giáo án đại số, giải tích 12

Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Chương I : HÀM SỐ LƯNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Tiết 1 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC

I – Mục tiêu
1. Kiến thức
 Hiểu được khái niệm hàm số lượng giác (của biến số thực).

α

 HS nắm được các đònh nghóa : Các giá trò lượng giác của cung , các hàm số lượng giác
của biến số thực.
2. Kỹ năng
 Xác đònh được : Tập xác đònh ; tính chất chẵn, lẻ ; tính tuần hoàn ; chu kì ; khoảng đồng
biến nghòch biến của các hàm số y = sinx ; y = cosx ;
 Vẽđược đồ thò của các hàm số y = sinx ; y = cosx ;
3. Thái độ
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II – Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Tài liệu tham khảo, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà, thước kẻ, compa
III – Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV – Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: (2’)Kiểm diện sỉ số, ổn đònh tổ chức lớp
1

sin α − cos α =
2α
5
2. Kiểm tra bài cũ: (5’)Tính các giá trò lượng giác của
biết
3. Giảng bài mới:


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
TG
7’

Hoạt động của giáo viên và học sinh
Hoạt động 1 :
a) Nhắc lại bảng giá trò lượng giác của các
cung đặc biệt.
b) Tính các giá trò của sinx, cosx bằng máy

π
6

tính cầm tay với x là các số : , 1,5 ; 3,14 ;
4,356.
c) Trên đường tròn lượng giác, hãy xác
đònh các điểm M mà số đo của cung AM
bằng x (rad) tương ứng đã cho ở câu b) nêu
trên và xác đònh sinx, cosx (lấy
7’

π ≈ 3,14

Hoạt động 3 : Đặt tương ứng mỗi số thực x
với một điểm M trên đường tròn lượng giác
mà số đo của cung AM bằng x. Nhận xét về
điểm M tìm được?Xác đònh giá trò cosx tương
ứng?

7’

I – Đònh nghóa

1 – Hàm số sin và hàm số cosin
a) Hàm số sin

Cách xác
đònh
sin của
lượng
giác
Cách
biểu
diểncung
điểm
M’(x;sinx)

)

Hoạt động 2 : Đặt tương ứng mỗi số thực x
với một điểm M trên đường tròn lượng giác
mà số đo của cung AM bằng x. Nhận xét về

điểm M tìm được?Xác đònh giá trò sinx tương
ứng?
Xác đònh tập xác đònh của hàm số
y = sinx.

- Xác đònh tập xác đònh của hàm số
y = cosx.

Nội dung bài học

Đònh nghóa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số
thực sinx

sin :

R →R
x a y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu
y = sin.
b) Hàm số cosin

Cách biểu diển điểm M’=(x;cosx)

đònh nghóa: Cách xác đònh cos của cung lượng giác
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số
thực cosx

cos :

R →R
x a y = co s x

được gọi là hàm số cosin,
KH : y = cosx
2 – Hàm số tang và cotang


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
a) Hàm số tang
Hàm số tang là hàm sốđược xác đònh
bởi công thức
Hoạt đông 1: Nhắc lại kiến thức về giá trò
lượng giác tang đã học ở lớp 10.

y=

sin x
cos x

(cosx ≠ 0)

Kí hiệu là y = tanx.

x≠

7’

- Tập xác đònh của hàm số y = tanx ???

- Nhắc lại kiến thức về giá trò lượng giác
cotang đã học ở lớp 10.

7’

- Tập xác đònh của hàm số y = cotx ???
- So sánh các giá trò của sinx và
sin(-x), cosx và cos(-x).Từ đó rút ra được
gì???

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

Vì cosx ≠ 0 khi và chỉ khi
Nên tập xác đònh của hàm số y = tanx là:

π

D = R \  + kπ , k ∈ Z 
2

b) Hàm số cotang
Hàm số cotang là hàm sốđược xác đònh
bởi công thức

y=

cos x
sin x

(sinx ≠ 0)

Kí hiệu là y = cotx

x ≠ kπ ( k ∈ Z )

Vì sinx ≠ 0 khi và chỉ khi
Nên tập xác đònh của hàm số y = cotx là:

D = R \ { kπ , k ∈ Z }

4. Củng cố và luyện tập ( 3’)
 Câu hỏi 1:Nhắc lại đònh nghóa hàm số sin và cosin, tan, cot. Cho biết tập xác đònh của
chúng.

y=

1 + sin x
cos x

 Tìm TXĐ của các hàm số sau :
5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
Về học bài, làm bài tập1,2 trang 17/ SGK


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Tiết 2: HÀM SỐ LƯNG GIÁC (T2)

I – Mục tiêu
1. Kiến thức
 Hiểu được khái niệm hàm số lượng giác (của biến số thực).

