Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.
I. Khái niệm chung.
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.
Bài tập: 2, 3, 7, 13 + bài thêm.
Cơ sở kỹ thuật điện 2

1


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
I. Khái niệm chung
 Mạch phi tuyến được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.

Luật

Mạch phi tuyến

Hệ phương trình vi tích
phân phi tuyến

(quy luật, tính chất)

t = t0:
Thay đổi kết cấu
thông số của mạch

K
K

Mạch phi tuyến mới

Luật

(Quy luật, tính chất mới)

Quá trình cũ

Hệ phương trình vi tích
phân phi tuyến mới

Quá trình mới

-

0 +Quá trình quá độ
Thời gian quá độ

t

Quá trình mới
xác lập

 Động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành.
 Quá trình quá độ của hệ thống nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = 0 +.
Cơ sở kỹ thuật điện 2

2


CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
III. Phương pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

Cơ sở kỹ thuật điện 2

3


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
 Nội dung: Được sử dụng để giải các bài toán quá độ của mạch phi tuyến (tính phi tuyến
ít) có phương trình mô tả dạng:
f(x, x’, x’’, …, t) = μ.φ(x, x’, …)

(*)

trong đó: f(x, x’, x’’, …) là những số hạng tuyến tính.
μ.φ(x, x’, …) là số hạng phi tuyến (ít  đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính).
 Phương pháp:

 Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, …, t) = 0  x0(t).
 Đặt nghiệm của phương trình (*) dưới dạng các hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh

được đặt tùy theo độ chính xác yêu cầu):
x(t) = x0(t) + μ.x1(t) + μ2.x2(t) + …
 Thay vào phương trình (*) và cân bằng theo bậc của μ để tìm các hàm hiệu chỉnh.
Cơ sở kỹ thuật điện 2

4


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
Ψ(i)

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
Ví dụ 4.1: Dùng phương pháp nhiễu loạn tính dòng quá độ với 1 hàm
hiệu chỉnh trong cuộn dây lõi thép đóng vào nguồn áp E = 24V, biết đặc

E = 24V

R=50Ω

tính cuộn dây: ψ(i) = 2.i – 3,75.i3, R = 50Ω.
Giải:
 Lập phương trình mạch: 50.i 

 i
.  24  2.i ' 50.i  24  11, 25.i 2 .i ' (*) (   11, 25)
i t

 Đặt nghiệm gần đúng với 1 hàm hiệu chỉnh: i(t) = i0(t) + μ.i1(t) 
 Thay vào (*):

i '  i0'  .i1'

i 2  i02   2 .i12  2..i0 .i1

2.i0'  2..i1'  50.i0  50..i1  24  .(i02   2 .i12  2..i0 .i1 )(i0'  .i1' )
 (2.i0'  50.i0  24)  .(2.i1'  50.i1  i02 .i0' )   2 .(...)   3 .(...)  0
 Cân bằng theo bậc của μ:
 μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến)
Cơ sở kỹ thuật điện 2

2.i  50.i0  24  0
'
0

 μ bậc 1:

2.i1'  50.i1  i02 .i0'  0

5


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
Ψ(i)

II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
 Xét phương trình tuyến tính suy biến: 2.i0  50.i0  24  0
'

E = 24V

 Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A)

 Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 = 0  p = -25
 Nghiệm là : i0(t) = 0,48.(1 – e-25.t) (A) = I0.(1 – e-α.t) (A) 
 Xét phương trình μ bậc 1:2.i  50.i1  i .i  0
'
1

2 '
0 0

R=50Ω

i02  I 02 .(1  2.e .t  e2. .t )
i0'   .I o .e .t

 Thay vào ta có:2.i1'  50.i1   .I 03 .(e .t  2.e2. .t  e3. .t )

1
2
1


)
p   p  2. p  3.

 .I 03  1

2
1
 I1 ( p) 
.


