Bài tập phương trình mặt cầu có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

PH

Hình h c t a đ Oxyz

NG TRÌNH M T C U

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Ph ng trình m t c u thu c khóa h c Luy n thi
THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1; 2;3) . Vi t ph

ng trình m t c u tâm I và ti p

xúc v i tr c Oy.
HD
G i M là hình chi u c a I(1; 2;3) lên Oy, ta có: M(0; 2;0) .

IM  (1;0; 3)  R  IM  10 là bán kính m t c u c n tìm.
K t lu n: PT m t c u c n tìm là ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  10 .
Bài 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đi m A(1; –2; 3) và đ

x 1 y  2 z  3



. Tính kho ng cách t đi m A đ n đ
1
2
1
ti p xúc v i d.

ng th ng d có ph

ng th ng d. Vi t ph

ng trình

ng trình m t c u tâm A,

HD
d(A, (d)) =

 BA, a 
4  196  100

5 2
a
4 11

PT m t c u tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : ( x –1)2  ( y  2)2  (z –3)2  50

x 1 y  2 z



và m t ph ng (P):
1
1
1
ng trình m t c u (S) có tâm n m trên d, ti p xúc v i m t ph ng (P) và đi qua

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho đ
2 x  y –2z  2  0 . L p ph

ng th ng d:

đi m A(2; –1; 0).
HD
G i I là tâm c a (S)  I 1  t; t – 2; t  . Ta có d(I, (P)) = AI  t  1; t 

7
.
13

V y: (S) : ( x –2)2  ( y  1)2  (z –1)2  1
2

2

2


20  
19  
7

121
.
ho c (S ) :  x –    y     z –  
13  
13   13  169


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Bài 4. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đ

Hình h c t a đ Oxyz

ng th ng d : x  t; y  1; z  t và 2 m t ph ng

(P): x  2y  2z  3  0 và (Q): x  2y  2z  7  0 . Vi t ph

ng trình m t c u (S) có tâm I thu c đ

ng

th ng (d) và ti p xúc v i hai m t ph ng (P) và (Q).
HD
Gi s : I (t; 1; t)  d . Vì (S) ti p xúc v i (P) và (Q) nên d (I ,(P))  d(I ,(Q))  R



2
1 t 5  t

 t  3 . Suy ra: R  , I (3; 1; 3) .
3
3
3

V y ph

2

2

2

ng trình m t c u (S):  x  3   y  1   z  3 

4
.
9

Bài 5. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t di n ABCD v i A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3),

D(1;–1; 0). Tìm t a đ tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p t di n ABCD.
HD
Ta tính đ

c AB  CD  10, AC  BD  13, AD  BC  5 . V y t di n ABCD có các c p c nh

đ i đôi m t b ng nhau. T đó ABCD là m t t di n g n đ u. Do đó tâm c a m t c u ngo i ti p c a t
di n là tr ng tâm G c a t di n này.

3 3
14
.
V y m t c u ngo i ti p t di n ABCD có tâm là G  ;0;  , bán kính là R  GA 
2
2 2
Bài 6. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho 3 đi m A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). L p ph
c a m t c u (S) đi qua A, B, C và có tâm n m trên m t ph ng (P): x + y – 2z + 4 = 0.

ng trình

HD
PT m t c u (S) có d ng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B:

2b + 8c – d – 17 = 0

(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I  (P): a + b – 2c + 4 = 0
Gi i ra ta đ

c: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. V y (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0

Bài 7. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x  2y  2z  10  0 , hai đ

 1  : x 1 2  1y  z11 ,  2  : x 1 2  1y  z 4 3 . Vi t ph

ng th ng

ng trình m t c u (S) có tâm thu c  1  , ti p

xúc v i  2  và m t ph ng (P).

HD

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

x  2  t


; 2 đi qua đi m A(2;0; 3) và có VTCP u2  (1;1;4) .
1 :  y  t
 z  1  t

Gi s I (2  t; t;1  t)  1 là tâm và R là bán kính c a m t c u (S).
 AI , u  5t  4
2

Ta có: AI  (t; t;4  t)   AI , u2   (5t  4;4  5t;0) => d (I , 2 ) 

3
u2
d (I ,(P)) 

2  t  2t  2(1  t )  10
1 4  4



t  10
3

 7
(S) ti p xúc v i 2 và (P)  d (I , 2 )  d (I ,(P))  5t  4  t  10  t  2 .
t  1

+V i t

 11 7 5 

7
9
 I  ; ;   , R 
2
2
 2 2 2
2

2

2


11  
7 
5
81
=> PT m t c u (S):  x     y     z    .

2 
2 
2
4
+ V i t  1 => I (1; 1;2), R  3 => PT m t c u (S): ( x  1)2  ( y  1)2  (z  2)2  9 .
Bài 8. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và m t c u (S): x2 +
y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn. Xác
đ nh t a đ tâm và tính bán kính c a đ ng tròn đó.
HD
I (1; 2; 3); R = 1  4  9  11  5 ; d (I; (P)) =
V y (P) c t (S) theo đ

Ph

2(1)  2(2)  3  4
4  4 1

 3 < R = 5.

ng tròn (C)

 x  1  2t

ng trình d qua I, vuông góc v i (P) :  y  2  2t
 z  3  t

G i J là tâm, r là bán kính đ

ng tròn (C). J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)

J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1
V y tâm đ

ng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r =

R2  IJ 2  4

Bài 9. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho ba đi m A(2;0;0), C(0;4;0), D(0; 0; 4). Tìm t a đ đi m
B trong mp(Oxy) sao cho t giác OABC là hình ch nh t. Vi t ph ng trình m t c u đi qua b n đi m O,
B, C, D.
HD
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

OABC là hình ch nh t  B(2; 4; 0)  T a đ trung đi m H c a OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm
đ ng tròn ngo i ti p tam giác vuông OCB.
+
ng th ng vuông góc v i mp(OCB) t i H c t m t ph ng trung tr c c a đo n OD (mp có ph
trình z = 2 ) t i I  I là tâm m t c u đi qua 4 đi m O, B, C, D.
+ Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 1  22  22  3

ng

 (S): ( x  1)2  ( y  2)2  (z  2)2  9

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 4 -