Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến volterra

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

T R Ầ N T H Ị LỆ H O A

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP x ỉ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYÊN VOLTERRA

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

H À N Ộ I, 2016

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

T R Ầ N T H Ị LỆ H O A

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP x ỉ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYÊN VOLTERRA

C h u y ê n n gàn h : T o á n g iả i tíc h
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TO ÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: P G S . T S . K H U A T

H À N Ộ I, 2016

văn

n in h


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn PG S.TS. K huất Văn Ninh, người

đã định hướng chọn đề tài, tận tâm hướng dẫn và động viên tôi trong suốt
quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới các thầy (cô) phòng Sau
đại học, các thầy cô dạy lớp T hạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích K18-đợt
2 và trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tố t nh ất cho tôi
trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian hoàn th àn h luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

T rần T h ị L ệ H o a

LỜI CAM Đ O A N
Luận văn “M ộ t số ph ư ơng p h áp giải xấp xỉ ph ư ơng trìn h tích
ph ân ph i tu y ế n V olterra” là kết quả nghiên cứu của bản th ân dưới sự
hướng dẫn của PG S.TS. K huất Văn Ninh. Ngoài ra, tác giả còn tham khảo
thêm m ột số tài liệu như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy tôi xin khẳng định luận văn này không có sự trùng lặp với đề
tài của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

T rần T h ị L ệ H oa


M ỤC LỤC
MỞ ĐẦU .

1

C h ư ơng

3

1. K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị

1.1. Không gian m etric

3

1.2. Không gian định chuẩn

4

1.2.1. Định nghĩa không gian định chuẩn

4

1 . 2 . 2 . Ví dụ

5

1.3. Chuỗi lũy thừa

5

1.3.1. Định nghĩa

5

1.3.2. Điều kiện để m ột hàm khai triển th àn h chuỗi lũy thừa

5

1.4.1. Định nghĩa

8
8

1.4.2. T ính chất

9

1.4.3. Bảng biến đổi Laplace của m ột số hàm thường gặp

9

1.4. Phép biến đổi Laplace

1.4.4. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm

11

1.4.5. Biến đổi Laplace ngược

11

1.4.6. Tích chập về biến đổi Laplace

11

1.5. Phương trìn h tích phân

12

1.5.1. Các định nghĩa

12

1.5.2. Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra

13

1.5.3. Sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến
Volterra

15

1. 6 . Lập trình trong Maple

16

1 . 6 . 1. T ính tích phân của hàm f ( x ) trên đoạn [a, 6]
ĩ

16

1 . 6 . 2 . Vòng lặp f o r

17

1.6.3. Lệnh điều kiện i j ...........................................................................

17

1.6.4. Một số lệnh khác

18

......................................................................

C h ư ơng 2. M Ộ T SỐ P H Ư Ơ N G P H Á P G IẢ I X A P x ỉ P H Ư Ơ N G
T R ÌN H T ÍC H P H Â N P H I T U Y Ê N V O L T E R R A

19

2 . 1 . Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II

19

2.1.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

19

2.1.2. Phương pháp chuỗi lũy thừ a

23

2.1.3. Phương pháp khai triển Adomian

27

2.2. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loai I .

2 .2 . 1 . Phương pháp biến đổi Laplace

32
32

2 .2 . 2 . Phương pháp biến đổi về phương trìn h tích phân phi tuyến
Volterra loại II
C h ư ơng

