Nghiệm thu đề tài cấp cơ sở định lí farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN-TIN HOC

NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ

Định lí Farkas mở rộng cho hệ
có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng
Mã số: CS.2005.23.77

Người thực hiện: PGS.TS. Nguyễn Định

Tp. Hồ Chí Minh, 2/2006


TểM TT KT QU NGHIấN CU CếA TI

nh lớ Farkas m rởng cho hằ
cú chựa rng buởc lỗi Êo v ựng dửng
Mó số: CS.2005.23.77

BO CO TấNG QUAN
Bờ ã Farkas úng mởt vai trũ c bÊn trong lớ thuyát tối u tuyán tớnh cng nh tối
u phi tuyán. Trong nhỳng thêp niờn vứa qua, Bờ ã Farkas ó ủc m rởng v phỏt
trin ra cho cỏc hằ tuyán tớnh (vụ hÔn chiãu), cỏc hằ phi tuyán cng nh cỏc hằ a tr,
dợi cỏc dÔng khỏc nhau. Cựng vợi cỏc m rởng ny l ỏp dửng cừa nú vo lớ thuyát
quy hoÔch lỗi nỷa vụ hÔn, quy hoach lỗi tờng quỏt, cỏc bi toỏn quy hoÔch lỗi nỷa
cỏc nh (convex semi-definite programs (SDP)), cỏc bi toỏn tối u a mửc tiờu.
Kát quÊ nghiờn cựu cừa ã ti ó ủc viát thnh 3 bi bỏo trong ú cú 2 bi ng trong
TÔp chớ Khoa hồc cừa Trớng Ôi hồc S phÔm Tp. Hỗ Chớ Minh v 1 bi s gỷi ng trờn
mởt tÔp chớ toỏn quốc tá. Cỏc kát quÊ ny s ủc trỡnh by trong 3 chng sau õy v ton

vn 3 bi bỏo s ủc ớnh kốm phƯn sau trong têp bỏo cỏo nghiằm thu ny.

Chng 1 trỡnh by tờng quan sỹ phỏt trin cừa cỏc dÔng m rởng cừa Bờ ã Farkas
trong cỏc thêp niờn gƯn õy, bao gỗm cỏc dÔng trong khụng gian hỳu hÔn chiãu v khụng
gian vụ hÔn chiãu; cÊ cỏc dÔng tiằm cên v khụng tiằm cên mợi ủc thiát lêp trong nhỳng
nm cuối cừa thá k 20 v nhỳng nm Ưu cừa thá k 21, cựng vợi nhỳng ỏp dửng a
dÔng cừa cỏc dÔng m rởng ny trong lý thuyát tối u. Chng 2 l cỏc kát quÊ mợi cừa
ã ti, m rởng Bờ ã Farkas cho cỏc hằ cú chựa cỏc bĐt ng thực lỗi v cỏc bĐt ng
thực DC. Chng 3, trỡnh by cỏc ỏp dửng cừa cỏc dÔng m rởng cừa Bờ ã Farkas vo
cỏc bi toỏn quy hoÔch DC vợi rng buởc lỗi theo nún v rng buởc têp.

1


Chng I
CC KT QU DNG FARKAS Mé RậNG V P DệNG
VO L THUYT CC BI TON TẩI U LầI

1

Giợi thiằu

Bờ ã Farkas cờ in ủc phỏt biu nh sau:
n
Bờ ã 1.1 GiÊ sỷ a1, a2 , ...., am, c
. Khi ú cỏc mằnh ã sau l tng ng:
T
T