α

 HS nắm được các đònh nghóa : Các giá trò lượng giác của cung , các hàm số lượng giác
của biến số thực.
2. Kỹ năng
 Xác đònh được : Tập xác đònh ; tính chất chẵn, lẻ ; tính tuần hoàn ; chu kì ; khoảng đồng
biến nghòch biến của các hàm số ; y = tanx ; y = cotx,
 Vẽđược đồ thò của các hàm số y = tanx ; y = cotx.
3. Thái độ
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II – Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Tài liệu tham khảo, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà, thước kẻ, compa
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV – Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: Kiểm diện só số, ổn đònh tổ chức lớp (2’)
2 . Kiểm tra bài cũ: Đònh nghóa hàm số sin, hàm số cos, miền xác đònh và miền giá
trò của hai hàm số(5’)
3. Giảng bài mới:
TG
Hoạt động của giáo viên và học
Nội dung bài học
sinh

10’

Hoạt động 2: Tìm những số T sao II – Tính tuần hoàn của hàm số
cho f(x+T)=f(x) với mọi x thuộc
Đònh nghóa : Hàm số y=f(x) có tập xác
tập xác đònh của hàm số sau :
đònh D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn
∈
a) f(x)=sinx
tạ
i
mộ
t
số
T≠
0
sao
cho
mọ
i
x
D ta có :
b) f(x)=tanx
∈
∈
a) x – T D và x + T D;
b) f(x+T) = f(x).
Số T dương nhỏ nhất thõa mãn các tính chất
trên gọiù là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Hàm số y = sinx và hàm số y = cosx tuần
Hoạt động 1 : Hệ thống hóa về tập


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
2π
xác đònh, tập giá trò, tính chẵn, lẻ
hoàn với chu kì
của hàm y=sinx
Hàm số y = tanx và hàmsố y = cotx tuần

π

Hoạt động 2 : Khảo sát sự biến hoàn với chu kì
thiên và vẽ đồ thò hàm số y=sinx
III – Sự biến thiên và đồ thò của hàm số
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ lượng giác
π
1 – Hàm số y=sinx
thò hàm số y=sinx trên đọan [0; ]
- HS quan sát hình vẽ 3, trang 7 Ta thấy hàm số y=sinx :
10’

−1 ≤ sin x ≤ 1
∈R
và trả lời câu hỏi:
 Xác đònh với mọi x
và
+ Nêu quan hệ giữa x 1 với x2 , x1
;

với x4 , x2 với x3 , x3 với x4 ; Nêu
 Là hàm số lẻ ;
quan hệ giữa sinx1 với sinx2 và sinx3
π
với sinx4
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số
y=sinx trên đoạn [0;

π

Xét các số thực :

x3 = π − x2

]

0≤ x1 ,x2 ≤

π
2

x4 = π − x1

. Đặt

và
. Ta biểu diển
chúng trên đường tròn lượng giác và xét sinx
tương ứng.

HS: Lập bảng biến thiên
10’

? Suy ra đồ thò hàm số trên

π π

đoạn [- , ]

KL: Hàm số y=sinx đồng biến trên

 π
0; 2 


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Chú ý : Hàm số lẻ có đồ thò đối
π 
 2 ; π 
xứng qua gốc tọa độ.
Vậy ta đã phát họa được đồ thò hàm và nghòch biến trên
π π
Bảng biến thiên :
số y=sinx trên đoạn [- , ]
x
0

π
2

π
1

y=sinx
0

0

Đồ thò của hàm số y=sinx trên đoạn [0;
qua các điểm(0;0),(x1,sinx1);

π

π 
 ;1 ÷
2 

] đi

π

(x2, sinx2),
, (x3, sinx3), (x4, sinx4) ,(
;0).
b) Đồ thò hàm số y= sinx trên R:
Do hàm số y=sinx tuần hoàn với chu kì 2

π

nên ta tònh tiến đồ thò của hàm y=sinx trên

π π

r
v = ( 2π ,0 )

[ ;- ] theo vectơ
thò hàm số y = sinx trên R.

ta sẽ được đồ

4. Củng cố và luyện tập (8’)
 Câu hỏi 2: Nhắc lại đònh nghóa hàm số tang và cotang. Cho biết tập giá trò của chúng.
 Tìm TXĐ của hàm số sau :

π

y = tan  x − ÷
4

5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
Về học bài, làm bài tập1,2 trang 17/ SGK


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Tiết 3 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC (T3)
I – Mục tiêu
1. Kiến thức

 Hiểu được khái niệm hàm số lượng giác (của biến số thực).

