Về tính lipschitz của toán tử trong không gian hibert và ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân (LV01953)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRIỆU THỊ XEN

VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ
TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRIỆU THỊ XEN

VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ
TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI, 2016

i

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thày, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tìm
hiểu, nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các Thầy Cô giáo khoa Toán,
chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên,
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi
từ phía các thầy, các cô, các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốt
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Triệu Thị Xen


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, luận văn

chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài Tính Lipschitz của toán tử trong không
gian Hilbert và ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân được hoàn thành bởi sự
nhận thức và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào
khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Triệu Thị Xen


iii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
ii

Danh mục kí hiệu thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu

1

1

Toán tử Lipschitz trong không gian Hilbert

3

1.1

Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

1.1.3 Phép chiếu metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điểm bất động của ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6

1.3

Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . 15

2

Ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân
27
2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2

Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . 34

2.3

Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân . . . 36

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


iv

Danh mục kí hiệu thường dùng
R
H

Tập hợp số thực

Không gian Hilbert

(X, d)
dC (y)
d(x, y)
., .
x∈C
x∈
/C
∀x ∈ C
∀x
.
x−y
|x|

Không gian metric
Khoảng cách từ y đến C
Khoảng cách giữa các phần tử x và y
Tích vô hướng

x thuộc tập C
x không thuộc tập C
Với mọi x thuộc tập C
Với mọi x
Chuẩn
Chuẩn của x − y
Giá trị tuyệt đối của x


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ
XX. Trong quá trình phát triển Giải tích hàm đã tích lũy được một nội dung hết
sức phong phú. Những phương pháp và kết quả mẫu mực tổng quát của Giải
tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng
đến công cụ Giải tích và không gian vectơ. Chính điều đó đã mở ra phạm vi
nghiên cứu lớn cho ngành toán học.
Một trong hướng nghiên cứu mạnh mẽ của Giải tích hàm là lý thuyết điểm
bất động. Các định lý điểm bất động liên quan đến các điều kiện mà nó khẳng
định sự tồn tại của một điểm x∗ trong C(C ⊂ X) sao cho T x∗ = x∗ với
T : C −→ C . Điểm x∗ như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Những
định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đó phải
kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach
(1922). Các kết quả này đã mở rộng ra các lớp ánh xạ đặc biệt là lớp ánh xạ
có tính Lipschitz trên các không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm
bất động. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn
này và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học. Dưới sự hướng dẫn của
GS.TSKH. Lê Dũng Mưu tôi đã chọn đề tài :“ Tính Lipschitz của toán tử trong
không gian Hilbert và ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân”


2

2. Mục đích nghiên cứu
Làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tìm hiểu sâu hơn về Giải tích
hàm đặc biệt về tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert. Luận văn
trình bày các định lý về tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz như:

điểm bất động của ánh xạ không giãn và áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach
để giải bất đẳng thức biến phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert.
Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ứng dụng tính Lipschitz của toán tử vào bài toán Bất đẳng thức biến phân.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert và ứng dụng vào Bất
đằng thức biến phân.

5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu liên quan đến tính Lipschitz của toán tử trong không
gian Hilbert.
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán bất đẳng
thức biến phân.

6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên và học viên
cao học về đề tài “ Tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert và ứng
dụng vào bất đẳng thức biến phân”.


3

Chương 1
Toán tử Lipschitz trong không gian
Hilbert
Trong chương này chúng tôi giới thiệu về không gian metric, không gian

Hilbert, phép chiếu metric, nhằm trang bị những kiến thức cần thiết cho việc
trình bày về điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn.