R

,
a x
,i
, ..., m
(x)
0,
=1 2
(i) i 0
= c m
(ii) (i 0, i = 1, 2, ..., m) c = P
a.
i=1

i i

DÔng cờ in v n giÊn ny ó ủc ỏp dửng mởt cỏch hiằu quÊ nghiờn cựu
nhiãu lợp cỏc bi toỏn tối u tuyán tớnh cng nh phi tuyán. iãu ny l ởng lỹc
cỏc nh toỏn hồc tỡm kiám cỏc dÔng tờng quỏt hn nhơm m rụng phÔm vi ỏp
dửng cừa nú, chng hÔn vo cỏc bi toỏn iãu khin tối u, cỏc bi toỏn quy
hoÔch vụ hÔn hoc ỏp dửng vo lợp cỏc bi toỏn nỷa xỏc nh ang phỏt trin v
cú rĐt nhiãu ựng dửng trong nhỳng nm gƯn õy.
cú th trỡnh by cỏc m rởng cừa Bờ ã Farkas, trợc hát ta nờu ra mởt số
khỏi niằm c bÊn cừa giÊi tớch lỗi m chỳng ta s sỷ dửng thớng xuyờn trong
chng ny v cỏc chng sau.
Cho f : X R {+}. Miãn hỳu hiằu cừa f l têp
dom f = {x X | f(x) < +}.
Hm f ủc gồi l chõn chớnh náu domf 6= .
GiÊ sỷ f : X R {+} l mởt hm lỗi chõn chớnh v nỷa liờn tửc dợi (l.s.c.).
Hm ối ngău cừa f, f : X R {+}, ủc nh ngha bi
f(v) = sup{v(x) f(x) | x dom f}.

Epigraph cừa f, kớ hiằu l epif, l têp
epi f = {(x, r) X ì R | x dom f, f(x) r}.
Vợi 0, -dợi vi phõn cừa f tÔi a domf ủc nh ngha l têp lỗi úng
yáu
0

f(a) := {v X | f(x) f(a) v(x a) , x dom f}.
ý rơng f(a) 6= náu > 0. Khi = 0 ta quay tr lÔi khỏi niằm dợi vi phõn cừa
hm f tÔi a theo ngha thụng thớng cừa giÊi tớch lỗi. Trong trớng hủp ny ta s kớ
hiằu l f(a) (thay vỡ 0f(a)). Dợi vi phõn cừa mởt hm lỗi luụn l têp lỗi, compact
yáu (cú th l têp rộng).


2


2

Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rởng

Sỹ thnh cụng cừa viằc vên dửng Bờ ã Farkas trong cỏc bi toỏn tối u tuyán tớnh cng
nh sỹ hỳu ớch cừa nú trong viằc nghiờn cựu cỏc bi toỏn tối u phi tuyán ă dăn án nhu
cƯu m rởng bờ ã ny cho cỏc hằ tuyán tớnh vụ hÔn chiãu, cỏc hằ phi tuyán, cỏc hằ liờn
quan án cỏc ỏnh xÔ a tr, ... Chỳng ta s ã cêp õy mởt số dÔng m rởng tiờu biu.
Tuy nhiờn, ch cú mởt số kát quÊ quan trồmg mợi õy s ủc trỡnh by chi tiát.

Bờ ã Farkas cho hằ tuyán tớnh vụ hÔn chiãu.
Bờ ã Farkas cho hằ khụng trn.
Cỏc kát qừa m rởng dÔng Farkas cho cỏc hằ lỗi theo nún.
Trong mửc ny chỳng ta s im qua mởt số kát qừa m rởng Bờ ã Farkas

ủc cụng bố trong nhỳng nm vứa qua, chừ yáu cừa cỏc tỏc giÊ V. Jeyakumar,
G.M. Lee, M.A. Goberna, M.A. Lopez v Nguyạn nh (xem chi tiát trong [1]).
Cho X, Z l hai khụng gian nh chuân, C l mởt têp lỗi úng cừa X, S l mởt
nún lỗi úng trong Z cũn g : X Z l mởt ỏnh xÔ S-lỗi, liờn tửc v f : X R l
mởt hm lỗi lờn tửc.
nh lớ 2.1 (Bờ ã Farkas dÔng tiằm cên) GiÊ sỷ hằ x C, g(x) S l tng
thớch. Khi ú vợi mồi R,cỏc phỏt biu sau l tng ng:
(i) inf{f(x) : g(x) S, x C} ,
(ii) (0, ) epif + cl (S+epi(g) + epi(C)) ,
+
(iii) ((n)n S ) (x C)
f(x) + lim inf ng(x) .
n

