Một số phương pháp song song dạng runge kutta giải bài toán không cương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------  ------

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
DẠNG RUNGE - KUTTA
GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------  ------

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
DẠNG RUNGE - KUTTA
GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG
Chuyên ngành:

Toán học tính toán

Mã số:

62 46 30 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Hữu Công

HÀ NỘI - 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thu Thủy


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn
Hữu Công. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học
từ khi tác giả đang là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt
khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của thầy dành cho tác giả luôn
là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây
tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với thầy.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thày cô và các bạn
đồng nghiệp trong xemina Bộ môn Toán học tính toán, trường Đại học

Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo môi trường học
tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoành thành luận án này. Tại
đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường
nghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình
nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả.
Tác giả xin gửi lời cám ơn tới các thày cô trong khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học
Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ
nhiệm khoa Toán-Tin và Bộ môn Toán ứng dụng trường Đại học Sư
phạm Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả
học tập, công tác và hoàn thành luận án này.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được
sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS.TSKH
Vũ Hoàng Linh,... Tác giả xin chân thành cảm ơn các Giáo sư về sự giúp
đỡ quý báu này.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ,
anh chị em hai bên nội ngoại, cùng chồng và bạn bè đã góp ý và động
viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.
Tác giả


1

MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

MỘT SỐ KÍ HIỆU CHUNG

MỞ ĐẦU

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

11

Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1

Cấp chính xác của phương pháp Runge-Kutta . .

14

1.1.2

Tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta . . .

15

1.2

Các phương pháp Runge-Kutta hiển . . . . . . . . . . .

16

1.3

Các phương pháp Runge-Kutta ẩn . . . . . . . . . . . .

18

1.4

Phương pháp Runge-Kutta lặp song song (PIRK) . . . .

21

1.4.1

Nội dung phương pháp PIRK . . . . . . . . . . .

23

1.4.2

Cấp chính xác của phương pháp PIRK . . . . . .

24

1.5

1.4.3

Sự ổn định của phương pháp PIRK

. . . . . . .

24

1.4.4

Sự hội tụ của quá trình lặp . . . . . . . . . . . .

26

Một số mã tính toán tuần tự . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.1

Phương pháp kẹp thêm có cấp chính xác 5 - mã
DOPRI5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2

Phương pháp kẹp thêm có cấp chính xác 8- mã
DOPRI853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Phương pháp ngoại suy- mã ODEX . . . . . . . . .

31

Ba bài toán thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.5.3
1.6

27

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DẠNG RUNGEKUTTA HAI BƯỚC MỘT DỰA TRÊN CÁC ĐIỂM TRÙNG KHỚP


2

GAUSS-LEGENDRE

2.1

2.2

40

Phương pháp dạng Runge-Kutta hai bước một dựa trên
các điểm trùng khớp Gauss-Legendre . . . . . . . . . . .

41

2.1.1

Ổn định tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1.2

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta hai bước
một dựa trên các điểm trùng khớp Gauss-Legendre . . .

50

2.2.1

Điều kiện bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.2

Sự hội tụ của quá trình lặp . . . . . . . . . . . .

54

2.2.3

Miền ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.2.4

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.5

So sánh với các phương pháp song song . . . . . .

59

2.2.6

So sánh với các mã tuần tự . . . . . . . . . . . .

62

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG GIẢ RUNGE-KUTTA
HAI BƯỚC VỚI CHIẾN LƯỢC ĐIỀU KHIỂN BƯỚC LƯỚI

3.1

3.2

3.3

65

Phương pháp giả Runge-Kutta hai bước kẹp thêm với
bước lưới thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.1.1

Điều kiện bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.1.2

Công thức kẹp thêm . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Phương pháp PIPTRK với chiến lược điều khiển bước lưới 73
3.2.1

Điều kiện bậc cho công thức dự báo . . . . . . . .

75

3.2.2

Sự hội tụ của quá trình lặp . . . . . . . . . . . .

77

3.2.3

Điều khiển bước lưới . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.3.1

Xác lập phương pháp PIPTRKSC . . . . . . . . .

79

3.3.2

So sánh với các mã song song . . . . . . . . . . .

81

3.3.3

So sánh với các mã tuần tự . . . . . . . . . . . .

83

3.3.4

Tính hiệu quả của chiến lược điều khiển bước lưới

85


3
Chương 4. PHƯƠNG PHÁP GIẢ RUNGE-KUTTA BA BƯỚC
4.1

4.2

89

Phương pháp giả Runge-Kutta ba bước (EPThRK) . . .

