Bài tập sự tương giáo của hàm trùng phương có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

T

S

NG GIAO C A

ng)

Hàm s

TH HÀM TRÙNG PH

NG

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng S t
khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
qu , B n c n h c tr

ng giao c a đ th hàm trùng ph ng thu c
ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1. Cho hàm s y  x 4  mx 2  m  1 có đ th là  Cm  .

nh m đ đ th  Cm  c t tr c hoành t i b n

đi m phân bi t.
Gi i
PT hoành đ giao đi m c a (Cm) v i tr c hoành: x 4  mx 2  m  1  0 (1)

t t  x 2 , t  0 . Khi đó: (1)  t 2  mt  m  1  0 (2)  t  1

t  m  1

YCBT  (1) có 4 nghi m phân bi t  (2) có 2 nghi m d

ng phân bi t


 0  m  1  1  m  1

m  2

Bài 2. Cho hàm s : y  x4  2m2 x2  1 (1)
CMR: V i m i giá tr c a m thì đ

ng th ng y = x + 1 luôn c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m phân bi t.
Gi i

S giao đi m c a 2 đ th t

ng ng v i s nghi m c a ph

ng trình:

x4  2m2 x2  1  x  1  x( x3  2m2 x  1)  0 (*) 

x  0
 3
2
 x  2m x  1  0
Ph

ng trình (*) có m t nghi m x = 0

Ta s CM ph

ng trình x3  2m2 x  1  0 (**) có đúng m t nghi m x  0 v i m i giá tr c a m.

- N u m = 0 thì (**) tr thành x3 – 1 = 0  x = 1 => Ph
- N u m  0.

ng trình (*) có đúng 2 nghi m.

t f ( x)  x3  2m2 x  1

Hàm s này liên t c trên R và ta có f (0) . f (1)  (1).2m2  0 => Ph

ng trình f(x) = 0 có nghi m

thu c kho ng (0;1).
M t khác f ( x)  3x2  2m2  0 x  R => f(x) là hàm đ ng bi n trên R.
Nh v y ph ng trình (**) có v trái luôn đ ng bi n còn v ph i là h ng s nên nghi m thu c (0, 1)

nói trên là duy nh t.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

V y (*) luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m (đi u ph i ch ng minh).
Bài 3. Cho hàm s

y  x4  2(m  1) x2  2m  1 . Tìm m đ hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành

đ nh h n 3.
Gi i
Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m : x4  2(m  1) x2  2m  1  0 (1)

t t  x2 (t  0) thì ( 1) tr thành : f (t )  t 2  2(m  1)t  2m  1  0
Hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ nh h n 3

0  t1  t2  9 (2)
 f (t )  0 có 2 nghi m phân bi t t1 ; t2 sao cho : 
0  t1  9  t2 (3)
 '  m2  0
1
 m   . Thay m vào ph
Xét (2)  
2
 f (0)  2m  1  0

ng trình ta th y (2) th a mãn.

t  1
Xét (3) : f (t )  0  
, do đó (3)  0  1  9  2m  1  m  4
t  2m  1

1
áp s : m    m  4
2

Bài 4: Cho hàm s y  f ( x)  x4  mx3  (2m  1) x2  mx  1
Xác đ nh m sao cho đ th hàm s c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t có hoành đ l n h n 1.
Gi i
Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m : x4  mx3  (2m  1) x2  mx  1  0 (1)

