Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học

(Người ở giữa với cuốn sách, trong
bức Trường Athena củaRafaeln)


.:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

(O)
(O; R)
ABC
SABC
(ABC)
a, b, c
ha, hb, hc
ma, mb, mc
la, lb, lc
R, r
ra, rb, rc
đpcm
2p

a
n

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
: Đư ng tròn tơm O
: Đư ng tròn tơm O, bán kính R
: Tam giác ABC
: Diện tích ABC
: Đư ng tròn ngoại tiếp ABC

: Độ dƠi các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của ABC
: Độ dƠi các đư ng cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC
: Độ dƠi các đư ng trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC
: Độ dƠi các đư ng phơn giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC
: Bán kính các đư ng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
: Bán kính các đư ng tròn bƠng tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C của ABC
: Điều phải chứng minh
abc
lƠ nửa chu vi)
: Chu vi của tam giác (p =
2

k

= a1 + a 2 +... + a n

: Tổng của n số hạng từ a1 đến an.

k

= a1a 2 ...a n

: Tích của n số hạng từ a1 đến an.

a
k=1
n

k=1

TỔNG KẾT KIẾN THỨC

1. Đường thẳng:
Định nghĩa: Một đư ng thẳng được hiểu như lƠ một đư ng dƠi (vơ tận), mỏng (vơ cùng) vƠ thẳng
tuyệt đối.
Tiên đề 'Clit: Qua hai điểm bất kì ta ln xác định duy nhất một đư ng thẳng vƠ chỉ một đư ng
thẳng.
Kí hiệu: Ngư i ta thư ng dùng các chữ cái in thư ng a, b, c, ..., m, n, p ... để đặt tên cho các đư ng
thẳng hoặc dùng hai chữ cái in hoa hay hai chữ cái in thư ng để đặt tên cho đư ng thẳng.
Ví dụ: AB, xy, ...
y
x
A

B

Điểm khơng thuộc đư ng thẳng: Điểm A khơng nằm trên đư ng thẳng a, điểm A khơng thuộc
đư ng thẳng a (hay nói cách khác lƠ đư ng thẳng a khơng đi qua điểm A).
Kí hiệu: A  a.
2. Đoạn thẳng:
Định nghĩa: Đoạn thẳng AB lƠ hình gồm điểm A, điểm B vƠ tất cả các điểm nằm giữa A vƠ B.

B

A

Hai điểm A vƠ B gọi lƠ hai đầu mút (hay còn gọi lƠ hai mút) của đoạn thẳng AB.
Lưu ý:
Điểm M nằm giữa A vƠ B khi vƠ chỉ khi AM + MB = AB vƠ A, M, B thẳng hƠng.

A

M

B

3. Tia:
Tia là hình gồm điểm O vƠ một phần đư ng thẳng bi chia ra b i điểm O được gọi lƠ một tia gốc O
(có hai tia Ox vƠ Oy như hình vẽ).
Biên soạn: Trần Trung Chính

1


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

x

y

O

Hai tia có chung một góc O tạo thƠnh đư ng thẳng được gọi hai tia đối nhau (hai tia Ox vƠ Oy trong
hình vẽ lƠ hai tia đối nhau)
4. Điểm:
Để kí hiệu điểm, ngư i ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C, ...
Bất cứ hình nƠo cũng lƠ một tập hợp các điểm.
Trung điểm của đoạn thẳng: Trung điểm M của đoạn thẳng AB lƠ điểm nằm giữa hai điểm A, B vƠ
cách đều hai điểm A vƠ B.

M
B
A
Trung điểm M của đoạn thẳng AB còn gọi lƠ điểm chính giữa của đoạn thẳng AB.
Lưu ý:
Điểm chính giữa hai điểm khác với điểm nằm giữa hai điểm.
5. Mặt phẳng:
Nửa mặt phẳng b a: Hình gồm đư ng thẳng a vƠ một phần mặt phẳng bị chia ra b i a được gọi lƠ
một nửa mặt phẳng b a.

a
Mặt phẳng lƠ hai nửa mặt phẳng hợp lại theo một phư ng (phư ng của vect ) nhất định.
u

d

P
Q

6. Góc:

Góc nhọn

Góc vuông

Góc bẹt

Góc tù

B

A
Góc phản

Biên soạn: Trần Trung Chính

Góc đầy

Góc khối

B
A
Đư ng phơn giác

2


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

R
R

Chia đôi một góc
bằng compa và thước
kẻ

Góc ngoƠi của tam giác

Góc đối đỉnh

Góc

tơm của đư ng
tròn

(1) Hai góc phụ nhau lƠ hai góc có tổng số đo bằng 900.

x

y

O

z

 và góc yOz
 lƠ hai góc phụ nhau.
Góc xOy
(2) Hai góc bù nhau lƠ hai góc có tổng số đo bằng 1800.
y

O

x

z

 và góc yOz
 là hai góc bù nhau

Góc xOy
(3) Hai góc so le trong: Cho hai đư ng thẳng a //b vƠ đư ng thẳng c cắt a, b lần lượt tại A, B.

1

b

c

A

a

2

1

2

B
Khi đó:
 B
 và A
 B
.
A
2
2
1
1

(4) Hai góc đồng vị: Cho hai đư ng thẳng a //b vƠ đư ng thẳng c cắt a, b lần lượt tại A, B. Khi đó:
=B
, A
 B
, A
 B
, A
 B
.
A
1

1

2

2

3

3

4

Biên soạn: Trần Trung Chính

4

3

.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

A

a

b

c

4 3
1 2

4 3
1 2

B
7. Tam giác:
7.1. Kí hiệu:
Tam giác ABC được kí hiệu lƠ ABC.
Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) lần lượt lƠ A, B, C vƠ ba cạnh lƠ AB, BC, CA.
7.2. Các đường trong tam giác:
Đường cao: LƠ đoạn thẳng nối mỗi đỉnh vƠ vuông góc với cạnh đối diện đỉnh đó. Một tam giác có
ba đư ng cao. Giao điểm của ba đư ng cao gọi lƠ trực tâm của tam giác.
Trong ABC, có các đư ng cao AH, BK, CF.
A

K
F

B

C
H
Đường trung tuyến: LƠ đư ng thẳng kẻ từ đỉnh vƠ đi qua trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.
Một tam giác có ba đư ng trung tuyến. Giao điểm của ba đư ng trung tuyến gọi lƠ trọng tơm của
tam giác.