α

 HS nắm được các đònh nghóa : Các giá trò lượng giác của cung , các hàm số lượng giác
của biến số thực.
2. Kỹ năng
 Xác đònh được : Tập xác đònh ; tính chất chẵn, lẻ ; tính tuần hoàn ; chu kì ; khoảng đồng
biến nghòch biến của hàm số ; y = cosx
 Vẽđược đồ thò của các hàm số y = cosx
3. Thái độ
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II– Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Mô hình đường tròn lượng giác, thước kẻ, compa
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà,thước kẻ, compa
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV – Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: Kiểm diện sỉ số, ổn đònh tổ chức lớp (3’)
2. Kiểm tra bài cũ: Vẽ độ thò hàm số y=sinx( 7’)
3. Giảng bài mới:
TG

Hoạt động của giáo viên và học sinh

Nội dung bài học
III – Sự biến thiên và đồ thò của hàm số lượng
giác

-Yêu cầu học sinh nêu các tính chất đã biết
về hàm số y= cosx

2 – Hàm số y=cosx
Ta thấy hàm số y=cosx :

10’

 Xác đònh với mọi x
 Là hàm số chẵn ;

∈R

và

−1 ≤ cos x ≤ 1

π

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .
Ta có :

;


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
π

sin  x + ÷ = cos x

2

Từ đó bằng cách tònh tiến đồ thò hàm số y=sinx theo
12’
vectơ

r  π 
u =  − ;0 ÷
 2 

ta được đồ thò hàm số y=cosx.

Hàm số y=cosx đồng biến trên đoạn [-

π

Hoạt động : Hệ thống hóa về tập xác đònh,
tập giá trò, tính chẵn, lẻ của hàm y=cosx
Hoạt động 1 : Hệ thống hóa về tập xác
đònh, tập giá trò, tính chẵn, lẻ của hàm
y=tanx

Hoạt động 2: Hướng dẫn hs cách chon các
điểm x1 , x2 trong sgk.
- So sánh tanx1 và tanx2 .Từ đó rút ra kết
luận gì??

Hướng dẫn học sinh lập bảng biến thiên.
Bảng biến thiên :

π

;0] và đồng

biến trên đọan [0; ].
Bảng biến thiên :
x

-

π

π

0
1

y = cosx
-1

-1

Đồ thò của hàm số y = sinx, y = cosx được gọi
chung là các đường hình sin.
3 - Hàm số y = tanx
Ta thấy hàm số y = tanx :

 Có tập xác đònh là
 Là hàm số lẻ;

π

D = R \  + kπ , k ∈ Z 
2


π

Hoạt động 3 : Hệ thống hóa về tập xác  Là hàm số tuần hoàn với chu kì
đònh, tập giá trò, tính chẵn, lẻ của hàm a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = tanx trên
y=cotx
 π
nửa khoảng

0; 2 ÷

(sgk)


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Cách vẽ đồ thò (Xem sgk).
b) Đồ thò hàm số y=tanx trên D
Sgk
4 – Hàm số y=cotx
Từ đònh nghóa ta thấy:
 Có tập xác đònh là
 Là hàm số lẻ;

D = R \ { kπ , k ∈ Z }

π

 Là hàm số tuần hòan với chu kì
a)Sự biến thiên vàđồ thò hàm so áy=cotx trên
khoảng

( 0; π )

Hàm số y= cotx nghòch biến trên khoảng
b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D
Xem sgk

4. Củng cố và luyện tập( 10’)
Nhắc lại cách vẽ đồ thò hàm số y=cosx.
Bài tập 5,7 SGK
5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà( 3’)
Về học bài, làm bài tập cuối trang

( 0;π )


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Tiết 4 : LUYỆN TẬP HÀM SỐ LƯNG GIÁC
I - Mục tiêu :
1. Kiến thức:
 Hiểu được khái niệm hàm số lượng giác (của biến số thực).

α

 HS nắm được các đònh nghóa : Các giá trò lượng giác của cung , các hàm số lượng giác
của biến số thực.
2. Kỹ năng:
 Xác đònh được : Tập xác đònh ; tính chất chẵn, lẻ ; tính tuần hoàn ; chu kì ; khoảng đồng
biến nghòch biến của các hàm số y = sinx ; y = cosx ; y = tanx ; y = cotx,
 Vẽđược đồ thò của các hàm số y = sinx ; y = cosx ; y = tanx ; y = cotx.
3. Thái độ:
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II– Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Tài liệu tham khảo, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh:Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà., thước kẻ, compa
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, luyện tập, thuyết trình nêu vấn đề.
IV– Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: Kiểm diện sĩ số, ổn đònh tổ chức lớp( 2’)
2. Kiểm tra bài cũ: Nêu tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác?(5’)
3. Giảng bài mới:
TG
10’

Hoạt động của giáo viên và học sinh
Bài tập 1 :Hãy xác đònh các giá trò của x trên

3π 

 −π ; 2 

Nội dung
Hs làm các câu a), b), c), d) :