DÔng tiằm cên ny cừa Bờ ã Farkas ó ủc sỷ dửng thiát lêp cỏc nh lớ vã
im yờn ngỹa, cỏc nh lớ ối ngău mÔnh cho bi toỏn tối u lỗi tờng quỏt vợi rng
buởc lỗi theo nún dÔng g(x) S, cng nh cho bi toỏn nỷa xỏc nh (SDP).

nh ngha 2.1 Hằ x C, g(x) S ủc gồi l thọa món iãu kiằn chớnh quy
dÔng nún úng (CCCQ) náu têp hủp

[

epi(g) + epi C



l úng yáu .

+

S

Ngới ta chựng minh ủc rơng (xem [JDL]) iãu kiằn (CCCQ) yáu hn cỏc iãu
kiằn dÔng m rởng cừa cỏc iãu kiằn dÔng Slater m rởng (cng thớng gồi l cỏc
iãu kiằn im trong, thớng ủc sỷ dửng trong cỏc bi toỏn tối u lỗi).

3


1

nh lớ 2.2 (Bờ ã Farkas dÔng khụng tiằm cên) GiÊ sỷ têp C g (S) l khụng rộng
v R. Náu iãu kiằn (CCCQ) thọa món thi cỏc phỏt biu sau l tng ng:
(i) g(x) S, x C = f(x) ,
(ii) (0, ) epi f + S+epi (g) + epi C,
+

(iii) ( S )(x C) f(x) + g(x) .
Cỏc m rởng cừa Bờ ã Farkas cho hằ lỗi vụ hÔn
Trong mửc ny chỳng ta chừ yáu nghiờn cựu hằ (gỗm mởt số vụ hÔn cỏc bĐt
ng thực lỗi v mởt rng buởc têp) sau
:= {ft(x) 0, t T ; x C},
trong ú T l mởt têp ch số tựy ý (cú th vụ hÔn), C X l mởt têp con lỗi úng, X l
mởt khụng gian vect tụpụ lỗi a phng Hausdorff v f t : X R {+} vợi mồi t
T . GiÊ sỷ rơng ft l cỏc hm lỗi chõn chớnh, nỷa liờn tửc dợi (l.s.c.), mồi t T .
Gồi
[

K := cone{



epift } + epiC .
tT

nh ngha 2.2 Chỳng ta núi rơng hằ is Farkas-Minkowski (ng-n gồn FM) náu
têp K l úng yáu.
Liờn quan án hm f v hằ , ta s sỷ dửng iãu kiằn sau:
(CC) :





The set epif + clK is weak -closed.

Bõy giớ chỳng ta nờu ra Bờ ã Farkas dÔng m rởng v khụng tiằm cên.
nh lớ 2.3 Náu l FM, (CC) thọa món v R, thỡ cỏc mằnh ã sau l tng ng.

(i) f (x) l hằ quÊ cừa ;
(ii) (0, ) epif + K;
( T)
(iii) tỗn tÔi R +
sao cho
X

tft(x) , x C.

f(x) +
tT

3

Mởt số ỏp dửng vo bi toỏn tối u

Bi toỏn lỗi vợi rng buởc lỗi theo nún.
Xột bi toỏn tối u lỗi tờng quỏt
(P)

Minimize f(x)
vợi rng buởc x C, g(x) S,

trong ú X, Y l cỏc khụng gian nh chuân thỹc, f : X R l mởt hm lỗi, g : X
l mởt ỏnh xÔ S-lỗi, liờn tửc vợi S l mởt nún lỗi úng trong Y (khụng nhĐt thiát
cú phƯn trong khỏc rộng) v C l mởt têp lỗi úng trong X.
4