90

4.1.1

Điều kiện bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.1.2

Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Các thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2.1

Chọn phương pháp EPThRK . . . . . . . . . . .

98

4.2.2

So sánh với các mã song song . . . . . . . . . . . 100

4.2.3

So sánh với các mã tuần tự . . . . . . . . . . . . 102

4.2.4

So sánh phương pháp EPThRK với phương pháp
TBTPIRKG và PIPTRKSC . . . . . . . . . . . . 104

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO

108

. 109

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111


4

MỘT SỐ KÍ HIỆU CHUNG
1. Một số kí hiệu thông thường.
• Rd − không gian các véc tơ thực d− chiều.
• C− tập số phức.
• C− − tập số phức với phần thực không dương.
• Với số phức z ∈ C, Re(z), Im(z) lần lượt là phần thực và phần

ảo của số phức z.
• σ(A) là phổ của ma trận A.
• ρ(A) là bán kính phổ của ma trận A.
2. Lũy thừa của một véc tơ. Giả sử c = (c1 , c2 , . . . , cs )T , khi đó
ck = (ck1 , ck2 , . . . , cks )T
3. Toán tử exp(

d
)
dx

d
d
d2
dn
exp( ) = 1 +
+
+ ··· +
+ ...
dx
dx 2!dx
n!dxn
4. Kí hiệu véc tơ e. Véc tơ e luôn hiểu là véc tơ có tất cả các thành
phần bằng 1.
5. Véc tơ hàm. Giả sử f (x, y) là hàm thực của hai biến x, y. Nếu
thay x và y tương ứng bởi hai véc tơ v = (v1 , v2 , . . . , vs )T và w =
(w1 , w2 , . . . , ws )T thì ta được véc tơ hàm với s thành phần:
f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), . . . , f (vs , ws )]T .
Nếu x ∈ R, còn y thay bởi w = (w1 , w2 , . . . , ws )T thì ta có:
f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), . . . , f (x, ws )]T .

5

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

EPThRK

Explicit pseudo three-step Runge-Kutta method
Phương pháp giả Runge-Kutta ba bước

ERK

Explicit Runge-Kutta
Runge-Kutta hiển

IRK

Implicit Runge-Kutta
Rungge-Kutta ẩn

PC

Predictor-Corrector
Dự báo-Hiệu chỉnh

PIPTRK

parallel-iterated pseudo two-step Runge- Kutta methods
Phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước

PIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with
step size control
Phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước với
chiến lược điều khiển bước lưới.
PTRK

Pseudo two-step RK methods
Phương pháp giả Runge-Kutta hai bước

TBTIRKG

Two-step-by-two-step IRK methods based on Gauss-Legendre
collocations points
Phương pháp dạng Runge-Kutta ẩn hai bước một dựa trên
các điểm trùng khớp Gauss-Legendre

TBTRKG

Two-step-by-two-step Runge-Kutta-type corrector methods
based on Gauss-Legendre collocation points
Phương pháp hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bước một
dựa trên điểm trùng khớp Gauss-Legendre

TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC
methods based on Gauss-Legendre collocation points


6

Phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta hai bước một
dựa trên các điểm trùng khớp Gauss-Legendre


111

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Quốc
Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Hữu Công (2002), Các phương pháp song song dạng RungeKutta- Nystr¨om, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Lê Ngọc Xuân (2007), Một số phương pháp song song giải hệ phương
trình vi phân, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Khoa học Tự
nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[4] Bellen, A., Vermiglio, R., Zennaro, M. (1990), "Parallel ODE-solvers
with stepsize control", J. Comput. Appl. Math. 31, pp.277-293.
[5] K. Burrage (1993), "Efficient block predictor-corrector methods
with a small number of corrections", J. Comput. Appl. Math. 45,
pp.139-150.
[6] K. Burrage (1993), "Parallel methods for initial value problems",
Appl. Numer. Math. 11, pp.5-25.
[7] K. Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary
Differential Equations, Clarendon Press, Oxford.
[8] K. Burrage and H. Suhartanto (1997), "Parallel iterated methods
based on multistep Runge-Kutta mehods of Radau type", Advances
in Computational Mathematics 7, pp.37-57.
[9] K. Burrage (1978), "A special family of Runge-Kutta methods for
solving stiff differential equations", BIT 18, pp.22-41.

