Bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài được tô màu đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA
 (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

S

 SA  AB
SA   ABCD   
 các tam giác SAB, SAD vuông tại A
 SA  AD
 BC  AB
Tương tự 
 BC  SB  SBC vuông tại B
 BC  SA

H

N

M

CD  AD
 CD  SD  SDC vuông tại D

CD  SA
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
(SCD)  ( ABCD)  CD

A

B

AD  ( ABCD), AD  CD , SD  ( SCD), SD  CD
Suy ra:

 ( SCD), ( ABCD)   SDA;

D

AD a 3
21
cos SDA 


SD a 7
7

  ( SCD), ( ABCD)   SDA  ar cos

C

21
7

Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Giải:
Do SA = SB = SC  AB = BC = CA  tam giác ABC đều
Trong tam giác ABC, gọi H là giao của SJ và CI.
Khi đó H vừa là trọng tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có (SAJ)  (SCI )  SH ,

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

do đó, để xác định góc giữa 2 mp (SAJ) và (SCI),
trước tiên ta xác định mp vuông góc với SH
Ta có : AH  BC (1) do tam giác ABC đều
Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA  (SBC)  SA  BC (2)

Từ (1) và (2) ta được BC  (SAH) suy ra BC  SH (*)

 AB  CH
 AB  CH
Tương tự ta cũng có 

 AB  ( SCH )
 SC  ( SAB)  AB  SC
Hay AB  SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra SH  (ABC)

( ABC )  ( SAJ)  AJ
Mà 
 (( SAJ), ( SCI ))  (AJ, CI )
( ABC )  ( SCI )  CI
Do tam giác ABC đều nên CHJ  900  HCJ  900  300  600
Vậy ((SAJ),(SCI ))  (AJ, CI )  CHJ  600
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA  a 3 và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp
sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Giải:
a. Do SA vuông góc với (ABCD)





 ( SAB)  ( ABC )  ( SAB), ( ABC )  900

b. (SBD)  ( ABD)  BD

 BD  SA
 BD  ( SAC )
Ta có 
 BD  AC
( SAC )  ( SBD)  SA
 (( SBD), ( ABD))  ( SO, AO)  SOA
Mặt khác 
( SAC )  ( ABD)  AO
Trong tam giác vuông SOA ta có: tan SOA 

SA a 3

 6  (( SBD), ( ABD))  arctan 6
AO a 2
2

c. (SAB)  (SCD)  Sx / / AB / /CD
Mà AB  (SAD)  Sx  (SAD)
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

( SAD)  ( SAB)  SA
Do 
 (( SAB), ( SCD))  ( SA, SD)  ASD
( SAD)  ( SCD)  SD
AD
a
1


 ASD  300  (( SAB), ( SCD))  300
SA a 3
3

oc
01

Trong tam giác vuông ASD: tan ASD 

ai
H

Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của AD, AB, CC’.
Gọi  là góc giữa (ABCD) và (EFM). Tìm cos
Giải:

hi

IC2  IM 2  CM 2
2 IC.IM
3
3
3
a
c ó IC  AC 
AB 2  BC 2  a 2, CM 
4
4
4
2
a 11
có tam giác MIC vuông=>IM= IC2  CM 2 
2 2
2
9
11
a
.2.a 2  a 2 
8
4 = 3 11
 Cos   16
11
3
a 11
2. a 2.
4
2 2

D

Gọi I là giao điểm của EF với AC=> góc   MIC vì IC  EF , IM  EF

up

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

Cos  =

ro

Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông với AB//CD, AB =2a; CD = a, đường cao

k.
co
m

/g

AD = a. Giả sử SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 2 . Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD).
Giải:

+ Dựng mặt phẳng qua D vuông góc với SC cắt SC tại N , cắt SB tại M. Khi đó góc giữa 2 mặt (SDC) và
(SBC) là góc giữa 2 đường ND và NM
S

ce

+ Tính MN:

bo
o

+ Tính DN, SN: dựa vào tam giác SDC vuông tại D

- Tính được cosCSB dựa vào định lý cosin trong tam giác SCB

w
w

.fa

=> tính được cạnh MN, SM

M

dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác vuông SMN

A

+ Tính DM:

w

B
N

- Tính được DB
- Dựa vào định lý cosin trong tam giác SDB
D

=>cosBSD

C

=> áp dụng định lý cosin 1 lần nữa cho tam giác SDM =>DM
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)


 CosDNM 

Hình học không gian

DN 2  NM 2  DM 2
2.DN .NM

Bài 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, BAC  120 , BB’=a, I là
trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
0

Giải
+ Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC). Gọi φ là góc
S
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Theo công thức hình chiếu ta có: cos   ABC .
S AB ' I

1
a2 3
+ Ta có S ABC  . AB. AC.sin1200 
.
2
4

C'

a 5
, AB '  AB 2  BB '2  a 2,

2
a 13
IB '  B ' C '2  IC '2 
. Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A
2

B'

AI  AC 2  CI 2 

1
a 2 10
nên S AB ' I  . AB '. AI 
.
2
4

Vậy cos  

I

A'

B

C

S ABC
3


S AB ' I
10

A

Bài 7 (BT tự giải): Cho điểm M ở ngoài mặt phẳng (P). Kẻ MA vuông góc với (P) với MA = a và cho
B,C là hai điểm thuộc (P) sao cho MB vuông góc với MC và cả hai đường thẳng MB và MC cùng tạo với
(P) góc là 30o .
a) Tính đoạn BC .
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MBC) .
Đáp số :

a) BC  2a 2

b) [(ABC),(MBC)] = 45o

Bài 8 (BT tự giải): Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC)
và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Bài 9 (BT tự giải): Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường
kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA = a 3 .
a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Bài 10 (BT tự giải): Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =

Hình học không gian

a 3
a 6
; SA  (ABCD) và SO =
.
3
3

a) Chứng minh ASC vuông.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai

- Trang | 5 -