35

3. P H Ư Ơ N G P H Á P SỐ VÀ Ứ N G D Ụ N G M A P L E

T R O N G T ÍN H T O Á N

39

3.1. Phương pháp cầu phương

39

3.1.1. Phương pháp cầu phương

39

3.1.2. Phương pháp cầu phương giải phương trìn h tích phân phi tuyến
Volterra

40

3.2. Ví dụ

47

KẾT LUẬN

52

T À I L IỆ U T H A M K H Ả O

53

lĩ


MỞ ĐẦ U
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học hiện đại, Giải tích số là m ột môn học quan trọng. Cùng

với sự phát triển của máy tính điện tử, giải tích số ngày càng thâm nhập
sâu vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học công nghệ, kỹ th u ậ t và kinh tế.
Giải số là lĩnh vực toán học rấ t rộng. Nó nghiên cứu các bài toán xấp
xỉ, các bài toán giải xấp xỉ phương trình và bài toán tối ưu. Lý thuyết
phương trình tích phân Volterra là m ột lĩnh vực quan trọng. Nó có nhiều
ứng dụng trong khoa học và công nghệ.
Nhà toán học Volterra bắt đầu tìm hiểu các phương trình tích phân từ
năm 1884. Tới năm 1908, các phương trình này chính thức được m ang tên
ông.
Việc giải chính xác phương trìn h này thường gặp nhiều khó khăn hoặc
không thể giải được. Do đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu m ột số
phương pháp giải gần đúng các phương trìn h này như phương pháp xấp

xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adom ia n ,... Dưới sự hướng dẫn của PG S.TS. K huất Văn Ninh tôi chọn đề tài:
" M ột số phư ơng p h áp giải x ấ p x ỉ phư ơng trìn h tích ph ân phi
tu y ế n V olterra" để làm luận văn tố t nghiệp bậc sau đại học.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân phi tuyến Volterra, một
số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra,
1


lập trình M aple trong tín h toán.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra và m ột số phương
pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến V olterra,lập trình
Maple trong tính toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại
m ột, loại hai.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình,
m ột số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần
đúng m ột số phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra cụ thể, lập trình
Maple trong tính toán.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm , nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Vận dụng m ột số phương pháp của giải tích hàm, giải tích số, lí thuyết
phương trình tích phân .
P hân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương
trìn h tích phân phi tuyến Volterra.

2


Chương 1

K IẾN THỨC C H U Ẩ N BỊ
1.1. Không gian metric
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Một tập X được gọi là không gian m etric nếu
1. Với mỗi cặp phần tử X, y của X đều xác định, theo m ột quy tắc nào
đó, m ột số thực p(xì y), gọi là "khoảng cách giữa X và y " .
2. Quy tắc nói trên thỏa m ãn các điều kiện sau đây
a) p(x , y) > 0 nếu X / ỉ/; p(x , y) = 0 nếu X = y.
b) p(x,y) — p(y,x) với \/x,y (tính đối xứng).
c) p(x, y) < p(x, z) + p(z, y) với Vx, y , z (bất đẳng thức tam giác)
Hàm số p(x,y) gọi là m etric của không gian.
V í dụ 1.1.

Tập M bất kỳ của đường thẳng R, độ dài đoạn nối X và

y : p ( x ,y ) = IX — y\ là m ột m etric. (M, p) là m ột không gian metric.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Cho không gian m etric X b ất kỳ. Một ánh xạ p từ X
vào chính nó gọi là ánh xạ co, nếu có m ột số 0 < 0 < 1 sao cho, nếu P x
là phần tử ứng với X trong ánh xạ p , ta có
V x i,x 2

ex,

p ( P x i , P x 2)

<

ỡ p ( x i , x 2).

Điểm bất động trong ánh xạ là những điểm m à ảnh của nó trùng với chính
nó.
3


Đ ịn h lý 1.1 .1 . (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co p từ một
không gian metric đủ X vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.

1.2. Không gian định chuẩn
1 .2 .1 . Đ ịn h n g h ĩa k h ô n g g ia n đ ịn h ch u ẩ n
Đ ịn h n gh ĩa 1.3.

Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là m ột không gian tuyến tính X trên trường P(P là trường số
thực M hay trường số phức C) cùng với m ột án h xạ từ X vào tập hợp số
thực, kí hiệu ||.|| (đọc là chuẩn), thỏa m ãn các tiên đề sau
1) (Wx e X)

||zỊỊ > 0, ỊỊz|| = 0 <=> X = 9.