 3π π 5π 
x ∈ − ; ; 
 4 4 4 

đoạn
để hàm số y=tanx :
a) Nhận giá trò bằng 0:
b) Nhận giá trò bằng 1;
c) Nhận giá trò dương;
d) Nhận giá trò âm.
GV :Vẽ hình hướng dẫn học sinh làm câu a)

b) tanx=1 tại
c) tanx >0 khi

a) tanx=0 tại x

d) tanx < 0 khi

∈ { −π ;0; π }

π   π   3π 

x ∈  −π ; − ÷∪  0; ÷∪  π ; ÷
2  2 
2 


 π  π 
x ∈  − ;0 ÷∪  ; π ÷
 2  2 


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
10’

Bài tập 2 : Tìm tập xác đònh của các hàm số:

y=
a)

1 + cos x
sin x

y=
b)

π

y = tan  x − ÷
3


1 + cos x
1 − cos x

Giải :
a)Hàm số xác đònh khi

⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z

π

y = cot  x + ÷
6


c)
d)
GV : Gọi học sinh lên bảng để giải quyết các
bài tập
- Nhắc lại tập xác đònh của hàm số y = tanx

sin x ≠ 0

.Vậy

D = R \ { kπ , k ∈ Z }
b) Vì

1 + cos x ≥ 0

1 − cos x > 0

hay

nên hàm số xác đònh khi

cos x ≠ 1

⇔ x ≠ k 2π , k ∈ Z

.Vậy tập xác đònh

D = R \ { k 2π , k ∈ Z }

7’

- nhắc lại tập xác đònh của hàm y = cotx
c) Hàm số xác đònh khi
Bài tập 3
π π
x − ≠ + kπ , k ∈ Z
Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số

3

2
5π
⇔x≠
+ kπ , k ∈ Z
6

a ) y = 2 + sin x

b) y = cos x + sin x
GV : Gọi hs lên bảng làm để làm :
Gợi ý : a) Nhắc lại tập giá trò của hàm số

y=sinx.
b) Nhắc lại công thức lượng giác đã học ở lớp
10.
Nhắc lại công thức sinx + cosx = ???
Tập giá trò của hàm y=sinx

Vậy tập xác đònh

 5π

D = R \  + kπ , k ∈ Z 
 6

d) Hàm số xác đònh khi

x+

π
π
≠ kπ ⇔ x ≠ − + k π , k ∈ Z
6
6

Vậy tập xác đònh là

 π

D = R \  − + kπ , k ∈ Z 
 6


- Trường hợp đặt biệt sinx = 1
Giải :
a) Ta có :

−1 ≤ sin x ≤ 1

nên

1 ≤ 2 + sin x ≤ 3

1 ≤ y ≤ 3 ⇒ ymax = 3

⇔x=
sinx=1

khi

π
+ k 2π , k ∈ Z
2

Vậy


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
ymin = 1


khi

⇔x=−
sinx= -1
b) Ta có :

π
+ k 2π , k ∈ Z
2

π

sin x + cos x = 2 sin  x + ÷
4


Mà

π

−1 ≤ sin  x + ÷ ≤ 1
4


nên

− 2≤ y≤ 2
4. Củng cố và luyện tập( 7’)
 Bài tập 1: Tìm tập xác đònh của các hàm số sau :

y=

1 + tan x
sin x

a)
 Bài tập 2: Xác đònh giá trò lớn nhất và nhỏ nhất

y = 1 − cos x

b)

5π 

y = cot  x −
÷
4 


y = cos 2 x − cos x

a)
b)
5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà(3’ )
Đọc bài đọc thêm trong sgk để hiểu thêm về hàm số tuần hoàn.
Về học bài, làm bài tập cuối trang 17,18/ SGK và các bài trong sách bài tập.


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Tiết 5 : LUYỆN TẬP HÀM SỐ LƯNG GIÁC(T2)
I – Mục tiêu
1.Kiến thức:
 Hiểu được khái niệm hàm số lượng giác (của biến số thực).

α

 HS nắm được các đònh nghóa : Các giá trò lượng giác của cung , các hàm số lượng giác
của biến số thực.
2.Kỹ năng:
 Xác đònh được : Tập xác đònh ; tính chất chẵn, lẻ ; tính tuần hoàn ; chu kì ; khoảng đồng
biến nghòch biến của các hàm số y = sinx ; y = cosx ; y = tanx ; y = cotx,
 Vẽđược đồ thò của các hàm số y = sinx ; y = cosx ; y = tanx ; y = cotx.
3.Thái độ:
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4.Năng lực
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II– Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Tài liệu tham khảo, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà., thước kẻ, compa
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV– Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: Kiểm diện sỉ số, ổn đònh tổ chức lớp ( 3’)
2. Kiểm tra bài cũ: Xác đònh : Tập xác đònh ; tính chất chẵn, lẻ ; tính tuần hoàn chu
kì ; khoảng đồng biến nghòch biến của các hàm số y = sinx ; y = cosx ; y = tanx ; y = cotx,(7’)
3. Giảng bài mới:
TG

