Đề tài mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ



HUỲNH NGUYỄN THANH TRÚC

Đề tài:

Giáo viên hướng
dẫn:

TS. NGUYỄN VĂN HOA


Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm
2009


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, ngoài những nỗ lực của
bản thân, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của quí thầy cô trong
khoa Vật Lý trường ĐH Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hoa –
giáo viên hướng dẫn luận văn này – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em
những kiến thức bổ ích, đóng góp những kinh nghiệm quí báu để em thực hiện khóa
luận này đồng thời thầy đã truyền cho em lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học.
Em không thể nào quên công lao của TSKH. Lê Văn Hoàng đã đưa ra những ý

kiến, góp ý vô cùng có ý nghĩa giúp em hoàn chỉnh phương pháp trong khóa luận này.
Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã hỗ trợ về mặt tinh thần cho Trúc hoàn
thành khóa luận này.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 1

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường

MỞ ĐẦU
1. Tình hình nghiên cứu
Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải
có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu
sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán
không có nhiễu loạn.
Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng
rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Và phương pháp toán tử với
những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một
phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu.
Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên
phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm
nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được
áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử,
lý thuyết trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử
đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:
Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải
tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép
biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động
hóa quá trình tính toán.
Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ.
Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về
phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền
khoa học kỹ thuật toàn cầu.
2. Lý do chọn đề tài
Qua học phần cơ học lượng tử, em được tiếp cận bài toán nguyên tử hydro với cách
giải chính xác thông qua việc xây dựng dạng và tìm trị riêng, hàm riêng của toán tử
moment xung lượng, toán tử Legendre; tìm ra hàm cầu và hàm bán kính để xác định

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 2

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
hàm sóng của nguyên tử hydro, cùng với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường
(hiệu ứng Zeeman) đã được giải quyết khá hoàn chỉnh thông qua lý thuyết nhiễu loạn:
Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường ngoài thật yếu thì tương tác
Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác
chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.
Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa
electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb

giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn. Bài toán
này đã được Landau giải quyết.
Tuy nhiên với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình thì đã vượt quá
phạm vi áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn vì không thể coi tương tác Coulomb giữa hạt
nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong
nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.
Phương pháp toán tử có ưu điểm vượt trội so với phương pháp truyền thống là có
thể áp dụng cho trường ngoài có cường độ bất kỳ. Do đó, luận văn tốt nghiệp với đề
tài: “MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ
TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương
pháp toán tử, tìm ra một hướng giải quyết cho bài toán nguyên tử hydro trong từ
trường trung bình.
3. Mục tiêu của đề tài
Bước đầu xây dựng phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, ưu điểm,…
Giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ, bước
đầu là bài toán nguyên tử hydro.
4. Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử
hydro trong từ trường trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử
so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được
sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này.
Trong suốt quá trình tính toán thực hiện luận văn, để đơn giản em đã chọn hệ đơn
vị không thứ nguyên, tức m e e c a0 1, trong đó a0 là bán kính Born.

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 3

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc

Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
Qua phương pháp toán tử, khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường
trunh bình, kết quả dự kiến sẽ đạt được:
Tìm ra mối quan hệ giữa mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro với
cường độ của từ trường, vẽ đồ thị mô tả sự phụ thuộc này và so sánh kết quả thu được
với kết quả thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn trong trường hợp từ trường yếu.
Tìm ra giá trị của từ trường ion hóa nguyên tử hydro.
5. Cấu trúc của luận văn
Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt được, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3
phần chính:
Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương
pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được.
Phần nội dung: gồm 3 chương
 Chương 1: NHỮNG CƠ SỞ LƯỢNG TỬ CỦA BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
HYDRO.
Chương này trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử đã đạt được về bài toán
nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường qua lý
thuyết nhiễu loạn.


Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

HYDRO
Giới thiệu phương pháp toán tử thông qua ví dụ về bài toán dao động tử phi điều
hòa, bài toán về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
 Chương 3: MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
TRONG TỪ TRƯỜNG.
Sử dụng phương pháp toán tử để giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ
trường, thiết lập đồ thị mô tả sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của electron

trong nguyên tử hydro với cường độ từ trường, từ đó so sánh với đồ thị thu được bằng
lý thuyết nhiễu loạn, tìm ra được giá trị từ trường ion hóa nguyên tử hydro.
Phần kết luận: Tóm tắt lại kết quả đã đạt được của luận văn, hướng phát triển
sắp tới của đề tài.

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 4

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1:

CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN

TỬ HYDRO
1. Lý thuyết lượng tử về nguyên tử hydro
1.1. Trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro
Nguyên tử hydro gồm một electron chuyển động trong trường thế của hạt nhân có
điện tích Ze . Ta đưa bài toán hai hạt: electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro về
bài toán một hạt có khối lượng rút gọn , với:
me

(1.1)

mhn

m m
e

hn

Trong đó:
me là khối lượng của electron

m là khối lượng của hạt nhân.
hn

Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze có dạng:
V(r) k

Ze2

(1.2)

r
Với: Z là số proton trong hạt nhân, trong nguyên tử hydro Z 1 e
là điện tích nguyên tố.
r là khoảng cách từ electron đến hạt nhân.
Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, do đó
có thể áp dụng các kết quả nhận được trong bài toán về trường thế xuyên tâm. Nghiệm
tổng quát của phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian đối với thế xuyên
tâm có dạng:
( r , , )C nlm Rnl ( r )Ylm ( , )

(1.3)

nlm

Trong đó: R(r) là hàm bán kính được xác định khi giải phương trình bán kính.
Y m là hàm cầu theo hai biến

và .

l

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 5

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ
trường
Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro có dạng:
ˆ ˆ ˆ
H T U

(1.4)

Trong đó:
ˆ là toán tử động năng, với
+T
2
2

2
ˆ
T
2
2
y
2x
ˆ
+ U là toán tử thế năng, với
ˆ
Ze 2
Uk
r
k

2

z

2

Ze2
x 2 y 2 z2

Phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro là:
ˆ
H n En n

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Bài toán nguyên tử hydro là một trong ba bài toán giải được nghiệm chính xác (bài
toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa, hạt trong hố thế vuông góc), kết quả của
cơ học lượng tử cho ta trị riêng chính xác của phương trình Schrodinger (1.7) trong bài
toán nguyên tử hydro là:
E
n1

Z 2 e4
2 2 n2

(1.8)

Trong hệ không thứ nguyên, ta có:
E

1
n1

2n2

Với: n 1, 2, 3,...
1.2. Nhận xét về các trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán
nguyên tử hydro
1/ Biểu thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hydro. Theo biểu thức (1.8) thì năng lượng của electron là gián đoạn và tỉ lệ nghịch với
bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn

đối với hàm sóng ở vô cực:
rRnl (r ) 0 khi r
Như vậy, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản (n

(1.9)
1) là:


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 6

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ
trường
E
0

Z 2 e4 13,6 eV
22

Nếu xét trong hệ không thứ nguyên

me e

c

(1.10)

a0

1 thì: E0

1

2 .

2/ Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết
E 0 , bắt đầu ứng với năng lượng E Z 2 e4 13, 6 eV và kết thúc ứng với
0
22
năng lượng không, lúc này electron thoát khỏi trường thế Coulomb của hạt nhân và trở
thành electron tự do.
3/ Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,..., n - 1.
Như vậy có tất cả n giá trị của l . l gọi là lượng tử số quĩ đạo và nó xác định độ lớn của
moment xung lượng
L

l (l 1)

4/ Ba số nguyên n, l , m xác định một hàm riêng

nlm

( r , , ) R ( r )Y m ( , ) gọi
nl

là ba số lượng tử, n là số lượng tử chính, m gọi là số lượng tử từ ứng với một giá trị đã

cho của l thì m có thể nhận các giá trị m l , l 1,..., 1, 0, 1,..., l 1, l . Tất cả có (2l+1) giá
trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z
Lz

m

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái

nlm

khác nhau ta nói

có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị
năng lượng En-1 là:
n1

(2l

1) n2

l 0

Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản n 1 không bị suy
biến.
5/ Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng cơ bản E 0 cho biết năng lượng ion hóa
nguyên tử hydro. Năng lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên
kết có năng lượng thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do.


