Kiến thức cơ bản toán 11

Phần 1. Hàm số lượng giác
I. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số tuần hoàn
Hàm số f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho:
a) ∀x ∈ D, đều có: x - T ∈ D và x + T ∈ D
b) ∀x ∈ D, đều có: f(x + T) = f(x)
Số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x).
2. Hàm số y = sỉnx
Có tập xác định D = R, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì 2 , lấy mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1].
3. Hàm số y = cosx
Có tập xác định D = R, là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì 2 , lấy mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1].
4. Hàm số y = tanx

Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠

+ k , k ∈ Z}, là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì

, lấy mọi giá trị thuộc R.

5. Hàm số y = cotx
Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠ k , k ∈ Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì
II. Công thức biến đổi
1. Tích thành tổng

2. Tổng thành tích

, lấy mọi giá trị thuộc R.


Phần 2:Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx = m (1)

2. Phương trình cosx = m (2)
Điều kiện để (2) có nghiệm:

.

Khi đó: cosx = m ⇔ x = ±α + k2 , k ∈ Z
α ∈ R sao cho cosα = m.
3. Phương trình tanx = m
tanx = m ⇔ x = α + k , k ∈ Z
α ∈ R thỏa mãn tanα = m.
4. Phương trình cotx = m
cotx = m ⇔ x = α + k , k ∈ Z

Phần 3: Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp


1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương trình có dạng:
af2(x) + bf(x) + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0
f(x) là hàm số có một trong các dạng sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x)
Cách giải
Đặt ẩn phụ f(x) = t. Giải phương trình theo ẩn t: at 2 + bt + c = 0
Rồi giải phương trình lượng giác cơ bản đối với mỗi nghiệm của phương trình theo t.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
asinx + bcosx = c (a2 + b2 > 0)
Điều kiện có nghiệm a2 + b2 > c2
3. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Cách giải

Ta được phương trình theo t.
4. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
Cách giải
• Xét cosx = 0
• Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta đưa về phương trình theo tanx.
(Cũng có thể xét sinx = 0; còn khi sinx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho sin2x, ta đưa về phương trình
theo cotx).

Phần 4: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Hai quy tắc đếm cơ bản
a) Quy tắc cộng
Nếu có m cách chọn đối tượng A, n cách chọn đối tượng B và cách chọn đối tượng này không trùng với
bất kì cách chọn nào trong các cách chọn đối tượng kia thì có m + n cách chọn đối tượng A hoặc B.
Nói cách khác: Tập hợp hữu hạn A và B không giao nhau thì số phần tử A ∪ B là:
N(A ∪ B) = N(A) + N(B)


Ghi chú : Nếu kí hiệu |X| là số phân tử của tập hợp hữu hạn X.
Ta có : | A ∪ B| = |A| + |B|
b) Quy tắc nhân
Nếu một công việc phải thực hiện qua hai bước. Bước thứ nhất có thể thực hiện theo m cách, bước thứ
hai có thể thực hiện theo n cách thì số cách hoàn thành công việc nói trên là m x n cách.
2. Hoán vị
Tập hợp hữu hạn A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của A được gọi là một hoán vị
của n phần tử đó.
Định lí: Số nhóm hoán vị khác nhau của n phần tử là:
P = n(n - 1)(n - 2)... 2.1 = n!
3. Chỉnh hợp

Xét một tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và một số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n.
Mỗi hoán vị của tập hợp con k phần tử của A được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

4. Tổ hợp
Cho tập hợp hữu hạn A và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A gồm k phần tử được gọi là
một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Định lí: Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Tam giác Pat-can
Sắp các hệ số của nhị thức Niutơn ứng với n = 0, 1, 2, ... thành bảng gọi là tam giác Pat-can.


Phần 5: Xác suất của biến cố
1. Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập
hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ấy. Ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.
Tập hợp mọi kết quả của một phép thử được gọi là không gian mẫu kí hiệu là Ω.
2. Biến cố: là một tập con của không gian mẫu, kí hiệu là A, B...
Một số kí hiệu cần lưu ý:

A⊂Ω

A là biến cố

A=Ø

A là biến cố không thể

A=Ω

A là biến cố chắc chắn

A∪B

Biến cố "A hoặc B"

A∩B

Biến cố "A và B"

A∩B=Ø

A, B là hai biến cố xung khắc
Biến cố đối của biến cố A

Định nghĩa xác suất của biến cố A:

Trong đó N(A): Số phần tử của A
N(Ω): Số phần tử của Ω.
3. Tính chất
+ P(∅)= 0; P(Ω) = 1
+ 0 ≤ P(A) ≤ 1
+ Nếu A ∩ B = Ø thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
+ Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
+ P( ) = 1 - P(A)

Phần 6: Xác suất có điều kiện - Kì vọng phương sai


I. Xác suất có điều kiện

1. Định nghĩa
Giả sử A là biến cố ngẫu nhiên có xác suất dương. Xác suất của biến cố B tính trong điều kiện A đã xảy
ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A), được tính theo công thức:

2. Công thức nhân xác suất
Từ công thức (1) ta suy ra:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)

(2)

Với A, B, V là ba biến cố bất kì sao cho P(A ∩ B) ≠ 0 thì (2) được mở rộng thành:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A).P(B/A).P(C/A ∩ B)

(3)

Các công thức (2) và (3) được gọi là các công thức nhân xác suất.
3. Các biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Từ định nghĩa suy ra: Nếu 0 < P(A) < 1, A và B độc lập thì: P(B/A) = P(B/

) = P(B)

II. Phân bố xác suất của biển ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2, ... xn với các xác suất tương ứng p1 = P(X = x1), p2 = P(X =
x2), ... , pn = P(X = xn) thỏa mãn: p1 + p2 + ... + pn = 1 trình bày dưới dạng bảng:

X

x

x

...

x

...

x

P

p

p

...

p

...

p

1

1

2

2

k

k

n

n

Được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
III. Kì vọng phương sai - Độ lệch chuẩn
X là một biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:

X

x

x

x

...

x

P

p

p

p

...

p

1

1

2

2

3

3

n-1

n

p

n

n-1

1. Kì vọng của X (còn gọi là giá trị trung bình của X)
E(X) = p1x1 + p2x2 + p3x3 + ... + pn-1xn-1 + pnxn

x


2. Phương sai của X (đặt a = E(X))

3. Độ lệch chuẩn của X

• Tính chất của E(X): E(kX) = k.E(X) với k là hằng số
E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Phần 7: Phương pháp qui nạp toán học - Dãy số
I. Phương pháp qui nạp toán học
Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n
∈ N*.
Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)
• Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*)
• Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n)
cũng là mệnh đề đúng khi n = k + 1.
Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay còn gọi tắt là phương
pháp quy nạp). Bước 1 gọi là bước cơ sở (hay bước khởi đầu), bước 2 gọi là bước quy nạp (còn gọi là
bước “di truyền”). Giả thiết được nói ở bước 2 gọi là giả thiết quy nạp.
Chú ý: (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với
mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh
A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p.
II. Dãy số
1. Định nghĩa : Dãy số (un) là một ánh xạ từ N* vào R:
f: N* → R

Khi đó, ta có un = f(n).
Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, ... , un, ...


2. Cách xác định một dãy số
Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n.
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1:
(Dãy số tăng): Dãy số (un) được gọi là tăng nếu ∀n ∈ N*, un < un + 1.
Định nghĩa 2:
(Dãy số giảm): Dãy số (un) được gọi là giảm nếu ∀n ∈ N*, un > un + 1.
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
(Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 4 :
(Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 5:
(Dãy số bị chặn): Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*

Phần 8. Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Dãy số (un) được xác định bởi:

(u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng.

• u là số hạng đầu tiên.
• d là công sai.
Đặc biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.
2. Các tính chất
• Số hạng thứ n được cho bởi công thức:
un = u1 + (n - 1)d.


• un, un + 1, un + 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (un) thì:
un + 1 =

(un + un + 2)

• Tổng của n số hạng đầu tiên Sn được cho bởi công thức:

Phần 9. Cấp số nhân
I. Định nghĩa
Cấp số nhân là 1 dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng
tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1 số q không đổi, nghĩa là:
(un) là cấp số nhân ⇔ ∀n ≥ 2, un = un-1.q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Ví dụ: Dãy số (un); với un = 2n, là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2.
II. Tính chất
1. Định lí
Nếu uk-1, uk, uk+1 , là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân thì ta có:

Như vậy, mỗi số hạng trừ số hạng đầu và số hạng cuối (cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối là trung
bình nhân của hai số hạng đứng cạnh đó.
2. Số hạng tổng quát un của một cấp số nhân: (công bội q khác 0)
un = u1.qn -1

III. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
Gọi Sn = u1 + u2 + ... + un là tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với q ≠ 1, ta có:

Phần 10. Giới hạn của dãy số


I. Dãy số có giới hạn
1. Dãy số có giới hạn 0
Dãy số (un) có giới hạn là 0, kí hiệu

(hoặc limun = 0 hoặc un → 0 khi n →+∞), nếu tất cả các

số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương
tùy ý cho trước.