2) (Vx e X)

(Vqí G p)

3) (V a ;,ỉ/€ X )

||aa;|| = |a |||x ||.

\\x + y\\ <||a;|| + ||ỉ/||.

Số ỊỊa^ll được gọi là chuẩn của véctơ X.

Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là các tiên đề chuẩn.
Đ ịn h lý 1.2.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kỳ

X, y € X ta đặt
d ( x ,y ) = ||z - y II,
khi đó d là một metric trên X. Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là
không gian metric.
Đ ịn h lý 1.2 .2 . Dãy điểm (x n) của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm X G X, nếu: lim I I — xỊỊ = 0 và kí hiệu lim x n = X hay
n—¥00

n—>00

x n —> x ( n —> oo).
Đ ịn h lý 1.2.3. Dãy điểm (x n) của không gian định chuẩn X gọi là dẫy
cơ bản nếu

lim ||z n — x m \\ = 0.

n,m—¥00

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
4

1 .2 .2 . V í d ụ
V í d ụ 1.2.

( L ị ' 6j, ỊỊ.||) là m ột không gian định chuẩn với chuẩn ||.|| xác

định bởi
/6
INI = Ụ
và LỊ

6j

\ 2
\x{t)\2d t j

, x e {L2[ab], ||.||)

là không gian Banach.

V í dụ 1.3. Cho không gian vecto Ỉ2 . Đối với X = (x n) b ất kỳ, X ẽ Ỉ2 ta
đặt
00

N

\x

n

\2

1.3. Chuỗi lũy thừa
1 .3 .1 . Đ ịn h n g h ĩa
00

Chuỗi lũy thừ a là m ột hàm dạng Ỵ2 ữn{x ~ x o)n trong đó x ữì ữi, a 2, . . . là
n=0
những số thực.
Điểm x ữ được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừ a
luôn luôn hội tụ tại X = Xq.
00

Nếu đ ặt y — X — x ữ thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừ a về dạng Y2 anyn)

n=0

chuỗi có tâm tại y = 0.

1 .3 .2 . Đ iề u k iệ n đ ể m ộ t h à m k h a i tr iể n th à n h ch u ỗ i lũ y th ừ a
00

Đ ịn h lý 1.3.1. Giả sử chuỗi lũy thừa

ữna;n có bán kính hội tụ R > 0
n=0

00

ữnx n, với X e (—R , R ) . Khi đó

và S ( x ) =
n= 0

5


00

a)

ĩianx n~l nhận được bằng cách đạo hàm từng số hạng tổng quát
71=0

của chuỗi lũy thừa đã cho cũng có bán kính hội tụ là R.
b) Tổng

s

là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R ) và S ' ( x ) =

00

n a nx n.
n=Q
00

an{x — Xo)n

Đ ịn h lý 1.3.2. Giả sử chuỗi lũy thừa

có

bán kính hội tụ

71= 0
00

R > 0 và f ( x ) =

an(x — x 0)n, X e (a:0 — R , x ữ + R ). Khi đó
71=0

a) / là hàm khả vi vô hạn trong (a;0 — R , x ữ + R )

u „ _ f {nKx o),„
b) ữn

„

yX 3^0) )

n\

Vx € {xo — R , x 0 + R )

Chứng minh. Áp dụng định lý 1.4.1 ta có / là hàm khả vi trong khoảng
+00

n a n(x — £ 0)n_1; khi đó f ' ( x 0) = dị. Áp

(¿Co — R , x ữ + R ) và f ' ( x ) =
71=1

dụng định lý trên cho tổng lũy thừa
+00

f ( x ) = ^ 2 n a n{x - x ữỴ - \

X G (x 0 - R , x 0 + R )

71=1

Ta suy ra rằng / là hàm khả vi đến cấp 2 và
+ 00
/ ” í®) =

n (n - l ) a n(z - x o)n~2,

X & ( xữ - R , a:0 + # )

71=1

và f ”(x0) = 2\a2.
Tiếp tục quá trình này ta đẫn đến kết luận của định lý.

