Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính fredholm (LV01955)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Khuất Văn
Ninh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả
hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh,
luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương
pháp giải xấp xỉ phương trình vi–tích phân tuyến tính Fredholm” do tôi
tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà


Mục lục

Mở đầu

3

1

5

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

1.3

Một số kiến thức về Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Không gian C[a,b] và các tính chất . . . . . . . . .

8

Một số kiến thức về giải tích . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất . .

10

Một số kiến thức về giải tích số . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1

Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2

Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . .

12

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG
TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM 14
2.1

Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình

. . . . .

14

2.2

Phương pháp tính toán trực tiếp

. . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . . . . . .

20

2.4

Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH
1


PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM
3.1
3.2

32

Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính
Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Các ví dụ minh họa và ứng dụng Maple trong tính toán .

34

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự
phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học
chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên
quan đến việc giải phương trình vi-tích phân. Phương trình vi-tích phân
tuyến tính Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và
các ngành khoa học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan
tâm nghiên cứu.Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình nói trên
gặp nhiều khó khăn. Vì vậy người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương
trình đó.
Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm có thể giải bằng các

phương pháp khác nhau. Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm
dưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu được
dưới dạng bảng số. Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phần
mềm Maple trong tính toán.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh tôi đã nghiên cứu
đề tài“Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến
tính Fredholm” để thực hiện luận văn của mình.

3


2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình vi-tích
phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng Maple trong tính toán.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân
tuyến tính Fredholm.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm
- Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính
Fredholm

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại
các vấn đề liên quan tới đề tài.

6. Dự kiến đóng góp

Hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến
tính Fredholm và ứng dụng của phương pháp đó vào giải các phương
trình cụ thể. Áp dụng phần mềm Maple trong tính toán.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Một số kiến thức về Giải tích hàm

Mục này nhắc lại một số kết quả về giải tích hàm, được trích dẫn chủ
yếu từ tài liệu [5].
1.1.1

Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d : X × X → R,
thỏa mãn các điều kiện sau đây
(i) d(x, y)

0, ∀x, y ∈ X;

(ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
(iv) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X;

Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong
tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi là
điểm của không gian ấy. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa
các điểm x và y.
5


Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (xn ) , n = 1, 2, ... trong không
gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu
lim d(a, xn ) = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞
n→∞

Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số no sao cho
với mọi n ≥ no và m ≥ no ta đều có
d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ
bản.

Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
f X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1
sao cho với mọi x, x ∈ X ta đều có
d(f (x), f (x )) ≤ αd(x, x, ),
và α được gọi là hệ số co của f .
Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh xạ liên tục đều.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ
và f : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một
6


và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa x∗ là giới hạn của
dãy (xn ) được xây dựng như sau
x0 tùy ý thuộc X, xn+1 = f (xn ), n ≥ 0 và tốc độ hội tụ được đánh giá
theo công thức

αn
d (x1 , x0 ) ,
d (xn , x ) ≤
1−α
trong đó α là hệ số co của f .
∗

1.1.2

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C)

Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu . trong X là một ánh xạ từ X
vào R thỏa mãn các điều kiện
(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
(ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
(iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X;
(iv) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác
định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc
phức, tùy theo P là thực hoặc phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x ∈ X
đặt
d (x, y) = ||x − y|| .
Khi đó d là một metric trên X.

7


Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến xo ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu
n→∞

lim xn = xo hay xn → xo (n → ∞).

n→∞

Định nghĩa 1.1.9. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.1.3

Không gian C[a,b] và các tính chất

Định nghĩa 1.1.11. C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và liên tục trên đoạn [a, b], −∞ < a < b < +∞.
Các tính chất
(i) Không gian C[a,b] là không gian metric.
∀x, y ∈ C[a,b] , d (x, y) = max |x (t) − y (t)| .
a≤t≤b

(ii) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn.
x = max |x (t)| .
a≤t≤b

(iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach.
(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] . Cho
nên C[a,b] là không gian tách được.
Định nghĩa 1.1.12. Không gian Cn[a,b] gồm tất cả các hàm x (t) xác
định trên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được
xác định bởi
x = max {|x(t)| , |x (t)| , ..., |xn (t)|}
a≤t≤b

8

1.2
1.2.1

Một số kiến thức về giải tích
Chuỗi lũy thừa
+∞

Định nghĩa 1.2.1. Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng

an (x − x0 )n

n=0

trong đó x0 , a0 , a1 , a2 , ... là những số thực.
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa
luôn luôn hội tụ tại điểm x = x0 .

+∞

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

an y n ,

n=0

chuỗi có tâm tại y = 0
Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa
+∞

an xn có bán kính hội tụ R > 0,

Định lý 1.2.1. Giả sử chuỗi lũy thừa
n=0

khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R).
+∞

an xn có bán kính hội tụ R > 0.

Định lý 1.2.2. Giả sử chuỗi lũy thừa
n=0

Khi đó tổng S của nó là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trong
khoảng hội tụ (−R, R) và
+∞

b

b

S(x)dx =
a

xn dx

an
a

n=0

Đặc biệt nếux ∈ (−R, R) thì

x
0 S(t)dt

+∞

=

+∞

Định lý 1.2.3. Giả sử chuỗi lũy thừa

n=0

an xn+1
n+1 .

an xn có bán kính hội tụ R > 0

n=0

và

+∞

an xn , x ∈ (−R, R).

S(x) =
n=0

Khi đó
+∞

+Chuỗi lũy thừa

nan xn−1 nhận được bằng cách đạo hàm từng số

n=0

hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.
9


+Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ (−R, R) và
+∞

nan xn−1

S (x) =
n=0

1.2.2

Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x thuộc
đoạn [a, b] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y

cố định thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b].
Đặt I(y) =

b
a f (x, y)dx.

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích
phân phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b].
Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số
Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D = [a, b; c, d] = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}
Định lý 1.2.4. Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ
nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I(y) =

b
a f (x, y)dx

là một hàm

liên tục trong đoạn [c, d].
Định lý 1.2.5. Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa
f (x, y) có đạo hàm riêng

∂f
∂y (x, y)

là một hàm liên tục trong hình chữ

nhật D. Khi đó tích phân phụ thuộc tham số

b

f (x, y)dx, y ∈ [c, d]

I(y) =
a

là một hàm khả vi và
b

I (y) =
a

∂f
(x, y)dx, y ∈ [c, d].
∂y
10


Định lý 1.2.6. Nếu f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D =
[a, b] × [c, d] thì ta có công thức
d

d

b

I(y)dy =
c

b

d

f (x, y)dx dy =
a

c

f (x, y)dy dx.
a

c

Hay là
d

b

dy
c

1.3
1.3.1

b

f (x, y)dx =
a

d

dx
a

f (x, y)dy.
c

Một số kiến thức về giải tích số
Phương pháp cầu phương

Cho hàm f xác định trên đoạn [a, b], f là hàm số liên tục trên đoạn
[a, b] do đó f khả tích trên đoạn [a, b].
Ta chia đoạn [a, b] thành n phần
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Công thức sau được gọi là công thức cầu phương
n

b

ϕ (x) dx =
a

Ak ϕ (xk ) + Rn (ϕ)

(1.1)

k=1

trong đó, Ak và xk - tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,

Rn (ϕ)- phần dư của công thức cầu phương.
Nếu như chọn công thức hình thang, thì chúng ta có
1
A1 = An = h, Ak = h, k = 2, ..., n − 1;
2
xk = a + (k − 1) h, k = 1, ..., n, h =
(b − a)3
∂ 2 (Kϕ )
Rn (Kϕ ) = −
∂y 2
12 (n − 1)2
11

b−a
;
n−1

y=ξ,a≤ξ≤b


Nếu xét công thức Sympson thì sau khi đặt n = 2m + 1, ta sẽ có
4
h
, A2 = A4 = ... = A2m = h,
3
3
2
A3 = A5 = ... = A2m−1 = h,
3
b−a