Định lí: Cho hai dãy số (un) và (vn).
Nếu l un l ≤ vn, ∀n và limvn = 0 thì limun = 0.
2. Dãy số có giới hạn

3. Các định lí về dãy số có giới hạn hữu hạn
Định lí 1.

Định lí 2: Nếu limun = L, limvn =M và c là hằng số thì:
• lim(un ± vn) = L ± M, lim(un.vn) = L.M, limcun = cL.

Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn của dãy số)
Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) và số thực L.
Nếu un ≤ vn ≤ wn ∀n và limun = limwn = L thì limvn = L.
Định lí 4:
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
II. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u1, u1q1, ..., u1qn-1, ... với công bội q mà l q l < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

S gọi là tổng của cấp số nhân đã cho. Khi đó ta viết:

Phần 11. Dãy số gần đến vô cực - Các dạng vô định


I. Dãy số có giới hạn +∞
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là +∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý
cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó ta viết:

hoặc limun = +∞ hoặc un = +∞
Áp dụng định nghĩa trên có thể chứng minh rằng:

II. Dãy số có giới hạn -∞
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là -∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho
trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó ta viết

hoặc limun = -∞ hoặc un = -∞
Dễ dàng thấy rằng:
limun = -∞ ⇔ lim(-un) = +∞
Chú ý:

III. Các dạng vô định

Là các bài toán tìm giới hạn

, trong đó limf(x) = limg(x) = 0 hoặc limf(x) = ∞, limg(x) = ∞ khi x →

x0 hoặc x → x0 hoặc x → x0 hoặc x → ±∞
+

-

Khi giải các bài toán loại này ta phải biến đổi để khử dạng vô định nhằm áp dụng các định lí giới hạn.
2. Dạng 0, ∞.
Dạng toán tìm giới hạn lim[flx).g(x)] trong đó limf(x) = 0, limg(x) = ∞ khi x → x0 hoặc x → x0+ hoặc x →
x0- hoặc x → ∞
3. Dạng ∞ - ∞
Dạng toán tìm giới hạn lim[f(x) - g(x)], trong đó limf(x) = limg(x) = +∞ hoặc limf(x) = limg(x) = -∞ khi x →
x0 hoặc x → x0+ hoặc x → x0- hoặc x → ∞

Phần 12. Giới hạn của hàm số


I. Giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K, có thể trừ ở điểm x 0 ∈ K.
Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0, nếu với mọi dãy số (xn) (xn ∈ K, xn ≠ x0, ∀xn ∈ N*)
sao cho: nếu limxn = x0 thì limf(xn) = L

2. Một số định lí về giới hạn của hàm số
Định lí 1: Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới x0 thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lí 2: Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x dần tới x 0 thì:

Định lí 3: (Giới hạn của một hàm số bị kẹp)

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm x 0 (có thể trừ điểm x0)


II. Sự mở rộng về giới hạn
1. Giới hạn vô cực
Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) (xn ≠ x0) sao cho: nếu lim
xn = x0 thì lim f(xn) = ∞

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, nếu với mọi dãy số (x n) sao cho limxn = ∞ thì
limf(x) = L.

3. Giới hạn một bên
a) Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới x0, nếu với
mọi dãy số (xn) với xn > x0 (hoặc xn < x0). Sao cho: limxn = x0 thì limf(x) = L


Phần 13. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên (a; b) liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu
Hàm số f(x) không liên tục tại x0 gọi là gián đoạn tại x0.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.
• Hàm số f(x) xác định trên (a; b) và liên tục tại mọi điểm x 0 ∈ (a; b) gọi là liên tục trên khoảng (a; b).
• Hàm số f(x) xác định trên [a; b], liên tục trên (a; b) và

được gọi là

liên tục trên [a; b]
3. Một số định lí về hàm số liên tục
Định lí 1: Các hàm số đa thức liên tục trên tập số thực R. Các hàm số lượng giác liên tục trên từng

khoảng xác định của nó.
Định lí 2: Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì:
a) Các hàm số f(x) ± g(x), f(x).g(x) liên tục trên K.