A

M

B

N

G
P

C

Trong ABC, có các đư ng trung tuyến AP, BN, CM.
Độ dƠi đư ng trung tuyến:
BG AG CG 2
=
=
=
BN AP CM 3
GN GP GM 1

=
=
=
BN AP CM 3
GN GP GM 1
=
=
=
GB GA GC 2
Đường trung trực: LƠ đư ng thẳng vuông góc với một cạnh tại trung điểm của nó. Một tam giác có
ba đư ng trung trực. Giao điểm của ba đư ng trung trực gọi lƠ tơm của đư ng trong ngoại tiếp tam
giác.

Biên soạn: Trần Trung Chính

4


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com
d

B

A
Đư ng thẳng (d) lƠ đư ng trung trực của đoạn thẳng AB.

A

O
B

C

Điểm O lƠ giao điểm của ba đư ng trung trực.
Đường phân giác: LƠ đư ng thẳng chia một góc thƠnh hai góc có số đo bằng nhau. Một tam giác có
ba đư ng phân giác. Giao điểm của ba đư ng phơn giác gọi lƠ tơm của đư ng trong nội tiếp tiếp tam
giác.
Trong ABC có: OM = ON = ON.
A
N
P

C
M
Đường trung bình: LƠ đư ng thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác. Một tam giác có ba
đư ng trung bình. Tam giác tạo b i ba đư ng trung bình thì đồng dạng với tam giác đã cho.
B

A

M

B

N

C

1
MN gọi lƠ đư ng trung bình của tam giác. Ta có: MN // BC vƠ MN  BC .
2
7.3. Phơn loại tam giác:
Tam giác nhọn: LƠ tam giác có ba góc đều nhọn (số đo ba góc < 900).

Biên soạn: Trần Trung Chính

5


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

A

B

C

Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh vƠ ba góc bằng nhau.
Trong tam giác đều, đư ng cao cũng lƠ đư ng trung tuyến, đư ng phơn giác, đư ng trung trực.
A
600

B

600

600

C

Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc

một đáy bằng nhau.

A

B

C
0

Tam giác vuông: LƠ tam giác có một góc vuông (bằng 90 ).
Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông gọi lƠ cạnh huyền vƠ lƠ cạnh lớn nhất.
  900 thì BC2 = AB2 + AC2. Đơy lƠ hệ thức trên lƠ hệ thức Pitago.
Cho ABC, có A

B

A

C

Định lý PITAGO:
Định lý thuận:
Trong tam giác vuông, bình phư ng cạnh huyền bằng tổng bình phư ng hai cạnh góc vuông.
BC2 = AB2 + AC2
Định lý đảo:
Tam giác có tổng bình phư ng một cạnh bằng tổng bình phư ng hai cạnh còn lại lƠ tam giác vuông.

Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2 = AB2 + AC2 thì ABC lƠ tam giác vuông tại A.
Biên soạn: Trần Trung Chính

6


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

7.4. Tính chất của cạnh vƠ góc của tam giác:
Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:
 B
 C
  1800.
A
Tính chất 2: Độ dƠi một cạnh lớn h n hiệu độ dƠi hai cạnh kia vƠ nhỏ h n tổng độ dƠi của chúng.
AB + BC > AC > |AB - BC|
Tính chất 3: Trong hai cạnh của cùng một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn h n lƠ cạnh lớn h n.
Góc đối diện với cạnh lớn h n lƠ góc lớn h n.
 B
  C.

BC  AC  AB  A
7.5. Diện tích tam giác:

(1) Công thức tính diện tích tam giác: S 

1

b.h
2
trong đó b lƠ độ dƠi của cạnh vƠ h lƠ độ dƠi đư ng cao ứng với cạnh b.

h

(2) Công thức Heron: S  p  p  a  p  b  p  c 

1
 a  b  c  lƠ nửa chu vi của tam giác.
2
8. Đường tròn:
8.1. Khái niệm:
Đư ng tròn tơm O bán kính R (với R > 0) lƠ hình gồm các điểm cách điểm O
cho trước một khoảng không đổi bằng R.

b

trong đó p 

Kí hiệu: (O; R), ta cũng có kí hiệu lƠ (O).
Lưu ý:
- Qua ba điểm không thẳng hƠng ta chỉ xác định được một đư ng tròn.
- Một đư ng tròn có một tơm đối xứng đó lƠ tơm đư ng tròn.
- Một đư ng tròn có vô số trục đối xứng đó lƠ các đư ng kính của đư ng
tròn.

R
O

D
C
A

O

8.2. Đường kính vƠ dơy cung:
Định lý 1: Trong các dơy của một đư ng tròn, dơy lớn nhất lƠ đư ng kính.
AB lƠ đư ng kính, CD là dây cung thì AB > CD.
Định lý 2: Trong một đư ng tròn, đư ng kính vuông góc với một dơy thì đi
qua trung điểm của dơy ấy.
Nếu OH  AB tại H thì AH = HB.
Định lý 3: Trong một đư ng tròn, đư ng kính đi qua trung điểm của một
O
dơy không đi qua tơm thì vuông góc với dơy ấy.
8.3. Liên hệ giữa dơy vƠ khoảng cách từ tơm đ n dơy:
Định lý 1: Trong một đư ng tròn:
A
B
H
Hai dơy bằng nhau thì cách đều tơm.
Nếu AB = CD thì OM = ON.
C
Hai dơy cách đều tơm thì bằng nhau.
A
A
Nếu OM = ON thì AB = CD.
O
O
Định lý 2: Trong hai dơy của một đư ng tròn:

N
Dơy nƠo lớn h n thì dơy đó gần tơm h n.
M
C
M
N
Nếu AB > CD thì OM < ON.
Dơy nƠo gần tơm h n thì dơy đó lớn h n.
D
B D
B
Nếu OM < ON thì AB > CD.

Biên soạn: Trần Trung Chính

7

B


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.
8.4. Khoảng cách giữa đường thẳng vƠ đường tròn:
Gọi R lƠ bán kính đư ng tròn vƠ d lƠ khoảng cách từ tơm O đến đư ng thẳng a. Ta có:
O

O

O
a

a

a
H
(d > R)

H
(d = R)

Đư ng thẳng vƠ đư ng tròn
không giao nhau.

Đư ng thẳng vƠ đư ng tròn tiếp
xúc nhau.

H

(d < R)
Đư ng thẳng vƠ đư ng tròn
cắt nhau tại hai điểm (giao
nhau).