;
xk = a + (k − 1) h, k = 1, ..., 2m + 1, h =
2m
1 (b − a)5 ∂ 5 (Kϕ )
Rn (Kϕ ) = −
90 (2m)4
∂y 5 y=ξ,a≤ξ≤b
A1 = A2m+1 =

Nếu một quy tắc nào đó được chọn thì các đại lượng Ak , xk , Rk có thể
được viết một cách tương tự.
1.3.2

Sai phân và các tính chất

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h
là hằng số lớn hơn 0. Biểu thức∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là
sai phân cấp 1 của f (x) tại điểm x. Biểu thức
∆2 f = ∆ [∆f (x)]
= [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)]
= ∆f (x + h) − ∆f (x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
Tương tự, ta có ∆k f = ∆ ∆k−1 f được gọi là sai phân cấp k của f
tại x.
Các tính chất của sai phân
(i) ∆k [f ± g] = ∆k f ± ∆k g.
(ii) ∆k [λf (x)] = λ∆k [f (x)] .
(iii) ∆n [pn (x)] = const, ∆m [pn (x)] = 0, khi m > n, trong đó pn (x) là
đa thức cấp n của x.
12

n

(iv) f (x + nh) =
i=0

(v) ∆n f (x) =

n

Cni ∆i f (x) .

(−1)i Cni f [x + (n − i)] .

i=0

13


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH
VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
FREDHOLM
Xét phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm được cho bởi công
thức
b
(n)

u

K (x, t) u (t) dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1 (2.1)

(x) = f (x) +
a

Ở đó u(n) (x) là đạo hàm bậc n của hàm u(x) với biến số là x và bk là cho
trước. Giả sử K(x, t) liên tục trên D = [a, b] × [a, b], M = max |K(x, t)|
(x,t)∈D

2.1

Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Định lý 2.1.1. Giả sử hàm K(x, t) liên tục trên tập D và M (b − a) < 1.
Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(x) thỏa mãn điều
kiện ban đầu u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1.
Nghiệm này xác định trên đoạn [a, b].
Chứng minh
Đặt
b

A(x, u) = f (x) +

K(x, t)u(t)dt
a

14

Khi đó theo tính chất của tích phân phụ thuộc tham số A(x, u) là hàm
số liên tục trên đoạn [a, b].
Ta lại có
b

|A(x, u) − A(x, v)| =

b

K(x, t)u(t)dt −
a

K(x, t)v(t)dt
a

b

K(x, t) [u(t) − v(t)] dt

=
a
b

≤

|K(x, t)| |u(t) − v(t)| dt
a
b

≤M

|u(t) − v(t)| dt
a

≤ M (b − a)||u − v|| = q u − v ,
với (q = M (b − a))
Khi đó theo định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán Côsi suy ra
phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(x) thỏa mãn điều kiện
ban đầu.

2.2

Phương pháp tính toán trực tiếp

Xét phương trình vi-tích phân Fredholm được cho bởi công thức(2.1)
Thay thế K(x, t) = g(x).h(t) vào công thức (2.1)ta được
b
(n)

h(t).u(t)dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1 (2.2)

u (x) = f (x) + g(x).
a

Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng tích phân xác định trong phương
trình vi-tích phân (2.2) liên quan đến một tích phân hoàn toàn phụ thuộc
vào biến t. Điều này có nghĩa là tích phân xác định ở vế phải của (2.2)
là bằng một hằng số α. Nói cách khác, chúng ta đặt
b

α=

h(t)u(t)dt
a

15

(2.3)


Do đó, phương trình (2.2) trở thành
u(n) (x) = f (x) + αg(x)

(2.4)

Tích phân cả hai vế của (2.4) n lần từ a tới x và sử dụng các điều kiện
ban đầu, chúng ta có thể tìm được một biểu thức của u(x) liên quan đến
hằng số α và biến x. Nghĩa là chúng ta có thể viết
u (x) = V (x, α)