□

Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Giả sử / là m ột hàm khả vi vô hạn trong m ột lân cận
.
_
,
, *. ^
f n(x 0)7
,7

X , f ' ( X0)7
nào đó của diêm Xo th ì chuôi
— Xo) = J{X0) H-----—— (£ —
71=0

!•

y /(7 l)

Xo) + . . . H-------- ^---- (X — Xo)n + . . . được gọi là chuỗi Taylor của hàm số
n\

6


f ( x ) tại điểm Xq.
00 f(n)(0)
f'(Q)
f ” (0)
Nếu Xo = 0 thì chuỗi X) ----- i— x,n = / ( 0 ) H------ị—X -ị------ ị—X2 + . . . +
n=0 n •
1'
2!
/ (n)(°)

----p— x n + . . . được gọi là chuỗi M ac-Laurin của hàm f ( x ) .
rú
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Hàm số / khai triển được th àn h chuỗi Taylor tại điểm
00

X = x ữ nếu trong khoảng hội tụ của nó chuỗi X) — — {x, —x ữ)n có tổng
n=0 n\
đúng bằng hệ số f ( x ) , tức là
f ( x ) = f { x o) + ^

1!

(x - Xo) + . . . + ^

ni

(x - Xo y

Đ ịn h lý 1.3.3. Giả sử f là hàm có đạo hàm mọi cấp trong m ột lân cận
nào đó của Xo. K í hiệu R n( x ) là phần dư dạng Lagrange của công thức
Taylor
„r+ 1

và trong lân cận của điểm x 0 : lim R n( x ) = 0 thì hàm f ( x ) có thể khai

71—^00

triển thành chuỗi Taylor tại điểm XoChứng minh. T h ật vậy, theo công thức Taylor ta có

fix) =

~ ^

(x ~ x o)k + R n{x),

Vn

k= 0

Theo giả thiết

lim R n(x) = 0 trong lân cận của điểm Xo và chú ý rằng
n—
»+ 00

Pn( x ) = ^X] — YJ—
ỉ,! ^(x —x 0)fc là tổng riêng thứ n của chuỗi Taylor của hàm
k= 0

K-

f ( x ) tại điểm Xo- Do đó, ta có

ỉ {x ) =

lim { ^—2 ^ Kl

- > +00

(x ~ x o)k + R n{x )}

k= 0
ỷ{ k) { xo)

—

I

-{x - Xo)k

k=0

7

□
Đ ịn h lý 1.3.4. Nếu trong một ổ lân cận (xo —ỏ, Xo + ổ) của điểm X q, hàm
f ( x ) có đạo hàm mọi cấp f^ n\ n = 1, 2, 3 . . . ) và tồn tại một số M > 0 để
\ f {n)(x)\ < M

(n = 1,2 .. .)(Vx € ( xQ- ố, x 0 + ố)

thì hàm f có thể khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm Xq.
Chứng minh. Theo giả thiết ta có
\ f in+1){x0 + o { x - x 0))\

|# n (z )|

O ^ T Ĩ)!

+1
1

ol

< - M , s , \x - x 0\n+l,V x e (x0 - ổ ,x 0 + ổ)
n + 1 )!

VÌ lim —— u — = 0 nên
n-H-00

^77, -|- 1 ) !

lim R n(x) = 0

n-> + 00

(Vx e (x 0 — ổ, x 0 + ỏ))

Vậy hàm f ( x ) có thể triển khai được th àn h chuỗi Taylor tại điểm Xq.