Định lý 1:
A
Nếu một đư ng thẳng lƠ tiếp tuyến của
một đư ng tròn thì nó vuông góc với
bán kính đi qua tiếp điểm.
O
Nếu a lƠ tiếp tuyến với (O) tại H thì
O

H
a  OH.
Định lý 2:
a
Tiếp tuyến với đư ng tròn: Nếu hai
H
tiếp tuyến của một đư ng tròn cắt
B
nhau tại một điểm thì điểm đó cách
đều hai tiếp điểm.
AH = BH.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tơm lƠ tia phơn giác của góc tạo b i hai tiếp tuyến.
.
HO lƠ tia phơn giác của góc AHB
Tia kẻ từ tơm đi qua điểm đó lƠ tia phơn giác của góc tạo b i hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
.
OH lƠ tia phơn giác của góc AOB
8.5. Đường tròn n i ti p vƠ đường tròn bƠng ti p:
Đường tròn nội tiếp:
- Đư ng tròn tiếp xúc trong với ba cạnh của tam giác lƠ đư ng
tròn nội tiếp tam giác.
- Tơm đư ng tròn nội tiếp lƠ giao điểm của ba đư ng phơn giác
góc trong của tam giác.
Đường tròn ngoại tiếp:
- Đư ng tròn tiếp xúc ngoƠi với ba cạnh của tam giác lƠ đư ng
tròn ngoại tiếp tam giác.
- Tơm đư ng tròn ngoại tiếp lƠ giao điểm của ba đư ng phơn giác góc
ngoài của tam giác.
8.6. Vị trí tư ng đối của hai đường tròn:
Nếu gọi bán kính (O) lƠ R vƠ (O') lƠ r thì ta có:

- Hai đư ng tròn có hai điểm chung được gọi lƠ hai đư ng tròn cắt
nhau.
Hai điểm chung A, B đó gọi lƠ giao điểm. Đoạn thẳng AB nối hai
điểm đó gọi lƠ dơy chung.

Biên soạn: Trần Trung Chính

8


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

A
O

O

O'

A

O

O'

O'

A

B

(R - r < OO' < R + r)
(R + r = OO')
Hai đư ng trong cắt nhau.

O

Hai đư ng trong tiếp xúc nhau.

(R - r = OO')
Hia đư ng tròn trong
nhau,

O'

(OO' > R + r)
Hai đư ng trong ngoƠi nhau.
8.7. Góc với đường tròn:
Góc ở tâm:
Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tơm đư ng tròn gọi lƠ góc
Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc tơm chắn cung đó.
  AOB

s®AmB
Số đo cung lớn bằng hiệu số giữa 3600 vƠ số đo cung nhỏ.
  1 360  s® AnB

s® AmB

2
Số đo của nửa đư ng tròn bằng 1800.



0



tơm.

m

B

A
α
O

n

8.8. Liên hệ giữa cung vƠ dơy cung:
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đư ng tròn hay trong hai đư ng tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau căng hai dơy bằng nhau.
Hai dơy bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đư ng tròn hay trong hai đư ng
O
tròn bằng nhau:
Cung lớn h n căng dơy lớn h n.
Cung nhỏ h n căng dơy nhỏ h n.

8.9. Góc n i ti p:
O
Định nghĩa: Góc nội tiếp lƠ góc có đỉnh nằm trên đư ng tròn vƠ hai cạnh
chứa hai dơy cung của dư ng tròn đó.
Định lý: Trong một đư ng tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của A
cung bị chắn.
  1 s® AB

AOB
2
Hệ quả: Trong một đư ng tròn:
Biên soạn: Trần Trung Chính

B

9


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
  ACB
  1 s® AB

AOB
2
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì
bằng nhau.
- Góc nội tiếp (nhỏ h n hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc
tơm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đư ng tròn lƠ góc vuông.

O
C

O
A

B

8.10. Góc tạo bởi ti p tuy n vƠ dơy cung:
Số đo của góc tạo b i tiếp tuyến vƠ dơy cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

A

O

a

B

  ABa
)
(sđ AB

8.11. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn vƠ góc có đỉnh ở bên ngoƠi đường tròn.
Số đo của góc có đỉnh bên trong đư ng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

m

D

A

E
O
B
=
BEC
Số đo của góc có đỉnh

C



1 

s®BmC +s®AnD
2

B
A

B

D

B

M
n

A
O

O





bên ngoƠi đư ng tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

M

M

n



C



C



 = 1 s®CD
 - s®AB

 ;
 = 1 s®BC
 - s®AB
 ;
CMD
BMC
2
2
8.12. Đ dƠi đường tròn, cung tròn:
Biên soạn: Trần Trung Chính

A

O



m

 = 1 s®AmB
 - s®AnB

AMB
2



10

.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

- Công thức tính độ dƠi đư ng tròn:
C = 2R = d.
(R là bán kính, d lƠ đư ng kính)
- Công thức tính độ dài cung tròn:
Trên đư ng tròn bán kính R, độ dƠi l của một cung n0 được tính như sau:
Rn
l
180
8.13. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn:
- Diện tích hình tròn:
S = R2.
- Diện tích hình quạt tròn:

S

R 2 n
lR
hay S 
360
2

O n0

O n0

l

R

9. Hình học không gian:
l
Hình trụ - diện tích xung quanh của hình trụ:
- Diện tích xung quanh:
Sxq = 2Rh.
R
(R lƠ bán kính đáy vƠ h lƠ chiều cao)
- Diện tích toàn phần:
Stp = 2Rh + 2r2 = 2R(h + R)
h
- Thể tích hình trụ:
V = Sh = R2h.
(S lƠ diện tích đáy, h lƠ chiều cao)
Hình nón - hình nón cụt:
* Hình nón:
- Diện tích xung quanh của hình nón:
Sxq = Rl.
(với l lƠ độ dƠi đư ng sinh, r lƠ bán kính đáy)
- Diện tích toàn phần của hình nón (tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy) là
Stp = Rl + R2 = R(l + R)
(với l lƠ độ dƠi đư ng sinh, r lƠ bán kính đáy)
- Thể tích hình nón:
1
V  R 2 h
3
(với l lƠ độ dƠi đư ng sinh, r lƠ bán kính đáy)
* Hình nón cụt:

- Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt:
r1
Sxq    r1  r2  l
- Thể tích của hình nón cụt:
1
V  h  r12  r22  r1r2 
3
(h lƠ chiều cao)
- Hình cầu:

Biên soạn: Trần Trung Chính

l

R

l

h
R

h
r2

11


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

- Công thức tính diện tích mặt cầu:

S = 4R2 hay S = d2.
(Với R lƠ bán kính mặt cầu, d lƠ đư ng kính mặt cầu)
- Thể tích hình cầu:
4
V  R 3
3
(Với R lƠ bán kính mặt cầu)