1.1
1.1.1

Kiến thức chuẩn bị
Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm d có giá trị thực được xác định với mọi cặp phần
tử x, y của tập hợp X được gọi là metric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau ( với mọi x, y, z ∈ X ):
1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x)( bất đẳng thức tam giác).
Một tập X cùng với metric xác định như trên được gọi là một không gian metric
và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y .
Các phần tử của không gian metric (X, d) được gọi là điểm.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử x1 , x2 , ..., xn là dãy các điểm trong không gian metric


4

(X, d). Dãy xn được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu
lim d (xn , x) = 0

x→∞

kí hiệu

lim xn = x .
x→∞

Định nghĩa 1.1.3. Cho hai không gian metric (X, d) và (Y, p). Một ánh xạ T
từ X vào Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao
cho với mọi x ∈ X thì d(x, x0 ) < δ kéo theo ρ(T x, T x0 ) < ε. Ánh xạ T được
gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.1.4. Ta nói dãy {xn } là dãy Cauchy hay dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi ε > 0 tồn tại nε sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi
n, m ≥ nε . Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không
gian Metric đầy đủ .
Nguyên lý Cantor: Trong không gian metric đầy đủ mọi dãy hình cầu đóng
thắt dần đều có một điểm chung duy nhất.
Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ T : (X, d) → (Y, p) của các không gian metric thỏa
mãn:

ρ(T x, T z) ≤ M d(x, z)
với một hằng số cố định M nào đó và mọi x, z ∈ X được gọi là ánh xạ Lipschitz.
Số nhỏ nhất trong các số M như thế gọi là hằng số Lipschitz của ánh xạ T
và kí hiệu L(T ).

1.1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.6. (Tích vô hướng) Cho H là không gian tuyến tính trên R. Một
tích vô hướng trên H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa mãn các
điều kiện sau:
1) ∀x ∈ H : x, x ≥ 0,
x, x = 0 ⇔ x = 0;

2) ∀x, y ∈ H : x, y = y, x ;


5

3) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R : αx, y = α x, y ;
4) ∀x, y, z ∈ H : x + y, z = x, z + z, y ,
Không gian tuyến tính H với tích vô hướng ·, · được gọi là không gian tiền
Hilbert.
Định nghĩa 1.1.7. Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.8. Ta gọi một tập H = ∅ là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa
mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2) H được trang bị một tích vô hướng ., . ;

x, x , x ∈ H .

3) H là không gian Banach với chuẩn x =

1.1.3

Phép chiếu metric

Định nghĩa 1.1.9. Cho C khác rỗng (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất
kỳ. Đặt

dC (y) = inf x − y .
x∈C

Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y tới C . Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) =

x − y thì ta nói π là hình chiếu của y trên C . Ta kí hiệu hình chiếu của y trên
C là PC (y). Thông thường sẽ kí hiệu π = PC (y) hoặc đơn giản hơn là P (y)
nếu không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C .
Chú ý rằng, nếu y ∈ C thì dC (y) = 0. Nếu C = ∅ thì dC (y) hữu hạn vì

0 ≤ dC (y) ≤ y − x

với

∀x ∈ C.

Định nghĩa 1.1.10. Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H
ánh xạ P : H → C . Nếu với ∀x ∈ H tồn tại duy nhất phần tử P x ∈ C sao
cho:

x − P x = d (x, C)
thì ánh xạ P như vậy được gọi là phép chiếu metric trên C .


6

Mệnh đề 1.1.1. (Xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho C là tập con lồi, đóng,
khác rỗng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu metric từ H lên C .
Khi đó những điều kiện sau thỏa mãn:
1) PC (x) = PC (PC (x)), ∀x ∈ H ;
2) PC là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là

x − y, PC (x) − PC (y) ≥ PC (x) − PC (y) 2 , ∀x, y ∈ H
3) PC là ánh xạ không giãn nghĩa là

PC (x) − PC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
4) PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là

PC (x) − PC (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H.
Mệnh đề 1.1.2. (Xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho C ⊂ H là tập lồi,
đóng, khác rỗng. Khi đó với mọi y ∈ H , hình chiếu PC (y) của y trên C luôn
tồn tại và duy nhất.

