Bài tập cực trị của hàm trùng phương có đps án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Hàm s

C C TR HÀM TRÙNG PH
ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
Các bài đ
Bài 1: Cho hàm s y 

NG

c tô màu đ là các bài t p

NG

m c đ nâng cao

x4
  3m  1 x2  2  m  1
4

Tìm m đ đ th hàm s có

đi m c c tr l p thành m t tam giác có tr ng tâm là g c t a

đ .
Gi i:



y'  x3  2(3m  1)x  x x2  2(3m  1)
Đ đ th hàm s có




đi m c c tr thì ph



ng trình y'  0  x x2  2(3m  1)  0 ph i

có 3 nghi m phân bi t  x2  2(3m  1)  0 ph i có 2 nghi m phân bi t x  0 .
  8(3m  1)  0
1

 2
m
3

0  2(3m  1)  0

x  0
 các đi m c c tr c a hàm s là:

y'  0  



x
6m
2




 

A(0; 2m  2); B  6m  2; 9m 2  4m  1 ; C



6m  2; 9m 2  4m  1 .

Đ O(0; 0) là tr ng tâm c a tam giác ABC ta ph i có:
 0  6m  2  6m  2

2
m(lo i)
0



3
3

 18m 2  6m  4  0  

2
2
1
m 
 2m  2  9m  4m  1  9m  4m  1  0


3
3


Đáp s : m 

1
.
3

Bài 2: Cho hàm s y  x4  2mx2  m2  m

Tìm m đ đ th hàm s

có

đi m c c tr

t o thành m t tam giác có 1 góc b ng 1200.
Gi i:

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Hàm s

y'  4x3  4mx  4x(x2  m)
Đ đ th hàm s (1) có 3 c c tr có CĐ CT thì ph

ng trình y

 4x(x2  m) ph i có

3 nghi m phân bi t.

 x2  m  0 ph i có 2 nghi m phân bi t x  0 .

  4m  0
 2
m0


0  m 

x  0
V i m < 0  y'  0  
 t a đ các đi m c c tr c a đ th hàm s là:
 x   m



 

A(0; m 2  m); B  m; m ; C

m; m



Do A thu c tr c tung Oy còn ” và C đ i x ng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân t i A
b i v y tam giác ABC có 1 góc 1200 khi và ch khi BAC  1200 .

 cosBAC  cos1200 

  m , m  . 

  m , m  . 
2

2

AB.AC



AB AC

1
2

 1 
2
m , m 

m , m 2

2

 m2  m4
m  m 4 . m  m 4



1
2

 2(m  m4 )   (m4  m)2  2(m  m 4 )  (m 4  m)  3m 4  m  0

(lo i)
m  0


m   1
3

3
Bài 3: Cho hàm s : y  x4  2(1  m)x2  2
Tìm m đ đ th hàm s có

đi m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng 32.

Gi i:

y'  4x3  4(1  m)x  4x(x2  1  m)
Đ đ th hàm s có

đi m c c tr thì ph

ng trình y'  4x(x2  1  m)  0 ph i có 3

nghi m phân bi t
m1

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Hàm s

x  0
V i m < 1 thì y'  0  
 các đi m c c tr là:
 x   1  m



 

 A(0; 2); B  1  m; 2  (1  m)2 ; C

1  m; 2  (1  m)2



G i H là trung đi m c a BC  H(0; 2  (1  m)2 )
S ABC  32 

1
BC.AH  32  1  m.(1  m)2  32
2

 (1  m)5  322  45  1  m  4  m  3 (th a mãn)

Đáp s : m = -3.
Bài 4: Cho hàm s : y  x4  2m(m  1)x2  m  1
Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u và các đi m c c tr t o thành m t tam giác
vuông cân.
Gi i:

y'  4x3  4m(m  1)x  4x(x2  m 2  m)
Đ

hàm s

có CĐ CT thì y'  4x(x2  m2  m)  0 ph i có 3 nghi m phân bi t

 m  0m  1

Các đi m c c tr là
A(0; m  1); B



 

m 2  m; m 2 (m  1)2  m  1 ; C  m 2  m; m 2 (m  1)2  m  1

Tam giác ABCvuông cân  AB.AC  0  m 
Đáp s : m 



1 5

(th a mãn)
2

1 5
.
2

Bài 5: Cho hàm s : y  (x  m)2 (x  1)2 Tìm m đ đ th hàm s có

đi m c c tr t o thành 3

đ nh c a m t tam giác đ u.
Gi i:

y'  2(x  m)(x  1)2  2(x  1)(x  m)2  2(x  m)(x  1)(2x  m  1)

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Hàm s


x  m

y'  0   x  1

m 1
x 

2

-N um

thì đ th ch có

- N u m  1 thì đ th s có

đi m c c tr là A  1; 0  .

 m  1  m  1 4 

đi m c c tr là: A(1; 0); B(m; 0); C 
;
 2  2  


2

8

2

 m 1  m 1
 m 1  m 1
Ta có: AB  (m  1) ; AC  

; BC2  


 

 2   2 
 2   2 
2

2

8

2

2

 m 1  m 1
Do đó tam giác “”C đ u  AB  AC  BC  (m  1)  
 

 2   2 
2

2

2

8

2

 (m  1)6  26.3  m  1  2 6 3 .
Bài 6: Cho hàm s : y  x4  2(m2  1)x2  1 . Ch ng minh r ng: v i m i m đ th hàm s luôn
có