Biên soạn: Trần Trung Chính

12


.:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
CHỦ ĐỀ 1
NHẬN BIẾT VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH
1. Ki n thức c bản:
1.1. Tam giác cân:
Các phương pháp chứng minh tam giác cân:
Phư ng pháp 1: Tam giác có hai cạnh bằng nhau lƠ tam giác cơn.
Phư ng pháp 2: Tam giác có hai góc bằng nhau lƠ tam giác cơn.
Phư ng pháp 3: Tam giác có một đư ng cao vừa lƠ đư ng trung tuyến, đư ng trung trực, đư ng
phơn giác của một góc vƠ ngược lại thì tam giác đó lƠ tam giác cơn.
Lứu ý: Có thể chứng minh một tam giác lƠ tam giác cơn dựa vƠo các biểu thức hoặc các hệ thức đã
được chứng minh.
1.2. Tam giác đều:

Các phương pháp chứng minh tam giác đều:
Phư ng pháp 1: Tam giác có ba cạnh bằng nhau lƠ tam giác đều.
Phư ng pháp 2: Tam giác có ba góc bằng nhau vƠ bằng 600 lƠ tam giác đều.
Phư ng pháp 3: Tam giác cơn có số đo góc đỉnh cơn bằng 600 lƠ tam giác đều.
Phư ng pháp 4: Tam giác có các đư ng cao vừa lƠ đư ng trung tuyến, đư ng phơn giác, đư ng
trung trực vƠ ngược lại lƠ tam giác đều.
1.3. Tam giác vng:
Các phương pháp chứng minh tam giác vng:
Phư ng pháp 1: Tam giác có một góc vng lƠ tam giác vng.
Phư ng pháp 2: Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đư ng thẳng vng góc lƠ tam giác vng.
Phư ng pháp 3: Sử dụng định lý đảo về đư ng trung tuyến của tam giác vng.
Định lý: Trong một tam giác có đư ng trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền thì
tam giác đó lƠ tam giác vng.
Phư ng pháp 4: Sử dụng định lý đảo của định lý Pitago.
Định lý: Nếu một tam giác thỏa mãn bình phư ng một cạnh bằng tổng bình phư ng hai cạnh còn lại
thì tam giác đó lƠ tam giác vng.
Tức lƠ, nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vng tại A.
Phư ng pháp 5: Tam giác nội tiếp đư ng tròn có một cạnh lƠ đư ng kính thì tam giác đó lƠ tam giác
vng.
1.4. Tam giác vng cân:
Các phương pháp chứng minh tam giác vng cân:
Phư ng pháp 1: Tam giác vng có hai cạnh góc vng bằng nhau lƠ tam giác vng cân.
Phư ng pháp 2: Tam giác vng có một góc nhọn bằng 450 là tam giác vng cân.
Phư ng pháp 3: Tam giác cơn có số đo một góc đáy bằng 450 là tam giác vng cân.
1.5. Hình thang, hình thang cân, hình thang vng:
Diện tích hình thang:
1
S   AB  CD  .AH
2
Tính chất:

Định lý 1: Trong hìn thang cơn, hai cạnh bên bằng nhau.
Định lý 2: Trong hình thang cơn, hai đư ng chéo bằng nhau.
Định lý 3: Hình thang có hai đư ng chéo bằng nhau lƠ hình thang cơn.
Đư ng trung bình của hình thang: Đư ng trung bình của hình thang lƠ đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.
ABCD

Biên soạn: Trần Trung Chính

13


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

B

A

N

M

C

D

Định lý 1:
Đư ng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang vƠ song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lý 2:

Đư ng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy vƠ bằng nửa tổng hai đáy.
1
MN  AB  CD 
2
Phư ng pháp chứng minh hình thang:
Phư ng pháp 1: Hình thang lƠ tứ giác có hai cạnh đối song song.
Phư ng pháp chứng minh hình thang vuông:
Phư ng pháp 1: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Phư ng pháp chứng minh hình thang cơn:
Phư ng pháp 1: Hình thang cân lƠ hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Phư ng pháp 2: Hình thang cơn lƠ hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Phư ng pháp 3: Hình thang cơn lƠ hình thang có hai đư ng chéo bằng nhau.
1.6. Hình bình hành:
Định nghĩa: Hình bình hƠnh lƠ tứ giác có các cạnh đối song song.
B
A
O
D

H

C

Diện tích hình bình hƠnh:
S  AH.CD  AH.AB
Các phương pháp chứng minh hình bình hành:
Phư ng pháp 1: Tứ giác có các cạnh đối song song.
Phư ng pháp 2: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
Phư ng pháp 3: Tứ giác có các cạnh đối song song vƠ bằng nhau.
Phư ng pháp 4: Tứ giác có các góc đối bằng nhau.

Phư ng pháp 5: Tứ giác có hai đư ng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đư ng.
1.7. Hình chữ nhật:
Định nghĩa: Hình chữ nhật lƠ tứ giác có bốn góc vuông.
ABCD

A

B

D

C

Chu vi hình chữ nhật:
C  2  AB  BC   2  AD  DC 
ABCD

Biên soạn: Trần Trung Chính

14


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

Diện tích hình chữ nhật:
S  AB.CD
Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật:
Phư ng pháp 1: Tứ giác có ba góc vuông.

Phư ng pháp 2: Hình thang cân có một góc vuông.
Phư ng pháp 3: Hình bình hành có một góc vuông.
Phư ng pháp 4: Hình bình hƠnh có hai đư ng chéo bằng nhau.
1.8. Hình thoi:
ABCD

A
D

O

B

C
Định nghĩa: Hình thoi lƠ tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất:
Trong hình thoi: Hai đư ng chéo vuông góc với nhau.
Hai đư ng chéo lƠ các đư ng phơn giác của các góc của hình thoi.
Chu vi hình thoi:
C  4AB  4BC  4CD  4DA
Diện tích hình thoi:
1
S  AC.BD  BO.AC  OD.AC
2
Các phương pháp chứng minh hình thoi:
Phư ng pháp 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Phư ng pháp 2: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
Phư ng pháp 3: Hình bình hƠnh có hai đư ng chéo vuông góc với nhau.
Phư ng pháp 4: Hình bình hƠnh có một đư ng chéo lƠ đư ng phơn giác của một góc.
1.9. Hình vuông:

B
A
ABCD

ABCD

C
D
Định nghĩa: Hình vuông lƠ tứ giác có bốn góc vuông vƠ bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất:
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật vƠ hình thoi.
Chu vi hình vuông:
C  4AB  4BC  4CD  4AD
Diện tích hình vuông:
S  AB  BC  CD  AD
Phương pháp chứng minh hình vuông:
Phư ng pháp 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Phư ng pháp 2: Hình chữ nhật có hai đư ng chéo vuông góc với nhau.
Phư ng pháp 3: Hình chữ nhật có một đư ng chéo lƠ đư ng phơn giác của một góc.
ABCD

2

2

2

2

ABCD

Biên soạn: Trần Trung Chính

15


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.
Phư ng pháp 4: Hình thoi có một góc vuông.
Phư ng pháp 5: Hình thoi có hai đư ng chéo bằng nhau.
2. BƠi tập áp dụng:
BƠi tập 1: Cho ABC có ba góc đều nhọn, nội tiếp đư ng tròn tơm O. Gọi H lƠ trực tơm của ABC.
D lƠ một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm D để tứ giác BHCD là
hình bình hành.
Giải
A
Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD lƠ hình
bình hành.
Khi đó: BD // HC vƠ CD // HB.
H O
Vì H lƠ trực tơm tam giác ABC nên CH  AB và BH  AC.
 BD AB và CD  AC.
  9000 và ACD
  90 .
B
C
Do đó: ABD
Vậy AD lƠ đư ng kính của đư ng tròn tơm O
Ngược lại nếu D lƠ đầu đư ng kính AD của đư ng tròn tơm O thì tứ giác
D
BHCD là hình bình hành.

BƠi tập 2: Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB = 2R vƠ C lƠ một điểm thuộc đư ng tròn
(C  A; C  B) . Trên nửa mặt phẳng b AB có chứa điểm C. Kẻ tia Ax tiếp xúc với đư ng tròn (O),
gọi M lƠ điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. Chứng minh
các BAN và MCN cân.
Giải
x
Xét ABM và NBM, ta có:
AB lƠ đư ng kính.
Q N
C
0


Nên AMB  NMB  90 .
M lƠ điểm chính giữa của cung nhỏ AC nên
M
  BAM
  MBN
  BNM
.
ABM
A
 BAN cơn tại đỉnh B.
B
Xét tứ giác AMCB nội tiếp:
 (cùng bù với MCB
)
  MCN
 BAM
  MNC

)
 (cùng bằng BAM
 MCN

 MCN cơn tại đỉnh M.
BƠi tập 3: Cho ABC cơn tại A, (AB > BC). Điểm D di động trên cạnh AB, (D không trùng với A,
B). Gọi (O) lƠ đư ng tròn ngoại tiếp BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C vƠ D cắt nhau K.
a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp?
b) Tứ giác ABCK lƠ hình gì? Vì sao?
c) Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK lƠ hình bình hƠnh?
Giải
A
K
c) Theo cơu b, tứ giác ABCK lƠ hình thang.
Do đó, tứ giác ABCK lƠ hình bình hƠnh.
 AB // CK
D
 = ACK

 BAC
 = DCB
 = 1 sđ EC
 = 1 sđ BD

Mà ACK
2
2
 = BAC

Nên BCD

O


Dựng tia Cy sao cho BCy = BAC .
B
C
 và Cy.
Khi đó, D lƠ giao điểm của AB
Biên soạn: Trần Trung Chính

16


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

 > BC
 > BAC
 thì BCA
 > BDC
.
Với giả thiết AB
 D  AB.
Vậy điểm D xác định như trên lƠ điểm cần tìm.
3. BƠi tập tự luyện:
Bài tập 1:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đư ng tròn tơm O. D vƠ E lần lượt lƠ điểm chính giữa của
các cung AB vƠ AC. DE cắt AB I vƠ cắt AC L.
a) Chứng minh DI = IL = LE.
b) Chứng minh tứ giác BCED lƠ hình chữ nhật.

c) Chứng minh tứ giác ADOE lƠ hình thoi vƠ tính các góc của hình nƠy.
Bài tập 2:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đư ng tròn có các đư ng chéo vuông góc với nhau tại I.
a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đư ng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đư ng vuông
góc nƠy qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó.
b) Gọi M, N, R, S lƠ trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS lƠ hình chữ
nhật.
c) Chứng minh đư ng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật nƠy đi qua chơn các đư ng vuông góc hạ từ I
xuống các cạnh của tứ giác.
Bài tập 3:Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH lƠ đư ng cao. Hai đư ng tròn đư ng kính
AB và AC có tâm là O1 và O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đư ng tròn (O1) và (O2) lần lượt
tại M vƠ N.
a) Chứng minh tam giác MHN lƠ tam giác vuông.
b) Tứ giác MBCN là hình gì?
c) Gọi F, E, G lần lượt lƠ trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H.
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đư ng như thế nƠo?
Bài tập 4:Cho hình vuông ABCD. Lấy B lƠm tơm, bán kính AB, vẽ 1/4 đư ng tròn phía trong hình
vuông.Lấy AB lƠm đư ng kính , vẽ 1/2 đư ng tròn phía trong hình vuông. Gọi P lƠ điểm tuỳ ý trên
cung AC ( không trùng với A vƠ C). H vƠ K lần lượt lƠ hình chiếu của P trên AB vƠ AD, PA vƠ PB
cắt nửa đư ng tròn lần lượt I vƠ M.
a) Chứng minh I lƠ trung điểm của AP.
b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui.
c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH lƠ hình thang cơn.
đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB lƠ đều.
BƠi tập 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đư ng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M.
Đư ng thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N. Chứng minh rằng tam giác AMN lƠ tam giác
đều.
BƠi tập 6: Từ một điểm A bên ngoƠi đư ng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đư ng tròn. Gọi M
lƠ trung điểm của AB. Tia CM cắt đư ng tròn tại điểm N. Tia AN cắt đư ng tròn tại điểm D.
a) Chứng minh rằng MB2 = MC. MN

b) Chứng minh rằng AB// CD
c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC lƠ hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó.
CHUÛ ÑEÀ 2
CHÖÙNG MINH SONG SONG

1. Ki n thức c bản:
Các phương pháp chứng minh:
Phư ng pháp 1: Hai đư ng thẳng song song với nhau khi vƠ chỉ khi chúng cùng vuông góc với một
đư ng thẳng thứ ba.

