễn được dưới dạng
Ax + B
∈ Q với A, B, C, D ∈ Z.
Cx + D

(1.1)

Lời giải. Nếu ad − bc = 0 thì f (x) = const thì biểu diễn (1.1) là hiển nhiên.
Xét trường hợp ad − bc = 0.

Nếu c = 0 thì biểu diễn (1.1) là hiển nhiên.
Nếu c = 0 thì sử dụng phân tích
f (x) − f (0) =

ta sẽ thu được biểu diễn (1.1).

7

1
αx + β


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Bài toán 1.3. Cho hàm phân thức hữu tỷ
f (x) =

P (x)
∈ Q, ∀x ∈ Z, (P (x), Q(x)) = 1.
Q(x)

Chứng minh rằng f (x) có thể biểu diễn được dưới dạng phân thức của hai đa
thức với hệ số nguyên.
Lời giải. Giả sử
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm ,
Q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn .

Tại x = j, (j = 0, 1, . . . , m + n) hàm f (x) nhận các giá trị hữu tỷ tương ứng là cj .
Khi đó ta có hệ phương trình tuyến tính với m + n + 2 ẩn dạng
a0 , a1 , . . . , am , b0 , b1 , . . . , bn

a0 + a1 k + · · · + am k m − b0 ck − b1 ck k − · · · + bn ck k n = 0, k = 0, 1, . . . , m + n

Hai nghiệm của hệ này cho ta hai cặp đa thức tương ứng P (x), Q(x) và P1 (x), Q1 (x)
có tính chất
P (k) − cQ(k) = 0, P1 (k) − ck Q1 (k) = 0, ∀k = 0, . . . , m + n.

Hai cặp nghiệm này cho ta đa thức
g(x) = P (x)Q1 (x) − P1 (x)Q(x), deg g(x) ≤ m + n

nhận giá trị 0 tại m + n + 1 điểm nên g(x) ≡ 0. Do P (x) và Q(x) nguyên tố cùng
nhau nên
P (x) = cP1 (x), Q(x) = cQ1 (x).

Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm với sự sai khác một tỷ lệ và như vậy tồn tại
ma trận cấp m + n + 1 trong ma trận hệ số của hệ phương trình để định thức
của nó khác 0 và nghiệm nhận được là các số hữu tỷ.
Ta có điều phải chứng minh.

1.2

Định lý Rolle và một số tính chất liên quan

Định lý 1.5 (Định lý Rolle cho khoảng hữu hạn, [4]). Giả sử hàm số f : [a, b] → R
liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b). Nếu f (a) = f (b) thì
tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

8


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Hệ quả 1.4. Giả sử f (x) là hàm số khả vi trên (a, b) (bị chặn hoặc không bị
chặn) và x1 < x2 < · · · < xn là nghiệm của phương trình f (x) = 0.
1. Nếu hai số hạng liên tiếp của dãy Rolle, tức là dãy
f (a), f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (b)

trái dấu nhau thì giữa hai giá trị liên tiếp tương ứng của dãy đối số sẽ tìm
được một và chỉ một nghiệm của phương trình f (x) = 0.
2. Nếu hai số hạng liên tiếp của dãy Rolle, tức là dãy
f (a), f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (b)

cùng dấu nhau thì giữa hai giá trị liên tiếp tương ứng của dãy đối số không
có nghiệm của phương trình f (x) = 0, ở đây ta quy ước
f (a) = lim f (x), f (b) = lim f (x)
x→b−

x→a+

Bổ đề 1.2. Nếu x0 là nghiệm bội bậc s, (s ∈ N) của đa thức P (x) ∈ R[x] thì x0
cũng là nghiệm bội bậc s − 1 của đa thức P (x).
Chứng minh. Thật vậy, x0 là nghiệm bội bậc s(s ∈ N) của đa thức P (x) thì
P (x) được viết dưới dạng
P (x) = (x − x0 )s Q(x), Q(x0 ) = 0.

Suy ra
P (x) = s(x − x0 )s−1 Q(x) + (x − x0 )s Q (x)
= (x − x0 )s−1 [sQ(x) + (x − x0 )Q (x)].

Vì Q(x0 ) = 0 nên x0 không là nghiệm của đa thức sQ(x) + (x − x0 )Q (x).
Vậy x0 là nghiệm bội bậc k − 1 của đa thức P (x).

Định lý 1.6 (xem[4]). Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực trong khoảng
(a, b) thì đa thức P (x) có ít nhất k − 1 nghiệm thực trong khoảng đó.
Chứng minh.
1. Nếu đa thức P (x) có k nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 , . . . , xk , không giảm
tính tổng quát, ta giả sử x1 < x2 < x3 < · · · < xk .
Suy ra P (x1 ) = P (x2 ) = P (x3 ) = ... = P (xk ).
Theo định lý Rolle, trong khoảng (x1 , x2 ) tồn tại ít nhất một điểm x1 sao cho
P (x1 ) = 0, trong khoảng (x2 , x3 ) tồn tại ít nhất một điểm x2 sao cho P (x2 ) = 0,
9


Tài liệu tham khảo
[1] Lê Thị Thanh Bình, 2007, Luận văn "Đặc trưng nghiệm của đa thức nguyên
hàm và áp dụng", trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo
Dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất,
2008, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[5] Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam, 1990 - 2014, NXB
Giáo Dục.
[6] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, 2013, NXB Giáo Dục.

84