Định lí 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b], f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số M nằm giữa f(a) và f(b) có ít nhất 1
số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M.
Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).

Phần 14. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và điểm x 0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn hữu
hạn sau đây:

thì giới hạn trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0, kí hiệu là f(x0) hay y'x0.
2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
• Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên K nếu f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm bất kì


x0 ∈ K.
Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’ hay f'(x).
• Định lí: Với mọi x ∈ R ta có:
a) f(x) = c thì f'(x) = 0
b) f(x) = x thì f'(x) = 1
c) f(x) = xn, n ∈ N* thì f'(x) = nxn-1

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0;
f(x0)). Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị tại M 0(x0; f(x0)) là:
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0).

4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
• Vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động với phương trình S = s(t) thì vận tốc tức thời của chất
điểm tại thời điểm t0 là:
v(t0) = s’(t0)
• Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng q = q(t) là:
I(t0) = q’(t0)

Phần 15. Các quy tắc tính đạo hàm - Đạo hàm của các hàm
lượng giác
I. Các quy tắc tính đạo hàm
(u + v - w)’ = u’ + v’ - w’
(uv)’ = u’v + v’u

Hệ quả:

(ku)’ = ku’ (k hằng số)

Dạng đạo hàm hợp:
Công thức tính đạo hàm:
(un)’ = nu’.un-1, n ∈ R


II. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
1. Định lí:

2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Phần 16. Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao
I. Vi phân
1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x.
Tích f'(x)Δx, kí hiệu df(x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx đã cho:
df(x) = f'(x)Δx
Vì

dx = (x)’Δx = Δx nên ta có:
df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx.


2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu l Δx l khá nhỏ ta có:
Δy ≈ f'(x0)Δx tức là f(x0 + Δx) - f(x0) ≈ f'(x0)Δx
Suy ra f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)Δx
II. Đạo hàm cấp hai
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Hàm số f(x) còn được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f(x) và
kí hiệu là f(1)(x). nếu hàm số f(1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm
số f(x) và kí hiệu là f''(x) hay f(2)(x). nếu hàm số f(2)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm
cấp ba của hàm số f(x) và kí hiệu f'''(x) hay f(3)(x).
Một cách tổng quát:
Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) của hàm số y = (x), kí hiệu là f(n)(x) hay y(n), là đạo hàm cấp một của hàm số
f(n-1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n-1)x]’
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t)
Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là:
v(t0) = s'(t0)
Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động với
phương trình s = s(t) là:
(t0) = s''(t0)
3. Đạo hàm cấp cao

Kí hiệu: fn(x)

Phần 17. Giới thiệu về phép biến hình
1. Phép biến hình
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mp, xác định được một điểm
duy nhất M' thuộc mp ấy. Điểm M' gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
2. Các ví dụ


Vd1: Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M xác định điểm M' là hình chiếu của M trên d. Phép biến hình
này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d
Vd2: Cho vecto u⃗ với mỗi điểm M ta xác định điểm M' theo quy tắc MM'−→−−=u⃗ . Phép biến hình
này là phép tịnh tiến theo vecto u⃗
Vd3: Với mỗi điểm M xác định điểm M' trùng với M. Phép biến hình này là phép đồng nhất.
3. Kí hiệu và thuật ngữ
Phép biến hình F và điểm M' là ảnh của M qua phép biến hình F
Kí hiệu: M'=F(M); F(M)=M'
Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M'
Với mỗi hình H, ảnh của H qua phép biến hình F là hình H' gồm các điểm M'=F(M)
H'=F(H)

Phần 18. Các phép dời hình khác
1. Phép tịnh tiến
∗ Định nghĩa: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với một điểm M’ sao cho

=

( là vectơ cố định)

gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .

∗ Tính chất:
• Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm bất kì M và N thành hai điểm M’ và N’ thì MN = M’N’. Nói một cách
khác: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba
điểm thẳng hàng đó.
• Phép tịnh tiến:
a) Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
b) Biến một tia thành tia
c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
d) Biến một góc thành góc có số đo bằng nó.
e) Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tron bằng nó.
2. Phép quay
Cho điểm O và góc α. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M, một điểm M’ sao cho:
OM’ = OM và

= α gọi là phép quay tâm O, góc α. Kí hiệu:


3. Phép vị tự
∗ Định nghĩa: Cho điểm O cố định và số k không đổi, k ≠ 0
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M, một điểm M’ sao cho
gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Kí hiệu

= k.

.

