Bài tập tích phân hàm hữu tỷ có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN TH C
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Tích phân hàm phân th c thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

ng) t i website Hocmai.vn.

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1: Tìm h các nguyên hàm sau:
1
dx
 4x  4
1
c.  2
dx
x  3x  2

a.

x

a.

x

b.

 9x

c.

x

d.

 4x

1
dx
 12 x  4
1
d.  2
dx
4 x  3x  1
Gi i

b.

2

2

2

1
1
1
C
dx  
dx  
2
 4x  4
x 2
 x  2
2

2

 9x

1
1
1
1
1
1
1
dx  
dx  
dx 


C
2
2
2  9x  6
 12 x  4
9 
9
2
2

9 x  
 x 
 x 
3

3
3



1
1
1
1
x 2
C
dx  
dx  
dx  

dx  ln x  2  ln x  1  C  ln
 3x  2
x 2
x 1
x 1
 x  1 x  2 
2

1
1
1 1
4

dx  
dx   
dx  
dx 
 3x  1
5  x 1
4x 1 
 4 x  1 x  1
x 1
1
1
C
ln x  1  ln 4 x  1   C  ln

5
5 4x 1

Bài 2: Tìm h các nguyên hàm sau:

2  x  2  dx
2
 4x  4
2x  3
d.  2
dx
x  4x  4
Gi i

2( x  1)
dx
 2x  3
3x  2
c.  2
dx
x  2x  3

a.

x

b.

2

x

d  x2  2 x  3

2( x  1)
2x  2
a.  2
 ln x2  2 x  3  C
dx   2
dx  
2
x  2x  3
x  2x  3
x  2x  3

b.

d  x2  4 x  3
2  x  2  dx
2 x  4dx
2


 x2  4 x  3  x2  4 x  3  x2  4 x  3  ln x  4 x  3  C

c.
Ta có : +)

A x  3  B  x  1  A B x  3 A B
3x  2
3x  2
A
B






x  2 x  3  x  1 x  3 x  1 x  3
 x  1 x  3
 x  1 x  3
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

5

A



3

A
B


4
ng nh t h s hai t s ta có h : 

3 A B  2  B  7

4

Suy ra :

3x  2
5
1
7
1
 .
 .
x  2 x  3 4  x  1 4  x  3
2

3x  2
5 1
7
1
5
7
dx  

dx  
dx  ln x  1  ln x  3  C .
 2x  3
4 x 1
4 x3
4
4
E  2 x  4   D 2 Ex  D  4 E
2x  3
. ng nh t h s hai t s :
d.Ta có : 2

 2
x  4x  4
x2  4 x  4
x  4x  4
2 E  2
E  1
Ta có h  

 D  4 E  3  D  7
2x  3
2x  4
7
Suy ra : 2
.
 2
 2
x  4x  4 x  4x  4 x  4x  4
2x  3

2x  4
1
7
V y:  2
dx   2
dx  7 
dx  ln x2  4 x  4 
C
2
x  4x  4
x  4x  4
x 2
 x  2

x

V y:

2

Bài 3. Tính các tích phân sau
3

a.


1

1

d.

1

dx
x  x3
x

 1  2 x

b.

3

e.

dx
3

x3dx
0 x2  2 x  1
4

x2 dx

 1  x

3

c.

9

4

1

dx
2 x  x  1

h.


0

2 x3  6 x2  9 x  9
k. 
dx
x2  3x  2
1

2

1

 4 x  11 dx
x2  5 x  6

3x2  3x  3
l.  3

dx
x  3x  2
2

0

dx

 x 1  x

f.

2

0

g.

dx
0 x2  5x  6

x3  x  1
0 x  1 dx
1

i.

3

1

m.

x2

  3x  1

3

dx

0

Gi i
3

a.

dx

 x x

3

1





Phân tích : f ( x) 

 A B  0  A  1
1
x


  B  1  f ( x)  
ng nh t h s hai t s ta có : C  0
x 1  x2
A 1
C  0


3



2
A Bx  C  A B x  Cx  A
1
1




x  x3 x 1  x2  x 1  x2
x 1  x2 





3

f ( x)dx 

1

Hocmai.vn – Ngôi tr

1

x 
1

 3 ln 3  ln 2

dx   ln x  ln 1  x2  
2 
2
2


 1

  x  1  x
1

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)
1

b.

x

2

0



V y:

3

c.

x


1

1

0

0


1

d.

 1

1 

1

 f ( x)dx    x  3  x  2  dx   ln x  3  ln x  2  0  2ln 2  ln 3

x dx
.
 2x 1

Phân tích : f ( x) 

5x  2
5  2x  2 
3
x3

 x 2 2
 x 2  2

2
2  x  2 x  1   x  12
x  2x  1
x  2x  1


5  2x  2 
3 
V y : I   f ( x)dx    x  2   2

 dx


2  x  2 x  1   x  12 
0
0
5
3 3
3
2
1
  x2  2 x  ln  x  1 
   10ln 2

2
x  1 0
4

2
3



1
1
1
1



x  5 x  6  x  2  x  3 x  3 x  2
2

3

2

0

dx
 5x  6

Phân tích : f ( x) 



Nguyên hàm – tích phân

x

 1  2 x

3

3

dx .

