Bài tập phương trình lượng giác có đáp án

Phương trình lượng giác

1

Bài tập phương trình lượng giác
* Phương trình a sin x + b cos x = c với a2 + b2 ≥ c2
pt ⇔ √
Với √

a
a2 + b 2

= sin α; √

a
a2

b
a2 + b 2

+

b2

sin x + √

b
a2

+

b2

cos x = √

c
a2

+ b2

= cos β ⇒ x = α + β + k2π

Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2 + b2 ≥ c2 .
* Phương trình đối xứng
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0
a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0
-Đặt:

√
√
√ √
π
π
1
 t = sin x + cos x = 2 sin x +
= 2 cos x −
; t ∈ [− 2, 2] ⇒ sin x cos x = (t2 − 1)

4
4
2



√
√
√ √
π
π
1
t = sin x − cos x = 2 sin x −
= − 2 cos x +
; t ∈ [− 2, 2] ⇒ sin x cos x = (1 − t2 )
4
4
2
- Thay vào phương trình đã cho, giải theo t, sau đó giải ra x.

Bài tập và lời giải
1. Giải các phương trình:
√
(a) 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3
√
(b) 4 sin3 x − 1 = 3 sin x − 3 cos 3x
(c) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1
√
√
(d) (sin x + cos x)3 − 2(sin 2x + 1) + sin x + cos x − 2 = 0
2. Tìm m để phương trình có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó:
2m(cos x + sin x) = 2m2 + cos x − sin x +
Giải:
√

1
3
1
1. (a) pt ⇔ sin 4x + 3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x +
cos 4x =
2
2
2
π
π
π
π
⇔ cos 4x −
= cos ⇔ 4x − = ± + k2π
6
3
6
3

π
π
 x= +k

8
2
⇔
;k ∈ Z

π
π

x=− +k
24
2
√

3
2


2

Phương trình lượng giác
√
(b) pt ⇔ 3 cos 3x − (3 sin x − 4√sin3 x) = 1
√
1
1
3
cos 3x − sin 3x =
⇔ 3 cos x − sin 3x = 1 ⇔
2
2
2
π
π
π
π
= cos ⇔ 3x + = ± + k2π
⇔ cos 3x +
6

3
6
3

π
2π
 x=
+k

18
3 ,k ∈ Z
⇔

π
2π
x= +k
6
3
(c) Điều kiện: sin x = 0
pt ⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x
⇔ 2 sin2 x − sin x = 4 sin2 x cos x − cos x
⇔ sin x(2 sin x − 1) = cos x(4 sin2 x − 1) = cos x(2 sin x − 1)(2 sin x + 1)
⇔
(2 sin x − 1)(sin x − cos x − 2 sin x cos x) = 0

1
 sin x = (∗)

2
⇔


sin x − cos x − 2 sin x cos x = 0 (∗∗)

π
 x = + k2π

6
(∗) ⇔ 
,k ∈ Z

5π
x=
+ k2π
6
√
√
(∗∗): t = sin x − cos x ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2
√
√
√ √
Ta có pt: t2 − 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1 − 2 và loại 1 + 2 vì ∈
/ [− 2, 2]
√
√
√
π
=1− 2
⇔ sin x − cos x = 1 − 2 ⇔ 2 cos x +
4
√

π
1− 2
⇔ cos x +
= cos α = √
4
2
π
⇔ x = ±α − + k2π, k ∈ Z
4
√
√
(d) pt ⇔ (sin x + cos x)3 − 2(sin x + cos x)2 + sin x + cos x − 2 = 0
√ √
t = sin x + cos x ⇒ t ∈ [− 2, 2]
√
√
√
pt ⇔ t3 − 2t2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 2
√
√
π
π
⇔ sin x + cos x = 2 sin x +
= 2 ⇔ sin x +
=1
4
4
π
π
π

x + = + k2π ⇔ x = + k2π, k ∈ Z.
4
2
4
2. pt ⇔ (2m + 1) sin x + (2m − 1) cos x = 2m2 + 3/2
Phương trình có nghiệm khi (2m + 1)2 + (2m − 1)2 ≥ (2m2 + 3/2)2
1
⇔ (4m2 − 1)2 ≤ 0 ⇔ 4m2 − 1 = 0 ⇔ m = ± .
2
1
π
∗ : m = ⇒ sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z
2
2
1
∗ : m = − ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z.
2
Sử dụng trực tiếp phương trình cơ bản hoặc đặt nhân tử chung để giải các phương trình sau:
√
1. sin x + cos x = 2 cos 9x


Phương trình lượng giác

3

√
2. 2 sin 4x = sin x + 3 cos x
√
1

3
+
= 8 cos x
3.
sin x cos x
cos 2x − cos x √
4.
= 3
sin 2x + sin x
√
2+3 2
5. cos 3x cos x − sin 3x sin x =
8
3

3

6. sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x
√
x π
(2 − 3) cos x − 2 sin2
−
2
4 =1
7.
2 cos x − 1
8. cot x = tan x +
9. 4 sin2
10. tan

