chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng

Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
1. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị i , j

(i =

)

j =1 .

y

2. u ( x; y ) ⇔ u = xi + y j ; M(x;y)⇔ OM = OM + OM = xi + y j
1
2
3. Tọa độ của vectơ: cho u ( x; y ), v( x '; y ')
a. u = v ⇔ x = x '; y = y '
b. u ± v = ( x ± x '; y ± y ')
c. ku = (kx; ky )

d. u.v = xx '+ yy '

e. u ⊥ v ⇔ xx '+ yy ' = 0

f. u = x 2 + y 2 , v = x′2 + y′2

( )

g. cos u , v =

u.v
u.v

M2

u

j

o

.

M

u

i

M1

x

4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
2

a. AB = ( xB − x A ; yB − y A )
c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

b. AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A )

2

x A + xB + xC
y +y +y
; yG= A B C
3
3
x − kxB
y − kyB
d. M chia AB theo tỉ số k: MA = k MB ⇒ xM = A
; yM = A
1− k
1− k
x A + xB
y A + yB
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM =
; yM =
.
2
2
e) Tứ giác ABCD là hình bình hành
AB = DC

GA + GB + GC = O , OG =

OA + OB + OC
3

⇒

xG=

h) Tính chất đường phân giác :
Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của góc A (D ∈ BC; E ∈ BC), ta có:
DB = −

k) Diện tích ∆ :

AB
DC ;
AC

EB =

AB
EC
AC

1
| x1y2 – x2y1|
2
1
1
abc
* Công thức khác: S = aha = ab sin C =

= pr = p( p − a )( p − b)( p − c)
2
2
4R
1
(Với a, b, c là ba cạnh, ha là đường cao thuộc cạnh a, p = (a + b + c) , R và r lần lượt là bán
2
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ ABC)
→
→
x x'
g/ u cuøng phöông vôùi u ' ⇔
= xy’ – x’y = 0
y y'
x
y
- A,B,C phân biệt thẳng hàng khi AB = k AC ⇒ 1 = 1 , với AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2), k ≠ 0
x2 y2

* vôùi : AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2) thì

GV :

S=

Tài liệu lưu hành nội bộ

1

Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

II. Phương trình đường thẳng
1. Một đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến
n = ( A; B ) hoặc một vectơ chỉ phương u = ( a; b ) ta có thể chọn u = ( a = B; b = − A )
* Phương trình tổng quát A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 ⇒ Ax + By + C = 0 .

n

 x = x0 + at
* Phương trình tham số: 
, ( t ∈ R ) . M ∈ (∆ ) ⇔ M ( x0 + at ; y0 + bt )
 y = y0 + bt
x − x0 y − y0
* Phương trình chính tắc :
=
(a.b ≠ 0)
a
b
* Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k : y = k ( x − x0 ) + y0 .

a

∆

* Đường thẳng d // d’ : ax + by + c = 0 thì PT d có dạng : ax + by + m = 0(m khác c)
* Đường thẳng d ⊥ d’ : ax + by + c = 0 thì PT d có dạng : - bx + ay + m = 0
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ):

x − xA
y − yA
=
xB − x A y B − y A

* Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 và 2 điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ).
+) Nếu (a.xA + b.yA + c). (a.xB + b.yB + c) > 0 thì A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d
+) Nếu (a.xA + b.yA + c). (a.xB + b.yB + c) < 0 thì A và B nằm khác phía so với đường thẳng d

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ; ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 ;
 a1 x + b1 y + c1 = 0
 a2 x + b2 y + c2 = 0

ta xét số nghiệm của hệ phương trình : 

(I)

+) Hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0) thì ∆1 ∩ ∆ 2 tại M(x0;y0)
+) Hệ (I) vô nghiệm thì ∆1 / / ∆ 2
+) Hệ (I) vô số nghiệm thì ∆1 ≡ ∆ 2
Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠ 0 thì :
+ )∆1 ∩ ∆ 2 ⇔

a1 b1
≠
;
a2 b2

+ ) ∆1 / / ∆ 2 ⇔

a1 b1 c1
= ≠
;
a2 b2 c2

+ )∆1 ≡ ∆ 2 ⇔

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

3. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 là:
d (M ,∆) =

AxM + ByM + C

.

