CÁC DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ 11 HAY

Phương pháp giải tốn Đại số 11
CHƯƠNG 11
CHƯƠNG

CÔN
NG
G THỨ
THỨC
C LƯ
LƯN
NG
G GIÁ
GIÁC
C
CÔ

I. HỆ THỨC CƠ BẢN

sin

1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:

tang

OP = cos a
OQ = sin a
AT = tan a
BT ' = cot a

Q

Nhận xét:
• ∀a, − 1 ≤ cos a ≤ 1; − 1 ≤ sin α ≤ 1
• tana xác đònh khi a ≠

O

B

T

T'

cotang

M
α

p

A

cosin

π
+ kπ , k ∈ Z ,
2

• cota xác đònh khi a ≠ kπ , k ∈ Z
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư

Giá trò lượng giác
Sina
Cosa
Tana
Cota

I

II

II

IV

+
+
+
+

+
–
–
–

–
–
+
+

–

+
–
–

3. Hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1;
1 + tan 2 a =

1
2

cos a

tana.cota = 1
; 1 + cot 2 a =

1
sin 2 a

4. Cung liên kết:
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(− a) = cos a

sin(π − a) = sin a

sin(−a) = − sin a

cos(π − a) = − cos a

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Cung phụ nhau
π


sin  − a ÷ = cos a
2

π

cos  − a ÷ = sin a
2

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
tan(− a) = − tan a

tan(π − a) = − tan a

cot(− a) = − cot a

cot(π − a) = − cot a

π


tan  − a ÷ = cot a
2

π

cot  − a ÷ = tan a
2


π
2

Cung hơn kém π

Cung hơn kém

sin(π + a) = − sin a

π

sin  + a ÷ = cos a
2


cos(π + a) = − cos a

π

cos  + a ÷ = − sin a

2


tan(π + a) = tan a

π

tan  + a ÷ = − cot a
2


cot(π + a) = cot a

π

cot  + a ÷ = − tan a
2


5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
0

π
6

π
4

π
3

π
2

2π
3

3π
4

π

3π
2

2π

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

–1

0

1

tan

0

3

3

1

3

3

1

3
3

cotg

0

−

1
2

−

2
2

− 3

–1

3
3

–1

−

0

0

0

II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b

tan a + tan b
1 − tan a.tan b
tan a − tan b

tan(a − b) =
1 + tan a.tan b
tan(a + b) =

cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b

Hệ quả:

π
 1 + tan x
π
 1 − tan x
tan  + x ÷ =
, tan  − x ÷ =
4
 1 − tan x
4
 1 + tan x

III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
tan 2a =

2 tan a
1 − tan 2 a

2. Công thức hạ bậc:

; cot 2a =

cot 2 a − 1
2 cot a

3. Công thức nhân ba:
sin 3a = 3sin a − 4sin3 a
cos3a = 4 cos3 a − 3cos a
3 tan a − tan3 a
tan 3a =
1 − 3tan 2 a

1 − cos 2a
sin 2 a =
2
1
+
cos
2a
cos2 a =
2
1
−
cos 2a
tan 2 a =
1 + cos 2a

a
2

4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan :
2t
a
Đặt: t = tan (a ≠ π + 2kπ ) thì: sin a =
;
2
1 + t2

cos a =

1 − t2
1 + t2

;

tan a =

2t
1 − t2

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin a + sin b = 2sin

a+b
a−b
.cos
2
2

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

tan a + tan b =

sin(a + b)
cos a.cos b

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
sin a − sin b = 2 cos

a+b
a−b
.sin
2
2

cos a + cos b = 2 cos

a+b
a−b
.cos
2
2

tan a − tan b =

sin(a − b)
cos a.cos b

cot a + cot b =

sin(a + b)
sin a.sin b

sin(b − a)
sin a.sinb


π
π
sin a + cos a = 2.sin  a + ÷ = 2.cos  a − ÷
4
4



cos a − cos b = − 2sin

a+b
a−b
.sin
2
2

cot a − cot b =

 π
 π
sin a − cos a = 2 sin  a − ÷ = − 2 cos  a + ÷

4

4
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
 cos(a − b) + cos(a + b) 
2
1
sin a.sin b =  cos(a − b) − cos(a + b)
2
1
sin a.cos b = sin(a − b) + sin(a + b) 
2
cos a.cos b =

HÀM
M SỐ
SỐ LƯ
LƯN
NG
G GIÁ
GIÁC
C
I.I. HÀ

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ

y = sin x : Tập xác đònh D = R; tập giá trò T =  −1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2π .
2π
* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 = a

* y = sin(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) xác đònh.
y = cos x : Tập xác đònh D = R; Tập giá trò T =  −1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π .
GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
2π
* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 = a

* y = cos(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) xác đònh.
π

y = tan x : Tập xác đònh D = R \  + kπ , k ∈ Z  ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
2

T0 = π .