□

1.4. Phép biến đổi Laplace
1 .4 .1 . Đ ịn h n g h ĩa
Đ ịn h n gh ĩa 1.6.

Cho X > 0, biến đổi Laplace của hàm f ( x ) được xác

định và ký hiệu bởi
00

F{s ) = £ { f { x ) } = Ị e~sxf ( x ) d x ,
0
trong đó s là số thực hoặc phức, L được gọi là toán tử của phép biến đổi
Laplace. Biến đổi Laplace có thể không tồn tại.
Đ ịn h n gh ĩa 1.7. Hàm số f ( x ) được gọi là có bậc mũ a nếu tồn tại hằng
số M > 0 và m ột số a sao cho \ f ( x) \ < M .e ax ( với X > Xo).
C hú ý
Điều kiện để biến đổi Laplace F ( s ) của hàm số f ( x ) tồn tại là
8


i) f ( x ) liên tục từng khúc trên

[0 ,i4),V i4

>

0.

ii) f ( x ) có bậc mũ a.

1 .4 .2 . T ín h c h ấ t
1.

£{af(x)} = a£{f(x)},

a là hằng số

2.
£ { a f ( x ) + bg(x)} = a £ { f ( x ) } + b£{g(x)},

a,b là hằng số

3.

C{xf(x)} = - ị c { ĩ ( x ) } = - F' ( b)

1 .4 .3 . B ả n g b iế n đ ổ i L a p la c e c ủ a m ộ t số h à m th ư ờ n g g ặ p
00
fix)

F(s) = C { f ( x ) } = 1 e— f(x)dx
0

c

s > 0

s

X

4 ’

xn

rú
r (n + 1 )
S„+1 =
'1+1 .

eax

1
------- ,
s —a

s > a

s 2 + a2
s

cos ax

cos2 ax

_
e > 0, Ren >

a

sin ax

sin2 ax

s > 0

s 2 + a2
2 ữ2
s ( / + 4 ^ ) > i ỉ e ( s ) > |/ m ( a ) l
s2 4- 2n2

9

1

00

f i x)

F(s) = £ { f { x ) } = Ị e~sxf(x)dx
0
2 as

X sin ax

(s2 + 4 a 2)2
s 2 —a2

X cos ax

(s 2 + 4 a 2) 2

a

sinh ax
cosh ax
sinh 2 ax
cosh 2 ax

s 22 —ã22’

s
11
2
2
’
5
>
M
s 2 — ã2
2 a2

s (s 2 — 4 a 2) 5 * W > I M « ) I
s 2 —2a 2

s(s 2 —4a2) ’

X cosh ax

eax sin bx
eax cos bx
eax sinh bx

. .

1 ...
B«(*)>IM«)I

2 as

X sinh ax

Xneax

s > M

n\

,
(s — a )n+1

((s 22 — à2)2
2^2 ’

s > M

s 2 + a2
((s 22 — à2)2
2^ ’

s > ữ

s > a, n là m ôt sô nguyên dương
b
((s — a N
2 +1 0^
1.2 ’
)2
s — CL
({s —aỴ\22 +1 b1,225
b
((s — ữ \)22 — oL22 ’

s > a
s

ữ

s> ữ

s —a

eax cosh bx

((s — a \2
K2’
) 2 — br

H(x —a )

S~1e~as,

5 > a

a> 0

1

ô(x )
ô(x —a )

e~as,

a> 0

ố'(:r — a )

10se “ as,

a> 0


1 .4 .4 . P h é p b iế n đ ổ i L a p la c e c ủ a đ ạ o h à m
£ { / '( * ) } = s C { f { x ) } - /( 0 )
£ { r ( x ) } = s 2£ { f ( x ) } - s f ( 0 ) - f ' ( 0 )
C { f " { x ) } = S3£ { f ( x ) } - s 2/( 0 ) - 8 f ' { 0) - / ” (0)

£ { / (n)( s ) } =

s n£ { / ( z ) } -

« "-7 (0 ) -

... -

s / (n- 2) -

/ (n“ 1 } ( 0 )

1 .4 .5 . B iế n đ ổ i L a p la c e n gư ợ c
Nếu biến đổi Laplace của hàm f ( x ) là F ( s ) thì ta nói rằng biến đổi Laplace
ngược của F ( s ) là f ( x ) . Nói cách khác ta có