Biên soạn: Trần Trung Chính

17


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.
Phư ng pháp 2: Dựng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng
phía bằng nhau, …
Phư ng pháp 3: Sử dụng định lý đảo của định lý Talét.
Định lý: Nếu một đư ng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác vƠ định ra trên hai cạnh nƠy những
đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đư ng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Phư ng pháp 4: Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đư ng trung bình của tam giác.
Phư ng pháp 5: Áp dụng tính chất hai dơy chắn giữa hai cung bằng băng nhau của đư ng tròn.
2. BƠi tập áp dụng:
 cắt cạnh AB tại D. Đư ng
BƠi tập 1: Cho ABC, trung tuyến AM, đư ng phơn giác của góc AMB
 cắt cạnh AC E. Chứng minh rằng: ED // BC.
phơn giác của góc AMC
Giải
 nên, ta có:

A
Trong  ABM có MD lƠ phơn giác của AMB
AD MA
=
(1)
(định lý)
DB MB
 nên, ta có:
E
D
Trong  AMC có ME lƠ phơn giác của AMC
AE MA
=
(2)
(định lý)
EC MC
C
B
M
Vì MB = MC (giả thiết).
Nên từ (1) và (2).
AD AE
Suy ra:
=
DB EC
Trong  ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC
BƠi tập 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi K, L lần lượt lƠ trọng tơm của các tam giác ABC vƠ tam giác
BCD. Chứng minh rằng KL // AD.
B
Giải

A
Gọi M lƠ trung điểm của BC.
Vì K lƠ trọng tơm của  ABC
K
M
1
nên MK= MA (tính chất trọng tơm của tam giác)
3
L
MK 1
hay
=
(1)
C
D
MA 3
VƠ L lƠ trọng tơm của  BCD
1
ML 1
=
(2)
nên ML = MD hay
3
MD 3
MK ML
Từ (1) vƠ (2) suy ra
nên KL //AD (định lý Talét đảo)
=
MA MD
Do trong  AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên

KL // AD (định lý Talét đảo).
BƠi tập 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M lƠ trung điểm của CD. Gọi I lƠ giao điểm của AM
vƠ BD vƠ K lƠ giao điểm của BM vƠ AC. Chứng minh rằng: IK //AB.
Giải
B
A
Ta có:
IM MD
(do AB // MD hay  AIB ∽  MID)
=
IA AB
K
I
và (Do AB // MC)
MƠ MD = MC (giả thiết)

D

Biên soạn: Trần Trung Chính

M

C

18


.:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

IM KM
Nên:
.
=
IA KB
Suy ra IK // AB (Điều phải chứng minh)
Vì trong  AMB có IK định ra trên 2 cạnh MA, MB những đoạn thẳng tỷ lệ nên
IK // AB (định lý Talét đảo).
3. BƠi tập tự luyện:
BƠi tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ AK // BC, AKBD = E; Kẻ BI //AD;
BIAC = F (K, I  CD). Chứng minhn rằng: EF // AB.
BƠi tập 2: Cho tứ giác ABCD. Qua B, vẽ Bx // CD cắt AC tại E. Qua C vẽ Cy // BA cắt BD tại F.
Chứng minh rằng: EF // AD.
BƠi tập 3: Cho hình bình hƠnh ABCD đư ng phơn giác của góc BAD cắt BD tại M, đư ng phơn
giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN //AD.
BƠi tập 4: Cho  ABC. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC. Lấy N tùy ý trên cạnh AM. Đư ng thẳng
DE // BC (D  AB, E  AC). Gọi P lƠ giao điểm của DM vƠ BN vƠ Q lƠ giao điểm của CN vƠ EM.
Chứng minh rằng: PQ // BC.
Bài tập 5: Tam giác cơn ABC có BA = BC = a, AC = b. Đư ng phân giác góc A cắt BC tại M,
đư ng phân giác của góc C cắt BA tại N. Chứng minh rằng: MN // AC.
BƠi tập 6: Cho đư ng tròn (O), điểm A nằm bên ngoƠi đư ng tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với
đư ng tròn (M, N là các tiếp điểm). Vẽ đư ng kính NOC. Chứng minh rằng AO // MN.

CHỦ ĐỀ 3
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Ki n thức c bản:
Phương pháp chứng minh đường thẳng a và đường thẳng b vng góc với nhau:
Phư ng pháp 1: Chứng minh chúng song song với hai đư ng vng góc khác.
Phư ng pháp 2: Đư ng thẳng vng góc với một trong hai đư ng thẳng song song thì vng góc

với đư ng thẳng còn lại.
Phư ng pháp 3: Dựng tính chất của ba đư ng cao vƠ cạnh đối diện trong một tam giác.
Phư ng pháp 4: Đư ng kính đi qua trung điểm của một dơy.
Phư ng pháp 5: Phơn giác của hai góc kề bù nhau.
Phư ng pháp 6: Sử dụng góc nối tiếp nửa đư ng tròn.
Phư ng pháp 7: Sử dụng tính chất đư ng trung trực.
Phư ng pháp 8: Tính chất tiếp tuyến vƠ đư ng kính của đư ng tròn.
2. BƠi tập áp dụng:
BƠi tập 1: Cho ABC, các đư ng cao BD và CE. Gọi M, N lƠ chơn các đư ng vng góc kẻ từ B, C
đến DE. Gọi I lƠ trung điểm của DE, K lƠ trung điểm của BC. Chứng minh rằng: KI  ED?
Chứng minh
1
Xét BDC có: DK lƠ đư ng trung tuyến  DK = BC
(1)
2
1
(2)
Xét BEC có: EK lƠ đư ng trung tuyến  EK = BC
2
Từ (1) và (2), suy ra: DK = EK.
Suy ra: EKD cân tại K.
MƠ I lƠ trung điểm của DE.
Do đó: KI lƠ đư ng cao của EKD  KI  ED.
BƠi tập 2: Cho đư ng tròn tâm O, đư ng kính AB. S là một điểm nằm bên ngoƠi đư ng tròn. SA và
SB lần lượt cắt đư ng tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH  AB.
Biên soạn: Trần Trung Chính

19

.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.
Chứng minh
  900 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đư ng tròn)
Ta có: AMB
  900 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đư ng tròn)
ANB
Xét SAB có AN, BM lƠ hai đư ng cao.
Mà H lƠ giao điểm của AN và BM  H là trực tâm của SAB.
Suy ra: SH thuộc đư ng cao thứ ba của SAB.
Vậy SH  AB.
 D
  900 , có CD = 2AB. Gọi H lƠ chơn đư ng
Bài tập 3: Cho hình thang vuông ABCD, A





vuông góc hạ từ D xuống AC vƠ M lƠ trung điểm của HC. Chứng minh rằng đư ng thẳng qua DM
vuông góc với đư ng thẳng qua BM.
Giải
A
B
H
M