A2 + B 2
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt ∆ tại H thì d ( M , ∆ ) = MH

Chú ý : +) Nếu d trùng d’ thì d(d;d’) = 0

+) Nếu d // d’ thì d(d;d’) = d(M;d’) với M thuộc d

4. Góc trong mặt phẳng.
* Góc A trong tam giác ABC : cosA = cos( AB; AC ) =

AB. AC
AB. AC
→

→

*Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 của (I) có VTPT n1 và n2 được tính theo công thức:
→ →
→ →

cos(∆1 , ∆ 2 ) = cos(n1 , n2 ) =

| n1 . n2 |
→

→

=

| n1 || n2 |

| a1a2 + b1b2 |
a12

+ a22 . b12 + b22

hoặc tính theo VTCP thay n bằng u

* Góc giữa 2 đường ( ∆ ): y = k 1 x + b và ( ∆ ’) : y = k 2 x + b’ là: tan (∆; ∆ ') =

k2 − k1
1 + k1 .k2

*) PT hai đường phân giác của các góc tạo bởi : d1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ; d 2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 là:
A1 x + B1 y + C1
A12
GV :

+

B12

=±

A2 x + B2 y + C2
A22 + B22
Tài liệu lưu hành nội bộ

2


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

∆

III. Phương trình đường tròn
Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:

r
M
I

2

2

Dạng 1: ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 .
(C)

Dạng 2: x + y − 2ax − 2by + c = 0 , điều kiện a + b − c > 0 và r = a + b − c .Tâm I(a;b)
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2

2

2

2

2

2

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M .
Tiếp tuyến tại điểm M(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có VTPT IM . Từ đó viết được PTTT.
3. Điều kiện để đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:

d ( I , ∆ ) = r <=>

Aa + Bb + C
A2 + B 2

=r

Chú ý :
+) Đường thẳng ∆ không cắt đường tròn (C)

d ( I , ∆ ) > r <=>

+) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt

Aa + Bb + C
A2 + B 2

>r

d ( I , ∆ ) < r <=>

Aa + Bb + C
A2 + B 2


IV. Elip
1. Phương trình chính tắc:

y

x2 y2
+
= 1 , (a>b>0).
a2 b2

B1
A

F

F

2
1
1
2. Các yếu tố: c 2 = a 2 − b 2 , a> c>0.,a>b>0
O
+) Tiêu cự: F1F2=2c
+) Độ dài trục lớn A1A2=2a
Độ dài trục bé B1B2=2b.
B2 M
+) Hai tiêu điểm F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) .
+) Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , 2 đỉnh trên trục bé B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) .

+) Tâm sai: e =

A

2

x

c
< 1.
a

 MF1 = r1 = a + ex0
 MF2 = r2 = a − ex0

+) Bán kính qua tiêu điểm: M( x0 ; y0 )thuộc (E) thì 

3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2. hoặc dùng điều kiện
nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm.

