Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hoá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Trịnh Viết Dược

i

Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

2

MỞ ĐẦU

3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng . . . .

7

1.2
1.3

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng . . . . . . .
Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
13

1.3.1

Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định

. . . . . . . .

19

2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NỬA TUYẾN TÍNH
2.1

22
Đa tạp tâm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2

Đa tạp không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG

40

3.1

Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . . . .

41

3.2

Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . .

49

3.3

Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . .

54

KẾT LUẬN

72

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
73

TÀI LIỆU THAM KHẢO

74

1


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R+ là tập các số thực
không âm.
Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu

Lp (I) =



{u : I → R : u

p


{u : I → R : u

∞

= ( I |u(x)|p dx)1/p < +∞

nếu 1 ≤ p < ∞}.

= ess supx∈I |u(x)| < +∞ nếu p = ∞}.

L1,loc (I) = {u : I → R | u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó
ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong I. Ở đây, I = R+ hoặc R.
Ký hiệu
t+1

M(R+ ) =

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

với chuẩn f

M

:= supt≥0

|f (τ )|dτ < ∞
t

t+1
|f (τ )|dτ .
t

X là không gian Banach.
E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ .
ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R.
Cb (R+ , X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X , xác định trên
R+ với chuẩn u ∞ = supt∈R+ u(t) .
Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= supt∈[−r,0] u(t) .

2


MỞ ĐẦU

Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ I,

trong đó I = R+ hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không
gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của
nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân

bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn
định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm
cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn
việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về
những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này
đối với các nghiệm của phương trình đang xét.
Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ
các toán tử (A(t))t∈I ) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và
toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả nền tảng đầu tiên
về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron
[50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12]. Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp
tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = Rn và A(t) là
các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường
hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳ X . Tiếp theo, Henry
[21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là
các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải
tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của
các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương
trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem
[1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó). Có hai phương pháp
3


chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và
phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương
pháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52]
để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp này liên quan đến việc
lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong

khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó
liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron
tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên
hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.
Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc
nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp
này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với
các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. Chúng ta có thể
xem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn
đề này.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích
phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với
hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ C với q là hằng số đủ
nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các
quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số
Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem
[41, 42, 49]). Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp
nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến
khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của
phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận
được. Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết
quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là
[2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32]. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại
của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án này.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận án
bao gồm 3 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và
một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36]).
4


Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của
phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27].

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định
của phương trình vi phân nửa tuyến tính

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ I,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0
sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y với ϕ là hàm
không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. Với các giả thiết này,
Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi
mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường
thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.
Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục công trình
khoa học của tác giả.

• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp
không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng

du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ I,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng
ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được
trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh ra họ tiến hoá có nhị phân
mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có
đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ

C

với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, đối với
các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f
biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ
thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]).
Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có
thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Vì vậy, khi nghiên
5


cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm

riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là

f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C , khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q
t+1
đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈I t ϕ(τ )dτ đủ nhỏ, như vậy hàm ϕ có
thể nhận giá trị lớn tuỳ ý. Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến
tính chúng ta sẽ gặp khó khăn về không gian pha do đa tạp tích phân được
xây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác định
trên X . Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không áp
dụng được. Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi sử dụng phương pháp
Lyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thông qua họ tiến hoá
sinh bởi các toán tử A(t). Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo
[1, 2] thuộc Danh mục công trình khoa học của tác giả.
Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS. Đặng Đình Châu, hai người thầy vô cùng mẫu mực, đã
tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Hai thầy đã dìu dắt tôi trên con đường
toán học, đưa tôi bước vào một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử
thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp
nhận từ hai người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
hai thầy.
Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận được rất
nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Giải tích và trong Khoa
Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. Tôi xin trân
trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa
Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và
nghiên cứu.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến
khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn.

Hà Nội, năm 2014
Nghiên cứu sinh

Trịnh Viết Dược

6


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian
hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (xem [25, 27, 36]). Sử dụng
một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học
của tác giả). Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên
nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên

R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại số Borel và
λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu
(1) (E, ·

E)

là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E , ψ là hàm thực đo được Borel sao

cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và ψ

E

≤ ϕ

(2) Hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 χ[t,t+1]

∞, inf t≥0 χ[t,t+1]

E

E

E.