(2.5)

Thay thế (2.5) vào vế phải của (2.3). Đánh giá tích phân và nghiệm
của phương trình, chúng ta xác định được hằng số α. Với cách làm này ta
sẽ thu được nghiệm chính xác u(x) bằng cách thay giá trị α vào phương
trình (2.5).
Phương pháp sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau
Ví dụ 2.2.1. Tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân sau
π

2

u (x) = −1 + cosx +

tu(t)dt, u(0) = 0.
0

Bài giải
Đặt
π
2

α=

tu(t)dt
0

Khi đó phương trình đã cho trở thành
u (x) = −1 + cosx + α.
Tích phân 2 vế từ 0 đến x và sử dụng điều kiện ban đầu ta có
x

u(x) =

(−1 + cost + αt)dt
0

α 2 x
t )|0
2

α
= −x + sinx + x2
2

= (−t + sint +

16

(2.6)


Thay vào (2.6) ta được
π
2

α 2
t )dt
2
0
π
2
α
=
(−t2 + tsint + t3 )dt
2
0
π
1
α 4 2
= (− t3 +

t )| + 1
3
2.4 0
−π 3 απ 4
=
+
.
24
128

α=

⇔α=

t(−t + sint +

−π 3 .16
3(128−π 4 )

Vậy nghiệm chính xác u(x) = −x + sinx +

16π 3
2
3(π 4 −128) x .

Ví dụ 2.2.2. Tìm nghiệm của phương trình vi-tích phân sau
π
2

u (x) = −1 − sinx +

tu(t)dt, u(0) = 0, u (0) = 1.
0

Bài giải
Đặt
π
2

α=

tu(t)dt

(2.7)

0

Phương trình được viết dưới dạng
u (x) = −1 − sinx + α.
Tích phân hai vế từ 0 tới x hai lần và sử dụng điều kiện ban đầu ta
được
x

(−1 − sint + α)dt

u (x) =
0

= (−t + cost + αt)|x0
= x(α − 1) + cosx

17


Khi đó
x

[t(α − 1) + cost] dt

u(x) =
0
2

t
(α − 1) + sint|x0
2
x2
= (α − 1) + sinx
2
=

Thay vào (2.7) ta được
π
2

α=
=
=
=

t2
(α − 1) + sint dt
t
2
0
π
2
α−1 3
t + tsint dt
2
0
0
π
(α − 1) 4 π2
2
t |0 +
tsintdt
8
0
(α − 1) π 4
( ) +1
8
2

⇔α=1
Vậy nghiệm chính xác là u(x) = sinx.
Ví dụ 2.2.3. Tìm nghiệm của phương trình vi tích phân sau
1
x

u (x) = e−2−x+e (3+x)+

(x−t)u(t)dt, u(0) = 0, u (0) = 1, u (0) = 2.
0

Bài giải
Ta có
1

u (x) = e − 2 − x + ex (3 + x) + x

1

u(t)dt −
0

tu(t)dt
0

Đặt
1

α1 =

u(t)dt

(2.8)

tu(t)dt

(2.9)

0
1

α2 =
0

18


Khi đó phương trình đã cho trở thành
u (x) = e − 2 − x + ex (3 + x) + xα1 − α2 .
Tích phân cả hai vế của phương trình trên từ 0 tới x ba lần và sử dụng
điều kiện ban đầu ta được
x4
x3
u(x) = (α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) + 2x2 + x + xex
24
6
Thay u(x) vào , ta được
1

t4
t3
α1 =
(α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) + 2t2 + t + tet dt
6
0 24
5

4
t
t
2 3 t2
=[
(α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) + t + + tet − et ] |10
120
24
3
2
1
1
7
=
(α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) +
120
24
6