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

3


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

B. BÀI TẬP CƠ BẢN về ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(-6; - 3); B(-4;3); C(9;2).
a) Viết pt các cạnh của ∆ABC . ĐS : AB: 3x – y + 15 = 0. BC : x + 13y – 35 = 0. AC : x – 3y – 3= 0
b) Viết phương trình đường cao BH, đường trung tuyến CM của tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Đs : x – y + 3 = 0
Bài 2. Lập PT các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh AB, BC, CA lần lượt là :
M(2;1); N(5;3); P(3;4).
Bài 3. (CĐSP Hà Nội 05) Cho ∆ ABC có A(1;2), đường trung tuyến BM : 2x + y + 1 =0, đường
ĐS : BC : 4x + 3y + 4 =0
phân giác trong CD : x + y – 1 =0. Hãy Viết PT cạnh BC.
Bài 4. (CĐ Bến Tre 05) Viết PT các cạnh của ∆ ABC biết A(4;-1), PT một đường cao, một đường
trung tuyến vẽ từ cùng 1 đỉnh lần lượt là (d1) : 2x – 3y + 12 = 0, (d2) : 2x + 3y = 0.
ĐS : 3x + 7y – 5 =0, 3x + 2y – 10 =0, 9x + 11y + 5 = 0
Bài 5. (CĐSP Vĩnh Long 05) Cho ∆ ABC biết A(1;3) và 2 đường trung tuyến xuất phát từ B và C
lần lượt có PT x – 2y + 1 = 0 và y – 1 =0. Lập PT các cạnh của ∆ ABC.
ĐS : BC : x – 4y – 1 =0, AB : x – y + 2 =0, AC : x – 2y – 7 =0
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1).
a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và vuông góc d.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng với A qua d.
Bài 6’. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1 : x + 2y – 6 = 0 và ∆ 2 : x – 3y + 9 = 0.
b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến ∆1 và ∆ 2 .
a) Tính góc tạo bởi ∆1 và ∆ 2 .
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆ 2 .
Bài 7. Cho 2 điểm A(-2;0) , B(1;1) và đường thẳng d : x + 3y – 3 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và tạo với d một góc 450
b) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A và cách B một khoảng bằng 2 2
c) Viết phương trình đường thẳng d2 qua M(4;-3) và cách đều 2 điểm A, B
Bài 8. Cho ∆ ABC có A(3;0) và PT 2 đường cao BB’ : 2x + 2y – 9 = 0, CC’: 3x – 12y – 1=0. Viết
PT các cạnh của ∆ ABC.
Đs : AC : x – y – 3 = 0. AB : 4x + y – 12 = 0. BC : 4x + 5y – 20 = 0.
Bài 9. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A(0;1), BD : x + 2y – 7 = 0, AB : x + 3y – 3 = 0. Viết PT các
cạnh và đường chéo còn lại của hình thoi ABCD.

Đs : AC : 2x – y + 1 = 0, CD : x + 3y – 17 =0, BC : 9x + 13y – 83 = 0, AD : 9x + 13y – 13 = 0
Bài 10. (KD-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của
cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x – 2y – 3 =0
và 6x – y – 4 =0 . Viết phương trình đường thẳng AC.
Đs : 3x – 4y + 5 = 0
Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x − y + 1 = 0 , phân
giác trong BN : 2 x + y + 5 = 0 .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn: +) AB ∩ BN = B (−4;3)
+) Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A ' ∈ BC . ⇒ A '(−3; −4)
+) BC: 7 x + y + 25 = 0 => C (−

13 9
;− )
4 4

1
2

1
2

+)Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = .3 2.

450 45
= .
4
4

Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
d1 : x − y − 3 = 0 và d 2 : x + y − 6 = 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm

toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Đs : (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I (1 / 2;0) . Đường thẳng AB : x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD
và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
I
Đs : A(−2;0), B (2;2) , C (3;0), D(−1; −2)
Bài 14. ĐH KA 2009 (chuẩn) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
ĐS: AB: y−5=0; x−4y+19=0

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

4


Tel : 0914455164. ễn thi THPT QUC GIA

Chuyờn To trong mt phng

C. BI TP C BN v TèM TA IM
Phng phỏp gii ; (theo tỏc gi Nguyn Tt Thu Sỏch chuyờn HH 10)
+) V phng din hỡnh hc : xỏc nh ta 1 im, ta chng minh im ú thuc 2 hỡnh
f ( x; y ) = 0
g ( x; y ) = 0

(H) : f(x;y) = 0 v (H) : g(x;y) = 0. Khi ú ta im cn tỡm l nghim ca h

+) V phng din i s : xỏc nh ta 1 im l bi toỏn i tỡm 2 n. Do ú, ta cn xỏc
nh c 2 phng trỡnh cha 2 n v gii h ny ta tỡm c ta im cn tỡm. Khi thit lp
phng trỡnh, ta cn lu ý : tớch vụ hng cho ta 1 PT, 2 on thng bng nhau cho ta 1 PT, 2
vect bng nhau cho ta 2 PT v nu im M thuc d : ax + by + c = 0( a 0 ) thỡ M(

bm c
; m ),
a

lỳc ny ta M ch cũn 1 n v ta ch cn tỡm 1 PT (pp tham s húa)
Bi 1. Tỡm A thuc Ox cỏch B(2;-3) mt khong bng 5
S : A(-2;0), A(6;0)
Bi 2. Tỡm C thuc Oy cỏch D(-8;13) mt khong bng 17
S : C(0;-2), C(0;28)
Bi 3. Tỡm M thuc Oy cỏch u 2 im A(-1;3) v B(1;4)
S : M(0;7/2)
Bi 4. Cho A(2;1), B(3;-1), C(-2;3). Tỡm E Oy ABEC l hỡnh thang cú 2 ỏy AB v CE. Tỡm
K= AC BE
S : E(0;-7), K(6;5)
Bi 4. Trong mt phng ta Oxy cho ABC cú A(2;3); B(-2;2); C(1;-1).
b) Tỡm ta im D t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
a) Chng minh ABC cõn ti A.
c) Tỡm im N thuc trc Ox tam giỏc ABN vuụng ti A.
Bi 4. Cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2). C/M ABC vuụng cõn ti B. Tớnh din tớch tam giỏc ABC.
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3/2 và
trọng tâm thuộc đờng thẳng : 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. Đs: C(-2; 10) hoặc C(1;-4)
Bi 6.Trong mt phng vi h to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng : 3x 4 y + 4 = 0 .
Tỡm trờn hai im A v B i xng nhau qua I(2;5/2) sao cho din tớch tam giỏc ABC
bng15.
s : A(0;1) v B(4;4).

Bi 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (2;5) , đỉnh C nằm trên đờng
thẳng x 4 = 0 , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2 x 3 y + 6 = 0 . Tính diện tích
tam giác ABC.
Đs : C = (4; 2) . S = 15/2
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B (1; 2) , trọng tâm G của tam
giác nằm trên đờng thẳng x + y 2 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC =13,5 .
Đs : Với G1 (6; 4) ta có C1 (15; 9) , với G 2 (3; 1) ta có C2 (12;18)

Bi 9. Cho ng th ng ( ) cú ph ng trỡnh: x 2y 2 = 0 v hai i m A (-1;2); B (3;4).
Tỡm i m M ( ) sao cho 2MA 2 + MB 2 cú giỏ tr nh nh t. s : M ( 26 / 15; 2 / 15 )
Bi 10. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho cỏc ng thng : d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0,
d3: x2y =0. Tỡm ta im M nm trờn ng thng d3 sao cho khong cỏch t M n ng
thng d1 bng hai ln khong cỏch t M n ng thng d2.
S: M(22;11), (2;1).
Bi 11.
Trong mt phng vi h to Oxy, hóy vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC
bit trc tõm H (1;0) , chõn ng cao h t nh B l K (0; 2) , trung im cnh AB l M (3;1) .
s : ( AC ) : x 2 y + 4 = 0, ( AB ) : 3 x y 8 = 0 , ( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0.
Bi 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú cnh AB: x -2y -1 =0,
ng chộo BD: x- 7y +14 = 0 v ng chộo AC i qua im M(2;1). Tỡm to cỏc nh ca
hỡnh ch nht.
s : A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Bi 13. Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(6; 6), ng thng i qua trung im ca cỏc cnh
AB v AC cú phng trỡnh x + y 4 = 0. Tỡm ta B v C, bit im E(1; 3) nm trờn ng
cao i qua nh C ca tam giỏc ó cho.
s : B ( 0; 4 ) ; C ( 4;0 ) hoc B ( 6; 2 ) ; C ( 2; 6 ) .