1.2

Điểm bất động của ánh xạ co

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Hilbert và f là một ánh xạ liên
tục từ một tập con của X vào X . Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động
đối với f nếu x = f (x). Tập tất cả các điểm bất động của f được kí hiệu là
F ix(f ).
Người ta có thể thấy trong ví dụ dưới đây dạng điển hình của các định lý về
tồn tại trong giải tích.
Ví dụ 1.1. Tìm nghiệm của phương trình P (z) = 0 trong đó P là một đa thức,
tương đương với việc tìm một điểm bất động của ánh xạ z → z − P (z). Tổng
quát hơn nếu D là toán tử bất kỳ trên một tập con của một không gian tuyến
tính, việc chỉ ra phương trình Du = 0 (tương ứng u → λDu = 0) có nghiệm
tương đương với việc chỉ ra ánh xạ u → u − Du (tương ứng với u → λDu)


7

có một điểm bất động. Như vậy những điều kiện lên một toán tử hay miền xác
định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định

lý về tồn tại trong giải tích.
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric
(Y, p) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:

ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y)
với mọi x, y ∈ X ( k là hệ số co)
Định lý điểm bất động được sử dụng rộng rãi nhất đó là định lý ánh xạ co
Banach (1922). Định lý chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ.
Định lý ánh xạ co Banach ( xem [4], Chương 1) Cho (X, d) là không gian
metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co trong X . Khi đó tồn tại duy nhất
x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ . Ngoài ra với mọi x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞.
Chứng minh. Lấy x0 là điểm tùy ý trong X và đặt xn+1 = T xn với n ∈ N. Ta
có

d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0 , x1 )
d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ k 2 d(x0 , x1 )
Bằng quy nạp ta được

d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ kd(xn−1 , xn )
≤ k 2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ... ≤ k n d(x0 , x1 )
Lấy m > n ta có:

d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (k n + k n+1 + ... + k m−1 )d(x0 , x1 )
≤ k n (1 + k + ... + k m−n−1 )d(x0 , x1 )
kn
d(x0 , x1 )
=
1−k

8

Do đó {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ và xn → x∗ ∈
X . Với mỗi n ta có

0 ≤ d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , T x∗ )
≤ d(x∗ , xn ) + kd(xn−1 , x∗ )
Cho n → ∞ và do tính liên tục của T ta được d(x∗ , T x∗ ) = 0 tức là T x∗ = x∗ .
Giả sử còn có y ∗ ∈ X mà T y ∗ = y thì ta có

d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ )
Vì 0 ≤ k ≤ 1 nên d(x∗ , y ∗ ) = 0 và x∗ = y ∗ . Vậy điểm bất động là duy nhất và
định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.1. (Xem [8], Chương 1, Định lý 1.3)
Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và

B(x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) < r}
trong đó x0 ∈ X và r > 0. Giả sử rằng F : B(x0 , r) → X là ánh xạ co (nghĩa
là d (F (x) , F (y)) ≤ Ld (x, y) , ∀x, y ∈ B (x0 , r) với 0 ≤ L < 1) và

d(F (x0 ), x0 ) < (1 − L)r
Khi đó F có duy nhất điểm bất động trong B(x0 , r).
Chứng minh. Tồn tại r0 với 0 ≤ r0 < r

d(F (x0 ), x0 ) < (1 − L)r0
Ta sẽ chỉ ra F : B (x0 , r0 ) → B (x0 , r0 ). Để hiểu điều này, ta chú ý rằng nếu
x ∈ B (x0 , r0 ) thì

d (F (x) , x0 ) ≤ d (F (x) , F (x0 )) + d (F (x0 ) , x0 )

≤ Ld (x, x0 ) + (1 − L) r0
≤ r0
Áp dụng định lý ánh xạ co Banach ta suy ra rằng F có duy nhất điểm bất động
trong B (x0 , r)
Định lý được chứng minh.


