Quan hệ vuông góc trong đề thi đại học

DẠNG 1 : CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC
Dạng 1.1 : Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Bài 1 : B – 2002
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BB1, CD và A1D1. Chứng minh : MP vuông góc với C1N.
Bài 2 : A – 2007
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAD) là
tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,
BC và CD. Chứng minh rằng : AM vuông góc với BP.
Bài 3 : B – 2007
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N là trung điểm của AE, BC. Chứng
minh : MN

⊥ BD.

Bài 4 : D – 2007
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, trong đó
= a; AD = 2a. Chứng minh SC

⊥

CD biết SA = a

2

Bˆ = Aˆ = 900 ;

BA = BC

và SA vuông góc với đáy.

Bài 5 : CĐ – 2009
Cho hình tứ giác đều, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a
lượt là trung điểm của SA, SD, DC. Chứng minh : MN

⊥

SP.

2.

Gọi M, N, P lần


Dạng 1.2 : Tính vng góc của hai mặt phẳng
1. Các ví dụ mẫu :
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng:

( SBD) ⊥ ( ABCD)

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
b) Gọi BE, DF là hai đường cao của ∆SBD. CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC).

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC, D
a 6
là điểm đối xứng với A qua I, SD ⊥ ( ABC ), SD =
. Chứng minh rằng:
2
a) ( SBC ) ⊥ ( SAD)

b) ( SAB) ⊥ ( SAC )

2. Bài tập :
Bài 1 : B – 2006
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2 a, SA = a
và SA vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD . Chứng minh (SAC) vng góc với
mặt phẳng (SMB).
Bài 2 : A – 2003
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vng cạnh a, AA’ = b. Gọi M
là trung điểm của CC’. Xác định tỉ số a/b để hai mặp phẳng (A’BD) và (MBD) vng góc.
Bài 3 : ĐH Hải Phòng – 2006
Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vng góc
với đáy. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh mặt phẳng (SAI) vng góc với mặt phẳng
(SBC).
Bài 4 :
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vng tại C, hai mặt bên (SAB) và (SAC)
cùng vng góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Chứng minh
mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ADE).
Bài 5 :


Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với
(P) tại A; M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN =
v. Chứng minh rằng a.(u + v) = a2 + u2 là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và
(SMN) vuông góc với nhau.
Bài 6 :
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạch bằng a. Hai nửa đường thẳng Bx và
Dy vuông góc với (P) và ở cùng một phía với (P). M và N là hai điểm di động tương ứng trên
Bx và Dy. Đặt BM = u và DN = x.
a) Tìm mối liên hệ giữa u và v để (MAC) vuông góc với (NAC)

b) Giả sử ta có điều kiện ở ý a, chứng minh (MAN) vuông góc (CMN)


DẠNG 2 : CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH
Dạng 2.1 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đường thẳng
1. Các ví dụ mẫu :
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA=2a,
a) Tính d ( A,( SBC ))
b) Tính d ( A,( SBD))
Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,

( SAB) ⊥ ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d ( I ,( SFC ))
Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH ⊥
(ABC)
a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)

2. Bài tập :
Bài 1 : D-2011
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a,

·
( SBC ) ^ ( ABC ), SB = 2a 3, SBC
= 300 . Tính d ( B,( SAC ))
Bài 2 : D – 2002
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC), ngoài ra ta có AC = AD =
4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Bài 3 :

Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a và vuông góc với đáy. Giả sử AB = BC = 2a; góc
ABC bằng 1200. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 4 : Đề thi thử THPT QG – Tỉnh Thanh Hóa


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc DAB bằng 120o. Hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa mp(SBC) và mặt đáy bằng 600.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 5 : Đề thi thử THPT QG – Chuyên Vĩnh Phúc
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB.
Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh CI, góc giữa
SA và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SBC).


Dạng 2.2 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1:
+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’
+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách 2:
+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
+ Khi đó d (d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P )) với A là một điểm bất kỳ thuộc d

Chú ý : mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm B ∈ d '
dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)).

1. Các ví dụ mẫu :
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên bằng a 2 . Tính d ( AD, SB ) .
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là
tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính d ( SA, BD )

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
a 2
. Tính d ( AB, CB ') ?
AA ' =
2

2. Bài tập :
Bài 1 : D – 2008
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông có BA = BC =
a, cạnh bên AA’ = a

2.

Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng AM và B’C.
Bài 2 : B – 2007
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AE và
BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC theo a.
Bài 3 : A – 2006
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.