Bi 14. H KA 2004 : Trong mt phng Oxy cho hai im A(0 ; 2), B( 3;1) . Tỡm ta trc

(

) (

)

tõm v ta tõm ng trũn ngoi tip ca tam giỏc OAB.
S: H 3;1 , I 3;1
Bi 15. H KB 2004: Trong mt phng Oxy cho hai im A(1; 1), B(4; -3). Tỡm im C thuc d :
x 2y 1 = 0 sao cho khong cỏch t C n AB bng 6.
S: ( 7;3) ,(43 / 11; 27 / 11)
GV :

Ti liu lu hnh ni b

5


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 16. ĐH KD 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với
m ≠ 0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
Bài 17. ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2: 2x + y – 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A ∈ d1; C ∈ d 2 và B, D thuộc trục hoành.
ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;−1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;−1), D(0;0)
Bài 18. Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường
thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 và đường
cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0.
ĐS: C(-10/3;3/4)

Bài 19. Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0. Tìm tọa độ các điểm B và
C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ ABC vuông cân tại A. ĐS: B(−1;3), C(3;5) OR B(3;−1), C(5;3)
Bài 20. Cho tam giác ABC có AB=AC, BAC = 900 . Biết M(1;−1) là trung điểm cạnh BC và
G ( 2 / 3;0 ) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A(0;2), B(4;0), C(−2;−2)
Bài 21.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I (1 / 2;0 ) , phương
trình đường thẳng AB là x−2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có
hoành độ âm.
ĐS: A(−2;0), B(2;2), C(3;0), D(−1;−2)
Bài 22. Cho đường thẳng d : x – 2y + 2 = 0 và 2 điểm A(0;6), B(2;5). Tìm M trên d sao cho MA +
MB nhỏ nhất .
Đs : M(11/4; 19/8)
Bài 23. Cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) , D(3;5) và đường thẳng d : 3x – y – 5 = 0. Tìm M
thuộc d sao cho 2 tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.
Đs : (7/3;2), (-9;-32)
Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục
tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x −2y+3=0.
ĐS:A(2;0), B(0;4).
Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x − y − 3 = 0 , các đỉnh
A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.

7+4 3 6+2 3 
 −4 3 − 1 −6 − 2 3 
;
;
 hoặc G 

3
3 
3

3




ĐS: G 

D. BÀI TẬP CƠ BẢN về ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :
2
2
2
2
a) (x − 2 ) + ( y + 1) = 4
b) (x + 3) + ( y − 1) = 3
c) x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0
d) x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 2 = 0
f) 7 x 2 + 7 y 2 − 4 x + 6 y − 1 = 0
e) 2 x 2 + 2 y 2 − 5 x + 4 y + 1 = 0
g) x 2 + y 2 − 2 x − 1 = 0
h) x 2 + y 2 = 1
Bài 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7.
b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1).
c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5)
d) (C) có tâm I(-2;0) và tx với d: 2x + y – 1=0.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x−1)2+(y−2)2=4
và đường thẳng d: x−y−1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua
đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
ĐS: A(1;0), B(3;2)

LOẠI 1 : Đường tròn đi qua 3 điểm hoặc đường tròn đi qua 2 điểm và thỏa đk khác …
Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2).
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi
H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
ĐS: x2+y2−x+y−2=0
Bài 3. a. Cho ∆ABC có AB : x + y – 2 = 0, AC : 2x + 6y – 3 =0, M(-1;1) là trung điểm BC. Viết
PT đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Đs : x2 + y2 – x + 3y- 65/8 =0
b. Lập PT đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm của d : x – 7y + 10 = 0 với (C) : x2 + y2 –
2x+4y–20= 0.
Bài 4. Viết PT đường tròn (T) đi qua 2 điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở trên d : 3x – y + 10 = 0.
Bài 5: Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn
đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Đs : x2 + (y - 1)2 = 2
GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