C - ^ F i s ) } = f(x)
trong đó c ~ l là toán tử của biến đổi Laplace ngược.
Chú ý: Biến đổi Laplace ngược có tính chất
C - ^ a F i s ) + bG(s)} = a C ^ ự i s ) } + b C ^ ị G i s ) }
= a f { x ) + bg(x)
1 .4 .6 . T íc h ch ậ p v ề b iế n đ ổ i L a p la ce
Giả sử rằng tồn tại biến đổi Laplace của hai hàm số f i ( x ) và / 2(2 ). Biến
đổi Laplace của mỗi hàm
£ { / . ( * ) } = F ,(s)

Cị Ỉ 2(x)} = F2(s )
Tích chập của hai hàm số được định nghĩa như sau

X

(/1 * / 2) 0*0 = J ỉ i ( x - t ) f 2(t)dt

11


H oặc

(/2 * /1)0*0 = Ị f 2(x - t)fị{t)dt

(/1 * /2)0*0 = (/2 * /1)0*0

Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng biến đổi Laplace của tích chập
(/1 * Ỉ 2 ){x) được cho bởi
£ { (/1 * /2)0*0} = £ {

J

fi{x - t ) f 2(t)dt } = F1(s )F2(s )

0

1.5. Phương trình tích phân
1 .5 .1 . C á c đ ịn h n g h ĩa

Cho A là toán tử từ không gian Banach X vào chính nó.
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Phương trình dạng
Ax = f

( 1. 1)

/ E X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I;
Phương trìn h dạng

X = f + XAx

(1.2)

được gọi là phương trình toán tử loại II.
ở đây tham số À trên trường số thực hoặc phức.
Khi A là toán tử tích phân th ì phương trình (1.1) và (1.2) gọi là phương
trìn h toán tử tích phân hay phương trình tích phân.
Dựa vào cận của tích phân, người ta chia ra hai loại sau
1) Nếu các cận của tích phân là không thay đổi thì phương trình tích
phân được gọi là phương trình tích phân Predholm.
12


2) Nếu ít nhất m ột cận tích phân là biến thì phương trình tích phân

được gọi là phương trìn h tích phân Volterra.
Khi Ả không tuyến tính th ì phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là các
phương trìn h phi tuyến.
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Có hai loại phương trình tích phân phi tuyến
b
Các phương trình dạng f ( x ) = J K[ x , t , u ( t ) ] d t được gọi là phương trình
a

tích phân phi tuyến loại I.
0

Các phương trình dạng u{x) = f ( x ) + A

Ị

K{x, t , u( t ) ]dt được gọi là

a

phương trình tích phân phi tuyến loại II.
Trong đó
K[ x, í, u(t)] (còn gọi là nhân hay hạch của tích phân) là các hàm số ba
biến liên tục trên miền D = [a, b] X [a, 6] X R,
w(í), f ( t ) là các hàm số liên tục trên đoạn [ữ, b],

tham số A G 1 hoặc À Ẽ c .

1 .5 .2 . C á c p h ư ơ n g tr ìn h tíc h p h â n p h i tu y ế n V o lte r r a
Tùy theo sự xuất hiện của hàm ẩn u( x) m à phương trình tích phân phi
tuyến Volterra được chia th àn h các loại sau
a. P h ư ơ n g trìn h tíc h p h ân ph i tu y ế n V o lterra loại II
Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II, hàm u( x)
chưa biết xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân.
Phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại II có dạng sau
X

u( x) = f ( x ) +

Ị

K(x,t)F(u(t))dt

0
b. P h ư ơ n g trìn h tích ph i tu y ế n V o lterra loại I
Trong các phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại I, hàm phi tuyến
F( u ( x ) ) nằm trong dấu tích phân. Phương trìn h tích phân phi tuyến
13

Volterra của loại I có dạng

f (x) = Ị K(x,t)F(u(t))dt
0

c. C ác v í d ụ
Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I
Nhân gồm các hàm lũy th ù a / ( * ) = / ( * - i ) u * m
0
X

Nhân gồm các hàm mũ

m =/

eA(*“ í)u 2(t)d t

0
X

Nhân gồm các hàm hypebolic f ( x ) = / cosh[A(x — t)]u2(t)dt
0
X

Nhân gồm các hàm logarit f ( x ) = / ln (z — t ) u 2(t)dt

N ht o g ầ m c 4c h à m , Ợng g i4 c / ( , H / c o s[^

- i ) W i )d, .