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 7

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
Như vậy, năng lượng ion hóa nguyên tử hydro trong hệ không thứ nguyên là

Ei

1

2 .

2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
2.1. Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường
Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng:
2
2
1
e
1
e
e2 2 U
2
H
p c A
U
p

c p .A A. p
c A
2
2
Trong đó:
p là vector động lượng
A là thế vector.
Thế vector

có dạng:
A ứng với từ trường đồng nhất

B const

A

(1.11)

1
2B ,r

Với:

r xi yj zk
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho từ trường hướng theo trục Oz , vậy :
B

Bk

Ta thu được biểu thức của thế vector A :

1i
A

2

j k

1

i
B x
2

0 0 B
x
y z

1

j
y

xj
2 B yi

(1.12)

Suy ra:
A2

B

2

4

B
p .A A. p

2

x

2

y2

p yp x yp
x

y

x

xp BLz
y

Vậy toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng:
2
2

2
ˆ
1ˆ2
ˆ
e2B ˆ ˆ
eB ˆ
H
U
y
2p
2 c Lz 8 c 2 x

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 8

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
2.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết
nhiễu loạn
Ở mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro LZ 0 , nên toán tử
Hamilton trở thành:
ˆ
H

2
ˆ 2 e 2 B2 ˆ
p

8c 2 x

1
2

ˆ2
y

ˆ
U

Hay:
ˆ

2

2

2
2

H

2
2

ˆ2

B 2 e2 ˆ 2
2

2

x y

ˆ
U

y
z
8c
2x
Khi nguyên tử hydro được đặt trong từ trường nhỏ thì năng lượng tương tác của
electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.
Toán tử Hamilton của electron trong nguyên tử có dạng:
ˆ

ˆ
ˆ
HH 0 V

(1.13)

Trong đó:
+ Toán tử:

2

2

ˆ
H0

x

2

2

y

2
2

z

2

ˆ
U

(1.14)

2
là toán tử Hamilton cho bài toán nguyên tử hydro khi không có trường ngoài;
Với
khối lượng rút gọn trong bài toán hệ hai hạt electron và hạt nhân trong
m m , vì m e mhn nênme . Nên toán tử Hamilton
nguyên tử hydro và:
e

hn

m e mhn
cho bài toán nguyên tử hydro khi không có trường ngoài có dạng:
ˆ2

ˆ

p

H 0 2me U
+ Toán tử

ˆ
V

B 2 e2 ˆ 2
2
8m e c x

ˆ2
y

ˆ
loạn V được viết lại thành:
ˆ
V

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

là thế nhiễu loạn. Trong hệ tọa độ cầu, thế nhiễu

B 2 e2

2

2

8m e c2 r sin

Trang: 9

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
2.2.1. Năng lượng bậc không
Theo lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của
electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu chính là năng lượng ở mức cơ bản

n 1 của electron trong nguyên tử hydro khi không có từ trường.
Vậy, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên
tử hydro trong từ trường yếu là:
m

E(0)

Z 2 e4 13,6 eV

e

0

22

2.2.2. Bổ chính năng lượng bậc một
Theo lý thuyết nhiễu loạn, bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản của
electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu có dạng:
(1)
E

(0)

0

0

ˆ
V

(0)

(0)

0

0

ˆ

V

d
V

(0)

0

V

0

(0)

là hàm sóng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản khi không nhiễu loạn
(0)

n 1, l 0, m 0 có dạng:

R

0

0

( r )Y

0

0

(

, )

1

.

