Bài tập quan hệ vuông góccó đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

QUAN HỆ VUÔNG GÓC
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài được màu đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB
vuông góc SD.
Giải:

S

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD
 ABC  ASC  SO  BO 

1
BD
2
A

 BSD  900  SB  SD

D
O
B
C

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
S

Giải:
a. Ta có:

AH  SB 
  AH  ( SBC )  AH  SC (1)
AH  BC 

I

K

AK  SD 
  AK  ( SDC )  AK  SC (2)
AK  DC 
H

Từ (1) và (2) ta suy ra SC  ( AHK )

A

D

b. Ta có:
SAB  SAD  SH  SK



SH SK

 HK / / BD ( Định lý Ta lét đảo)
SB SD
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

O

B
C

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

BD  AC 
  BD  ( SAC )
BD  SA 
HK / / BD 
  HK  ( SAC )  HK  AI
BD  ( SAC ) 

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO  ( ABCD)
b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:

S

a. Ta có:

SO  AC 
  SO  ( ABCD)
SO  BD 
b.

IK  BD (do AC  BD) 
  IK  ( SBD)  IK  SD
IK  SO


c. + Gọi M là giao điểm của SB với mặt phẳng (P),

M
D

C

N là giao điểm của DB với mặt phẳng (P).
K



SO / /( P), SO  ( SBD) 
  SO / / MN
( SBD)  ( P)  MN


SO  BD 

  MN  BD
MN / / SO 


O
N
A

I

B

BD  IK 
  BD  ( P)
BD  MN 

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD  600 ,
AA ' 

a 3
. M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: AC '  ( BDMN ).

2

Giải:
+ Gọi S  BN  DM  M là trung điểm SD,
N là trung điểm SB
A’ là trung điểm SA.
+ Gọi O = AC  BD
+  BAD đều  AO 

a 3
 AC  2 AO  a 3  SA, CC '  AO
2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

+ Hai  vuông SOA và ACC’ bằng nhau
 ASO  CAC ' .

Mà ASO  SOA  900  CAC ' SOA  900  AC '  SO

AC '  BD 
  AC '  ( BDMN )
AC '  SO 

oc
01

+

ai
H

Bài 5: Tứ diện S.ABC có SA  mp  ABC  . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

D

a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và  SAC    BHK 

nT

hi

b. Chứng minh HK   SBC  và  SBC    BHK  .

a. Vì H là trực tâm tam giác ABC  BH  AC , theo giả thiết

ie

SA  mp  ABC   BH  SA .

uO

Giải:

Ta

iL

Nên BH  mp  SAC   SC  BH

s/

Do K là trực tâm SBC  BK  SC .

up

Từ đó suy ra SC  mp  BHK   mp  BHK   mp  SAC  (đpcm)

k.
co
m

Mà SC  mp  BHK   SC  HK .

/g

SB  mp  CHK   SB  HK

ro

b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:

Do đó: HK  mp  SBC   mp  SBC   mp  BHK 

bo
o

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’.
Chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.
Giải:

ce

A

C

.fa

Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung điểm của B’C.

w
w

M là trung điểm AA’ nên tam giác MAC  MA 'B'

w

=>MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M

B
M

I

 B ' C  MI ; B ' C  BC '  B ' C  MB.
C’
A’

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

B’

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácv vuông tại C, SA   ABC 
a) Chứng minh rằng: BC  (SAC )
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  (SBC )

c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  ( P)
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF   SAB 
HDG

 BC  AC ( gt )

 BC  ( SAB)
a) Ta có  SA   ABC 

 BC   ABC 

S
D

b) Ta có: AE  SC (3) (gt)

H
E

Theo a) BC  (SAB)  AE  BC (4)

B

A

Từ (3) và (4) suy ra: AE  (SBC )
c) Ta thấy: ( P)  ( ADE )
Theo b) AE  (SBC )  BC  AE (5)

C

Trong mp(ADE) kẻ EH  AD, H  AD . Vì

( ADE )  ( SAB)


( ADE )  ( SAB)  AD   EH  ( SAB)  SB  EH (6)

EH  AD


F

Từ (5) và (6) suy ra: SB  ( ADE ) hay SB  ( P)
d) Từ

SA  ( ABC ) 
  AF  SA (7)
AF  ( ABC ) 

Theo c) SB  ( ADE)  AF  SB (8) . Từ (7) và (8) suy ra: AF   SAB 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,
(SAB)  ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: FC  (SID)
HDG

SI  AB



( SAB)  ( ABCD)   SI  ( ABCD)

Ta có:

SI  ( SAB)

 SI  CF (1)

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

S

Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có:
AI=DF, AD=DC. Do đó, AID  DFC từ đó ta có:



0
D2  C2
  F1  D2  90

I1  D2  900 


I1  F1

 FHD  90

F
A

0

Hay CF  ID (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
FC  (SID)

D
1

1

H

I

F

A

D

2

B

C

H

I
2

B

C

Bài 9: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA  ( ABCD) ,
AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông.
HDG
Ta có:

SA  ( ABCD) 
  SA  CD(1)
CD  ( ABCD) 

S

+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là
hình vuông. Do đó, ACI  450 (*). Mặt khác,
CID là tam giác vuông cân tại I nên:

I

BCI  45 (*).