D

E

C

Kẻ BE  CD (E  CD).
Vì CD = 2AB nên AB = DE = EC.
Hay E lƠ trung điểm của CD.
Xét DHC có EM lƠ đư ng trung bình.
 EM // DH  EM  AC (Vì DH  AC).
  900 và AME
  900 .
Xét tứ giác MADE có ADC
Suy ra: Tứ giác MADE nội tiếp đư ng trong đư ng kính AE. Tức lƠ bốn điểm M, A, D, E nằm trên
một đư ng tròn.
(1)
  900 và AB = DE.
Xét tứ giác ABED có: ADE
 Tứ giác ABCD lƠ hình chữ nhật.
 Bốn điểm A, B, E, D nằm trên một đư ng trong đư ng kính AE.
(2)
Từ (1) vƠ (2), suy ra: M thuộc đư ng tròn đư ng kính AE.
Ta có: Tứ giác ABMD nội tiếp.
  900  BMD
  900 .
Mà BAD
 BM  DM.
BƠi tập 4: Cho tam giác cơn ABC, gọi H lƠ trung điểm của BC vƠ E lƠ hình chiếu của H trên AC.
Gọi O lƠ trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.
Chứng minh
Gọi K lƠ trung điểm của EC.
Ta có: HK lƠ đư ng trung bình của BEC nên HK // EB
(1)

Trong EHC, ta có: OK lƠ đư ng trung bình nên OK // HC.
(2)
Mà AH  HC (giả thiết)
(3)
Từ (2) vƠ (3), suy ra: OK  AH
(*)
Ta lại có: HE  AC (vì E là hình chiếu của H trên AC)
(**)
Từ (*) vƠ (**), suy ra: O lƠ trực tơm của AHK
 AO  HK
(4)
Từ (1) vƠ (4), suy ra: AO  BE (điều phải chứng minh).

Biên soạn: Trần Trung Chính

20






.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

  900 . Đư ng cao HE. Gọi O, Klần lượt lƠ trung điểm của EH và
BƠi tập 5: Cho AHC, có H

EC. Chứng minh AO vuông góc với HK.

Chứng minh
Từ giả thiết có OK lƠ đư ng trung bình của tam giác EHC
 OK // HC.
Mặt khác: HC  AH
 OK  AH
Xét AHK có: HE  AC, OK  AH
 O lƠ trực tơm của AHK
 AO  HK.
BƠi tập 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đư ng tròn đồng th i ngoại tiếp đư ng tròn khác có các tiếp
điểm M, N, P, Q lần lượt với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác đã cho. Chứng minh rằng MP
vuông góc với NQ.
Chứng minh

Q

D

A
m

k

M

O O'
I

P

n

B

l
N
C

Gọi (O) lƠ đư ng tròn nội tiếp tứ giác vƠ (O’) lƠ đư ng tròn ngoại tiếp tứ giác.
Ta có:


 = sđ MQPN-sđMnN (góc có đỉnh bên ngoƠi đư ng tròn)
B

2

=
D



sđ PNMQ-sđPkQ

2

(góc có đỉnh bên ngoƠi đư ng tròn)

 +B
 = 1800 (vì tứ giác ABCD nội tiếp (O’))
D
 sđ MQPN

 - sđPkQ
 - sđMnN

sđ PNMQ

+
=1800
2
2


 2MmQ

2PIN+
2

=1800

 +MmQ
 = 1800
 PlN
0


  PIN
  s® PlN  s® MnQ  180  900
Mà MIQ
2
2
 MP  QN. (điều phải chứng minh)

3. BƠi tập tự luyện:

Biên soạn: Trần Trung Chính

21


.:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 ::.

BƠi tập 1: Cho ABC đều. Gọi H lƠ trung điểm của BC vƠ E lƠ hình chiếu của H trên AC. Gọi O lƠ
trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh: AO  BE.
  900 . Gọi H lƠ trung điểm của BC vƠ E lƠ hình chiếu
BƠi tập 2: Cho tam giác vng cân ABC A





của H trên AC. Gọi O lƠ trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh: AO  BE.
BƠi tập 3: Cho ABC cơn tại A, đư ng cao AH. Hạ HI  AC, M lƠ trung điểm của HI. Chứng minh
BI  AM.
BƠi tập 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H lƠ hình chiếu của B trên AC. I vƠ N lần lượt lƠ trung
điểm của AD vƠ HC. Chứng minh: BN  IN.
BƠi tập 5: Cho ABC cơn tại A, đư ng cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK, HI  AC. Gọi M , N
lần lượt lƠ trung điểm của IC vƠ AK . Chứng minh: MN  BI.
BƠi tập 6: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H lƠ hình chiếu của B trên AC. Gọi E, F, M lần lượt lƠ
trung điểm của AB, DH, BH. Chứng minh: AM  EF.
BƠi tập 7: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H lƠ hình chiếu của B lên AC. E, F, M, N lần lượt lƠ trung
điểm của AB, DH, HC, AD. Chứng minh: EF  MN.
  900 . H lƠ hình chiếu của A trên BC. I, K lƠ thứ tự hai điểm thuộc AH

BƠi tập 8: Cho ABC A



và CK sao cho



HK HI
= . Chứng minh: BI  AK.
KC IA





 B
  900 vƠ AC = m, BD = n. Gọi H lƠ hình chiếu
BƠi tập 9: Cho hình thang vng ABCD A

của A trên BC. Lấy điểm K  HC, sao cho

KH n
= . Chứng minh: DK  AK.
HC m

BƠi tập 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đư ng tròn tơm O. Gọi E lƠ giao điểm của hai cạnh đối AD
vƠ BC. Gọi F lƠ giao điểm của hai cạnh đối DC vƠ AB. Chứng minh rằng các tia phơn giác trong của
hai góc E vƠ F vng góc với nhau.
BƠi tập 11: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia AD vƠ BC lần lượt lấy hai điểm E vƠ F sao cho

DF=CE=DC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho CH = CB. Chứng minh: AE  FH.
BƠi tập 12: Cho hình vng ABCD. T lƠ một điểm bất kì trên cạnh AB (T khác A vƠ B). Tia DT
cắt tia CB tại E. Đư ng thẳng CT cắt AE tại M. Chứng minh rằng đư ng thẳng DE vng góc với
đư ng thẳng DM.
BƠi tập 13: Cho hình vng ABCD cố định. Lấy Điểm T trên cạnh AB (T khác A vƠ B). Tia DT cắt
tia CB tại E. Đư ng thẳng CT cắt đư ng thẳng AE tại M .Đư ng thẳng BM cắt đư ng thẳng DE tại
F. Tìm quỹ tích điểm F khi T chạy trên cạnh AB.
  900 . Vẽ đư ng phơn giác BD vƠ đư ng cao BF. Từ D dựng DA vƠ
BƠi tập 14: Cho TBE B





DC theo thứ tự vng góc với cạnh TB vƠ cạnh BE (A trên cạnh TB, C trên BE). Chứng minh rằng
các đư ng thẳng TC, AE, BF cắt nhau tại một điểm.
BƠi tập 15: Đư ng tròn tơm O nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi M vƠ N lần lượt lƠ hai tiếp điểm
của đư ng tròn đó với hai cạnh AB vƠ AC. Tia MN cắt tia phơn giác của góc B tại P. Chứng minh
BP vng góc với CP.
CHỦ ĐỀ 4
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
1. Ki n thức c bản:
Phư ng pháp 1: Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng độ dƠi (theo cùng đ n vị đo chiều dƠi).
Phư ng pháp 2: Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba thì bằng nhau.

