Bài tập tính góc giữa hai đường thảng có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài được tô màu đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao
Bài 1: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông góc
với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD.
S

Giải:
Ta có : AB = 2 5 ,
Gọi M là trung điểm của BC, ta có : DM = 1
SD =

SA2  AD2  30 ,

SC =

SA2  AC 2  29

SM =

SC 2  CM 2  33

Ta có : cos SDM 

A

B

D

SD 2  MD 2  SM 2 30  1  33
1
(*)


2SD.MD
2 30
30

M

Góc  giữa hai đường thẳng AC và SD là góc giữa hai đường thẳng
DM và SD hay  bù với góc  SDM . Do đó : cos  =
Vậy  = arcos

C

1
30

1
30

Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = a 3 . Tính
góc giữa 2 đường thẳng AB và CD.

D

Giải:
Gọi P là trung điểm AC.
Khi đó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a

N

 ( AB, CD)  (MP, NP)

Trong tam giác MPN ta có:
MP 2  NP 2  MN 2 2a 2  3a 2
1


2MP.NP
2a.a
2
0
 MPN  120
cosMPN=

Vậy (MP, NP)  600  ( AB, CD)  600
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

A

B
P

M
C

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc với
AB và AD, SA=

2 3a
. Tính góc giữa 2 đường thẳng:
3

a. DC và SB

b. SD và BC
Giải:

a. Do DC / / AB  ( DC, SB)  ( AB, SB)  
2a 3
SA
3
 3 

   300
Tam giác SAB vuông tại A nên  là góc nhọn, khi đó tan  
AB
2a
3

Vậy ( DC, SB)  300
b. Gọi I là trung điểm AB, khi đó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình
thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a  DI  a 2
Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI
Khi đó (SD, BC )  (SD, DI )  
Tam giác SAI vuông tại A nên SI 2  SA2  AI 2 

7a 2
3

Tam giác SAD vuông tại A nên SD 2  SA2  AD 2 

7a 2
3

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI:

cosSDI 

SD 2  DI 2  SI 2

2SD.DI

2a 2

3

>0
a 7
14
2.
.a 2
3

Suy ra SDI là góc nhọn và SDI =arccos

3
14

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B ' C ' có AB  1, CC '  m (m  0). Tìm m biết rằng góc
giữa hai đường thẳng AB ' và BC ' bằng 600 .
Giải
- Kẻ BD / / AB ' ( D  A ' B ')
 ( AB ', BC ')  ( BD, BC ')  600
 DBC '  600 hoặc DBC '  1200.

- Nếu DBC '  600
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

A

Vì lăng trụ đều nên BB '  ( A ' B ' C ').
Áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có

B

BD  BC '  m2  1 và DC '  3.

C

oc
01

600

Kết hợp DBC '  600 ta suy ra BDC ' đều.

m2  1  3  m  2.

ai
H

Do đó

- Nếu DBC '  1200
B'

Vậy m  2.

hi

D

Áp dụng định lý cosin cho BDC ' suy ra m  0 (loại).

m

A'

1200

nT

C'

uO

D

ie

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng

5 , AC = 4, chiều cao SO = 2 2 , ở

iL

đây AC  BD  O . Gọi M là trung điểm của SC. Tìm góc giữa hai đường thẳng SA và BM.

Ta

Giải





s/

Có góc giữa hai đường thẳng SA và BM là góc giữa MO và BM (vì MO//SA)

S

k.
co
m

Mặt khác trong tam giác BOC có

/g

ro

up

2
1
1
1
SA 
SO 2  OA2 
2 2  22  3
2
2
2
2
2
AC  BC  AB 2 16  5  5 2
có Cos ACB=


2. AC.BC
2.4. 5
5

MO 

M

2
BO  OC  BC  2 cos ACB.OC.BC=4+5-2.
2. 5  1
5

 BO  1
2

2

bo
o

2

O

Vì SO là chiều cao nên SO vuông góc với mặt phẳng đáy

B

ce

=> SO vuông góc với BO

.fa

SB  SO 2  BO 2 

2 2 

D

A

C
2

 12  3

1
SC  3
2
SB2  SC 2  BC 2 9  12  5
4
cos BSC=


2.SB.SC
2.3.2 3 3 3

w

w
w

có SC=SA=2 3  SM 

BM 2  SB 2  SM 2  2.SB.SM .cos BSC=9+3-2.3. 3.

4
3 3

4

 BM  2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

BM 2  MO 2  BO 2 4  3  1
3
3



2.BM .MO
2
2.2. 3 2 3
0
 BMO=30

Cos BMO=

Vậy góc giữa 2 hai đường thẳng SA và BM= 300

Bài 6: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy là tam giác vuông cân ABC tại B, trong đó BA = BC = 2a và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABC) 1 góc bằng 600. Tìm góc
giữa hai đường thẳng AB và SC.
Giải
Từ C kẻ đường thẳng CD// AB, CD=AB.

S

Khi đó góc giữa AB và SC chính là góc giữa CD và SC.
Có SB 

2a
 4a, SA  SB 2  AB 2  2a 3 .
0
cos 60

D

SC  SB2  BC 2  2a 5 vì CB  AB, SA  CB   SAB   CB  SB

A
SD  SA  AD  4a (vì SA vuông góc với (ABC))
2

2

DC 2  SC 2  SD 2 4a 2  20a 2  16a 2
1



2.DC.SC
2.2a.2a 5
5
 1 
 SCD  arccos 

 5

cos SCD 

B

C

 1 
Vậy góc giữa AB và SC là: arccos 

 5
Bài 7 (tự giải): Cho tứ diện đều ABCD với K là trung điểm của CD .
a) Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD .
b) Tính góc giữa hai đướng thẳng AK và BC .
Đáp số :

a) ( AB,CD) = 90o,

b) ( AK, BC) = arcos

3

6

Bài 8 (tự giải) : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh là 2 2 . Cho SC  (ABC) và SC
= 1 . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng CD và SE .
Đáp số :

Góc (CD,SE) = 45o

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai
- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.

Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp

với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-