Bài 4 : A – 2004
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh AB =
chéo AC = 4, SO =

2 2

5,

đường

và SO vuông góc với mp(ABCD), trong đó O là giao

điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BM.


Dạng 2.3 : Xác định đường vuông góc chung
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để dựng đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau ta có thể tiến hành theo các
phương pháp sau:
Cách 1 :
Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a
Bước 2) Chọn M trên a dựng MH vuông góc với mặt phẳng (P) tại H( bản chất là tìm hình
chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) )
Bước 3) Từ H ta dựng đường thẳng a’ song song với a cắt b tại B
Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt mặt phẳng (P) tại A thì AB là đoạn
vuông góc chung
A
M
a

H
P

a’

B
b

Cách 2 :
Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O
Bước 2) Tìm hình chiếu vuông góc b1 của b trên mặt phẳng (P). Dựng hình chiếu vuông góc
của O trên b1 là H
Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A thì đoạn AB là đoạn vuông góc
chung

A

B

O

a

H

b1

b

Cách 3 : Dùng khi a vuông góc với b
Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a tại A
Bước 2) Dựng AB vuông góc với b tại B thì AB là đoạn vuông góc chung

a

b
A

B

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 :

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a tâm O. SA vuông

góc với ABCD và SA=a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
a) SB và AD

b) SC và BD

c) SB và CD d) SC và AD

e) SB và AC

Bài 2 : B – 2002
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng
A1B và B1D bằng cách dựng đường vuông góc chung.
Bài 3 : Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định và tính độ dài đường
vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh

SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của hai
đường thẳng AB và SC.
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc
với đáy. Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB.


DẠNG 3 : CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN
DẠNG 3.1 :

XÁC ĐỊNH GĨC

. Góc giữa hai đường thẳng:
• a′//a, b′//b ⇒ ( a¶, b ) = ( a· ', b ' )
r r
r
r
• Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u, v ) = α .
Khi đó:

( a¶, b ) = α

nếu 00 ≤ α ≤ 1800
nếu 900 < α ≤ 1800

0
180 − α
• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì ( a¶, b ) = 00

0 0 ≤ ( a¶, b ) ≤ 900
Chú ý:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Xác đònh góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
• Tìm giao điểm O của a với (P).
• Chon điểm A ∈ a và dựng AH ⊥ (P). Khi đó ·AOH = (a· ,(P ))
Góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các
cách sau:
• Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q). Khi đó: ( (·P ),(Q) ) = ( a¶, b ) .
 a ⊂ ( P), a ⊥ c
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ ( (·P ),(Q) ) = ( a¶, b )


 VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,
( SAB) ⊥ ( ABCD) , H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc
với mặt phẳng đáy, SA = a 6 . Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB)
b) AC và (SBC)
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).


Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân
·
AB=AC=a, BAC
= 1200 , BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa
hai mp(ABC) và (AB’I).

 BÀI TẬP :
Bài 1 : A – 2008
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là tam giác
vuông tại A có AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng AA’ và B’C’.
Bài 2 : B – 2008
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB, BC. Tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Bài 3 : A – 2004
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5 , AC = 4 và chiều
cao của hình chóp là SO = 2 2 , ở đây O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là
trung điểm của SC. Tìm góc giữa hai đường thẳng SA và BM.
Bài 4 : A – 2003
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm số đo của góc tạo bởi hai mặt
phẳng (BA’C) và (DA’C).
Bài 5 :
ˆ = 600.
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, CAB
Đoạn SA = a và vuông góc với (P). Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SBC).


DẠNG 3.2 :

XÁC ĐỊNH GÓC CÓ ĐIỀU KIỆN

Bài 1 :
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, góc CAB

bằng 600, đoạn SA = h và SA vuông góc với (P). Tìm h sao cho góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SBC) bằng 600.
Bài 2 :
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đoạn SA cố định
vuông góc với (P) tại A. M, N lần lượt là hai điểm di động trên cạnh BC và CD.
Đặt BM = u và DN = v. Chứng minh rằng : a.(u + v) + uv = a2 là điều kiện cần và
đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 450.
Bài 3 :
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC với AB = AC, góc
BAC bằng α. Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mặt phẳng (C’MB) tạo với
đáy (ABC) một góc bằng β. Chứng minh :
a) Góc C’BC bằng β.
b) tan

α
= cosβ
2

là điều kiện cần và đủ để BM vuông góc với MC’.