Biên soạn: Trần Trung Chính

22

.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

www.VNMATH.com

Phư ng pháp 3: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau lƠ các cạnh của các tam giác, tứ giác đặc
biệt (hình đặc biệt), tam giác bằng nhau.
Ví dụ: Hai cạnh bên của tam giác cơn thì bằng nhau, các cạnh của tam giác đều thì bằng nhau, hai
cạnh bên của hình thang cơn, các cặp cạnh đối của hình bình hƠnh, hình chữ nhật, hình thoi, hình
vuông thì bằng nhau.
Phư ng pháp 4: Chứng minh tỉ số độ dƠi của các cặp cạnh cần chứng minh luôn đạt giá trị bằng 1.
Phư ng pháp 5: Sử dụng định nghĩa, tính chất của:
Trung điểm, trung trực của đoạn thẳng.
Đư ng trung tuyến, đư ng trung bình, đư ng trung trực, ... trong tam giác.
Đư ng chéo của hình bình hƠnh, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, ...
2 điểm, 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm, 1 trục.
Phư ng pháp 6: Chứng minh hai tam giác có cùng diện tích với các đư ng cao, cạnh đáy tư ng
ứng.
Phư ng pháp 7: Sử dụng tính chất của dơy cung vƠ tiếp tuyến với đư ng tròn.
2. BƠi tập áp dụng:
BƠi tập 1: Cho đư ng trong (O) đư ng kính, dơy CD không cắt đư ng kính AB. Gọi H vƠ K theo
thứ tự lƠ chơn các đư ng vuông góc kẻ từ A vƠ B đến CD. Chứng minh rằng: CH = DK.
Chứng minh

K

D
Theo giả thiết, ta có: AH  CD và BK  CD nên AH // BK.
H
Suy ra: AHKB là hình thang.
C

Kẻ OM  CD tại M  MC = MD (t/c đư ng kính vƠ dơy
cung)
(1)
B
A
O
Xét hình thang AHKB có OA = OB = R; OM // AH // BK
(cùng vuông góc với CD)
OM lƠ đư ng trung bình của hình thang
 MH = MK
(2)
Từ (1) vƠ (2), ta có: CH = DK.
BƠi tập 2: Trong hình vuông ABCD vƠ nữa đư ng tròn đư ng kính AD vƠ vẽ cung AC mƠ tơm lƠ
D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đư ng tròn đư ng kính AD K. Chứng minh
PK bằng khoảng cách từ P đến AB.
Chứng minh
Kẻ PI  AB.
Xét APK và API:
I B
A
APK vuông tại K
 = 900 góc nội tiếp chắn nữa đư ng tròn đư ng kính AD)
(Vì AKD
ADP cơn tại D
1
 AD = DP
2
  DAP

P

 P
2
Mặt khác:
K
  DAP
 (So le trong vì AD // PI)
P
1
D
C
 P

Do đó: P
1
2
 APK = API (có chung cạnh huyền vƠ một cặp góc nhọn bằng nhau)
 PK = PI.
BƠi tập 3: Cho hình thang ABCD (AB// CD) có ACD = BDC. Chứng minh rằng: AD = BC.
Chứng minh
Gọi E lƠ giao điểm của AC vaø BD
M

Biên soạn: Trần Trung Chính

23


.:: CHUYÊN Đ ÔN THI VÀO L P 10 ::.

 C

 (do ACD
  BCD
)
Xét ECD có: D
1
1
 ECD là tam giác cân.
Suy ra ED = EC
(1)
 D
 và A
 C
 (so le trong)
Do B
1
1
1
1
 C

Mà D

A

B

C
D
 EAB là tam giác cân.
Suy ra: EA = EB

(2)
Từ (1) vƠ (2), suy ra: AC = BD.
Hình thang ABCD có hai đư ng chéo bằng nhau nên lƠ hình thang cơn.
Suy ra: AD = BC.
BƠi tập 4: cho hình bình hƠnh ABCD. Gọi E, F lần lượt lƠ trung điểm của AD, BC. Chứng minh
rằng: BE = DF.
Chứng minh
B
A
1
1
Ta có: DE = AD; BF = BC
2
2
E
MƠ AD = BC (hai cạnh đối của hình bình hƠnh ABCD)
F
 DE = BF.
Mặt khác: DE // BF.
D
 EBFD là hình bình hành.
C
Vậy BE = DF.
BƠi tập 5: Cho hình bình hƠnh ABCD. Gọi I, K lần lượt lƠ trung điểm của CD, AB. Đư ng chéo BD
cắt AI, CK theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng: DM = NB.
Chứng minh
B
K
A
Tứ giác AICK có: AK // IC và AK = IC

 Tứ giác AICK lƠ hình bình hƠnh.
N
 AI // CK.
DCN có IC = ID và IM // CN.
M
Suy ra: DM = MN
(1)
BAM có: BK = KA và KN // AM.
D
I
C
Suy ra: MN = NB
(2)
Từ (1) vƠ (2), suy ra: DM = NB.
BƠi tập 6: Cho tam giác ABC cơn tại A.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB
lấy điểm N sao cho BM= CN.
a) Chứng minh: AM = AN.
b) Kẻ BH  AM (H  AM), CK  AN (K  AN). Chứng minh: BH = CK.
c) Chứng minh: AH = AK.
Chứng minh
A
a) AMB cân
  ACB

 ABC
  ACN
  1800  ABC

 ABM
1

1





ABM và  ACN có:
AB = AC (giả thiết)
  ACN
 (chứng minh trên)
ABM
BM = CN (giả thiết)
 ABM = ACN (c.g.c)
Biên soạn: Trần Trung Chính

K

H
M

C

B

N

O
24