4

2 .e
3

r
a0

a02

Suy ra:
2

B 2e

e

(1)

E0

2

8m c
e

4

2

2

B e
8m c

.

e

4

3

a

2

.

2

a0

2

r sin dV

V

0

2r

22

1

2

2r

22

1

2

4

a0

e

3

2

2

3

r dr sin d d

0

a 02 B 2e

0

0

4m c2
e

a0
Biểu thức bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản là:
2
2
E(1) a 0 B e

20

4m e c2
Vậy, mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường
theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một là:
E

E
0

(0)
0

m Z2e4

E

(1)
0

2

0

e

2

a 2 B 2e

2

4m e c2


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 10

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
Trong hệ đơn vị không thứ nguyên m e e c a0 1, mức năng lượng cơ bản của nguyên
tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một có dạng:
B2
4

1
2

E0

(1.15)

Nhận xét: Theo biểu thức về sự phụ thuộc mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro trong từ trường thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro có dạng là hàm bậc hai của từ trường B .
2.2.3. Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro trong từ
trường

Năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro ở biểu thức (1.15) thu được
bằng lý thuyết nhiễu loạn, do đó nó chỉ đúng với những từ trường yếu sao cho độ dịch
chuyển mức năng lượng cơ bản nhỏ hơn rất nhiều so với trị số hiệu mức năng lượng cơ
bản và mức kích thích thứ nhất, nghĩa là:

a 2 B 2e

E0 E1

2

4 mec2

0 c

Một cách gần đúng ta xem từ trường yếu là từ trường có giá trị Bc b , sao cho năng
lượng tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường vào khoảng mười
phần trăm trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kích thích thứ nhất.
a2b2e
0

2

2

10%

E E

m Z2e4

10%

4mec
Trong hệ không thứ nguyênme e c a0
0

1

b2 0.1 1

e

2

2
1, ta có:

m Z 2 e4
e

82

1

4

8
2
Suy ra Bc b 0.3872 được xem là giá trị từ trường yếu ứng với mức năng lượng cơ

bản của electron trong nguyên tử hydro.
2.3. Nhận xét kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro
trong từ trường cho bởi lý thuyết nhiễu loạn
Bằng phương pháp nhiễu loạn, ta thu được kết quả của bài toán nguyên tử hydro
trong từ trường:
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 11

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật yếu thì tương tác Coulomb
giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương
tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.
Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa
electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb
giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn. Bài toán
này đã được Landau giải quyết hoàn chỉnh.
Như vậy, dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán
nguyên tử hydro trong từ trường thật mạnh hoặc thật yếu.
Tuy nhiên, phương pháp nhiễu loạn truyền thống gặp phải khó khăn khi giải quyết
bài toán nguyên tử hydro đặt trong từ trường trung bình vì không thể coi tương tác
Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác
giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.
Bằng phương pháp toán tử với ưu điểm là có thể áp dụng cho bài toán trường ngoài
có cường độ bất kỳ, ta có thể giải quyết được khó khăn trên của phương pháp nhiễu
loạn truyền thống về bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình.

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 12

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ
trường

CHƯƠNG 2:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO
1. Hình thức luận toán tử sinh hủy
1.1. Bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều
1.1.1. Toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi điều hòa
Toán tử Hamilton của bài toán dao động tử điều hòa một chiều không có nhiễu loạn
22
2 2
ˆ
1
có dạng: H 0

x , phương trình Schrodinger tương ứng:

2 x2
2m
m

22

2

1
m

2

2

(0)

x

(0)

(0)

(x) E

n

n

( x)

n
2m
2

x
Kết quả của cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động điều hòa ứng với mỗi

(0)

hàm riêng

(0)

( x) bị lượng tử hóa có dạng:

E

1 với n 0, 1, 2,... và
2

n

n

n

các mức năng lượng này không suy biến.
Khi truyền cho dao động tử thêm một năng lượng V ( x) x2 , toán tử Hamilton trở
thành:
22

ˆ
H

1

2

2

2

x x
(2.1)
m
2
1.1.2. Giải bài toán dao động tử phi điều hòa bằng lý thuyết nhiễu loạn truyền
2m x2

thống

Trong phương pháp nhiễu loạn truyền thống, để giải bài toán dao động tử có thêm
phần năng lượng bé V ( x)

x2 (

bé), ta đặt biến số mới:

Kết quả tính toán trong cơ học lượng
hòa khi có thêm phần năng lượng bé V ( x)

tử cho ta năng lượng của dao động tử điều
x2 ( bé) là:

1
En

Với n

0, 1, 2,...

n

2

x.

2

1
1

m

2

2m

2

...

(2.2)

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 13

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường
1.1.3. Giải bài toán dao động tử phi điều hòa bằng phương pháp toán tử
Bây giờ, ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa, được truyền thêm phần năng
ˆ
ˆ
lượng V ( x)

2

ˆ
ˆ
x bằng cách đặt toán tử sinh a và toán tử hủy a có dạng như sau:
ˆ
m ˆ i
1 ˆ
a

x

2
m

ˆ

p

m
i

ˆ

a

(2.3)

1

ˆ

x

p

2

m

Giao hoán tử của hai toán tử sinh ˆ
ˆ
a và hủy a :
ˆˆ
ˆˆ ˆˆ 1

a,a
aa a a
Trong đó là tham số thực dương cần tìm, hai toán tử sinh
toán tử không thứ nguyên.

(2.4)
aˆ và hủy aˆ là những

Từ biểu thức của hai toán tử sinh ˆ và hủy ˆ
a
a trên, suy ra:
x
1
ˆ
ˆ
(a

2m
m

(2.5)
ˆ
(a

x

)

a

a

ˆ

)

2

Vậy:
x

2

2

x
Với:

aˆ,aˆ

aaˆˆ

2

)2

ˆ ˆ
2m

m

ˆ ˆ

)

m
2

(a a

2
aˆ aˆ

ˆ2

2m

(a a

a

2

ˆ )2

a

ˆ

ˆˆ ˆˆ

(a

aa a a

(2.6)

2

2

ˆ ) ˆˆ ˆˆ
(a

aa a a

1, ta có:
2

x
2

x

a

2m

2

m

2

a

ˆ2

ˆ 2
(a )

2

2

ˆ

ˆ )
(a

ˆˆ
2a a
ˆˆ

1
(2.7)

1

2a a

Toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi điều hòa có dạng:
ˆ
H

22

1

2

2

2

22

1
2(m

2

x x
2 )x
2 x2
2m x2
2m
m
Từ (2.7) và (2.8) ta viết lại toán tử Hamilton của bài toán dưới dạng:

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 14

2

(2.8)

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ
trường
ˆ

ˆ

H N

Với:

2

1
2

2

2

(m

2m

2 ) aˆ

2

( aˆ

2

)

4

4m

(m

2 )

aˆ n 1 n n
aˆ n n n 1 , aˆ 0 0
ˆ
ˆ ˆ
N

n a a n

n n

Năng lượng ở mức cơ bản của dao động tử phi điều hòa là:
E0

(2.9)

0H0

Vậy, ta có năng lượng cơ bản của dao động tử là:
2
E

0

2m

2

ˆ

(m

2 )

1

0N

2

2

ˆ

2

0

4

0

ˆ

(2.10)

2
)

0

4m

Suy ra:

E

1
0

(m

2

2

2

2 )

2m

Trong biểu thức năng lượng ở mức cơ
, m ,const nên E0 là một hàm theo tham số .

bản của dao

(2.11)