112
[10] J.C. Butcher (1963), "Coefficients for the study of Runge-Kutta
Integration Processes", J. of the Australian Math. Soc., 3, pp.185201.
[11] J.C. Butcher (1964), "Implicit Runge-Kutta processes", Math.
Comp. 18, pp.50-64.
[12] J.C. Butcher (1964), "Integration processes based on Radau quadrature formulas", Math. Comp. 18, pp.233-244.
[13] J.C. Butcher (1964), "On Runge-Kutta processes of high order", J.
of the Australian Math. Soc. 4, pp.179-194.
[14] J.C. Butcher (1964), "On the attainable order of Runge-Kutta
methods", Math. Comp. 19, pp.408-417.
[15] J.C. Butcher (1985), "The non-existence of ten stage eighth order
explicit Runge-Kutta methods", BIT 27, pp.521-540.
[16] J.C. Butcher (1977), "A-stable implicit Runge-Kutta methods",
BIT 17, pp.375-378.
[17] J.C. Butcher (1987), The Numerial Analysys of Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley,
New York.
[18] N.H. Cong (1994), "Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta
methods for nonstiff initial-value problems", J. Comput. Appl.
Math. 51, pp.117-125.
[19] N.H. Cong (1999), "Explicit pseudo two-step Runge-Kutta methods
for parallel computers", Int. J. Comput. Math. 73, pp.77-91.
[20] N.H. Cong (1999), "Continuous variable stepsize explicit pseudo
two-step RK methods", J. Comput. Appl. Math. 101, pp.105-116.


113
[21] N.H. Cong and T. Mitsui (1996), "Collocation-based two-step
Runge-Kutta methods", Japan J. Indust. Appl. Math. 13, pp.171183.
[22] N.H. Cong and T. Mitsui (1997), "A class of explicit parallel twostep Runge-Kutta methods", Japan J. Indust. Appl. Math. 14,
pp.303-313.

[23] N.H. Cong and T. Mitsui (2003), "Parallel PC iteration of pseudo
two-step RK methods for nonstiff IVPs", Japan J. Indust. Appl.
Math. 20, pp.51-64.
[24] N.H. Cong, H. Podhaisky and R. Weiner (1998), "Numerical experiments with some explicit pseudo two-step RK methods on a shared
memory computer", Comput. Math. Appl. 36, pp.107-116.
[25] N.H. Cong and H.T. Vi (1995), "An improvement for explicit parallel Runge-Kutta methods", Vietnam J. Math. 23, pp.241-252.
[26] N.H. Cong and L.N. Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC
methods with continuous output formulas", Int. J. Comput. Math.
80, pp.1027-1037.
[27] N.H. Cong and L.N. Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC
methods with continuous output formulas", Int. J. Comput. Math.
23, pp.241-252.
[28] N.H. Cong and L.N. Xuan (2008), "Improved parallel-iterated
pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Appl. Numer.
Math. 58, pp.160-170.
[29] N.H. Cong and L.N. Xuan (2008), "twostep-by-twostep PIRK-type
PC methods with continous output formulas", J. Comput. Appl.
Math. 221, pp.165-173.


114
[30] N.H. Cong and N.T. Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRKtype PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", J.
Comput. Appl. Math. 236, pp.225-233.
[31] N.H. Cong and N.T. Thuy (2012), Stability of Two-Step-by-TwoStep IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and
an application, Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115126
[32] N.H. Cong and N.T. Thuy (2014), "A class of explicit pseudo threestep Runge-Kutta methods", (submitted)
[33] N.H. Cong and N.T. Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo twostep RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial
and Applied Mathematics, 31, no. 2, pp. 441-460.
[34] N.H. Cong (2001), "A general family of pseudo two-step RungeKutta methods", SEA Bull. Math. 25, pp.61-73.
[35] N.H. Cong, "Explicit pseudo three-step Runge-Kutta-Nystr¨om

methods", in preparation.
[36] A.R. Curtis (1975)," High-order explicit Runge-Kutta formulae ,
their uses and limitations", J. Inst. Math. Appl. 16, pp.35-55.
[37] A.R. Curtis (1964), Tables of Jacobian Elliptic Functions Whose
Arguments are Rational Fractions of the Quater Period, H.M.S.O.,
London.
[38] Gear, C.W (1988), "Parallel methods for ordinary differential equations", Calcolo 25, pp. 1-20.
[39] E. Hairer (1978), "A Runge-Kutta method of order 10", J. Inst.
Math. Appl. 21, pp.47-59.


115
[40] E. Hairer, S.P. Nørsett and G. Wanner (1987), Solving Ordinary
Differential Equations I. Nonstiff Problems, 1st edition, SpringerVerlag, Berlin.
[41] E. Hairer, S.P. Nørsett and G. Wanner (1993), Solving Ordinary
Differential Equations I. Nonstiff Problems, 2nd edition, SpringerVerlag, Berlin.
[42] E Hairer and G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag,
Berlin.
[43] P.J. van der Houwen and N.H. Cong (1993), "Parallel block
predictor-corrector methods of Runge-Kutta type", Appl. Numer.
Math. 13, pp.109-123.
[44] P.J. van der Houwen and B.P. Sommeijer (1990), "Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control", J.
Comput. Appl. Math. 29, pp.111-127.
[45] P.J. van der Houwen and B.P. Sommeijer (1992), "Block RungeKutta methods on parallel computers", Z. Angew. Math. Mech. 68,
pp.3-10.
[46] P.J. van der Houwen, and B.P. Sommeijer (1991), "Iterated RungeKutta methods on parallel computers", SIAM J. Sci. Stat. Comput
12, pp.1000-1028.
[47] P.J. van der Houwen, B.P. Sommeijer and W. Couzy (1992), "Embedded diagonally implicit Runge-Kutta algorithms on parallel
computers", Math. Comput. 58, pp.135-159.
[48] T.E. Hull, W.H. Enright, B.M. Fellen and A.E. Sedgwick (1972),

"Comparing numerical methods for ordinary differential equations",
SIAM J. Numer. Anal. 9, pp.603-637.


116
[49] G.Yu. Kulikov and R. Weiner (2010), "Variable-stepsize interpolating explicit parallel peer methods with inherent global error control", SIAM J. Sci. Comput. 32, pp.1695-1723.
[50] G.Yu. Kulikov and R. Weiner (2010), "Doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with built-in global error estimation", J.
Comput. Appl. Math. 233, pp.2351-2364.
[51] S.P. Nørsett and H.H. Simonsen (1989), "Aspects of parallel RungeKutta methods, in Numerical Methods for Ordinary Differential
Equations", Proceedings L’Aquilla 1987, Lecture Notes in Mathematics, 1386, (Edited by A. Bellen, C.W. Gear and E. Russo),
Springer-Verlag, Berlin.
[52] B.A. Schmitt, R. Weiner and S. Jebens (2009), "Parameter optimization for explicit parallel peer two-step methods", Appl. Numer.
Math. 59, pp.769-782.
[53] B.A. Schmitt and R. Weiner (2010), "Parallel start for explicit parallel two-step peer methods", Numer. Algorithms 53, pp.363-381.
[54] L.F. Shampine and M.K. Gordon (1975), Computer Solution
of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems,
W.H. Freeman and Company, San Francisco.
[55] O. Axelsson (1969), "A class of A-stable methods", BIT 9, pp.185199.
[56] K. Dekker and J.G. Verwer (1984), Stability of Runge-Kutta
Mehtods for Stiff Nonlinear Differential Equations, North-Holland,
Amsterdam.
[57] P. Kaps (1981), Rosenbrock-type methods, in: Numerical Methods
for Stiff Initial Value Problems, G. Dahlquist and R. Jeltsch (eds.),


117
Bericht Nr. 9, Inst. f¨
ur Geometrie und Praktische Mathematik der
RWTH Aachen.
[58] J.D. Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential

Systems, The Initial Value Problems, John Wiley & Sons.
[59] B.P. Sommeijer, W. Couzy and P.J. van der Houwen (1992), "Astable parallel block methods for ordinary and integro-differential
equations", Appl. Numer. Math. 9, pp.267-281.
[60] O. Widlund (1967), "A note on unconditionally stable linear multistep methods", BIT 7, pp.65-70.
[61] M.T. Chu and H. Hamilton (1987), "Parallel solution of ODEs by
multi-block methods", SIAM J. Sci. Statist. Comput. 3, pp.342-353.
[62] R. Weiner, G.Yu. Kulikov and H. Podhaisky (2012), "Variablestepsize doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with
global error control", Appl. Numer. Math. 62, pp.1591-1603.