1

nh lớ 3.1 (iãu kiằn tối u) [JDL] Xột bi toỏn (P) v cho a C g (S). GiÊ
sỷ rơng iãu kiằn (CCCQ) thọa món. Khi ú a l mởt nghiằm cừa (P) náu v
+
ch náu tỗn tÔi S sao cho
0 f(a) + (g)(a) + NC (a) v g(a) = 0,
trong ú NC (a) l nún phỏp tuyán vợi têp C tÔi a.
nh lớ 3.2 (iãu kiằn tối u theo dóy I) Xột bi toỏn (P). GiÊ sỷ rơng a C

1
g (S). Khi ú cỏc iãu kiằn sau l tng ng:
(i) f(a) = inf{f(x) : x C, g(x) S} (a l ngiằm cừa (P)),
+
0
(ii) ( u f(a) )( {n} S )( { n},{n} IR+) ( {vn}, {wn} X ) sao cho vn
n (ng)(a), wn n C (a), u + vn + wn 0, n 0, n 0 v ng(a) 0 khi
n .
nh lớ 3.3 (Minimax Lagrange theo dóy) ối vợi Bi toỏn (P), giÊ sỷ rơng têp cỏc im
+ sao cho


chĐp nhên ủc l khụng rộng. Khi ú tỗn tÔi mởt dóy ( n) S
inf sup lim inf L(x, n) =
xC (n)S+ n

sup inf lim inf L(x, n)
(n)S+ xC n

= inf lim inf L(x, n) = inf(P ).



xC n

Bi toỏn lỗi vụ hÔn
Xột bi toỏn lỗi vụ hÔn
(PI)

Minimize f(x)

vợi rng buởc ft(x) 0, t T,
x C,

trong ú X l mởt khụng gian vect tụpụ lỗi a phng Hausdorff, C X l mởt
têp lỗi úng v f, ft : X R {+} l cỏc hm lỗi chõn chớnh, l.s.c., mồi t T .
Gồi
A := {x X | ft(x) 0, t T, x C}.
nh lớ 3.4 [DGLS] (iãu kiằn tối u) ối vợi bi toỏn (PI), giÊ sỷ rơng iãu kiằn
(CC) thọa món, a A. Náu thờm l FM thỡ a l mởt nghiằm cừa (PI) náu v
+
ch náu tỗn tÔi (t)t sao cho
X

0 f(a) +

tft(a) + NC (a), tft(a) = 0, t
T.

(1)

tT

Sỷ dửng Bờ ã Farkas m rởng chỳng ta cng thiát lêp ủc cỏc nh lớ ối
ngău mÔnh, cỏc iãu kiằn im yờn ngỹa cho bi toỏn (P1).


5


Chng II

Bấ FARKAS CHO H BT NG THC
GầM CC HM LầI V HM DC

GiÊ sỷ Z l mởt khụng gian Banach, X l mởt khụng gian Banach phÊn xÔ, f,
g : X R {+} l cỏc hm lsc, lỗi, chõn chớnh, v h : X Z l ỏnh xÔ S-lỗi
liờn tửc trong ú S l mởt nún lỗi úng trongZ. Trong suốt bi bỏo ny ta giÊ sỷ C
1
h (S) domg. HÔn chá vã tớnh phÊn xÔ cừa khụng gian X ch trỏnh viằc
sỷ dửng lợi (net). Cỏc kát quÊ trong bi ny văn cũn ỳng trong khụng gian vect
tụpụ tờng quỏt.
Gồi K l nún lỗi xỏc nh bi
K := S+epi(h) + epiC.
Chỳng ta s sỷ dửng cỏc iãu kiằn sau õy, liờn quan án hằ h(x) S, x C
v hm lsc, lỗi, chõn chớnh f:
(CC1)

epif + clK l úng yáu.

(CC2)

epif + K l úng yáu.