động tử phi điều hòa

Vì E0 là mức năng lượng thấp nhất của dao động tử nên:
dE0 0

(2.12)

d
Thay biểu thức tính E0 ở (2.11) vào (2.12), ta có:
(m

2

2

2 )

2m

Ta tìm được giá trị của tham số thực dương
2

Do là số thực dương nên:
Thay biểu thức của tham số
ˆ
ˆ
điều hòa có thế nhiễu loạn V ( x )

1
2

0

(2.13)

:
2
m2

1
1

(2.14)

2

m 2
vào toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi
2

x , ta được:


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 15

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ
trường
ˆ
H

ˆ
N

1
2

2
2
m

1

(2.15)

Năng lượng của dao động tử phi điều hòa được truyền thêm phần năng lượng V ( x
) x2 ở mức n là:
ˆ
(2.16)
nHn
Ta thu được kết quả của bài toán dao động tử phi điều hòa được truyền thêm phần
En

năng lượng V ( x ) x2 là:
1

E nn

1

2

2

m

(2.17)

2

Với n 1, 2, 3, ...
1.1.4. Nhận xét về các cách giải bài toán dao động tử phi điều hòa
So sánh kết quả biểu thức năng lượng của dao động tử khi được truyền thêm phần
năng lượng bé V ( x) x2 ( bé) khi giải bằng phương pháp nhiễu loạn truyền thống và
kết quả thu được bằng phương pháp toán tử, ta nhận thấy biểu thức giá trị năng lượng
ở mức n thu được bằng phương pháp nhiễu loạn chính là sự khai triển của
biểu thức năng lượng bằng phương pháp toán tử theo các lũy thừa của

2 lấy với
m

độ chính xác đến số hạng có độ bé bậc hai.
1
2
1
n

En

1

2

m

2

n

2

m

2

2 m

Ta thấy điều kiện để có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn
0

m

2

2

2

1
1

2

2

...

(2.18)

truyền thống là

. Trong khi đó đối với phương pháp giải bài toán bằng phương pháp toán

tử cho kết quả bài toán một cách chính xác và hệ số có thể là bất kỳ. Đó chính là lợi
thế rất lớn của phương pháp toán tử.
Nhưng điều kiện để chuỗi (2.18) hội tụ là
điều kiện 0

m

2

2

.

2 1 . Vậy phải bé và thỏa mãn
m2


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa

Trang: 16

SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc


Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ

trường
2. Phương pháp toán tử trong bài toán nguyên tử hydro
2.1. Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro
Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro trong hệ đơn

vị không thứ

nguyên 1 , me 1 , e 1 , k 1, a0 1:
ˆ
H

ˆ ˆ
TU

ˆ

1

T

2 x

Trong đó:
ˆ
+ T là toán tử động năng, với:

ˆ
+ U là toán tử thế năng, với:

ˆ

U

(2.19)
2

2
2

Z
r

2
2

y

z

2

(2.20)

z2

(2.21)

Z
x2 y2

Bằng phép biến đổi Laplace, ta thu được toán tử thế năng có dạng:

ˆ

Z

U

t(x

1

2

y

2

2

z )

te

0

dt

(2.22)

2.2. Biễu diễn toán tử
Ta định nghĩa các toán tử sinh và toán tử hủy như sau:

ˆ x
1
ˆ x
ax

ˆ

az

y

1

2

y

2

ax

y

y

z

z

z

ˆ

,

az

y

y

1

(2.23)
y

y

z

2

x

x

2

a

1

x

2

, ˆ
y

z

,

x

x

y

a

ˆ

x

2

1

1

z

z

z

Trong đó x , y ,
z là các tham số thực dương cần tìm.
Ta viết lại các toán tử sinh và hủy ở (2.23) như sau:
ˆ

1

a

Với ,1, 2,

2

ˆ
,

a

1
2

3 tương ứng với các thành phần trên các trục Ox , Oy , Oz .

Các hệ thức giao hoán: