Bài 5 bài toán tìm giá trị nguyên cho biểu thức

Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Bài toán tìm giá trị nguyên cho biểu thức
I. Phương pháp.
 Bước 1: Rút gọn biểu thức.
 Bước 2. Biến đổi biểu thức tối giản vừa tìm được thành một phần nguyên và một
phần phân số

(phân số ở dạng số trên ẩn).

 Biểu thức nguyên khi phần

Z

B(x)  Ư(A) .

 Tìm giá trị của ẩn (cho B(x) = các giá trị của ước).
 Kết luận: kết hợp với điều kiện của đề bài.

II. Bài tập vận dụng.
với x > 0, x ≠ 1

Bài 1: Cho biểu thức: N =
a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn
Rút gọn N:
N =

là ước của 2

∈Z

N có giá trị nguyên khi

Ư(2) = {±2, ±1}

x–1

2

2

1

1

x

1

3

0

2

KL

Loại

TM

Loại

TM

Vậy với các giá trị của x =

thì N có giá trị nguyên.

Vậy với các giá trị của x =

thì N có giá trị nguyên.
với x > 0, x  1, x  2.

Bài 2: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để P có giá trị nguyên.
Hướng dẫn
Ta có: P =

= 2 

P nhận giá trị nguyên

(a + 2) là Ư(8)

Ư(8) = {±8,±4,±2, ±1}

x+2

8

8

4

4

2

2

1

1

x

10

6

6

2

4

0

3

1

KL

Loại

TM

Loại

Loại

Loại

Loại

Loại

Loại


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Vậy với x = 6 thì P có giá trị nguyên. Đó là giá trị cần tìm

a) Rút gọn P =

đk: x ≠ 1, x ≥ 0

–

Bài 3: Cho biểu thức P =
.

b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
Hướng dẫn
P  Z+

P =

Do đó:




3
 Z+
x 3

1+

Bài 4: Cho biểu thức B =

 3 là ước dương của 3

a) Rút gọn B =

điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1.



+

Ư(3) = {1,3}

.

b) Tìm các số tự nhiên của x để

là số tự nhiên.

Hướng dẫn
B là số tự nhiên
với đk x ≥ 0

N

= 1 +

là Ư(2) kết hợp

Ư(2) = {1,3}
kết hợp điều kiện x = 0

Bài 5: Cho biểu thức: N =
a) Tìm điều kiện để N có nghĩa, rút gọn biểu thức N =

+ 1.

b) Tính giá trị của N với x = 4 – 2
c) Tìm các số tự nhiên x để
Bài 6: Cho biểu thức:

là số tự nhiên.


A=



a) Tìm giá trị của x biết A = 5.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số tự nhiên.
Hướng dẫn
 Rút gọn: A =
 Với A = 5
 AN

điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 2, x ≠ 3
= 5
= 1+

+ 1 = 5


N

–

–
là Ư(4)

x = 16 (TM)
Ư(4) = {±1, ±2, ±4}


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

4

4

2

2

1

1

1

7

1

5

2

4

x

49

1

25

4

16

P

2 (TM)

1 (Loại)

3 (TM)

Loại

5 (TM)

Vậy Để P có giá trị là một số tự nhiên thì x  (16, 25, 49)
Bài 7: Cho biểu thức M =





với x ≠ 1, x > 0.

a) Rút gọn M =
b) Tìm x để 18M là số chính phương.
Hướng dẫn
 Ta có: 1 +

>0

M=

khi và chỉ khi Ư(36) là các số chính phương
 Vậy 1 +

là Ư(36)

là số chính phương

> 0 nên 18M =

1+

Ư(36) = {1, 4, 9, 36}

= 1, 4, 9, 36

Bài 8: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn biểu thức P =
b) Tìm giá trị của x để P < 1
c) Tìm giá trị của x để P là số nguyên.
d) Tìm giá trị của x để 12P là số chính phương.
Bài 9: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn A =

và B =
và B =

.

b) Biết P = A.B tìm x Z để P Z
c) Xác định các giá trị nguyên của x để (x – 1).P  5

= 1.

9Hướng dẫn
Ta có: P = A.B =
5

(đk: x ≥ 0, x ≠ 1) thay vào đẳng thức: (x – 1).P 

=1
x3

= 0

Bài 10: Cho biểu thức B =

với x > 0

d) Rút gọn biểu thức B.
e) Tìm giá trị của x để biểu thức B 

nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:
Rút gọn B


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

B =
Theo đề B
Do đó

nguyên khi
nhận các giá trị:

Như vậy với x = 1 thì B 

đó giá trị cần tìm.

là số nguyên

Bài 11: ho iểu thức: B =
a.

.



+

với x ≥ 0, x ≠ 16.

út gọn B.

b. Với mọi giá trị của x là B có nghĩa, chức minh biểu thức chỉ nhận đúng hai
giá trị nguyên
Hướng dẫn:
Rút gọn B
B =
∈

B=
Do đó

nhận các giá trị:

Vậy với x =

thì B nhận hai giá trị nguyên.
(với x ≥ 0, x ≠16).

Bài 12: Cho biểu thức: B =

và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị

Với các biểu thức A =

của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Hướng dẫn
Rút gọn P:
P =
Theo đề bài ta có: B(A – 1) =

là số nguyên

x  16 là ước của 2 với x ≥ 0 .
Do đó x  16 nhận các giá trị: x  16 = ±1, ±2
Như vậy với các giá trị của x =
Bài 13: Cho biểu thức: P =
dương của x để biểu thức Q =

+ 3(1 

là các giá trị cần tìm.
)

với x ≥ 0. Tìm các giá trị nguyên

2P
nhận giá trị nguyên.
1 P

Hướng dẫn:


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

Rút gọn biểu thức P =
Theo đề bài ta có: Q =

2P
=
1 P

0989552911