9

Nhiều tác giả đã tổng quát hóa định lý ánh xạ co Banach và phát biểu với nội
dung dưới đây
Định lý 1.2.2. (Xem [8], Chương 1, Định lý 1.5) Cho (X, d) là không gian
metric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ (không nhất thiết liên tục) với mỗi ε > 0
tồn tại δ(ε) > 0 sao cho nếu d(x, F (x)) < δ(ε) thì F (B (x, ε)) ⊆ B (x, ε)
trong đó B (x, ε) = {y ∈ X : d (x, y) < ε}
Nếu với mỗi u ∈ X ta có

lim d F n (u) , F n+1 (u) = 0.

n→∞
n

Khi đó dãy {F (u)} hội tụ tới một điểm cố định của F .
Chứng minh. Với mỗi u ∈ X ta lấy un = F n (u). Ta chứng minh {un } là dãy
Cauchy.
Với mỗi ε > 0 cho trước, chọn δ(ε) > 0 như trên. Ta chọn N đủ lớn sao cho

d (un , un+1 ) < δ (ε) , ∀n ≥ N . Từ đó d (uN , F (uN )) < δ (ε) và F (B (uN , ε)) ⊆
B (uN , ε). Vì
F (uN ) = uN +1 ∈ B (uN , ε) , ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}

F k (uN ) = uN +k ∈ B (uN , ε) , ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}
Do đó d (un , ul ) ≤ d (uk , uN ) + d (uN , ε) , ∀k, l ≥ N
Do vậy {un } là dãy Cauchy. Hơn nữa, tồn tại y ∈ X sao cho lim un = y .
n→∞

Ta đi chứng minh tiếp y là điểm bất dộng của F . Giả sử ngược lại, khi đó

d(y, F (y)) = γ > 0
Chọn và cố định un ∈ B(y, γ/3) sao cho

d (un , un+1 ) < δ (γ/3)
Từ điều kiện định lý ta có

F (B (un , γ/3)) ⊆ B (un , γ/3)
Do đó F (y) ∈ B (un , γ/3). Điều này mâu thuẫn

d (F (y)) ≥ d (F (y) , y) − d (un , y)
≥ γ − γ/3 = 2γ/3
Vì vậy d (y, F (y)) = 0. Định lý đã được chứng minh.


10

Định lý 1.2.3. (Xem [8], Chương 1, Định lý 1.6)
Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và

d (F (x) , F (y)) ≤ φ (d (x, y)) , ∀x, y ∈ X
trong đó φ : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm đơn điệu, không giảm với t > 0 cố định
bất kỳ. Khi đó F có duy nhất điểm bất động u ∈ X sao cho

lim F n (x) = u, ∀x ∈ X

n→∞

Chứng minh. Giả sử t ≤ φ(t), t > 0. Khi đó φ(t) ≤ φ(φ(t)) và do đó t ≤
φ2 (t). Theo quy nạp, ta có t ≤ φn (t), ∀n ∈ {1, 2, 3...} . Điều này mâu thuẫn.
Do đó φ(t) < t, ∀t > 0. Hơn nữa

d F n (x) , F n+1 (x) ≤ φ (d (x, F (x))) , x ∈ X
Do đó

lim d F n (x) , F n+1 (x) = 0, x ∈ X

n→∞

Lấy ε > 0 và chọn δ(ε) = ε − φ(ε). Nếu d(x, F (x)) < δ(ε) thì với mọi

z ∈ B(x, ε) = {y ∈ X : d (x, y) < ε}, ta có
d (F (z) , x) ≤ d (F (z) , F (x)) + d (F (x) , x)
≤ φ (d (z, x)) + d(F (x), x)
< φ (d (z, x)) + δ (ε)
≤ φ (ε) + (ε − φ (ε)) = ε
Do đó F (z) ∈ B(x, ε). Theo định lý (1.2.2) thì F có điểm bất động sao cho

lim F n (x) = u, ∀x ∈ X

n→∞

Cuối cùng dễ thấy rằng F chỉ có một điểm bất động trong X .
Định lý được chứng minh.

