Đáp án đề thi casio cấp tỉnh

đáp án
đề thi giải toán trên máy tính casio
cấp thpt năm 2007-2008

Quy ớc : - Các bài toán yêu cầu trình bày lời giải thì chỉ trình bày tóm tắt các
bớc giải và công thức áp dụng.
- Các kết quả gần đúng thì ghi dới dạng số thập phân với bốn chữ
số sau dấu phảy.
Câu 1: Cho hàm số:
11
)(
++
=
x
xxf
(với x > 0).
a) Tính f(1,2007).
b) Tính S = f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(10).
Kết quả
a) f(1,2007) 3,3547 (2,5đ)
b) S 36.986,5681 (2,5đ)
Câu 2: Giải gần đúng hệ phơng trình:





=
=
2007
2007

2
2
xy
yx
Cách giải
Trừ vế với vế hai phơng trình ta đợc: (x-y)(x+y+1) = 0



=
=

1yx
yx
(1đ)
*) Nếu x=y ta đợc phơng trình x
2
-x-
2007
=0. Tính trên máy ta đợc các
nghiệm: x=y 7,2119 và x=y -6,2119 (1,5đ)
*) Nếu x=-y-1 thì ta có phơng trình y
2
+y+1-
2007
=0. Tính trên máy ta đợc các
nghiệm:

1370,7
1370,6
;
1370,6
1370,7
y
x
y
x
(1,5đ)
Kết quả:










1370,7
13670,6

;
1370,6
1370,7
y
x
y
x
; x=y7,2119 và x=y-6,2119 (1đ)
1
Câu 3: Giải gần đúng phơng trình 2cos
2
(cosx) = 1+
3
1
.
Cách giải
PT

cos(2cosx) =
3
1
Zkkx
+=
,2)
3
1
arccos(
2
1
cos

.Vì -1 cosx 1 nên
k=0. PT
)
3
1
arccos(
2
1
cos
=
x
. (1đ)
*)
Zmmxx
+=
,20728,1)
3
1
arccos(
2
1
cos

(1,5đ)
*)
Zmmxx
+=
,20688,2)
3

1
arccos(
2
1
cos

(1,5đ)
Kết quả:
Zmmxmx
++
,20688,2,20728,1

(1đ)
Câu 4: Tính A = sin
2
50
0
+ cos12
0
-
020
20cot310 gtg
+
.
Kết quả
A -3,2123 (5đ)
Câu 5: Cho đa thức P(x) bậc 3 thoả mãn P(1) = 11, P(2) = 20, P(3) = 43, P(4)
= 86.
a) Xác định P(x).
b) Tính các giá trị cực trị của hàm số y = P(x).

Cách giải
a) Giả sử P(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d, a0. Từ P(1)=11, P(2)=20, P(3)=43, P(4)=86, ta
có hệ:







=+++
=+++
=+++
=+++
8641664
433927
20248
11
dcba
dcba
dcba
dcba
(1đ)
Giải hệ trên ta đợc P(x) = x
3
+x

2
-x+10 (1đ)
b) P(x) = 3x
2
+2x-1. P(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
. Các giá trị cực
trị của hàm số là y
CĐ
= P(x
1
) và y
CT
= P(x
2
). Tính trên máy ta đợc kết quả:
y
CĐ
= 11, y
CT
=
27
265
9,8148 (2đ)
a) Kết quả: P(x) = x
3
+x
2

-x+10 (0,5đ)
b) Kết quả: y
CĐ
= 11, y
CT
=
27
265
9,8148 (0,5đ)
Câu 6: Cho dãy số: u
n
= sin(
2007
n
) .
a) Chứng minh rằng tồn tại m, nN
*
; m, n > 1.000.000 thoả mãn |u
m
-u
n
| >1,9.
b) Hãy dự đoán về giới hạn của dãy u
n
.
Đáp số
a) Chẳng hạn: m = 1.011.980; n = 1.005.676 thì |u
m
-u
n

| 1,999999901>1,9.
2
(4đ)
b) Không tồn tại giới hạn của dãy số trên theo tiêu chuẩn Cauchy (1đ)
Câu 7: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
200711x25x
2008x3x
P
2
2
++
++
=
.
Kết quả
MinP 0,0400; MaxP 1,0008 (5đ)
Câu 8: Một đa giác đều 2007 cạnh nội tiếp trong một hình tròn bán kính bằng
10 cm. Tính diện tích đa giác đều trên.
Kết quả
S 314,1588 cm
2
(5đ)
Câu 9: Cho khối tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là các trung
điểm của AB, AC, AD, BC, CD, DB. Biết rằng thể tích khối bát diện đều
MQNPSR bằng 10 cm
3
. Tính độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.
Cách giải
A
M P

N
B S D
Q R
C
Gọi V là thể tích khối A.BCD và V
1
là thể tích khối bát diện đều MQNPSR. Ta
có: V
1
=V-V(A.MNP)-V(B.MQS)-V(C.QRN)-V(D.PRS) (1đ)
Mặt khác: V(A.MNP) = V(B.MQS) = V(C.QRN) = V(D.PRS) =
=V.
AD
AP
AC
AN
AB
AM
..
=
V
8
1
V
1
=
V
2
1
(1đ)

Gọi a độ dài cạnh của tứ diện ABCD. Thể tích V=
12
2
.
3
a
V
1
=
24
2
.
3
a
(1đ)
Vì V =10 cm
3
nên
24
2
.
3
a
=10 a 5,5365 cm (1đ)
Kết quả: a 5,5365 cm (1đ)
Câu 10: Tính giới hạn L =
x
)1(4xx)10(lgcosx1)(x
323x
0x

Lim
+++++++

xx
.
Cách giải
Đặt f(x) =
323x
)1(4xx)10(lgcosx1)(x
+++++++
xx
. Khi đó f(0) = 0. Vậy:
3
L=
).0('
0
)0()(
0
f
x
fxf
Lim
x
=



Tính trên máy ta đợc: L -3,2500 (4đ)
Kết quả: L -3,2500 (1đ)
Ghi chú:

+Các kết quả đợc làm theo cách khác đáp án, với kiến thức trong ch-
ơng trình THPT, thì vẫn cho điểm theo các phần tơng ứng.
+ Các kết quả gần đúng, nếu chỉ sai chữ số cuối cùng thì trừ 1/2 số
điểm câu đó; các đáp án có đơn vị, nếu thí sinh không ghi đơn vị thì trừ 0,5đ/
một lần ghi thiếu.
4