2  ( p   )2 ( p  2. ).( p   ) ( p  3. ).( p   ) 

3
 Chuyển sang miền ảnh Laplace: 2( p   ).I1 ( p)   .I 0 .(

 Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide):

i1 (t )  0,0555. (25.t  1,5).e25.t  2.e50.t  0,5.e75.t 
 Vậy nghiệm của bài toán là:
Cơ sở kỹ thuật điện 2

i(t )  0, 48.(1  e25.t )  0,625. (25.t  1,5).e25.t  2.e50.t  0,5.e75.t 

6


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình
điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện

C

R

q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0)
Giải:
 Lập phương trình: uC + uR = 0 

1
1
q   q3  Rq '  0  Rq ' q   q3   q3 (*)
C0
C0

 Đặt nghiệm với 1 hàm hiệu chỉnh: q(t) = q0(t) + μ.q1(t)  q '  q0'  .q1'





 Thay vào (*): R q0'   q1' 

1
3
 q0   q1     q0   q1 
C0

 Cân bằng theo bậc của μ:
 μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến): 2.q0' 

 μ bậc 1: R.q1 
'

Cơ sở kỹ thuật điện 2

1
q1  q03
C0

1
.q0  0
C0
7


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình

C

điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện

R

q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0)
Giải:

1
 Xét phương trình tuyến tính suy biến: 2q 
q0  0
C0
1

1
 Phương trình đặc trưng: Rp 
0 p
    q0 td  Ae  t
C0
RC0
t
Sơ kiện
 Nghiệm quá độ: q0 qd  q0 xl  q0 td  Ae
q0 qd  Q0 .e  t
'
0

q(0) = Q0

Q03 1
Q03 3 t Laplace
( p   )Q1 ( p) 
 Xét phương trình μ bậc 1: q   q1 
e
R p  3
R
3
Q03
Hevixaide q (t )  Q0 e   t  e 3 t


 Q1 ( p) 
1
2


R
R( p  3 )( p   )
3
3

C
Q

C
Q
0 0 t
0 0 t
 q '  q0'  .q1'  Q0e  t 
e 
e
8
Cơ sở kỹ thuật điện 2
2
2
'
1


CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

Cơ sở kỹ thuật điện 2

9


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
III. Phương pháp sai phân liên tiếp
 Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời
gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.

 Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi
phân của chúng.
 Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và
dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng:
 Chia trục thời gian t thành những bước h = Δt.

Δt

t

t0 = 0 ; t1 = Δt ; t2 = 2.Δt ; … ; tk = k.Δt
 Sai phân hóa:

dx x xk 1  xk



dt t
h

d 2 x xk  2  2.xk 1  xk

2
dt
h2

 Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân  thu được một hệ
sai phân liên hệ trị xk ở các bước thời gian liên tiếp  biết xk  tính được giá trị xk+1
Cơ sở kỹ thuật điện 2

10


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
Ψ(i)

IV. Phương pháp sai phân liên tiếp
Ví dụ 4.3: Dùng phương pháp sai phân tính dòng quá độ khi đóng nguồn
hằng E = 24V vào mạch gồm cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3, mắc

E = 24V

R=60Ω

nối tiếp với điện trở R = 60Ω.

 i

.  24  60.i  (1, 75  8, 4.i 2 ).i '  24
i t
i i
 Sai phân hóa phương trình mạch: 60.ik  (1, 75  8, 4.ik2 ). k 1 k  24
h
(24  60.ik ).h
 ik 1 
 ik
2
1, 75  8, 4.ik
 Lập phương trình mạch: 60.i 

 Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến:

1, 75.i ' 60i  24  1, 75. p  60  0  p  34,3   
 Nghiệm xác lập: ixl 
 Bảng kết quả:
Cơ sở kỹ thuật điện 2

24
 0, 4( A)
60

1
1
 0, 03s  h  .3.  10ms
| p|
10

t(ms)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

i(A)

0

0,14

0,24

0,32

0,37

0,4

0,4

0,4

0,4
11


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
IV. Phương pháp sai phân liên tiếp
Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF,
E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3.

Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)
Giải:
 Biến đổi mạch:

R1 R2
R12 
 17,14
R1  R2

 Lập phương trình mạch:

 R12i 

E

E12 
R2  22,86V
R1  R2

uR12  uL  uC  E12

 di 1
di 1
.   idt  R12i  1, 75  8, 4i 2    idt  E12
i dt C
dt C

 Đạo hàm 2 vế của phương trình: R12i '16,8i(i ' )  (1,75  8,4i )i ' '
2

i
 17,14i'16,8i(i' )  (1,75  8,4i )i' ' 4  0
10
2

Cơ sở kỹ thuật điện 2

2

i
0
C

2

12


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
IV. Phương pháp sai phân liên tiếp
Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF,
E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3.

Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)
Giải:
 Sai phân hóa:

ik 1  ik
ik 1  ik 2
ik
2 ik  2  2ik 1  ik
17,14
 16,8ik (
)  (1,75  8,4ik )
 4  0
2
h
h
h
10
 ik  2

h 2ik  17,14.104 h(ik 1  ik )  16,8.104 ik (ik 1  ik ) 2
 2ik 1  ik 
104 (1,75  8,4ik2 )

 Tính sơ kiện: i0 = i(0) = 0 ; uC(0) = 0

i' (0) 

i1  i0 i1  i(0)

 i1  i(0)  hi' (0)
h
h

Phương trình mạch ở chế độ mới:

R12i  1,75  8, 4i 2  i '(t )  uC (t )  E12  17,14i(0)  [1,75  8, 4i 2 (0)]i '(0)  uC (0)  22,86
Cơ sở kỹ thuật điện 2

 i '(0)  13,06( A / s)  i1  i(0)  hi '(0)  13.06h

13


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
IV. Phương pháp sai phân liên tiếp
Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF,
E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3.

Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)
Giải:
 Phương trình sai phân:

h 2ik  17,14.104 h(ik 1  ik )  16,8.104 ik (ik 1  ik ) 2
 ik  2  2ik 1  ik 
104 (1,75  8,4ik2 )
i0  0
 Bảng kết quả: i  13.06h
1
t(ms)

0

i(A)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084

Cơ sở kỹ thuật điện 2

14


CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
III. Phương pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

Cơ sở kỹ thuật điện 2

15


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm
 Nội dung:
 Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân)
thường được dùng để xét bài toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp 2 với chế độ tự dao
động phi tuyến:

..

.

x  .x  . f ( x, x)  0
2
0

 Nghiệm của phương trình xét có tính dao động, nhưng do tính chất phi tuyến nên
dao động rất gần với điều hòa  được biểu diễn toán học bằng các hàm điều hòa có
biên độ và góc pha biến thiên.

x(t )  A(t ).cos[0t   (t )]  B(t ).cos 0t  C (t )sin 0t
 Với những dao động gần với điều hòa, các cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) sẽ biến thiên
chậm:

dA(t ) .
 A(t )
dt

và

d (t ) .
  (t )
dt

đủ nhỏ  gia tốc và lũy thừa của tốc độ rất nhỏ, có

thể bỏ qua.

Cơ sở kỹ thuật điện 2

16


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm
 Nội dung:
 Do nghiệm của bài toán rất gần với điều hòa  có thể coi nghiệm x(t) chuyển dần từ
nghiệm dao động điều hòa x0(t) của phương trình dao động tuyến tính suy biến:
x0(t) = A0.cos(ω0t + θ0)
 Nghiệm x(t) của bài toán sẽ có dạng:
t .
t .




x(t )   A0   A(t )dt  .cos 0t  0    (t )dt   A(t ).cos (t )
0
0





 Vậy ta có:
.

.

..

..

Bỏ qua những số
hạng nhỏ

.

x  A.cos  A.(0   ).sin
.

.

..

.

.

x  0 . A.sin
.

.

x  A.cos  A.(0   ).sin   . A.sin  (0   ). A.sin  (0   ) 2 . A.cos
Bỏ qua những số
hạng nhỏ
Cơ sở kỹ thuật điện 2

..

.

.

x  2.0 . A.sin  (  2.0 . ). A.cos
2
0

17


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm
..