0
Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
N hân gồm các hàm lũy thtta / M

= «(*) - A /
0

a;

Nhân gồm các hàm mũ /(a;) = w(a:) + A

Ị
0

Các phương trình tích phân Volterra dạng khác
X

u ị x ) = I t u 2( t ) d t -----X4 + X,

0 < X< 1

0
14

ex(x~ ^ u 2( t ) dt . ..


u(x) =

J x u 2( t ) d t

----- X4 + X,

0 < X< 1

0
X

u(x) =

Ị

x u 2( t ) d t

—

2x,

0 <

X

<

1

0
1 .5 .3 . S ự tồ n tạ i n g h iệ m c ủ a cá c p h ư ơ n g tr ìn h tíc h p h â n p h i
tu y ế n V o lte r r a
Cho phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
X

u{x) = f { x )

+

/

G[x , t, u ( t ) ] d t

0
Đ ịn h lý 1.5 .1 . Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn thì phương trình
tích phân Volterra có nghiệm duy nhất
i) Hàm f ( x ) liên tục trên [a,b].
ii) Hàm G ( x , t , u ( t )) là khả tích và bị chặn \ G( x, t , u( t ) ) \ < k trong
a < x , t < b.
iii) Hàm G ( x :t , u ) xác định trên tập [a, 6] X [a, 6] X M thỏa mãn điều
kiện Lipschitz: 3 M > 0 sao cho \ G( x , t , Uị ) — G( x , t , U2 )\ < M \ u i —
u 2 1,

V iíi,w 2 e l R .

V í dụ 1.4. Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra
X

u(x)

=

2x +

1 +

J

x\u(t)\dt,

0 <

ÍC <

1

(1.3)

0
i) Hàm số f ( x ) — 2x + 1 xác định trên [0,1]
ii) Hàm số f ( x ) = 2x + 1 liên tục trên [0,1].
T h ật vậy, VíCo ẽ (0,1) ta có lim (2x + 1) = 2xq + 1 = f ( x o). Do đó
X —¥ X 0

15


hàm số đã cho liên tục trên (0,1)

(*).

M ặt khác
lim f ( x ) = lim ( 2x + 1 ) = 1 = / ( 0 )

a;->0+

X-1-0+

lim f(x) = lim ( 2x + 1 ) = 3 = / ( 1 )

x—tl~

x-¥l~

Do đó kết hợp với (*) suy ra hàm số đã cho liên tục trên [0,1].
iii) Hàm G [ x ,t,ũ \ = a;|w(í)| xác định trên
D = {0 < x , t < 1, —oo < u < +oo}
iv) V«1 , u 2 e C [0 ,1], ta có

|G(*><>«i(í)) - G(x,i,tí 2(í))| < ||«i(t)| - |ti2(í)|| < |«i(t) - «ỉ(t)l
( 1 .4 )
Đ ặt L = 1. Ta thấy G ( x ì t , u ) thỏa m ãn điều kiện Lipschitz.

1.6. Lập trình trong Maple
Các th u ậ t toán giải xấp xỉ phương trìn h tích phân phi tuyến khi thực hiện
trên máy tính với các phần mềm hỗ trợ sẽ đ ạt hiệu quả cao hơn rấ t nhiều.
Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu phần mềm Maple, phần mềm hữu
ích trong tính toán.