1

t4
t5
(α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) + 2t3 + t2 + t2 et dt
α2 =
6
0 24
6
5
t

t
1 4 t3
=[
(α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) + t + + t2 et − 2tet + 2et ] |10
144
30
2
3
1
1
5
=
(α1 − 1) + (e − 2 − α2 ) + + e
144
30
6
Giải hệ phương trình ta thu được
α1 =

98711 + 7440e
88511

α2 =

65738 + 88561e
88511

Vậy nghiệm chính xác
t4 10260 + 7440e
t3 242760 + 50e

u(x) = (
)− (
) + 2t2 + t + tet .
24
88511
6
88511

19


2.3

Phương pháp phân tích Adomian

Trong phương pháp này chúng ta thực hiện bằng cách chuyển đổi
một phương trình vi-tích phân Fredholm về một phương trình tích phân
Fredholm. Sau đó ta giải phương trình tích phân đó bằng phương pháp
phân tích Adomian.
Không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể xét một phương trình
vi-tích phân Fredholm bậc hai được cho bởi
b

u (x) = f (x) +

K(x, t)u(t)dt, u(a) = ao , u (a) = a1

(2.10)

a

Tích phân cả hai vế của (2.10) từ a đến x hai lần được
−1

b

−1

u(x) = ao + a1 x + L (f (x)) + L (

K(x, t)u(t)dt)

(2.11)

a

Ở đây điều kiện ban đầu u(a) = ao và u (a) = a1 được sử dụng, L−1 là
một toán tử tích phân hai lần. Sau đó ta sử dụng chuỗi khai triển
∞

u(x) =

un (x).

(2.12)

n=0

Thay vào cả hai vế của phương trình (2.11) thu được
∞

−1

un (x) = ao + a1 x + L (f (x)) + L (

K(x, t)
a

n=0

∞

b

−1

un (t)dt) (2.13)
n=0

hoặc tương đương
uo (x) + u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + ... = ao + a1 (x) + L−1 (f (x))+
b

−1

+L (

b

−1

K(x, t)uo (t)dt) + L (
a

K(x, t)u1 (t)dt) + ...
a

Do đó để xác định các thành phần uo (x), u1 (x), u2 (x)... của nghiệm
u(x). Chúng ta đặt một quan hệ lặp
uo (x) = ao + a1 x + L−1 (f (x))
b

−1

K(x, t)uk (t)dt), k ≥ 0

uk+1 (x) = L (
a

20


Ở đó thành phần u0 (x) bằng tất cả các số hạng không bao gồm phần
bên trong dấu tích phân của (2.13). Ta phải xác định các thành phần
ui (x), i ≥ 0, nghiệm u(x) của (2.10) có được sau khi thu được ui (x) . Sử
dụng (2.12) ta thu được chuỗi hội tụ tới nghiệm chính xác. Để sử dụng
tốt phương pháp phân tích Adomian chúng ta kết hợp với phương pháp
phân tích cải biên.
Phương pháp phân tích Adomian cải biên
Theo phương pháp phân tích Adomian nghiệm được tìm dưới dạng
chuỗi vô hạn u(x)

∞

u(x) =

un (x)

(2.14)

n=0

Thay thế vào cả hai vế của phương trình tích phân Fredholm
b

u(x) = f (x) + λ

K(x, t)u(t)dt
a

Ta có công thức truy toán
uo (x) = f (x),
b

K(x, t)uk (t)dt, k ≥ 0.

uk+1 (x) = λ
a

Nhìn vào công thức trên các thành phần un (x), n ≥ 0 sẽ dễ dàng tìm
được. Nếu hàm số f (x) là tổng của hai hàm thành phần, là f1 (x)và f2 (x).
Nói cách khác chúng ta có thể đặt

f (x) = f1 (x) + f2 (x).

(2.15)

Khi đó ta sử dụng phương pháp đồng nhất hóa thành phần uo (x) bằng
một bộ phận của f (x), là f1 (x) hoặc f2 (x). Và sử dụng phép truy toán

21