ý rơng iãu kiằn (CC1) s ủc thoÊ món náu f liờn tửc tÔi mởt im no ú trong
1

C h (S).
Cỏc kát quÊ chớnh trong chng ny s ủc nờu lờn sau õy.
nh lớ 1. (Bờ ã Farkas dÔng tiằm cên) Cho R. Náu iãu kiằn (CC1) thoÊ
món thỡ cỏc mằnh ã sau tng ng
(i) h(x) S, x C = f(x) g(x) ,

(ii) (0, ) + epi g epi f + clK,




+

(iii) (x domg )((n)n S )(x C)

f(x) + lim inf nh(x) (x, x) g(x) + ,
n

+

(iv) ( > 0) (x C domg) ((n)n S )
f(x) + lim inf nh(x) g(x) .
n

nh lớ 2. (Bờ ã Farkas dÔng khụng tiằm cên) Cho R. Náu iãu kiằn
(CC2) thoÊ món thỡ cỏc mằnh ã sau l tng ng
(i) h(x) S, x C = f(x) g(x) , (ii)
(0, ) + epi g epi f + K,
6


(iii) (x domg)( S )(x C)
+

f(x) + h(x) (x, x) g(x) + .
+

(iv) ( > 0) (x C domg) ( S )
f(x) + h(x) g(x) .
ý rơng trong trớng hủp g 0 kát quÊ trờn suy bián thnh cỏc kát quÊ cho
cac hằ lỗi vứa ủc thiát lêp mợi õy (Chng I).
1

Hằ quÊ 3. GiÊ sỷ C h (S) khỏc rộng v R. Náu f liờn tửc tÔi mởt im
1
no ú trong C h (S) thỡ cỏc mằnh ã sau tng ng
(i) h(x) S, x C = f(x) ,
(ii) (0, ) epi f + cl (S+epi (h) + epi C),
(iii) ((n)n S+)(x C) f(x) + lim inf h(x) .
n

1

Hằ quÊ 3. GiÊ sỷ C h (S) khỏc rộng v R. Náu f liờn tửc tÔi mởt im no ú
1

trong C h (S) v iãu kiằn K l úng yáu thỡ cỏc mằnh ã sau l tng ng:

(i) h(x) S, x C = f(x) ,
(ii) (0, ) epi f + S+epi (h) + epi
+
C, (iii) ( S )(x C) f(x) + h(x) .

7

Ti liằu
[1] Nguyạn nh, Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rởng v ỏp dửng vo lý thuyát
cỏc bi toỏn tối u lỗi, TÔp chớ khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp. Hỗ Chớ Minh
- Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 3 - 25.
[2] Nguyạn nh v TrƯn Thỏi An Ngha, Bờ ã Farkas cho cỏc hằ bĐt ng thực
gỗm cỏc hm lỗi v hm DC, TÔp chớ khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp. Hỗ
Chớ Minh - Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 41 - 52.
[3] N. Dinh, Guy Vallet, and T.T.A. Nghia, A new approach to DC-programs with
cone convex constraints (bÊn thÊo, 2005).

8


Chng III
BI TON QUY HOCH DC VẻI RNG BUậC LầI THEO NểN

1

Giợi thiằu

Trong chng ny chỳng ta s xột bi toỏn tối u cỹc tiu húa mởt phiám hm DC
(hiằu cừa 2 hm lỗi) vợi rng buởc lỗi theo nún v mởt rng buởc têp cú dÔng sau:

(P)

inf (f(x) g(x))
subject to x C, h(x) S

trong ú X, Z l cỏc khụng gian Banach, C l mởt têp lỗi úng cừa X, f, g : X R
{+} l cỏc hm lỗi, S l mởt nún lỗi úng trong Z (khụng nhĐt thiát cú phƯn trong

khỏc rộng), v h : X Z l mởt ỏnh xÔ liờn tửc, S-lỗi. Chỳng ta quy ợc rơng
= +.
Trong suốt chng ny chỳng ta giÊ thiát rơng
1

A := {x X | x C, h(x) S} = C h (S) 6= .
Lỳc ny (P) cú th ủc viát lÔi l
0

(P ): inf f(x) g(x)
xA

hoc l
00

(P ): inf [(f(x) + A(x)) g(x)]
xX

Mởt iãu kiằn cƯn mởt im a A l cỹc tiu ton cửc cừa (P) l:
g(x0) (f + A)(x0).
Dợi mởt iãu kiằn chớnh quy no ú, iãu kiằn vứa nờu cú th viát lÔi l:
g(x0) f(x0) + NA(x0).

(1)

Bờ ã sau õy úng mởt vai trũ quan trồng trong ton bở cỏc nghiờn cựu cừa
chng ny. Nú ủc thiát lêp bi J. B. Hiriart-Urruty (2001).
Bờ ã 1.1 x0 A l mởt nghiằm tối u ton cửc cừa (P) náu v ch náu vợi mồi
0,
g(x0) (f + A)(x0).

(2)


1


2

iãu kiằn tối u

Kát quÊ chớnh cừa chng ny l cỏc iãu kiằn cƯn v ừ tối u cho bi toỏn (P).
Chỳng tụi ó chựng minh ủc cỏc kát quÊ sau:
nh lớ 2.1 GiÊ sỷ rơng inf(P ) < + v iãu kiằn (CC2) ủc thọa món. Khi ú x
A l mởt nghiằm tối u ton cửc cừa (P) náu v ch náu vợi mội 0, vợi mội x
+
g(x), tỗn tÔi S v 1, 2, 3 0 sao cho 1 + 2 + 3 = + h(x) v
(3)
x f(x) + (h)(x) + N (C, x).
1

2

3

c biằt, náu x A l mởt nghiằm ton cửc cừa (P) thỡ vợi mội x g(x), tỗn
+

tÔi S sao cho
x f(x) + (h)(x) + N(C, x), h(x) = 0.

Trớng hủp c biằt, khi khụng cú mt rng buởc x C, iãu kiằn tối u ủc
cho dÔng n giÊn sau:
Hằ quÊ 2.1 Ga sỷ rơng C = X v inf(P ) < +. Náu epif +

S

S+

epi(h) l

úng yáu thỡ x l nghiằm tối u ton cửc cừa (P ) khi v ch khi vợi mội 0,
g(x)

[

[
S

+

{ 1 f(x) + 2 (h)(x)} .

(4)

{f(x) + (h)(x)}.

(5)

1+ 2= +h(x)

1, 20

c biằt, náu x l mởt nghiằm cừa (P) thỡ
[
g(x)
+

S
h(x)=0

3

p dửng

Trong mửc ny cỏc kát quÊ Ôt ủc trong Mửc 2 s ủc ỏp dửng nghiờn cựu
cỏc lợp toỏn cử th, chng hÔn, lợp cỏc bi toỏn DC vợi rng buởc lỗi, lợp cỏc bi
toỏn trong ú hm g l hm a diằn (maximum cừa mởt hồ hỳu hÔn cỏc hm
tuyán tớnh), bi toỏn maximum mởt phiám hm lỗi trờn mởt têp lỗi.

3.1

Bi toỏn DC vợi rng buởc lỗi

Xột bi toỏn:
(PCI):

inf

f(x) g(x),

xC, hi(x)0, iI,

2


trong ú I l mởt têp ch số tựy ý (cú th vụ hÔn); h i : X R, i I, l cỏc hm
lỗi, liờn tửc trong khi f, g : X R {+} l cỏc hm lỗi chõn chớnh, nỷa liờn tửc
dợi nh trong cỏc mửc trợc.
I
Gồi Z = R l khụng gian tớch ủc trang b tụpụ tớch. Khi ú khụng gian ối
(I)
ngău tụpụ Z cừa Z l R , chớnh l khụng gian gỗm cỏc dóy suy rởng hỳu hÔn,
I
ngha l bao gỗm cỏc hm v : I R vợi giỏ hỳu hÔn. t S = R +. Khi ú nún ối
+
( I)
ngău (dng) S cừa nún S l R + vợi
( I)

