Ánh xạ giả aphin và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————————

VŨ ĐÌNH CÔNG

ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————————

VŨ ĐÌNH CÔNG

ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2014

2

Lời cám ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo
tận tình của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Thầy đã dành nhiều thời gian
hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm
luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà
Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
tại trường.
Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn này.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2014

3


Mục lục

Mở đầu

6

Một số kí hiệu

7

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Tích vô hướng và chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Tập đóng, tập mở

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4

Tập aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.5

Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.6

Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch . . . . . . . . . . . . . .

11

2 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG
2.1

2.2

12

Định nghĩa ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.1

Hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.2

Hàm giả tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.3

Ánh xạ giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.4

Ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Tính chất của ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1

2.2.2

Tính chất sơ cấp của ánh xạ giả aphin xác định trên toàn
không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Tính chất của ánh xạ giả aphin trong không gian 3-chiều

27

4


2.3

Ứng dụng của ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.1

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.2

Nghiệm duy nhất của bài toán chính quy . . . . . . . . .

38

2.3.3

Tính giả đơn điệu trong không gian một chiều . . . . . .

44

2.3.4

Tính giả đơn điệu trong không gian có số chiều lớn hơn
một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

46
52

Tài liệu tham khảo

53

5


Mở đầu
Trong Giải tích phi tuyến tính đơn điệu là một khái niệm cơ bản, có
vai trò quan trọng trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như:

Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bất
đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu....(xem [5] và những tài liệu dẫn
trong đó). Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được
những kết quả quan trọng về các ánh xạ đơn điệu suy rộng cùng ứng
dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các môn toán ứng
dụng (xem [6], [7], [8], và những tài liệu dẫn trong đó). Với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn những kiến thức đã học, mối quan hệ với những ứng
dụng của toán giải tích, tôi chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin và ứng
dụng" để làm luận văn tốt nghiệp.
Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản
nhất về lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu đặc biệt) và một
số ứng dụng của nó vào lý thuyết bất đẳng thức biến phân.
Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản
và quen biết sẽ dùng trong chương sau. Chương 2 trình bày về ánh xạ
giả aphin và ứng dụng của ánh xạ giả aphin vào việc nghiên cứu bài toán
bất đẳng thức biến phân.

6


Bảng một số kí hiệu

R
Rn
Rn+
T : X → Rm
dom(f )
∇f (x)
A∗
x, y hoặc xT y

||.||
|x|
[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}
sp (x1 ; x2 ; ...; xk )
sp(S)
l(x; y)
x + S = {x + y | y ∈ S}
R++ = (0; +∞)
R++ .S = tx | t ∈ R++ ; x ∈ S

đường thẳng thực
không gian Euclid n - chiều
Nón không âm trong Rn
ánh xạ đi từ X vào Rm
miền hữu hiệu của f
gradient của f tại x
liên hợp của toán tử A
tích vô hướng của x và y
chuẩn trong không gian Rn
trị tuyệt đối của số x
đoạn thẳng đóng nối x và y
là không gian con sinh bởi (x1 ; x2 ; ...; xk )
không gian con sinh bởi S
đường thẳng nối x và y
tổng của véc tơ x với tập S
tập số dương
tích tập số dương với tập S


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản, giúp chúng ta tiếp cận
định nghĩa ánh xạ giả aphin. Đây cũng là cơ sở để chúng ta nghiên cứu
các tính chất của ánh xạ giả aphin và các ứng dụng của nó ở chương sau.