0



Phân tích : f ( x) 

x

4Cx2   2 B  4C  x  A B  C
C




3
2
3
1  2 x 1  2 x 1  2 x
1  2 x
A

1  2 x

3

B

1

A  2
4C  0

1
1
1


 f ( x)  


ng nh t h s hai t s : 2 B  4C  1   B 
3
2
2
2 1  2 x 2 1  2 x
 A B  C  0


C  0



1
1


1
1
1
1 1 1
 V y : I   f ( x)dx    
dx





 
 2 1  2 x3 2 1  2 x2 
 4 1  2 x2 2(1  2 x  0 9
0
0



3
2
x dx
.
e. 
9


x
1


2



Phân tích : f ( x) 

x2

1  x

9



1  1  x2 

1  x

9



1

1  x

9



1 x

1  x

8



1

1  x

9



2  1  x

1  x

8

3
3


3
1
2
1 
1
2
1




V y : I   f ( x)dx   
 dx  
 
9
8
7
8
7
6



2
1
x
1
x
1
x

8
1
x
7
1
x
6
1
x


















2
2




4
dx
f.  2
.
x 1  x
1



Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)



Phân tích : f ( x) 

Nguyên hàm – tích phân

 A C  x2   A B x  B

1
Ax+B C



x2
1 x
x2 1  x
x2 1  x

 A C  0  A  1
1
1 1
1
x 1


ng nh t h s hai t s :  A B  0   B  1  f ( x) 

  2 
2
1 x
x
x x 1 x
B  1
C  1


4
4

1 
1
3
 1 1

4
V y : I   f ( x)dx      2 
 dx    ln x   ln 1  x  1  ln 5  3ln 2 
x x 1 x 
x
4


1
1
4
4
1
3
dx
x 1 4
 1
g. 
 
  dx  ln
 ln  ln 3  ln 2
2
x  x  1 2  x  1 x 
x 2
2



1

h.


0

 4 x  11 dx .
x2  5 x  6

2  2 x  5  1
4 x  11
2x  5
1
 2
2 2

x  5x  6
x  5x  6
x  5 x  6  x  2  x  3



Phân tích : f ( x) 



1
1
x 2 1 1
2x  5
1
1 

2


 ln 2
V y : I   f ( x)dx    2 2
 dx  2ln x  5 x  6  ln
x  5x  6 x  2 x  3 
x3 0 2
0
0

2

x3  x  1
0 x  1 dx .
1

i.




1

1
x3  1  x
x
Phân tích : f ( x) 
  x2  x  1 
  x2  x  1  1 
  x2  x  2  
x 1
x 1
x 1
x 1
1
1
1 

1 3 1 2
 1 11
V y : I   f ( x)dx    x2  x  2 
 dx   x  x  2 x  ln x  1  0   ln 2
x 1 
2
6
3

0
0

2 x3  6 x2  9 x  9
 x2  3x  2 dx .
1

0

k.



Phân tích : f(x)=



Phân tích :

2 x3  6 x2  9 x  9
5x  9
5x  9
 2x  2
 2x 
2
x  3x  2
x  3x  2
 x  1 x  2 

 A B x  B  2 A
A
B
5x  9



 x  1 x  2  x  1 x  2

 x  1 x  2 

 A B  5
 A  14
19
14
ng nh t h s hai t s : 

 f ( x)  2 x 

x  2 x 1
 B  2 A  9
 B  19
 V y:
0
0
0
19
14 

2
I   f ( x)dx    2 x 

 dx   x  19ln x  2  14ln x  1  1 32ln 2  19ln 3  1
x  2 x 1 
1
1 
3
2
3x  3x  3

l.  3
dx .
x

x

3
2
2



Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

3x2  3x  3
3x2  3x  3
A
B

C





2
2
3
x  3x  2  x  1  x  2   x  1  x  1 x  2



Phân tích : f ( x) 



 B  C  x2   B  2C  A x  2 A 2B  C .
2
 x  1  x  2 



B  C  3
A 3
3
2
1





 A B  2C  3   B  2  f ( x) 
2
 x  1  x  1 x  2
2 A 2 B  C  3 C  1



ng nh t h s hai t s ta có :

3
3
3
2
1 
 3
3 3
V y : I   f ( x)dx   


 2ln x  1  ln x  2    ln 5
 dx   
2

 x  1 x  2 
 x 1
2 2
2
2   x  1

1
x2
m. 
dx .
3
0  3 x  1





Phân tích : f ( x) 

x2

 3x  1

3



A

 3x  1

9Cx   3B  6C  x  A B  C

3



B

 3x  1

2



C

3x  1

2



 3x  1

3

.

ng nh t h s hai t s :

1

A 9
9C  1


2
1
2
1




 3B  6C  0   B    f ( x) 
3
2
9
9  3x  1 9  3x  1 9  3x  1
 A B  C  0


1

C  9

1
1

1
2
1


 V y : I   f ( x)dx   
 dx

3
2

9  3x  1 9  3x  1 
0
0  9  3 x  1
 1
1 2
3
2 3
1
1

 ln 3x  1   ln 2 
  
2
 18  3x  1 9  3x  1 9
0 9
96


1
x3
dx .
Bài 4. HKB 2012: I =  4
x  3x2  2
0



t x2 = t
x
t

2xdx = dt.
0
0

1
1



1
x2 .2 x
1
tdt
1  2
1 
 

dx  
I=  2
dt .
2
2 0 ( x  1)( x  2)
2 0 (t  1)(t  2) 2 0  t  2 t  1 



1
3

1
=  ln t  2  ln t  1   ln 3  ln 2 .
2
2

0

1

1

1

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 5 -