R + := {(i)iI | i 0, i I, i = 0 voi moi i tru mot so huu han i I}
Gồi A := {x C, hi(x) 0, i I}. Kớ hiằu h := (h i). Dạ dng nhên thĐy rơng h : X
Z l liờn tửc, S-lỗi v rơng Bi toỏn (PCI) cú th viát lÔi dợi dÔng Bi toỏn
1
(P). GiÊ sỷ rơng A := h (S) C l mởt têp khụng rộng cừa X.
iãu kiằn tối u cho (PCI) ủc cho nh lớ sau:
epih + epi l
nh lớ 3.1 GiÊ sỷ rơng inf (PCI) < + v rơng epif + cone
i
C
iI

mởt têp úng yáu . Khi ú, x l mởt nghiằm tối u ton cửc cừa (PCI)náu v ch náu vợi

(I) ,
(I)
S
mồi 0, vợi mồi x g(x), tỗn tÔi (i) R+
( i) R+ , , 0 sao cho
X
X
+ +i
= +ihi(x),
iI
iI
X

i (ihi)(x) + N(C, x).
x f(x) +
iI

c biằt, náu x l mởt nghiằm tối u ton cửc cừa (PCI) thỡ vợi mồi x g(x),
( I)

tỗn tÔi (i) R + sao cho

X



x f(x) +

ihi(x) + NC (x), ihi(x) = 0.

(6)

iI

3.2

Bi toỏn (P) vợi g l hm a diằn

Chỳng ta s xột trớng hủp c biằt cừa Bi toỏn (P) khi C = X v g l hm cú dÔng
g x ) = max (a, x) + i} ,
x X
(7)

b
(

iI

{

i





trong ú I = {1, 2, . . . , n }, a, a, . . . , X . Hm g nh thá ủc gồi l mởt hm lỗi

1

a diằn. Ta cú

a



2

(

epig = cl co

n

[

!)

({ai} ì [bi, +)) .

iI

iãu kiằn tối u cho (P) trong trớng hủp ny ủc cho nh lớ sau:


3

nh lớ 3.2 ối vợi Bi toỏn (P), giÊ sỷ rơng C = X v g l mởt hm lỗi a diằn xỏc
S
nh bi (7). GiÊ sỷ thờm nỳa rơng {h(x) S} =6 v epif + S+ epi(h)
l úng yáu. Náu inf(P ) < + thỡ x l mởt nghiằm ton cửc cừa (P) khi v
+
ch khi vợi mội i I, tỗn tÔi i S sao cho
1 ,
0i
{ 1 f(x) + 2 (ih)(x)} ,
(8)
a i
[

2

1+ 2=



trong ú i := ih(x) + g(x) gi(x) 0.

3.3

Bi toỏn cỹc Ôi mởt hm lỗi trờn mởt têp lỗi

Xột bi toỏn cỹc Ôi húa mởt hm lỗi sau:
(PM):

sup

p(x)

xC, h(x) S

trong ú p : X R {+} l mởt hm lỗi chõn chớnh, nỷa liờn tửc dợi, h : X
Z l mởt ỏnh xÔ liờn tửc, S-lỗi. Cỏc khụng gian X, Z, cỏc têp C, nún S nh cỏc
Mửc 1 v 2.
Bi toỏn (PM) tng ng vợi bi toỏn sau:
(PM1):

inf

p(x).

xC, h(x) S

ý rơng sup(P M) = inf(P M1). iãu kiằn cƯn v ừ tối u cho (PM) ủc thiát
lêp nhớ vo nh lớ 2.1 Mửc 2.
nh lớ 3.3 GiÊ sỷ rơng sup (PM) > v K := K := S+ epi(h) + epiC l
úng yáu. TKhi ú x l nghiằm tối u ton cửc cừa (PM) náu v ch náu vợi mội
0, mội x p(x), tỗn tÔi S v 1, 2 0 thọa món 1 + 2 = + h(x) v
+

x 1 (h)(x) + N 2 (C, x).

(9)

c biằt, náu x l nghiằm ton cửc cừa (PM) thỡ vợi mội x p(x) tỗn tÔi
+
S sao cho

x (h)(x) + N(C, x) v h(x) = 0.