7’

Hoạt động của giáo viên và học sinh
Bài tập 3 sgk/17
- Nhắc lại đồ thò hàm số y = sinx
- Cho Hs nhận xét về khoảng của x ma
ø y <0

Nội dung
Giải :

Ta có :
Mà

 sin x nếu sin x ≥ 0
sin x = 
− sin x nếu sin x < 0

sin x < 0 ⇔ x ∈ ( π + k 2π ; 2π + k 2π )

k ∈Z

,

Nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thò của
hàm số y = sinx trên các khoảng này, còn giữ
nguyên phần đồ thò của hàm số y=sinx trên các


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
đoạn còn lại, ta được đồ thò của hàm số

y = sin x

như hình sau :
10’
Bài tập 8 sgk/18
- Nhắc lại tập giá trò của hàm số y = sinx và
hàm số y = cosx.
- Gọi hai học sinh lên bảng làm câu a),b)

Giải :
a)

y = 2 cos x + 1

Ta có

cos x ≤ 1

(ĐK : cosx > 0)

nên

cos x ≤ 1

⇒ 2 cos x ≤ 2
12’

⇒ 2 cos x + 1 ≤ 3
Bài tập thêm

Xác đònh tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

y=
a)
c)

cos 2x
x

b)

y = 1 − cos x

y = x − sin x

d)

y = sin x + cos x

Gv: Nhắc lại cách xác đònh hàm số chẵn lẻ

d)

y = sin x + cos x

TXĐ D=R . Với mọi

. Vậy

ymax = 3

cos x = 1 ⇔ x = 2kπ , k ∈ Z
b) y = 3 – 2sinx
Ta có
ra

−1 ≤ sin x ≤ 1

nên

khi

−2 ≤ 2sin x ≤ 2

3 − 2 ≤ 3 − 2sin x ≤ 3 − ( −2)

. Suy

⇒ 1 ≤ 3 − 2sin x ≤ 5

Vậy

ymax = 5

khi

sin x = −1 ⇔ x =

π
+ k 2π , k ∈ Z

2

Giải

x∈D

ta có :

f (− x ) = sin(− x) + cos(− x ) = − sin x + cos x
f (− x) ≠ f ( x) và

f ( − x) ≠ − f ( x )

Ta thấy
Nên hàm f không chẵn cũng không lẻ.

y=
a)

cos 2x
x

TXĐ D=R\{0} . Với mọi

f ( −x) =

x∈D

ta có :

cos 2( − x)
cos 2 x
=−
= − f ( x)
−x
x

Vậy f là hàm lẻ.


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
b)

y = x − sin x

TXĐ D=R . Với mọi

x∈D

ta có :

f (− x) = (− x ) − sin(− x ) = − x + sin x
= − ( x − sin x ) = − f ( x )

Vậy f là hàm lẻ.
c)

y = 1 − cos x

TXĐ D=R . Với mọi

x∈D

ta có :

f ( − x) = 1 − cos( − x) = 1 − cos x = f ( x)
Vậy f là hàm chẵn.
4. Củng cố : Vẽ đồ thò của các hàm số sau (5 ‘)

y = cos x

y = 1 + sin x

a)
b)
5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà( 1’)

c)

π

y = tan  x + ÷
4



Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Tiết 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN

I - Mục đích
1. Kiến thức
 Biết được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a.
 Nắm được điều kiện của a để phương trình sinx = a. Biết công thức nghiệm.
2. Kó năng
 Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản sinx = a, biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ
tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
 Biết các viết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trong trường hợp số
đo bằng radian và số đo được cho bằng độ.

arcsin a; arccos a ;arctan a; arc cot a

 Biết cách sử dụng các kí hiệu
khi viết công thức
nghiệm của phương trình lượng giác.
3. Thái độ
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II– Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Tài liệu tham khảo, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà, thước kẻ, compa.
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, luyện tập, thuyết trình nêu vấn đề.
IV– Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: Kiểm diện sỉ số, ổn đònh tổ chức lớp( 3’ )
2. Kiểm tra bài cũ:Nhắc lại đònh nghóa giá trò lượng giác của một cung lượng giác.
(3’)
3. Giảng bài mới:

Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017

TG
15’

Hoạt động của giáo viên và học sinh
Hoạt động 1 : Có giá trò nào của x thỏa mãn
phương trình sinx = -2 .
- Xét sinx = a
Gv giao nhiệm vụ :

a >1

Trường hợp

Nội dung
1. Phương trình sinx = a (1)

a >1

a)Trường hợp

sin x ≤ 1

Phương trình (1) vô nghiệm, vì

với mọi x.