Ví dụ 4.5: Cho phương trình Vanderpol

.

x x  .(1  x ). x  0 (*)
2

.

Sơ kiện x(0) = X0 và x(0)  0
..

 Phân tích phương trình:

.

x x  .(1  x ). x  0
2

tuyến tính

phi tuyến

..

 Xét phương trình tuyến tính:

x x  0  đa thức đặc trưng p2 + 1 = 0  p = ± j

 Nghiệm: x0(t) = A0.cos(t + φ0)  dx0/dt = -A0.sin(t + φ0)

 X 0  A0 .cos 0
 x0(t) = X0.cos(t)
 0   A0 .sin 0

Xét tại t = 0: 

t .


 t . 
 Nghiệm của phương trình (*) là: x(t )   X 0   Adt  .cos t    dt   A(t ).cos (t )

0


 0


Cơ sở kỹ thuật điện 2

18


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm
Ví dụ 4.5:
 Thay vào phương trình (*):
.

.

2. A.sin  (1  2. ). A.cos  A.cos  .(1  A2 .cos 2  ). A.sin  0
 Biến đổi lượng giác:
.

.

2. A.sin  2. . A.cos  . A.sin 
 Cân bằng các điều hòa cùng cấp:

. A3
4

sin 

. A3
4

.sin 2

.
.

1  . A3

. A3
A 
 . A 
 . A 
2. A 

2 4
4



.

 .
2. . A  0



   0 do A  0

 Vậy nghiệm là:

Cơ sở kỹ thuật điện 2

t

 
1  . A3
x(t )   X 0   
 . A  dt  cos t
2 4
 
0


19


CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
III. Phương pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn.

Cơ sở kỹ thuật điện 2

20


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn
 Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn là phương pháp tìm cách thay thế từng đoạn đặc

tính làm việc của một phần tử phi tuyến bằng nhiều đoạn thẳng tuyến tính
 Quá trình tuyến tính đoạn đặc tính làm việc phải đảm bảo sai số giữa đường cong phi
tuyến và đường thẳng tuyến tính luôn nhỏ hơn sai số yêu cầu:

δk < γy.c
u(i)

δk

 Sau khi tuyến tính hóa, trong mỗi khoảng tuyến tính hóa, mạch

phi tuyến được xét như một mạch tuyến tính.

i
0
Cơ sở kỹ thuật điện 2

i1 i2 i3 i4 i5
I

21

Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn
Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến. Tại t = 0, khóa mở ra. Sử dụng

phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi
tuyến trong quá trình quá độ. Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω,
R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng.
Giải:

Ψ(I)

0

2

3

I

0

1

3

E
 Sơ kiện: iL (0)  1  2, 4 A
R1

 Tại thời điểm bắt đầu quá độ, điểm làm việc của cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [1, 3]  cuộn
dây có giá trị tương đương cuộn dây tuyến tính:

 3  2
Ld 

 0,5H
I
3 1
 Khi đó dòng điện trên cuộn dây phi tuyến là: iL3 (t )  iL3 (0).e
Cơ sở kỹ thuật điện 2



R
t
Ld

 2, 4.e16t
I

22


Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn
Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến. Tại t = 0, khóa mở ra. Sử dụng
phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi
tuyến trong quá trình quá độ. Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω,

R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng.
Giải:
 Thời điểm dòng điện cuộn dây giảm về I = 1(A): t1 

ln(1/ 2, 4)
 0, 0547( s)
16

 Khi đó, điểm làm việc của cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [0, 1]  cuộn dây có giá trị tương

 2
  2H
R
I 1
 ( t 0,0547)
L
 e4(t 0,0547)
 Khi đó dòng điện trên cuộn dây phi tuyến là: iL3 (t )  iL3 (0).e d
đương cuộn dây tuyến tính:

 Tổng hợp nghiệm:
Cơ sở kỹ thuật điện 2

Ld 


2, 4

iL3 (t )   2, 4e16t
 4 t 0,0547 

e

khi

t0

khi 0  t  0, 0547
khi

0, 0547  t

23