∗ Tính chất:
• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì

= k.

.

• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì hai đường thẳng MN và M’N’ song
song hoặc trùng nhau và M’N' = |k|MN.
• Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba
điểm thẳng hàng đó.
• Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn.
4. Phép đồng dạng
∗ Định nghĩa: Phép đồng dạng là quy tắc để với mỗi điểm M xác định được điểm M’ (gọi là tương ứng
với điểm M) sao cho nếu M’ và N’ là các điểm tương ứng với M và N thì M’N’ = kMN, trong đó k là một số
dương không đổi. Số dương k gọi là tỉ số của phép đồng dạng.
∗ Tính chất:
• Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của
ba điểm đó.
• Phép đồng dạng tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng có độ dài gấp k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu, biến góc thành góc có số đo bằng nó, biến
tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.

Phần 19. Hai hình bằng nhau
1. Định lý
Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác
A'B'C'.
Từ định lí trên có thể phát biểu: "Hai tam giác bằng nhau <=> có phép dời hình biến tam giác này thành
tam giác kia".
Định nghĩa hai tam giác bằng nhau:
c1: Hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương
ứng bằng nhau.
c2: Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia.

2. Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

⇒Nếu hình H1=hình H2 và hình H2=hình H3 thì hình H1=hình H3.

Phần 20. Tóm tắt lý thuyết
1. Các tính chất thừa nhận:
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
thuộc mặt phẳng đó.
- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác.
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Ba cách xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng; qua một đường thẳng và một điểm
không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau.
3. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng; hai đường thẳng gọi là song song
nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
4.
- Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi
một song song.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu
có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
5.
- Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
- Nếu một đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó trên
mặt phẳng thì đường thẳng song song với mặt phẳng.
6.
- Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

- Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với
mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.
- Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi mặt phẳng (γ) cắt (α) đều phải cắt (β) và các
giao tuyến của chúng song song.
- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tỉ lệ.
- Ba đường thẳng p, q, r cùng song song với một mặt phẳng và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A, B,
C và A', B', C' thì ABBC = A'B'B'C'.

Phần 21. Hai đường thẳng song song
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt


-Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng
-Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
-Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung
2. Hai đường thẳng song song
Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường
thẳng song song với đường thẳng đó
Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau
Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy
hoặc đôi một song song
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song
song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

Phần 22. Đường thẳng song song với măt phẳng
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm

chung
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Nếu đường thẳng a không nằm trên mp (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a
song song với (P)
3. Tính chất
Nếu đường thẳng a song song với mp (P) thì mọi mặt phẳng (P) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a


Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng
nào đó trong mặt phẳng
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
cũng song song với đường thẳng đó
Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b

Phần 23. Hai mặt phẳng song song
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P)
song song với (Q)
3. Tính chất
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao
tuyến của chúng song song
4. Định lí Ta-lét trong không gian
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Phần 24. Phép chiếu song song
1. Định nghĩa phép chiếu song song

Phép đặt tương ướng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' của mp (P) như trên gọi là phép chiếu //
lên mp (P) theo phương l
-(P): mp chiếu
-đường thẳng l: phương chiếu


-M': hình chiếu // của M qua phép chiếu //
2. Tính chất
a. Hình chiếu // của một đường thẳng là 1 đường thẳng
Hệ quả: Hình chiếu // của 1 đoạn thẳng là 1 đoạn thẳng, của 1 tia la 1 tia.
b. Hình chiếu // của 2 đường thẳng // là 2 đường thẳng // hoặc ≡
c. Phép chiếu // không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song ( hoặc
trùng nhau).
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
a. Định nghĩa
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mp hoặc
hình đồng dạng với hình chiếu đó.
b. Quy tắc
Nếu trên hình H có 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng // hoặc trùng nhau thì chúng được biểu diễn
bởi 2 đoạn thẳng nẳm trên 2 đường thẳng // và tỉ số của 2 đoạn thẳng này bằng tỉ số của 2 đoạn thẳng
tương ứng trên hình H.
* Phép chiếu // không giữ nguyên tỉ số của 2 đoạn thẳng k nằm trên 2 đường thẳng // hay k cùng nằm
trên 1 đường thẳng; không giữ nguyên độ lớn của 1 góc.
* Hình biểu diễn của 1 đường tròn
Hình chiếu // của 1 đường tròn là 1 đường elip hoặc 1 đường tròn hoặc đặc biệt có thể là 1 đoạn thẳng.