a ≤1

a ≤1

Trường hợp
- Minh họa trên đường tròn lượng giác tâm O
- Kết luận nghiệm của phương trình sinx = a
là :

 x = α + k 2π , k ∈ Z
 x = π − α + k 2π , k ∈ Z


b) Trường hợp
Phương trình (1) có nghiệm là :

 x = arcsin a + k 2π
 x = π − arcsin a + k 2π

Trong đó:

arcsin a = α

(đọc là ac-sin-a, nghóa là

cung có sin bằng a) Nếu số thực

kiện

,k ∈ Z
,k ∈ Z

α

thỏa mãn điều

π
 π
− ≤ α ≤
2
 2
sin α = a

Chú ý :

sin x = sin α

10’

-Gv gọi Hs lên làm các ví dụ sgk
Bài tập : Giải các phương trình :

a)
c)

π 1

sin  x + ÷ =
4 2

sin 3 x = 0

5π

sin  5 x +
4


b)

1) Phương trình
trước có các nghiệm là :

 3
÷− = 0
 2

- Gv gọi Hs lên bảng làm những ví dụ sách
giáo khoa.

là số cho

 x = α + k 2π , k ∈ ¢
 x = π − α + k 2π , k ∈ ¢


sin ( −2 x ) = 1

d)

, với

α

sin f ( x) = sin g ( x)

Tổng quát :

 f ( x) = g ( x) + k 2π , k ∈ Z
⇔
 f ( x) = π − g ( x) + k 2π , k ∈ Z

2) Phương trình

sin x = sin β 0

có các nghiệm là :

 x = β + k 360 , k ∈ Z

0
0
0
 x = 180 − β + k 360 , k ∈ Z
0

0

3) Trong một công thức nghiệm không dùng đồng

Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
thời hai đơn vò độ và radian
4) Các trường hợp đặc biệt (sgk/20)
4. Củng cố : Giải các phương trình sau : ( 12’)

sin 2 x = −
a)

3
2

2π

sin  2 x +
3


1

÷= −
2


b)
5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà(2’)
Về học bài và làm bài tập 1,2 trang 28,29
Ngày giảng:

sin(3 x − 75) =
c)

2
2

Tiết 7: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN(tt)
I - Mục đích
1. Kiến thức:
 Biết được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a.
 Nắm được điều kiện của a để phương trình cosx = a có nghiệm . Biết công thức nghiệm.
2. Kỹ năng:
 Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản cosx = a , biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ
trợ tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
 Biết các viết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trong trường hợp số
đo bằng radian và số đo được cho bằng độ.
 Biết cách sử dụng các kí hiệu khi viết công thức nghiệm của phương trình lượng giác.
3. Thái độ:
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực:
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II - Chuẩn bò:
1. Giáo viên:Tài liệu tham khảo, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà, thước kẻ, compa.
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV - Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: Kiểm diện sỉ số, ổn đònh tổ chức lớp ( 3’)
2. Kiểm tra b cũ: (5’)
Nêu các bước giải phương trình lượng giác : sinx = a
3. Giảng bài mới:
Hoạt động của GV - HS

Hoạt động 1 :

Nội dung ghi bảng
2. Phương trình cosx = a


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
a >1

- Nhắc lại tập giá trò của hàm y = cosx

a ≤1

10’

a)Trường hợp

- Trường hợp
Minh họa trên đường tròn lượng giác
tâm O

cos x ≤ 1

Phương trình vô nghiệm, vì

với mọi x.

a ≤1

b) Trường hợp

Phương trình (1) có nghiệm là :

x = ± arccos a + k 2π , k ∈ Z
sin

Trong đó:

M
OP

arccos a = α

(đọc là ac-cosin-a,

nghóa là cung có cos bằng a) Nếu số thực

a
cosin

thỏa mãn

M’

10’

α

điều kiện

0 ≤ α ≤ π


cos α = a

Chú ý :
1) Phương trình

cos x = cos α

, với

α

là số cho

trước có các nghiệm là :

x = ±α + k 2π , k ∈ Z

Tổng quát :
-Gv gọi Hs giải thích ý nghóa của
arccos a

2) Phương trình

arccos a = α

(đọc là ac-cosin-a,
nghóa là cung có cosin bằng a) Nếu số

α

cos f ( x) = cos g ( x) ⇔ f ( x) = ± g ( x) + k 2π , k ∈ Z

0 ≤ α ≤ π

cos α = a

thực thỏa mãn điều kiện
- Và ta cũng có những chú ý giống như
đối với phương trình sinx = a.
-Hoạt động 2 : Gọi Hs lên bảng giải

cos x = cos β 0

có các nghiệm là :

x = ± β + k 360 , k ∈ Z
0

3) Các trường hợp đặc biệt

cos x = 0 ⇔ x =


π
+ kπ , k ∈ Z
2

cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ Z


0


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z

những ví dụ trong sách giáo khoa.