Ví dụ 1.2. Cho X = [a, b] và T : X → X là khả vi và thỏa mãn |T (x)| ≤
k < 1 với mọi x ∈ (a, b). Khi đó nếu x, y ∈ X , tồn tại ξ nằm giữa x và y sao
cho

T x − T y = T (ξ)(x − y)


11

Suy ra

|T x − T y| = |T (ξ)| |x − y| ≤ k |x − y|
Do đó T là ánh xạ co và có duy nhất điểm bất động.
Định lý ánh xạ co được dùng để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của
phương trình vi phân nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện ban đầu.
Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân

dX (t)
= T (t, x (t)) , (t ∈ R)
dt
với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 trong đó t0 , x0 là hai số cho trước và T (t, u)
là hàm liên tục cho trước của hai biến t, u, (t, u) ∈ R . Giả sử rằng hàm T (t, u)
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u theo định nghĩa sau đây: với mỗi
số nguyên dương n, tồn tại một hằng số L = L(n) > 0 sao cho với mọi
t ∈ [−n, n] ta đều có

|T (t, u1 ) − T (t, u2 )| ≤ L u1 − u2
Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình vi phân với điều kiện ban đầu có một và chỉ có
một nghiệm x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng thực.
Thật vậy, vì hàm T liên tục nên phương trình vi phân với điều kiện ban đầu

tương đương với phương trình vi phân
t

x (t) = x0 +

T (s, x (s))ds
t0

Lấy một số nguyên dương n khá lớn sao cho t0 ∈ [−n, n] và gọi Cn =

C[−n, n] là không gian các hàm x(t) xác định và liên tục trên đoạn [−n, n].
Với λ > 1 là một số cố định tùy ý, ta hãy đặt
dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − y (t)| , x, y ∈ Cn
Lúc đó dn là một metric trong không gian cn . Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ Cn ta
có


12

dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − y (t)| ≥ 0
dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − y (t)| = 0
⇔ |x (t) − y (t)| = 0 ⇔ x = y
2)

dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − y (t)|
= max|t|≤n e−λL|t−t0 | |y (t) − x (t)|
= dn (y, x)
3)

dn (x, z) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − z (t)|

dn (x, z) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − y (t) + y (t) − z (t)|
≤ max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x (t) − y (t)| + max|t|≤n e−λL|t−t0 | |y (t) − z (t)|
= dn (x, y) + dn (y, z)
Do đó dn là một metric trong Cn . Mặt khác ta có

d (x, y) = max|t|≤n |x (t) − y (t)|
Với x, y ∈ Cn thì

e−λLA d (x, y) ≤ dn (x, y) ≤ d (x, y)
Với A = max {n − t0 , n + −t0 }
Tức là các metric d và dn là tương đương đều với nhau, mà (Cn , d) cũng là một
không gian metric đầy đủ. Vậy (Cn , dn ) là một không gian metric đầy đủ. Xét
ánh xạ F : Cn → Cn xác định bởi công thức
t

(F (x)) (t) = x0 +

T (s, x (s))ds
t0


13

Ta sẽ chứng tỏ rằng F là một ánh xạ co đối với metric dn . Thật vậy, với x, y ∈

Cn ta có
t

d (F (x) , F (y)) = max|t|≤n e−λL|t−t0 |

T [(s, x (s)) − T (s, y (s))]ds
t0

≤ max|t|≤n e−λL|t−t0 | L

|x (s) − y (s)|ds
It

Với It là đoạn [t0 , t] hay đoạn [t, t0 ] nếu nếu t > t0 . Từ định nghĩa của metric

dn ta có
|x (s) − y (s)| = (eλL|s−t0 | − e−λL|s−t0 | )|x (s) − y (s)|
≤ eλL|s−t0 | dn (x, y)
Vậy