6


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

LOẠI 2 : Đường tròn tiếp xúc đường thẳng hoặc đường tròn khác
Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc
với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0.
Bài 2.Viết PT đ/tròn có tâm là g/điểm của d1 : x – 3y + 1 = 0 và d2: x + 4= 0 đồng thời t/xúc với d :

x + y–1=0.
Bài 3. a. Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
b. Viết PT đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) : x2 + y2 –
12x – 4y + 36 = 0. Đs : (x – 2)2 + (y – 2)2 =4 ; (x – 18)2 + (y – 18)2 = 24 ; (x – 6)2 +(y +6)2 = 36
Bài 4. Cho A(-1 ;1) và đ/thẳng d : x – y + 1 - 2 = 0. Viết PT đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp
xúc với d.
Đs : x2 + (y – 1)2 = 1 ; (x+1)2 + y2 = 1
Bài 5. Cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại
điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2=1 hoặc (x−2)2+(y−7)2=49
Bài 6. Viết phương trình đường tròn đi qua A(4 ;2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 ; x – 3y – 2 =0
và d2 : x – 3y + 8 = 0 .
Đs : (x -1)2 + (y – 3)2 = 10 ; (x – 29/5)2 + (y – 23/5)2 = 10
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2−2x−2y+1=0 và đường thẳng
d: x−y+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán
ĐS: M1(1;4), M2(−2;1)
kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bk đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
Hướng dẫn:
Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) . Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)
Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 9. Cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 + 4 3 x − 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập
phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
Hướng dẫn: A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ , I ' ∈ IA => I’( 2 3t ; 2t + 2 ),

(

AI = 2 I ' A ⇔ t = 1 / 2 => I '( 3;3) . (C’): x − 3

)

2

2

+ ( y − 3) = 4

LOẠI 3 : Viết PT tiếp tuyến – Cát tuyến với đường tròn
Bài 1. Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến với (T) biết :
a) tiếp điểm A(-1 ;0).
b) tiếp tuyến đó // d : 2x–y=0.
c) tiếp tuyến đó ⊥ d’ : 4x – 3y + 1 = 0.
d) tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11).
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T).
2
2
Bài 2. Viết PT tiếp tuyến chung của 2 đ/tròn: (T1) : x2 + y2 –10x = 0,(T2) : ( x + 2 ) + ( y − 1) = 25 .
Đs : x + 7y – 5 ±25 2 = 0
Bài 2’.Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 và

( C2 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 8 y + 16 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) .
Hướng dẫn: ( C1 ) : I1 ( 0;2 ) , R1 = 3; ( C2 ) : I 2 ( 3; −4 ) , R2 = 3.
Gọi tiếp tuyến chung của ( C1 ) , ( C2 ) là ∆ : Ax + By + C = 0( A2 + B 2 ≠ 0)
∆ là tiếp tuyến chung của ( C1 ) , ( C2 )

2
2
 d ( I ; ∆) = R


(1)

 2B + C = 3 A + B
1
1
⇔
⇔
2
2
d
I
;
∆
=
R
2
 ( 2 )
 3 A − 4 B + C = 3 A + B ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra A = 2 B hoặc C =

−3 A + 2 B
2

Trường hợp 1: A = 2 B . Chọn B = 1 ⇒ A = 2 ⇒ C = −2 ± 3 5 ⇒ ∆ : 2 x + y − 2 ± 3 5 = 0
Trường hợp 2: C =

−3 A + 2 B
. Thay vào (1) ta tính được A theo B rồi chọn như TH 1
2

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

7


Tel : 0914455164. ễn thi THPT QUC GIA

Chuyờn To trong mt phng

Bi 3. Trong mt phng vi h to Oxy cho ng trũn (C) x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 v ng
thng : x + my 2m + 3 = 0 vi m l tham s thc. Gi I l tõm ca ng trũn (C). Tỡm m ct
I ti hai im phõn bit A v B sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht.
Bi 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn I: (x1)2+(y+2)2=9 v ng thng d:
3x4y+m=0. Tỡm m trờn d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c hai tip tuyn PA,
PB ti I (A, B l cỏc tip im) sao cho tam giỏc PAB u.
S: m=19, m=41
2 2
Bi 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn I: x +y 2x6y+6=0 v im M(3;1).
Gi T1 v T2 l cỏc tip im ca cỏc tip tuyn k t M n I. Vit phng trỡnh ng thng T1T2.
S : T1T2 : 2x+y3=0
Bi 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn I: x2 + y2 2x 2my + m2 24 = 0 cú
tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng trũn I ti hai im
phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12.
Hng dn : +) ng trũn I cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5.
+) Gi H l trung im ca dõy cung AB => IH l ng cao ca IAB.
I
+) IH = d ( I , ) =

| 5m |

m 2 + 16

, AH = IA2 IH 2 =

20

5



m 2 + 16

H
B
A
+) S IAB = 12 IH. AH = 12 25 | m |= 3(m2 + 16) m = 3; m = 16 / 3
Bài 7. Cho đờng tròn I: x2 + y2 2x + 4y 4 = 0 và đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = 0.
Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới
đờng tròn I (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
Hớng dẫn: (C) có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và
m = 5
=3 2
2
m = 7
Bài 8. Cho hai ng trũn (C ) : x 2 + y 2 2 x 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x 5 = 0 cựng i qua
M(1; 0). Vit PT ng thng qua M ct 2 ng trũn (C ), (C ') ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB.
Hng dn: + Gi tõm v bỏn kớnh ca I, (C) ln lt l I(1; 1) , I(-2; 0) v R = 1, R ' = 3 , ng

AB AC => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA = 3 2

m 1

thng (d) qua M cú phng trỡnh a ( x 1) + b( y 0) = 0 ax + by a = 0, (a 2 + b 2 0)(*) .
+ Gi H, H ln lt l trung im ca AM, BM.
2

2

MA = 2 MB IA2 IH 2 = 2 I ' A2 I ' H '2 1 ( d ( I ;d ) ) = 4[9 ( d ( I ';d ) ) ] , IA > IH .
9a 2
b2
36a 2 b 2

=
35

= 35 a = b
a 2 + b2 a 2 + b 2
a2 + b2
Chn b = 1 a = 6 . Kim tra k IA > IH ,thay vo (*) ta cú hai ng thng tho.
2

2

4 ( d ( I ';d ) ) ( d ( I ;d ) ) = 35 4.

LOI 4 : Xỏc nh im nh ng trũn
Bi 1: (D 2009) Cho ng trũn (C) : (x 1)2 + y2 = 1 cú tõm I. Tỡm im M thuc (C) sao cho

IMO = 300 vi O l gc ta .
s : (3/2; 3 /2) ; (3/2; - 3 /2)
Bi 2. Trong mt phng vi h to Oxy cho ng trũn (C): (x2)2+y2=4/5 v hai ng thng
1: xy=0, 2: x7y=0. Vit PT ng trũn (C1) tip xỳc vi cỏc ng thng 1, 2 v cú tõm K
thuc ng trũn (C).
S: K ( 8 / 5; 4 / 5 ) , R = 2 2 / 5
Bi 3. ( 2010) Cho 2 ng thng d1: 3 x + y = 0 v d2: 3 x y = 0 . Gi (T) l ng trũn tip
xỳc vi d1 ti A, ct d2 ti hai im B v C sao cho tam giỏc ABC vuụng ti B. Vit phng
trỡnh ca (T), bit tam giỏc ABC cú din tớch bng 3 / 2 v im A cú honh dng.
Hng dn: +) C/m d1 , d 2 to vi Oy gúc 300 . T ú : AOB = 600 ; ACB = 300
1
2

+) S ABC = AB.BC =
+) OC = 2OA =

3
3
3
2
2
1

AB 2
AB 2 =
AB = 1; OA =
. AB =
A
; 1
2

2
2
3
3
3


2

C
; 2 . Phng trỡnh (T) ng kớnh AC :
3
3



4

GV :

2

2

1
3

x+
+ y + 2 =1
2 3

Ti liu lu hnh ni b

8