4.Củng cố ( 15 ‘)
Giải các phương trình sau :

Cos3x = −

3
2

5π

cos  2 x +
3


1

÷= −
2


a)
b)
5. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà( 2’)
Về xem lại các ví dụ để nắm vững kiến thức.
Về học bài và làm bài tập 1,2 trang 28,29

c)

 3 x 4π
sin 2 x cos  −
3
 2


÷= 0


Ngày giảng:

Tiết 8: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN(tt)
I - Mục đích
1. Kiến thức
 Biết được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a.
 Nắm được điều kiện của a để phương trình có nghiệm :tanx = a . Biết công thức nghiệm.
2. Kó năng
 Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản: tanx = a , biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ
trợ tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
 Biết các viết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trong trường hợp số
đo bằng radian và số đo được cho bằng độ.

arcsin a; arccos a ;arctan a; arc cot a

 Biết cách sử dụng các kí hiệu
nghiệm của phương trình lượng giác.
4. Thái độ
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
5. Năng lực:

khi viết công thức


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II – Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Mô hình đường tròn lượng giác, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà, thước kẻ, compa
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV– Tiến trình bài học
1. Ổn đònh tổ chức: ( 2’)Kiểm diện sĩ số, ổn đònh tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: ( 10’)
Trắc nhiệm nhanh
1. Tìm m đđể pt sin 2x = 2m có nghiệm.

m ≤1
a.

b.

1

2

m≤

m ≥1
c.

1
2

2. PT sinx=
có bao nhiêu nghiệm
a.1
b.2
c.3
3. Nghiệm của pt sin3x = 0 là:

a. x = k

π

b. x= k3

π

c. x= k

4. Nghiệm của pt cos ( 2x + 300) = -

 x = 90 + k360


0
0
 x = −150 + k360
0

A.

C.

d.

1
2

x ∈ (00 , 2700 )
d.4

π
3
1
2

d.x=

π
3

+k

π

là:

0

 x = −90 + k180

0
0
 x = 150 + k180
0

m≥

B.

0

 x = 450 + k1800

0
0
 x = −75 + k180

D.

.

 x = 45 + k360


0
0
 x = −75 + k360
0

3. Giảng bài mới:
TG
Hoạt động của giáo viên và học sinh
- Nhắc lại TXĐ của hàm số y =tanx
- Vẽ lại đồ thò của hàm y= tanx
Kẻ đường thẳng y = a
- Gọi Hs nhận xét về số giao điểm của đường
thẳng y = a với đồ thò y= tanx và mối quan hệ
giữa các giao điểm đó
- Hoành độ của mỗi giao điểm đó là một

0

Nội dung
3.Phương trình tanx = a

x≠

π
+ kπ
2

( k ∈ Z)

Điều kiện :
Ta thấy đồ thò hàm số y=tanx cắt đường thẳng
y= a tại các điểm có hoành độ sai khác nhau
một bội của

π

( xem hình 16sgk)


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
nghiệm của phương trình tanx = a

Vì thế phương trình tanx = a có nghiệm là :

x = arctan a + kπ , k ∈ Z
7’

arctan a

Trong đó : x1 =
(đọc là ac-tang-a,
nghóa là cung có tan bằng a) với x1 thỏa điều

Giải ví dụ 3 sgk trang 24
GV: chú ý với các giá trò đặc biệt của a

O, 1/2,
dạng pt
biệt

2
2

,

3
2

−
kiện

π
π
≤ x1 ≤
2
2

, 1 thì pt tanx = a đưa về Chú ý :

tan x = tan α

với

α

tan x = tan α

là giá trò đặc a) Phương trình
trướcó nghiệm là

, với

α

là số cho

x = α + kπ , k ∈ Z

Tổng quát :

10’

tan f ( x) = tan g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ Z

- Giải ví dụ 4 sgk trang 26
b) Phương trình

tan x = tan β 0

có các nghiệm là

x = β + k 360 , k ∈ Z
0

8’

0

:

VD: Giải pt:
Giải ví dụ 3 sgk trang 24
A) tanx = 0
B) tanx =1
Họat động 2 : Phương trình cotx = a
C) tanx = -1
- Nhắc lại điều kiện xác đònh của hàm số
D) tan( 2x+150) = cotx
y = tanx
4.Phương trình cotx = a
- Gọi Hs lên vẽ đồ thò hàm số y = cotx
x ≠ kπ , k ∈ ¢
-Vẽ thêm đường thẳng y = a. Tim các giao ĐK :
điểm của đường thẳng đó và đồ thò. Nhận xét phương trình tanx = a có nghiệm là :
về các giao điểm đó.