4


KT LUN
ã ti ó nờu lờn mởt bực tranh vã sỹ phỏt trin cừa Bờ ã Farkas trong vi thêp
niờn qua. Qua ú nờu lờn ủc tƯm quan trồng cừa kát quÊ dÔng ny trong lớ
thuyát tối u hiằn Ôi. Thụng qua viằc phỏt trin, m rởng cừa kát quÊ quan trồng
ny, cỏc iãu kiằn chớnh quy (m nhớ cú nú cỏc iãu kiằn cƯn tối u dÔng KarushKuhn-Tucker mợi cú th ủc thiát lêp) cng ủc lm yáu i mởt cỏch ỏng k.
ã ti cng ó lƯn Ưu tiờn ã xuĐt cỏc dÔng m rởng cừa Bờ ã Farkas cho cỏc hằ
cú chựa cỏc rng buởc dÔng DC. Cỏc kát quÊ ny cú giỏ tr mởt cỏch ởc lêp. Nú cú
th dựng thiát lêp cỏc c trng cho cỏc bao hm thực cừa mởt têp lỗi chựa trong
mởt têp DC. Cỏc kát quÊ ny m rởng cỏc kát quÊ mợi cụng bố gƯn õy cừa chừ nhiằm
ã ti vợi cỏc ỗng nghiằp V. jeyakumar, M.A. Boberna, G.M. Lee (2005, 2006).
Vợi nhỳng kát quÊ dÔng Farkas m rởng trờn, ã ti cng ã xuĐt mởt cỏch tiáp cên
mợi ối vợi lợp cỏc bi toỏn quy hoÔch DC, lợp bi toỏn khú m cho tợi hiằn nay, theo sỹ
hiu biát cừa chỳng tụi, cỏc kát quÊ nghiờn cựu nh tớnh ang cũn khỏ tha thợt.

Kát quÊ Ôt ủc cừa ã ti cú th xem nh nhỳng khi Ưu cho mởt cỏch tiáp
cên nghiờn cựu cỏc bi toỏn quy hoÔch DC. RĐt nhiãu iãu cƯn phÊi ủc tiáp tửc
nghiờn cựu theo hợng ny, chng hÔn, cỏc kát quÊ vã ối ngău, ờn nh vợi nhiạu,
... cừa lợp toỏn ny.

Ti liằu
[1] Nguyạn nh, Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rởng v ỏp dửng vo lý thuyát
cỏc bi toỏn tối u lỗi, TÔp chớ khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp. Hỗ Chớ Minh
- Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 3 - 25.
[2] Nguyạn nh v TrƯn Thỏi An Ngha, Bờ ã Farkas cho cỏc hằ bĐt ng thực
gỗm cỏc hm lỗi v hm DC, TÔp chớ khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp. Hỗ

Chớ Minh - Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 41 - 52.
[3] N. Dinh, Guy Vallet, and T.T.A. Nghia, A new approach to DC-programs with
cone convex constraints (bÊn thÊo, 2006).

Tp. Hỗ Chớ Minh, ngy 26 thng 2, nm 2006
Chừ nhiằm ã ti CS.2005.23.77

5


PGS.TS. Nguy¹n Đành

6


PHN PHệ LệC CC CễNG TRèNH
Thỹc hiằn trong khuụn khờ cừa ã ti: CS.2005.23.77

[1 ] Nguyạn nh, Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rởng v ỏp dửng vo lý thuyát
cỏc bi toỏn tối u lỗi, TÔp chớ khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp. Hỗ Chớ Minh
- Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 3 - 25.
[2 ] Nguyạn nh v TrƯn Thỏi An Ngha, Bờ ã Farkas cho cỏc hằ bĐt ng
thực gỗm cỏc hm lỗi v hm DC, TÔp chớ khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp.
Hỗ Chớ Minh - Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 41 - 52.
[3 ] N. Dinh, Guy Vallet, and T.T.A. Nghia, A new approach to DC-programs
with cone convex constraints (bÊn thÊo, 2006).

1