2 cos 4x
sin 2x

3π
x √
− 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x −
2
4
cos 2x − 1
π
+ x − 3 tan2 x =
2
cos2 x

Giải:
√
π
= 2 cos 9x
2 cos x −
4
π
π
⇔ cos x −
= cos 9x ⇔ 9x = ± x −
+ k2π
4
4

π
π

 x=− +k

32
4 ,k ∈ Z
⇔

π
π
x=
+k
40
5
√
1
3
cos x
2. pt ⇔ sin 4x = sin x +
2
2
π
⇔ sin 4x = sin x +
3

π
 4x = x + + k2π

3
⇔

π

+ k2π
4x = π − x +
3

π
2π
 x= +k

9
3
⇔
,k ∈ Z

4π
2π
x=
+k
15
5

1. pt ⇔

√

3. Điều kiện : sin x = 0, cos x = 0
√
pt ⇔ 3 cos x + sin x = 8 cos2 x sin x = 8(1 − sin2 x) sin x = 8 sin x − 8 sin3 x
√
⇔ √3 cos x − sin x = 6 sin x − 8 sin3 x = 2(3 sin x − 4 sin3 x) = 2 sin 3x
3

1
⇔
cos x − sin x = sin 3x
2
2


4

Phương trình lượng giác


π
 3x = − x + k2π
π

3
− x = sin 3x ⇔ 
⇔ sin
3

π
3x = π − + x + k2π
3

π
π
 x=
+k


12
2 , k ∈ Z (thỏa mãn)
⇔

π
x = + kπ
3
1
4. Điều kiện: sin 2x + sin x = sin x(2 cos x + 1) = 0 ⇒ sin x = 0 & cos x = −
2
√
pt ⇔ cos 2x − cos x = 3(sin 2x + sin x)
√
√
⇔ cos 2x − 3 sin 2x = cos x + 3 sin x
2π
π
⇔ cos 2x +
= cos x −
3
3
π
2π
=± x−
+ k2π
⇔ 2x +
3
3

2π

 x=−
+ k2π

3
⇔
,k ∈ Z

2π
x=k
3
√
cos 3x + 3 cos x
3 sin x − sin 3x
2+3 2
5. pt ⇔ cos 3x
− sin 3x
=
4
4
8
√
3 2
⇔ cos2 3x + sin2 3x + 3 (cos 3x cos x − sin 3x sin x) = 1 +
2
1
π
π
⇔ cos 4x = √ = cos ⇔ 4x = ± + k2π
4
4

2
π
π
⇔⇔ x = ± + k , k ∈ Z
16
2
6.

1 − cos 6x 1 + cos 8x
1 − cos 10x 1 + cos 12x
−
=
−
2
2
2
2
⇔ cos 12x − cos 6x + cos 10x − cos 8x = 0
pt ⇔

⇔ −2 sin 9x. sin 3x − 2 sin 9x. sin x = 0
⇔ sin 9x (sin 3x + sin x) = 0


9x = kπ

sin 9x = 0
⇔
⇔
 3x = −x + k2π

sin 3x = − sin x
3x = π + x + k2π

kπ
x=

9

π

⇔ x = k
,k ∈ Z
2

π
x = + kπ
2
7. Điều kiện : cos x =

1
2


Phương trình lượng giác

√

5
1 − cos x −

π
2

pt ⇔ 2 − 3 cos x2
= 2 cos x − 1
2
√
⇔ − 3 cos x + sin x = 0
√
1
3
π
⇔2
sin x −
cos x = 0 ⇔ 2 sin x −
=0
2
2
3
π
⇔ x = + kπ
3
4π
Kết hợp điều kiện suy ra: x =
+ k2π, k ∈ Z
3
8. Điều kiện: sin 2x = 0
cos 4x
cos x sin x
−

=
⇔ cos2 x − sin2 x = cos 4x
pt ⇔
sin x cos x
sin x cos x
⇔ cos 2x = cos 4x ⇔ 4x = ±2x + k2π

x = kπ (loai)
⇔
,k ∈ Z
π
x=k
3
9.
pt ⇔ 2 (1 − cos x) −

√

3 cos 2x = 1 + cos 2x −

√
3 cos 2x = − sin 2x
√
⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x
√
3
1
⇔
cos 2x − sin 2x = − cos x
2

2
π
⇔ cos 2x +
= − cos x = cos (π − x)
6
π
⇔ 2x + = ± (π − x) + k2π
6

5π
2π
x=
+k

18
3 ,k ∈ Z
⇔
7π
2π
x=−
+k
6
3


 cos x = 0
 cos x = 0
10. Điều kiện:
⇔
 cos (π/2 + x) = 0

 sin x = 0
⇔ −2 cos x −

pt ⇔ − cot x − 3 tan2 x =

−2 sin2 x
= −2 tan2 x
2
cos x

−1
− tan2 x = 0
tan x
⇔ tan3 x = −1 ⇔ tan x = −1
π
⇔ x = − + kπ, k ∈ Z
4
⇔

3π
2