e−λL|s−t0 | ds

|x (s) − y (s)|ds ≤ dn (x, y)
It

It

= dn (x, y)(λL)−1 (eλL|s−t0 | − 1)
< dn (x, y)(λL)−1 eλL|s−t0 |
Từ đó suy ra

dn (F (x) , F (y)) ≤ λ−1 dn (x, y)
Áp dụng nguyên lý ánh xạ co, ta suy ra xn = xn (t) là nghiệm duy nhất của
phương trình vi phân được xác định trên [−n, n]
Như vậy, với mỗi số nguyên dương n sao cho |t0 | ≤ m, phương trình vi phân

có một nghiệm duy nhất xn = xn (t) xác định trên đoạn [−n, n]. Nếu n và m là
hai số nguyên dưỡng sao cho |t0 | ≤ n < m thì từ tính duy nhất của xn suy ra
rằng xm (t) = xn (t) khi |t| ≤ n.
Vì vậy hàm x(t) = xn (t) khi |t| ≤ n được xác định với mọi t ∈ R và là
nghiệm duy nhất của phương trình vi phân trên toàn bộ đường thẳng thực
Nhận xét 1.2.1. Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên là liên tục.


14

Có nhiều tác giả đã chứng minh được rằng nguyên lý ánh xạ co vẫn còn
đúng nếu ta thay hằng số k < 1 bằng một hàm số với biến là d(x, y), nhận
giá trị trong [0, 1) và thỏa mãn một điều kiện nào đó. Kết quả mạnh nhất thuộc
theo hướng này thuộc về Meir và Keeler mà chúng tôi giới thiệu sau đây, nhưng
trước hết chúng ta nghiên cứu định nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.3. Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được gọi là (ε, δ)co nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ sao cho nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ

d(T x, T y) < ε
Mọi ánh xạ (ε, δ)-co đều thỏa mãn điều kiện nếu x = y thì đặt ε = d(x, y) > 0.
Ta có

ε = d(x, y) < ε + δ
Từ đó suy ra

d(T x, T y) < ε = d(x, y)
Lớp ánh xạ thỏa mãn điều d(T x, T y) < d(x, y) thường được gọi là " co yếu
". Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy
nhất.
Định lý 1.2.4. (Meir-Keeler,1969) (xem [4] chương 1) Cho (X, d) là một không

gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)- co trong X . Khi đó, T có điểm
bất động duy nhất x∗ và với mọi x0 ∈ X ta có

T n x0 → x∗

khi

n→∞

Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, đặt xn+1 = T xn và Cn = d(xn , xn + 1), n =
0, 1, 2... Có thể giả thiết cn > 0. Vì T là ánh xạ co yếu nên cn là dãy không âm
và giảm, do đó cn → ε. Nếu ε > 0 thì tồn tại δ > 0 để có d(T x, T y) ≤ ε. Chọn
k ∈ N sao cho nếu n ≤ k thì cn < ε + δ . Do đó ta có cn+1 < ε là điều vô lý.
Vậy ε = 0 tức là cn → 0. Ta sẽ chứng minh xn là dãy Cauchy bằng phản chứng.
Giả sử có ε > 0 sao cho với mọi k ∈ N, tồn tại n, m ≤ k mà d(xn , xm ) ≤ 2ε.
α
Cho k sao cho nếu i ≤ k thì ci ≤ với α = min {δ, ε}
4
Chọn m > n ≥ k để cho d(xn , xm ) ≥ 2ε và xét các số

d(xn , xn+1 ), d(xn , xn+2 ), ..., d(xn , xm )