1.1

Các khái niệm cơ bản

Tập hợp
Rn := {x = (x1 , ..., xn )T : x1 , ..., xn ∈ R},
trong đó

x1
 x2 
x = (x1 , ..., xn )T :=  .. 
.
xn


với hai phép toán
(x1 , ..., xn )T + (y1 , ..., yn )T := (x1 + y1 , ..., xn + yn )T
λ(x1 , ..., xn )T := (λx1 , ..., λxn )T ,

λ∈R

lập thành một không gian véc tơ thực n−chiều.
Nếu x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ
i của x. Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kí

hiệu đơn giản là 0, vậy 0 = (0, ..., 0)T .
8


Ta gọi hệ e1 = (1, 0, ..., 0)T , e2 = (0, 1, 0, ..., 0)T , ...en = (0, ..., 0, 1)T
là cơ sở chính tắc của không gian Rn .
1.1.1

Tích vô hướng và chuẩn

Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc ., . như sau: với x =
(x1 , ..., xn )T , y = (y1 , ..., yn )T ∈ Rn ,
n

x, y =

xi yi .
i=1

Khi đó với mọi x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn ta định nghĩa
n

x :=

(xi )2

x, x =
i=1

và gọi là chuẩn Euclid của véc tơ x.

Tích vô hướng chính tắc của x và y trong Rn còn được kí hiệu bởi
xT y .

Với tích vô hướng chính tắc ta có:
(i) x, y = y, x .
(ii ) x + x , y = x, y + x , y .
(iii) λ x, y = λx, y .
(iv) x, x ≥ 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Chuẩn Euclid có những tính chất sau:
(i) x ≥ 0 ∀x ∈ Rn , x = 0 ⇐⇒ x = 0.
(ii) λx = |λ| x
(iii) | x, y |

∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn .

x . y

∀x, y ∈ Rn , trong đó dấu bằng ” = ” xảy ra

khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
(iv) | x − y |

x+y

x + y

9

∀x, y ∈ Rn .

1.1.2

Tập đóng, tập mở

Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập
B(x0 , ε) := {x ∈ Rn :

x − x0 < ε}

là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0 , bán kính ε.
Định nghĩa 1.1. Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu với mọi x0 ∈ U , tồn
tại ε > 0 sao cho B(x0 , ε) ⊂ U.
Tập F ⊂ Rn gọi là đóng nếu U := Rn \ F là mở.
1.1.3

Tập lồi

Định nghĩa 1.2. Cho A là tập con của Rn , A là tập lồi nếu
∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A.

Nghĩa là nếu x; y ∈ A thì đoạn thẳng [x; y] ⊂ A.
Ví dụ 1.1. +) Rn ; ∅; {x} là các tập lồi.
+) x : aT x ≤ b - nửa không gian ngăn cách bởi đường
thẳng aT x = b là tập mở.
1.1.4

Tập aphin

Định nghĩa 1.3. Cho A là tập con của Rn , A là tập aphin nếu

∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A.

Nghĩa là nếu x; y ∈ A thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm trong A.
1.1.5

Gradient

Định nghĩa 1.4. Cho A là tập con của Rn . Hàm f : A → R biến
mỗi x = (x1 ; x2 ; ...; xn ) ∈ A thành f (x1 ; x2 ; ...; xn ). Khi đó Gradient
10


Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Tụy,(2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
[2] Monica Bianchi, Nicolas Hadjisavvas, Siegfried Schaible (2003)On
Pseudomonotone Maps T for which -T is also Pseudomonotone
, J. Conv. Anal., Volume 10, No. 1, pp. 149-168.
[3] J. Dugundij, A. Granas,(1982), Fixed point Theory, Vol. 1, Polish
Scientific Publishers, Warsaw.
[4] Monica Bianchi, Siegfried SchaibleAn Extension of Pseudolinear
function and Variational Inequality Problems, J. Optim. Appl.
Vol. 104, pp. 59-71.
[5] N. Hadjisavvas, S. Komlosi and S. Schaible,(2005), Handbook of
Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer.
[6] M. S. Gowda, (1990), Affine Pseudomonotone Mapping and the
Linear Complementarity Problem, SIAM J. Matrix Anal. Appl.
Vol. 11, No. 3, pp. 373-380.
[7] Pham Duy Khanh,(2012), Partial Solution for an Open Question
on Pseudomonotone Variational Inequalities, Appl. Anal.Vol. 91,

No. 9, pp.1691–1698.

53


[8] Pham Duy Khanh,(2013), On the Tikhonov Regularization of
Pseudomonotone Mapping, Optim. Lett. DOI 10.1007/s 11590-0130659-9.

54