(1)  x2 

1
1

 m  x    (2m  1)  0 (2)
2
x
x


1
1
t t  x  ; t '( x)  1  2  0 , do đó khi x  1  t ( x)  t (1)  0
x
x

Bây gi (2) có d ng : t 2  mt  (2m  1)  0 (3)
V y đ (1) có hai nghi m l n h n 1, ph

ng trình (3) ph i có hai nghi m d

ng


  m2  4(1  2m)  0

m2  8m  4  0


1

S m

  0
 m  0
 m   4  2 5;  .
2

2 2

1
 P  1  2m  0
m 
2


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Bài 5: Cho đ

ng)

ng cong y  x4  (3m  2) x2  3m . Tìm m đ đ

4 đi m phân bi t, trong đó có 2 đi m có hoàng đ l n h n

Hàm s

ng th ng y  1 c t đ

ng cong trên t i

1
.
2

Gi i
ng th ng y  1 c t đ

ng cong trên t i 4 đi m phân bi t khi và ch khi ph

x4  (3m  2) x2  3m  1 có 4 nghi m phân bi t, đi u đó x y ra khi và ch khi ph
t 2  (3m  2)t  3m  1  0 có 2 nghi m d

ng và l n h n

ng trình :
ng trình :

1
.

4

1

t1  1  4
1


1

m  
T c là : t2  3m  1   
4
4

m  0
1  3m  1



Bài 6. Cho hàm s

y  x4  3x2  2 . Tìm s th c d

ng a đ đ

ng th ng y  a c t (C) t i hai đi m A, B

sao cho tam giác OAB vuông t i g c t a đ O.
Gi i

Hoành đ giao đi m c a đ

ng th ng y  a v i (C) là nghi m c a ph

ng trình x4  3x2  2  a , hay

x4  3x2  2  a  0 . (1)

Rõ ràng v i m i a  0 ph

ng trình (1) có hai nghi m th c trái d u, ngh a là đ

ng th ng y  a c t

(C) t i hai đi m phân bi t A( xA; a ) và B( xB ; a ), xA  xB .
Ta có: xA  xB  0 (2) và OA  ( xA; a ), OB  ( xB ; a )
Theo gi thi t tam giác OAB vuông t i O nên OA. OB  0 hay xA.xB  a 2  0
K t h p v i (2) ta đ

c xA  a ; xB  a . Do xA, xB là nghi m c a (1) nên

a 4  3a 2  a  2  0  (a  2)(a 3  2a 2  a  1)  0  a  2 (vì a > 0)

V y a = 2 th a mãn đi u ki n bài toán.
Bài 7: (D-2009) Cho hàm s y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đ th là (Cm), m là tham s .
Tìm m đ đ

ng th ng y = -1 c t đ th (Cm) t i 4 đi m phân bi t đ u có hoành đ nh h n 2.
Gi i

Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a (Cm) và đ
t t  x2 , t  0 ; ph

ng th ng y = - 1: x4  (3m  2) x2  3m  1 .

ng trình tr thành: t 2  (3m  2)t  3m  1  0

 t  1 ho c t  3m  1 .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Yêu c u c a bài toán t

ng đ

ng)

Hàm s

0  3m  1  4
ng: 
3m  1  1

1
   m  1, m  0.
3

Bài 8: Cho hàm s : y  x4  2(m  1) x2  2m  1 có đ th là (Cm). Tìm m đ đ th (Cm) c t tr c hoành t i
4 đi m phân bi t có hoành đ l p thành c p s c ng.
Gi i
Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m: x4  2(m  1) x2  2m  1  0

(1)

t t  x2 , t  0 thì (1) : f (t )  t 2  2(m  1)t  2m  1  0
(Cm) c t Ox t i 4 đi m phân bi t thì f (t )  0 ph i có 2 nghi m d

ng phân bi t

 '  m2  0
1


m  
 (1)   S  2(m  1)  0  
2 (*)
 P  2m  1  0

m  0


V i (*), g i t1  t2 là 2 nghi m c a f (t )  0 , khi đó hoành đ giao đi m c a (Cm) v i Ox l n l

t là

x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2
x1; x2 ; x3 ; x4 l p thành c p s c ng  x2  x1  x3  x2  x4  x3  t2  9t1
m  4
5m  4m  4
 m  1  m  9  m  1  m   5 m  4(m  1)  

m   4



5
m
4
m
4

9


4

V y m  4;  
9



Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 4 -