Các bài toán tìm giá trị nguyên

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý - Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
19


CHUYÊN ĐỀ 3
TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA X(HOẶC Y ) ĐỂ
BIỂU THỨC A NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN


1. Cách giải:
Bước 1: Rút gọn biểu thức A(x)
Bước 2: + Nếu A(x) có dạng
( )
m
B x
(m

Z) (1)


A(x) có giá trị nguyên

B(x) là ước của m
Từ đó giải các phương trình B(x) = c ( với c lần lượt là ước của m )
+ Nếu A(x) có dạng A(x) =
( )
( )
C x
B x

ta thực hiện chia đa thức C(x) cho đa thức
B(x) và viết biểu thức A(x) thành dạng: A(x) = D(x) +
( )
n
B x
( n

Z và B(x) có thể là
một biểu thức số )


A(x) có giá trị nguyên

B(x) là ước của n
Từ đó giải các phương trình B(x) = c' ( với c' lần lượt là ước của n )
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 và trả lời
Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tính các giá trị nguyên của A(x) ta lần lượt thay các giá trị
nguyên của x vừa tìm được vào A(x)

2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
A =
2
10 7 5
2 3
x x
x
 


Giải:
ĐK: 2x - 3

0

x


3
2

Thực hiện hiện phép chia đa thức 10x
2
- 7x - 5 cho đa thức 2x - 3 ta được thương là 5x
+ 4 và dư là 7

A =
2
10 7 5
2 3
x x
x
 

= 5x + 4 +
7
2 3
x


Để A nhận giá trị nguyên khi x nguyên thì
7
2 3
Z
x


hay 2x - 3 là ước của 7

2x - 3 =

1;

7
Giải các phương trình:
2x - 3 = 1
2x - 3 = -1
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý - Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
20


2x - 3 = 7
2x - 3 = -7
Ta được x = -2; 1; 2; 5 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy A nhận giá trị nguyên khi x = -2; 1; 2; 5

Ví dụ 2: Cho biểu thức M =
3 3 1 ( 1)( )

:
2 2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b
   
 
 
   
   
     
   

a. Rút gọn biểu thức M
b. Tìm những giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên và tính các giá trị
nguyên tương ứng.
Giải:
a. ĐK: a

0, b

0, a

1, a

b
M =


3 3
3 3

( 1)( )
:
2( )
a a b a a ab b
a a b
a ab b
a b
    
 
 


=
  


 
 
2
3 3 3
1
a ab b
a a b a a ab b
a b a ab b a a b
 
    

    

=

 
 
 
2 2
1
a a b b
a b a a b
 

  

=


 
 
 
2
.2
2
1
1
a b
a
a b a a b



  

b. M =
2
1
a


M có giá trị nguyên khi
2
1
a

có giá trị nguyên hay a - 1là ước của 2.
Các uớc nguyên của 2 là

1;

2. Do đó:
a - 1 =1

a = 2
a - 1 = -1

a = 0
a - 1 = 2

a = 3
a - 1 = -2

a = -1
Đối chiếu với điều kiện a = -1 (loại). Vậy với

a = 0 thì M có giá trị nguyên là
2
0 1

= -2
a = 2 thì M có giá trị nguyên là
2
2 1

= 2
a = 3 thì M có giá trị nguyên là
2
3 1

= 1

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý - Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
21


Ví dụ 3: Cho biểu thức N =
3 2 3 3
1 :
9 1
3 1
x x x x x x
x x
x x

   
  
  
   
   
 
 
   

a. Rút gọn biểu thức N
b. Tìm gí trị nguyên của x để N nhận gí trị nguyên
Giải:
a. ĐK:
3 0
1
9 0
9
1 0
0
0
x
x
x
x
x
x
x

 




 
 
 
 
 
 






N =
3 2 3 3
1 :
9 1
3 1
x x x x x x
x x
x x
   
  
  
   
   
 
 
   

=


  


  
3 3 1
2
1 :
3 1
3 3 1 1
x x x
x x x
x x
x x x x
   
 

   
  
   
 
   
   

=
2 3
1 :

3 3 1 1
x x x x
x x x x
   

  
   
   
   
   

=
3 2 3
:
3 1
x x x x x
x x
    
 

=
2 3 1
3 2 3
x x x
x x x
  

  

=

1
3
x
x



c. N =
1
3
x
x


= 1 +
4
3
x


Để N nhận giá trị nguyên thì
x
- 3 là ước của 4
3 1; 2; 4
x
     

3 1
16
3 1

4
3 2
25
3 2
1
3 4
49
3 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 



  