15

khoảng cách giữa 2 số liên tiếp là

|d (xn , xi ) − d (xn , xi+1 )| ≤ d (xi , xi+1 ) = ci <
Vì d (xn , xn+1 ) = cn <

α
4

α
4

≤ 4ε còn d(xn , xm ) ≥ 2ε nên tồn tại i ∈ {n, n + 1, .., m}

sao cho

α
3α
≤ d (xn , xj ) < ε +
2
4
Vì ε ≤ d(xn , xj ) < ε + δ nên ta có
ε+

d(T xn , T xj ) = d(xn+1 , xj+1 ) < ε
Từ đây ta có

d(xn , xj ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xj+1 ) + d(xn+1 , xj )
α
α
α
≤ +ε+ =ε+
4
4
2
α

Điều này mâu thuẫn với d(xn , xj ) ≥ ε + . Vậy {xn } là dãy Cauchy và xn →
2
∗
x ∈ X . Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có
d (x∗ , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn+1 ) + d (xn+1 , T x∗ )
= d (x∗ , xn+1 ) + d (T xn , T x∗ )
≤ d (x∗ , xn+1 ) + d (xn , x∗ )
Chọn n → ∞ ta được d (x∗ , T x∗ ) = 0 tức là

x∗ = T x∗
Vì T là ánh xạ co yếu nên x∗ là điểm bất động duy nhất.
Định lý đã được chứng minh.

1.3

Điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric
(z, p) được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có

ρ(T x, T y) ≤ d(x, y)


16

Định lý 1.3.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert H . Ánh xạ T : C → C không giãn. Các mệnh đề sau tương đương
1) Tập F (T ) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng.
2) Với mọi x ∈ C dãy {T n x} bị chặn. Hơn nữa trong trường hợp này F (T )
là lồi đóng.

Chứng minh. 1) ⇒ 2) Do F (T ) không rỗng nên tồn tại u ∈ F (T ) khi đó

u = T u kéo theo {T n x} = {u} đo đó ta có 2).
2) ⇒ 1) Với mọi x ∈ C bất kỳ y ∈ C do T không giãn nên
0 ≤ T kx − y

2

− T k+1 x − y

= T kx − T y + T y − y
2

2

2

− T k+1 x − T y

2

2

kéo theo 0 ≤ T k x − T y − T k+1 x − T y + 2(T k x − T y ⊕ T y − y) Đặt
1 n−1 k
T x Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta được
Sn (x) =
n k=0

1

1
x − T y 2 + 2 (Sn (x) − T y, T y + y) + T y − y 2 − T n x − T y 2
n
n
Do {T n x} bị chặn nên {Sn x} bị chặn. Lại có {Sn x} là dãy trong C mà C là
tập lồi đóng của không gian Hilbert H nên {Sn x} là tập compact yếu. Do đó
{Sn x} có dãy con {Sni x} hội tụ yếu về phần tử p ∈ C
Vì vậy ta có 0 ≤ 2 (p − T y; T y − y) + T y − y 2 . Chọn y = p ta có

0≤

0 ≤ 2 (p − T p; T p − p) + T p − p
kéo theo T y − y

2

≤ 0 . Hay T p = p hay p ∈ F (T ) hay F (T ) = ∅.
Tiếp theo ta chứng minh F (t) là tập lồi, đóng. Rõ ràng, F (t) là tập đóng.
Với x, y ∈ F (T ) : 0 ≤ λ ≤ 1 đặt
z = zx + (1 − λ)y

Giả sử T z = z Theo đẳng thức hình bình hành, ta có

z + Tz
−x
2

2

+

1
z − Tz
4

2

=

1
z−x
2

≤ z − Tz

2
2

+

1
Tz − x
2

2


17

Do T là ánh xạ co không giãn nên

z − Tz
−x
2

2

≤ z−x

2

−

1
z − Tz
4

≤ z−y

2

−

1
z − Tz
4

2

≤ z−x

2

(1.1)

2

≤ z−y

2

(1.2)