đi m c c tr . V i giá tr nào c a m thì kho ng cách t đi m c c đ i đ n đ

ng th ng đi

qua đi m c c ti u c a đ th hàm s nh nh t.
Gi i:

y'  4x3  4(m2  1)x  4x(x2  m2  1)
Xét ph

x  0
ng trình y'  0  4x(x 2  m 2  1)  0  
2
 x   m  1

Ta th y y
luôn có

x

luôn có

nghi m phân bi t v i m i m. Ch ng t v i m i m đ th hàm s

đi m c c tr .
- m2  1

-

m2  1

0

+

y

-

0

+

0

-

0

+

1
y

1  (m 2  1)2

1  (m 2  1)2

Các đi m c c tr là: c c đ i A(0; 1); c c ti u

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

 



B  m 2  1;1  (m 2  1)2 ; C

Ph

ng trình đ

m 2  1;1  (m 2  1)2

ng

Hàm s



ng th ng BC là: y  1  (m 2  1)2

d(A; BC)  1  (1  (m 2  1)2  (m 2  1)2  1
Do đó d “ ”C nh nh t (d u

x y ra) khi m = 0.

V y v i m = 0 thì d(A, BC) nh nh t.
Bài 7: Cho hàm s : y  mx4  (m  1)x2  1  2m Tìm m đ đ th hàm s ch có

đi m c c

tr .
Gi i:
N u m = 0 thì y  x2  1

 y'  2x, y'  0  x  0 . Nên hàm s ch có m t đi m c c tr .
V y v i m = 0 th a mãn.

N u m  0 thì y'  4mx3  2(m  1)x  2x(2mx2  m  1) Đ đ th hàm s ch có c c tr
thì y

ch có 1 nghi m  2mx2  m  1  0 ph i vô nghi m ho c có nghi m kép x  0 .

  8m(1  m)  0

  8m(1  m)  0
 
 m  0, m  1

  0
0

m  1
  2m
Đáp s : m  0; m  1 .
Bài 8: Cho hàm s

y

x4
3
 mx2 
Tìm m đ đ th hàm s ch có c c ti u mà không có
2
2

c c đ i.
Gi i:

y'  2x3  2mx  2x(x2  m) . Do h s c a x 4 d

ng nên đ th đi t trên đi xu ng d

i

nên đ th ch có c c ti u mà không có c c đ i.
Khi và ch khi y'  2x(x2  m)  0 ch có 1 nghi m

 x2  m  0 vô nghi m ho c có nghi m kép x  0 .

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Hàm s

m  0


m0
m  0
Đáp s : V i m  0 .
Bài 9: Cho hàm s y  x4  mx3  2x2  3mx  1 (1) Đ nh m đ hàm s (1) có hai c c ti u

y  x4  mx3  2x2  2mx  1 (1)
Đ o hàm y/  4x3  3mx2  4x  3m  (x  1)[4x2  (4  3m)x  3m]
x  1
y/  0   2
 4x  (4  3m)x  3m  0

(2)

Hàm s có 2 c c ti u  y có 3 c c tr  y /  0 có 3 nghi m phân bi t
2

4
  (3m  4)  0
 (2) có 2 nghi m phân bi t khác 1  
 m .
3

4  4  3m  3m  0

4
Gi s : V i m   , thì y/ = 0 có 3 nghi m phân bi t x1 , x2 , x3
3

B ng bi n thiên:
x

-

y/
y

x2

x1

-

0

+

0

-

0

CĐ

+
CT

+

x3

+
+

CT

T b ng bi n thiên ta th y hàm s có 2 c c ti u.
4
K t lu n: V y, hàm s có 2 c c ti u khi m   .
3

Bài 10: Cho hàm s : y  x4  2mx2  2m  m4 Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u
và

đi m c c tr đó l p thành m t tam giác đ u.

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Hàm s

Gi i:
Các em làm t

ng t bài s 5.

Đáp s : m  3 3
Bài 11: Cho hàm s : y  (1  m)x4  mx2  2m  1 Tìm m đ đ th hàm s đã cho có đúng
c c tr .
Gi i:
Các em tham kh o bài s 7.
Đáp s : m  0  m  1 .
Bài 12: Cho hàm s y  x4  2mx2  m  1 (1) , v i m là tham s th c Xác đ nh m đ hàm s
có ba đi m c c tr đ ng th i các đi m c c tr c a đ th t o thành m t tam giác có bán
kính đ ng tròn ngo i ti p b ng 1 .
Đáp s : m = 1 ho c m =

5 1
2
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n :

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng

Hocmai

- Trang | 7 -


Hocmai.vn

Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
 Ch đ ng l a ch n ch

ng trình h c phù h p v i m c tiêu và năng l c.

 H c m i lúc, m i n i.
 Ti t ki m th i gian đi l i.
 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
Đ i ngũ giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.






CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b

Là các khóa h c trang b toàn

Là các khóa h c t p trung

Là nhóm các khóa h c

toàn b

b n

di n ki n th c theo c u trúc

vào

t ng ôn nh m t i

ng trình sách

c a kì thi THPT qu c gia.

luy n k năng tr

giáo khoa (l p 10, 11, 12).

Phù h p v i h c sinh c n ôn

THPT qu c gia cho các h c

t i th i đi m tr

T p trung vào m t s ki n

luy n bài b n.

sinh đã tr i qua quá trình

THPT qu c gia 1, 2

ôn luy n t ng th .

tháng.

theo ch

ki n th c c

th c tr ng tâm c a kì thi

rèn

ph

ng

pháp,
c kì thi

u

đi m s d a trên h c l c
c kì thi

THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

-