x = arccot a + kπ , k ∈ Z

Chú ý pt cotx = a, với a là các giá trò đặc
biệt, đưa về pt
biệt

cot x = cot α

, với

α

arccot a

Trong đó : x1 =
(đọc là ac-cotang-a,
là số đặc nghóa là cung có tan bằng a) với x1 thỏa điều
kiện

0 ≤ x1 ≤ π

Chú ý :


Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
cot x = cot α

- Giải ví dụ 4 sgk trang 26

a) Phương trình
trước,có nghiệm là

, với

α

là số cho

x = α + kπ , k ∈ Z

Tổng quát :

cot f ( x) = cot g ( x ) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ Z
b) Phương trình

nghiệm là :

cot x = cot β 0

x = β 0 + k 3600 , k ∈ Z
4. Củng cố ( 6’) Giải các phương trình :

a)
5. BTVN:

2π

tan  2 x −
5



÷= 1


b)

π

cot  − 2 x ÷ = 3
3


có các

Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
Ngày giảng:

Tiết 9: LUYỆN TẬP

I - Mục đích:
1. Kiến thức
 Biết được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a.
 Nắm được điều kiện của a để phương trình sinx = a; cosx = a có nghiệm . Biết công thức
nghiệm.
2. Kó năng
 Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản , biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tìm
nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
 Biết các viết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trong trường hợp số
đo bằng radian và số đo được cho bằng độ.
3. Thái độ
 Xây dựng tư duy lôgíc, linh hoạt, biến lạ về quen.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận, trong vẽ đồ thò.
4. Năng lực:
• Hình thành và phát triển năng lực tính toán.
II - Chuẩn bò:
1. Giáo viên: Sách giáo khoa, mô hình đường tròn lượng giác, thước kẻ, compa, máy
tính cầm tay.
2. Học sinh: Xem và chuẩn bò các câu hỏi trước ở nhà, Sách giáo khoa, thước kẻ,
compa, máy tính cầm tay.
III– Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình nêu vấn đề.
IV - Tiến trình bài học
1 Ổn đònh tổ chức: ( 2’)Kiểm diện sỉ số, ổn đònh tổ chức lớp
2 Kiểm tra bài cũ: Lồng vào bài mới

3 Giảng bài mới
TG
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Hoạt động 1 : Nhắc lại công thức nghiệm
 x = arcsin a + k 2π , k ∈ Z
sin x = a ⇔ 
( ĐK a > 1)
của các phương trình lượng giác cơ bản.
 x = π − arcsin a + k 2π , k ∈ Z
Hoạt động 2 : Giải một số bài tập
 x = arccos a + k 2π , k ∈ Z
cos x = a ⇔ 
( ĐK a > 1)
x = − arccos a + k 2π , k ∈ Z

3
−
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ , k ∈ Z
8’

2

- Sin của góc bao nhiêu độ bằng
??
- Công thức nghiệm của phương trình sinx
= a ??

cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ , k ∈ Z
Bài tập 1 sgk/28

Giáo án - Đại số và giải tích 11 Năm học 2016-2017
3
2
0
⇔ sin(2 x + 20 ) = sin ( −600 )

sin(2 x + 200 ) = −

−
- cos của góc bao nhiêu độ bằng

1
2

??

- Nhắc lại công thức nghiệm của phương
trình cosx = a ???
7’

d)

 2 x + 200 = −600 + k 3600 , k ∈ Z
⇔
0
0
0
0

 2 x + 20 = 180 − ( −60 ) + k 360 , k ∈ Z
 x = 400 + k1800 , k ∈ Z
⇔
0
0
 x = 110 + k180 , k ∈ Z
Bài tập 3 sgk/28
c,

1
 3x π 
cos  − ÷ = −
2
 2 4
 3x π 
 2π 
⇔ cos  − ÷ = cos 
÷
 2 4
 3 

5’

 3 x π 2π
 2 − 4 = 3 + k 2π , k ∈ Z
⇔
 3 x − π = − 2π + k 2π , k ∈ Z
 2 4
3

Nhắc lại công thức nghiệm của các
phương trình lượng giác cơ bản? .

 3 x 11π
 2 = 12 + k 2π , k ∈ Z
⇔
 3 x = − 5π + k 2π , k ∈ Z
 2
12

- Nhắc lại công thức nghiệm của phương
trình cosx = a ???
5’
- cot của góc bao nhiêu độ bằng

− 3

??

- Nhắc lại công thức nghiệm của phương
trình cotx = a ???

11π

x
=
+ k 2π , k ∈ Z

18
⇔

 x = − 5π + k 2π , k ∈ Z

18
Bài tập 5 sgk/28
b)