Tương tự ta cũng có

z − Tz
−y
2

2

Từ (1.1) và (1.2) suy ra

z + Tz
z + Tz
−x +
−y
2
2

x−y ≤

< z−x + z−y ≤ x−y
Điều này vô lý. Do vậy T z = z hay z ∈ F (T ) Định lý đã được chứng minh
Hệ quả 1.3.1. Cho C là tập con, lồi đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H ,
ánh xạ T : C → C không giãn. Khi đó, T có một điểm bất động trong C
Định lý 1.3.2. (Xem [8], Chương 2, Định lý 2.3) Cho H là không gian Hilbert,
với u, v ∈ H cho r, B là các hằng số với 0 ≤ r ≤ R. Nếu tồn tại x ∈ H với
u+v
u − x ≤ R, v − x ≤ R và
− x ≥ r thì
2

u − v ≤ 2 R2 − r 2
Chứng minh. Theo đẳng thức hình bình hành ta có

u−v

2

+ v − x 2 − (u − x) + (v − x)
u+v
≤ 2R2 + 2R2 − 4
−x
2

=2 u−x

2

2

≤ 4 R2 − r 2
Định lý đã được chứng minh
Định lý 1.3.3. (Xem [8], Chương 2, Định lý 2.4) Cho H là không gian Hilbert,

C ⊆ H là tập bị chặn và F : C → C là ánh xạ không giãn. Giả sử x ∈ C, y ∈
x+y
C và a =
∈C
2


18

Kí hiệu δ(C) là đường kính của C và ε ≤ δ(C) sao cho x − F (x) < ε và
y − F (y) ≤ ε . Khi đó

√
a − F (a) ≤ 2 ε 2δ (c)
Chứng minh. Ta có

x−y ≤ x−

a + F (a)
a + F (a)
+ y−
2
2

không mất tính tổng quát ta giả sử rằng

x−
Do a − x =
Ta có

1
a + F (a)
x−y
≤
2
2

1
x−y
2

F (a) − x ≤ F (a) − F (x) + F (a) − x
1
≤ a−x +ε=
x−y +ε
2
1
1
x−y ,R=
x − y + ε, u = a và v = F (a) ta
Định lý (1.3.2) với r =
2
2
có

a − F (a) ≤ 2

1
x−y +ε
2

2

−

1
x−y
2

2

= 2 x − y ε + ε2
√
=2 ε x−y +ε
√
≤ 2 ε 2δ(c)

Định lý 1.3.4. (Định lý Brouwer-Gohcle-Kirk) (Xem [8], Chương 2, Định lý
2.2) Cho C là tập bị chặn, lồi, đóng khác rỗng của không gian Hilbert H ,

F : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, F có ít nhất một điểm bất động
trong C .


19

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 0 ∈ C(F (0)) = 0 với
mỗi n = 1, 3, ... ta đặt

Fn := 1 −

1
F :C→C
n

là ánh xạ co nên theo định lý Banach, tồn tại duy nhất xn ∈ C với

1
xn = Fn (xn ) = (1 − F (xn )).
n
Do đó

xn − F (xn ) =

1
1
F (xn ) ≤ δ (C) .
n
n

(1.3)

Trong đó δ (C) là kí hiệu đường kính của C . Với mỗi n ∈ {2, 3, ....} ta có

x ∈ C : x − F (x) ≤

Qn =

1
δ (C)
n

thì

Q2 ⊇ Q3 ⊇ ...Qn ⊇ ...
là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng. Đặt

dn = inf { x : x ∈ Qn } .
Từ Qn s là giảm nên ta có

d2 ≤ d3 ≤ ... ≤ dn ...; di ≤ δ(c).
Với mỗi i ∈ {2, 3....}. Do đó dn ↑ d với d ∈ δ(C).
Tiếp theo ta có

An = Qδn2 ∩ B 0, d +

1
.
n

Trong đó

B 0, d +

1

n

=

x∈H : x
1
.
n

Ta có An là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng. Bây giờ ta chỉ ra rằng

lim δ (An ) = 0.

n→∞