1 .6 .1 . T ín h tíc h p h â n c ủ a h à m f ( x ) tr ê n đ o ạ n [a,b]
T ính tích phân của hàm f ( x ) trên đoạn [a, b] bằng dòng lệnh có cú pháp
như sau [> i n t ( f ( x ) , x = a..6);
Sau khi thực hiện lệnh ta sẽ có ngay đáp số.

16


1 .6 .2 . V ò n g lặp f o r
Cấu trúc cú pháp
fo r name from start by change to finish
do
statem ent sequence
od;
Chức năng
Vòng lặp fo r được dùng để lặp m ột chuỗi các bài toán được đ ặt giữa
do và od mỗi lần lặp tương ứng với m ột giá trị phân biệt của biến chỉ số

name đứng sau từ khóa for. Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ
số. Nếu giá trị của biến name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish th ì chuỗi
lệnh nằm giữa do và od được thực hiện, sau đó biến name được gán trị
tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá trị change. Sau đó, biến name
được so sánh với finish để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có
được tiếp tục nữa không? Quá trìn h so sánh biến chỉ số name và thực hiện
chuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá trị của biến name lớn hơn giá
trị finish. Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị vượt quá finish đầu
tiên.
Trường hợp muốn th o át khỏi từ giữa vòng lặp, ta có thể dùng các câu
lệnh break, quit, return.

1 .6 .3 . L ện h đ iề u k iệ n if
Cấu trúc cú pháp
if condition then
statem ent sequence

I elif condition then

statem ent sequence

I else statem ent sequence I
17

I


fi;
Chức năng
Nếu muốn m ột dãy biểu thức được thực hiện khi điều kiện nào đó được
thỏa m ãn và m ột dãy biểu thức khác được thực hiện nếu trá i lại nó có
thể dùng câu lệnh if - then - else - fi. Trong câu lệnh trên, nếu điều kiện
condỉtion là đúng th ì chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếu
trá i lại thì điều kiện condition sau từ khóa elif sẽ được kiểm tra, nếu nó
đúng th ì chuỗi lệnh tương ứng sau then được thưc hiện, cứ tiếp tục cho
đến khi các điều kiện condition đều không thỏa m ãn, thì các biểu thức sau

lệnh else được thực hiện.
Lưu ý rằng cấu trúc lệnh (tùy chọn) elif . . . then .. . được lặp lại với số
lần tù y ý. Từ khóa elif là dạng viết tắ t của else if
Các biểu thức điều kiện ( condition) được sử dụng trong câu lệnh ỉ/p h ả i
được tạo th àn h từ các bất đẳng thức, các đẳng thức ( các phép toán quan
hệ), các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị
logic. Nếu trá i lại thì sẽ gây ra lỗi.

1 .6 .4 . M ộ t số lệ n h k h á c
Lệnh evalf(p,m) là lệnh tính giá trị của đại lượng p chính xác tới m con
số.
Hàm Sum (f,k) hoặc S um (f,k= n..m ): lấy tổng các số hạng.

Hàm Solve: solve(eqnsl(x), eqns2(y),x,y): giải phương trình hoặc hệ
phương trình.
Hàm lprint(btl, b t2 ,...) với b t l,b t 2 ,... là các biểu thức cần in ra. Hàm
lprint hiển thị kết quả của phép toán dưới dạng lệnh vào của Maple và kết
quả đó nằm ngay bên trái m àn hình.
Hàm subs(x=a, expr) là hàm thay thế X trong biểu thức expr bởi biểu
thức a.

18


Chương 2

M ỘT SỐ PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI
X Ấ P XỈ PH Ư Ơ N G TR ÌN H TÍCH
P H Â N PH I T U Y Ề N VOLTERRA
ở chương này chúng tôi giới thiệu m ột số phương pháp giải tích giải xấp
xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra với giả sử rằng các phương
trìn h này tồn tại nghiệm.

2.1. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II thường được giải
bằng ba phương pháp sau: phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp
chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian (ADM).

2 .1 .1 . P h ư ơ n g p h á p x ấ p x ỉ liê n tiế p
Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
X

( 2 . 1)

0

19