 
 
 

 
  
 

 
 

 


  


Đối chiếu với điều kiện x = 1 loại
Vậy N nhận giá trị nguyên khi x = 4; 16; 25; 49

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý - Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
22


Lưu ý: Trường hợp A(x) =
( )
( )
C x

B x
ta thực hiện phép chia đa thức C(x) cho B(x) mà phần
dư của phép chia là một đa thức của ẩn x
VD: A(x) = f(x) +
( )
( )
g x
B x
ta phải xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: A(x) nhận giá trị nguyên khi g(x) = 0 và giải phương trình g(x) = 0
Trường hợp 2: g(x)

0 ta giải bất phương trình:

( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
g x B x
g x B x


 



hoặc
( ) 0
( ) ( )
g x

g x B x







Ví dụ 4: Tìm tấc cả các số nguyên x sao cho:
A =
3 2
2
8 2
1
x x x
x
 

là số nguyên
Giải: ĐK: x

R
A =
3 2
2
8 2
1
x x x
x
 


= x - 8 +
2
8
1
x
x



Vậy A nhận giá trị nguyên khi
2
8
1
x
x


nguyên (A')
Nếu x + 8 = 0

x = -8. Vậy với x = -8 thì A nhận giá trị nguyên
Nếu x + 8

0
2
( 8) ( 1)
x x
  


2
8 1
x x
   


2
8 1
8 0
x x
x

  


 

hoặc
2
( 8) 1
8 0
x x
x

   

 


2
7 0
8
x x
x

  


 

hoặc
2
9 0
8
x x
x

  

 

(hệ này vô nghiệm vì x <-8 thì x
2
+x + 9 > 0 )
Giải hệ
2
7 0
8

x x
x

  

 

với x nguyên ta được:
X = 3; 2; 1; 0; -1; -2. Thay các giá trị x vừa tìm được vào (A') chỉ có x = 0 và
x = 2 thỏa mãn. Vậy A là số nguyên khi x = -8; x = 2; x = 0.

Ví dụ 5: Cho B =
 
 
2
2 2
2
2
3 12
2 8
x x
x x
x
 
  
( x

R )
a. Rút gọn B.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên

Giải:
a. B =
 
 
2
2 2
2
2
3 12
2 8
x x
x x
x
 
  
=
4 2 2
2
2
6 9 12
4 4 8
x x x
x x x
x
  
   


Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý - Tin-CN

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
23


=
 
 
2
2
2
2
3
2
x
x
x

 =
2
3
2
x
x
x

 

b. B =
2
3

2
x
x
x

 
=
2
3
2
x
x
x

 

=
3
2
x x
x
  

Vì x nguyên nên B nhận giá trị nguyên khi
3
x
nguyên hay
x
là ước của 3
1; 3

x
   

Vậy với x = 1, x = -1, x = 3, x = -3 thì B nhận giá trị nguyên.


3. Bài tập áp dụng:
1. Cho biểu thức: A =
  
2
2
9 4
4 1 2 1 1
x
x x x

   

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm các giá trị nguyên của x để A là một số nguyên
2. Cho biểu thức B =
2
4 4 4
8 16
1
a a a a
a a
    
 

a. Rút gọn biểu thức B
b. Tìm các giá trị a nguyên lớn hơn 8 để B có giá trị nguyên.
3. Cho biểu thức C =
2 1 2
4
2 2
x
x
x x
 

 

a. Rút gọn biểu thức C
b. Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên.
4. Cho biểu thức D =
9 2 2 1
:
1 1 1
a a a
a a a a a
 
  

 
 
   
 

a. Rút gọn D

b. tìm giá trị nguyên của a để M nguyên.
5. Cho E =
2
2
1 1 4 1 2003
.
1 1 1
x x x x x
x x x x
 
    
 
 
  
 

a. Rút gọn E
b. Với giá trị nguyên nào của x thì E có giá trị nguyên.



Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý - Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
24


6. Cho biểu thức F =
3
2 1 1 4

: 1
1 1
1
x x
x x x
x
 
 
 
 
 
 
 
  
 

 

a. Rút gọn F

b. Tìm giá trị nguyên của x để F nhận giá trị nguyên.
7. Cho G =
1
2
5
x
x
 


Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên.
8. Cho H =
1 1
2 1 2 1
x x x x

   

a. Rút gọn biểu thức H
b. Tìm những giá trị nguyên của x để H nhận giá trị nguyên.