<

> 0.

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao cho
J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E .

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc không
gian hàm Banach E hay không.

7


Bổ đề 1.1.2. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel
trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu
trong đoạn này. Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E .
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu trên J
nên tồn tại M > 0 sao cho

λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0
Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M } và B = J \ A. Do E là không gian hàm Banach nên

|ϕ| ∈ E và χB ∈ E . Bởi vậy, |ϕ|+χB ∈ E . Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ|+M χB (λ-h.k.n),
suy ra ψ ∈ E .
Định nghĩa 1.1.3. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó
thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E

với mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E .
(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

t+1
ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , trong đó


 ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
Tτ+ ϕ(t) =
0
nếu 0 ≤ t < τ ,
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa, tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.1.4. Không gian Lp (R+ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian
t+1

M(R+ ) :=

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

|f (τ )|dτ < ∞
t

t+1

với chuẩn f M := supt≥0 t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận
được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian
Lorentz Lp, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận
được.
8


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Anh
[1] B. Aulbach, N.V. Minh (1996), "Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations", Abstr. Appl. Anal., 1,
pp. 351 - 380.
[2] C.T. Anh, L.V. Hieu, N.T. Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of nonautonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and continuous Dyn. Systems, 33, pp. 483-503.
[3] L. Barreira, C. Valls (2005), "Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic diffeomorphisms", J. Math. Pures Appl., 84, pp. 1693-1715.
[4] L. Barreira, C. Valls (2005), "Smoothness of invariant manifolds for nonautonomous equations", Comm. Math. Phys., 259, pp. 639-677.
[5] L. Barreira, C. Valls (2005), "Higher regularity of invariant manifolds for nonautonomous equations", Nonlinearity, 18, pp. 2373-2390.
[6] L. Barreira, C. Valls (2006), "Stable manifolds for nonautonomous equations without exponential dichotomy", J. Differential Equations, 221, pp. 58-90.
[7] L. Barreira, C. Valls (2006), "Smooth invariant manifolds in Banach spaces with
nonuniform exponential dichotomy", J. Funct. Anal., 238, pp. 118-148.
[8] L. Barreira, C. Valls (2007), "Smooth center manifolds for nonuniformly partially
hyperbolic trajectories", J. Differential Equations, 237, pp. 307-342.
[9] P. Bates, C. Jones (1989), "Invariant manifolds for semilinear partial differential
equations", Dyn. Rep., 2, pp. 1 - 38.
[10] A. Ben-Artzi, I. Gohberg (1992), "Dichotomies of systems and invertibility of
linear ordinary differential operators", Oper. Theory Adv. Appl., 56, pp. 90-119.
74

[11] A. Ben-Artzi, I. Gohberg, M.A. Kaashoek (1993), "Invertibility and dichotomy of
differential operators on a half-line", J. Dyn. Diff. Eq., 5, pp. 1-36.
[12] N. Bogoliubov, Yu. Mitropolsky (1963), "The method of integral manifolds in
nonlinear mechanics", Contributions to Differential Equations, 2, pp. 123-196.
[13] L. Boutet de Molvel, I.D. Chueshov, A.V. Rezounenko (1998), "Inertial manifolds
for retarded semilinear prabolic equations", Nonlinear Anal., 34, pp. 907-925.
[14] J. Carr (1981), Applications of Centre Manifold Theory, Applied Mathematical
Sciences 35, Springer-Verlag, New York-Berlin.
[15] C. Chicone (1999), Ordinary Differential Equations with Applications, SpringerVerlag.
[16] I.D. Chueshov (1995), "Approximate inertial manifolds of exponential order for
semilinear parabolic equations subjected to additive white noise", J. Dyn. Diff.
Eq., 7, pp. 549-566.
[17] I.D. Chueshov, M. Scheutzow (2001), "Inertial manifolds and forms for stochastically perturbed retarded semilinear parabolic equations", J. Dyn. Diff. Eq., 13,
pp. 355-380.
[18] Ju. L. Daleckii, M.G. Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations
in Banach Spaces, Transl. Amer. Math. Soc. Provindence RI.
[19] K.J. Engel, R. Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution
Equations, Graduate Text Math. 194, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg.
[20] C. Foias, G.R. Sell, R. Temam (1988), "Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations", J. Differential Equations, 73, pp. 309-353.
[21] D. Henry (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer,
Berlin.
[22] N. Hirsch, C. Pugh, M. Shub (1977), Invariant Manifolds, Lecture Notes in Math,
Springer, New York.
[23] N.T. Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution
equations", J. Differential Equations, 254, pp. 2638 - 2660.
[24] N.T. Huy (2012), "Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces", J. Math. Anal. Appl., 386, pp. 894–909.
75


[25] N.T. Huy (2009), "Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line", J. Math. Anal. Appl., 354, pp. 372 - 386.