D

A

0

Từ (*) và (**) suy ra: ACD  900 hay
AC  CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD  (SAC )  CD  SC
hay ∆SCD vuông tại C

B

C

Bài 10: (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN  BD
HDG
Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta có:

IN / / AC 
  BD  IN (1)
AC  BD 

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt khác,

IM / / BE 
  IM / / PO(*)
BE / / PO 

Hình học không gian

S

E

Mà PO  BD(**)

P

M

(vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm
của BD)

A

Từ (*) và (**) ta có: BD  IM (2)
Từ (1) và (2) ta có: BD  ( IMN )  BD  MN

D

I
B

O
C

N

Bài 11: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,
(SAD)  ( ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: AM  BP
HDG

S

Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung
điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH.
Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có:
AB=BC, BN=CP. Suy ra,

M

ABN  BCP  BAN  CBP, ANB  BPC

A

mà BAN  ANB  900  CBP  ANB  900
hay AN  BP (1)

I

H

Vì ∆SAD đều nên:

SH  AD


( SAD)  ( ABCD)   SH  BP(*) .
BP  ( ABCD) 

B

K

D

P

N

C

Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay MK / / SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BP  MH (2)

Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng: (SBD)  ( ABCD)
HDG
Ta có: AC  BD (1) (giả thiết)
+ Mặt khác, SO  AC (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao
của tam giác)
+ Từ (1) và (2) suy ra: AC  (SBD) mà AC  ( ABCD) nên (SBD)  ( ABCD)
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

S

D

C
O

A

B

Bài 13: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD  a 2 ,
SA  ( ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng:
(SAC )  (SMB) .

HDG
+ Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BM (1) .

S

+ Xét tam giác vuông ABM có:
AB
tan AMB 
 2 . Xét tam giác vuông ACD có:
AM
CD
1
. Ta có:
tan CAD 

AD
2
cot AIM  cot(1800  ( AMB  CAD)) 
 cot( AMB  CAD)  0
 AIM  900

A

M

Hay BM  AC (2) .

I

+ Từ (1) và (2) suy ra: BM  (SAC ) mà
BM  (SAC ) nên (SAC )  (SMB)

D

B

C

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA  ( ABCD) . Gọi H, I, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt
là trung điểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. BC  (SAB)

2. CD  (SAD)

3. AH  (SBC )

4. AK  (SCD)

5. SC  ( AHK )

6. OM  (SAB)

7. ON  (SAD)

8. BC  (OPQ)

9.BC  SB

10.CD  SD

11. AH  SC

12. AK  SC

13.(SBC )  (SAB)

14.(SCD)  (SAD)

15. ( AHK )  (SBC ) 16.( AHK )  (SCD)

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

17.( AHK )  (SAC )

18.(OQM )  (SAB)

19.(OQN )  (SAD)

Hình học không gian

20.(OPQ)  (SBC)

Giải
1. BC  AB (giả thiết ABCD là hình vuông)
BC  SA (do giả thiết SA  (ABCD))

 BC  (SAB).
2. CD  AD (giả thiết ABCD là hình vuông),
CD  SA (do giả thiết SA  (ABCD))

 CD  (SAD).
3. AH  SB (giả thiết),
AH  BC (do theo câu 1 ta đã có BC  (SAB)
mà AH  (SBC) )  AH  (SBC)
4. AK  SD (giả thiết)
AK  CD (do theo câu 2 ta đã có CD  (SAD)
mà AK  (SAD) )

 AK  (SCD)

5. AH  (SBC) (do theo câu 3)  AH  SC
AK  (SCD) (do theo câu 4)  AK  SC
Vậy SC  (AHK)
6. OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC  (SAB) (do theo câu 1) nên
OM  (SAB)
7. ON là đường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD  (SAD) (do theo câu
2) nên ON  (SAD).

8. OP là đường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC  CD (giả thiết) nên BC  OP
(*).
OQ là đường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA  (ABCD) nên OQ  (ABCD),
 BC  OQ (**).
Vậy từ (*) và (**) ta có BC  (OPQ)
9. Theo câu 1: BC  (SAB)  BC  SB.
10. Theo câu 2: CD  (SAD)  CD  SD.
11. Theo câu 3: AH  (SBC)  AH  SC.
12. Theo câu 4: AK  (SCD)  AK  SC.
13. Theo câu 1: BC  (SAB) mà BC  (SBC)  (SBC)  (SAB).
14. Theo câu 2: CD  (SAD) mà CD  (SCD)  (SCD)  (SAD).
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hình học không gian

15. Theo câu 3: AH  (SBC) mà AH  (AHK)  (AHK)  (SBC).
16. Theo câu 4: AK  (SCD) mà AK  (AHK)  (AHK)  (SCD).
17. Theo câu 5: SC  (AHK) mà SC  (SAC)  (SAC)  (AHK).
18. Theo câu 6: OM  (SAB) mà OM  (OMQ)  (OMQ)  (SAB).
19. Theo câu 7: ON  (SAD) mà ON  (ONQ)  (ONQ)  (SAD).
20. Theo câu 8: BC  (OPQ) mà BC  (SBC)  (SBC)  (OPQ).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai

- Trang | 9 -