[26] N.T. Huy (2009), "Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations", J. Differential Equations, 246, pp. 1820-1844.
[27] N.T. Huy (2006), "Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility
of function spaces on a half-line", J. Funct. Anal., 235, pp. 330 - 354.
[28] N.T. Huy (2004), "Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line", Integral Equations and Operator
Theory, 48, pp. 497-510.
[29] N.T. Huy (2004), "Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past", J. Math. Anal. Appl., 289, pp. 301-316.
[30] N.T. Huy, P.V. Bang (2012), "Hyperbolicity of solution semigroups for linear
neutral differential equations", Semigroup Forum, 84, pp. 216–228.
[31] N.T. Huy, N.V. Minh (2001), "Exponential dichotomy of difference equations and
application to evolution equations on the half-line", Computer and Mathematics
with Appl., 42, pp. 301-311.
[32] N.T. Huy, R. Nagel (2012), "Exponentially dichotomous generators of evolution
bisemigroups on admissible function spaces", Houston J. Math., 2, pp. 549-569.
[33] B.M. Levitan, V.V. Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential
Equations, Moscow Univ. Publ. House, English tranl. by Cambrige University
Press, 1982.
[34] J. Mallet-Paret, G.R. Sell (1988), "Inertial manifolds for reaction–diffusion equations in higher space dimensions", J. Amer. Math. Soc., 1, pp. 805-866.
[35] R. Martin (1976), Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach
Spaces, Wiley Interscience, New York.
[36] J.J. Massera, J.J. Sch¨affer (1966), Linear Differential Equations and Function
Spaces, Academic Press, New York.
[37] M. Miklavcic (1991), "A sharp condition for existence of an inertial manifold", J.
Dyn. Diff. Eq., 3, pp. 437-456.

76


[38] N.V. Minh, N.T. Huy (2001), "Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line", J. Math. Anal. Appl., 261, pp. 28-44.
[39] N.V. Minh, F. R¨abiger, R. Schnaubelt (1998), "Exponential stability, exponential
expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line",

Integral Equations Operator Theory, 32, pp. 332 - 353.
[40] N.V. Minh, J. Wu (2004), "Invariant manifolds of partial functional differential
equations", J. Differential Equations, 198, pp. 381 - 421.
[41] J.D. Murray (2002), Mathematical Biology I: An Introduction, Springer-Verlag
Berlin.
[42] J.D. Murray (2003), Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer-Verlag Berlin.
[43] R. Nagel, G. Nickel (2002), "Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy
problems", Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 50, pp. 279 - 293.
[44] A. Pazy (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin.
[45] F. R¨abiger, R. Schnaubelt (1996), "The spectral mapping theorem for evolution
semigroups on spaces of vector-valued functions", Semigroup Forum, 48, pp. 225 239.
[46] R. Schnaubelt (2001), "Asymptotically autonomous parabolic evolution equations", J. Evol. Eq., 1, pp. 19-37.
[47] G.R. Sell, Y. You (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer Verlag,
New York.
[48] J. Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer Verlag.
[49] A. Yagi (2009), Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications,
Springer Verlag.

Tiếng Đức
¨
[50] O. Perron (1929), "Uber
stabilit¨at und asymptotisches verhalten der integrale von
differentialgleichungssystemen", Math. Z., 29, No. 1, pp. 129–160.
77


[51] O. Perron (1930), "Die stabilit¨atsfrage bei differentialgleichungen", Math. Z., 32,
pp. 703–728.

Tiếng Pháp

[52] J. Hadamard (1923), "Sur l’intération et les solutions asymptotiques des equations
différentielles", Bull. Soc. Math. France, 29, pp. 224-228.

78