π
* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 = a
π
* y = tan(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) ≠ + kπ (k ∈ Z )
2

y = cot x : Tập xác đònh D = R \ { kπ , k ∈ Z } ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π .

π
* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 = a

* y = cot(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) ≠ kπ (k ∈ Z ) .
* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:

 2x 
÷
 x −1

a/ y = sin 

b/ y = sin x

d/ y = 1 − cos2 x

e/ y =



g/ y = cot  x +


π
÷

3

h/ y =

c/ y = 2 − sin x

1


π
f/ y = tan  x − ÷
6

sin x + 1



sin x
cos( x − π )

i/ y =



1
tan x − 1

Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:



π
a/ y = 2sin  x + ÷+ 1

b/ y = 2 cos x + 1 − 3

c/ y = sin x

d/ y = 4 sin 2 x − 4sin x + 3

e/ y = cos2 x + 2sin x + 2

f/ y = sin 4 x − 2 cos2 x + 1



4

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

g/ y = sinx + cosx

h/ y = 3 sin 2 x − cos 2 x

i/ y = sin x + 3 cos x + 3

Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a/ y = sin2x

b/ y = 2sinx + 3

c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx

e/ y = sin4x

f/ y = sinx.cosx

g/ y =

sin x − tan x
sin x + cot x

h/ y =

cos3 x + 1
sin3 x

i/ y = tan x

Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:

a/ y = sin 2 x

d/ y = sin 2 x + cos

b/ y = cos
x
2

g/ y = 2sin x . cos3 x
ĐS:

a/ π .

c/ π .

b/ 6π.

x
3

c/ y = sin2 x
3x
2x
− sin
5
7

e/ y = tan x + cot 3x

f/ y = cos

h/ y = cos2 4 x

i/ y = tan(−3x + 1)

d/ 4π. e/ π. f/ 70π.

g/ π.

h/

π
.
4

i/

π
3

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC
1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác:
– Tìm tập xác đònh D.
– Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
– Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
x ∈  0, T0  hoặc

 T T 
x ∈ − 0 , 0  .
 2 2

– Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
–

r
r
v
=
k
.
T
.
Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ
0 i về bên
r
trái và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vò trên trục Ox).

2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến
đồ thò y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía
dưới trục hoành a đơn vò nếu a < 0.

GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x)

qua trục hoành.
f ( x ), nếu f(x) ≥ 0
c/ Đồ thò y = f ( x ) = -f(x), nếu f(x) < 0 được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách



giữ nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ
thò y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
y

Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:  −1, 1 .

−

−π

3π
2

y = sinx

1

−

π
2

π
2

0

– Chu kỳ: T = 2π.

π

2π

3π
2

x

5π
2

–1

– Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π 
x0y
1
0
0

0

–1

r

r

– Tònh tiến theo véctơ v = 2kπ .i ta được đồ thò y = sinx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
 π
– Hàm số đồng biến trên khoảng  0, ÷ và nghòch biến trên
 2
y

Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.

π

 , π ÷.
2

y = cosx

1

– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:  −1, 1 .

−

3π

2

−π

−

0

π
2

π
2

π

3π
2

2π

5π
2

x

–1

– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π  :

x0y
1

0

1

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
–1
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

0

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

–

r
r
v
=
2
k
π
.
i ta được đồ thò y = cosx.
Tònh tiến theo véctơ

Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.


– Hàm số nghòch biến trên khoảng  0,


π
÷ và nghòch biến trên khoảng
2

 3π 
π ,
÷.
2 


Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx.
π

– Tập xác đònh: D = R \  + kπ , k ∈ Z 
2

y



– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:

y = tanx

lim y = ∞
x →±

π
2

π
⇒ x = ± : là tiệm cận đứng.
2

−

π

3π
2

−

π
2

π

O π
2

2π

3π
2

5π
2

x

– Chu kỳ: T = π.
 π π
– Bảng biến thiên trên  − , ÷ :
 2 2

x0y
0

+∞

–∞
–

r

r

Tònh tiến theo véctơ v = kπ .i ta được đồ thò y = tanx.

Nhận xét:

– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R \ { kπ , k ∈ Z }

y

– Tập giá trò: R.

y = cotx

– Giới hạn:
lim y = + ∞, lim y = − ∞

x→ 0

x→ x

−2 π

−

3π
2

−π

−

π

2

O

π
2

π 3π
2

2π

x

tiệm cận đứng: x = 0, x = π.
GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn  0, π  :
x0y
0

+∞

–∞
r

r

– Tònh tiến theo véctơ v = kπ .i ta được đồ thò y = cotx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D.
Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx.
– Vẽ đồ thò y = sinx.
– Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
y
1

–2π

−

3π
2

−π

−

O

π
2

y = –sinx

π

π
2

3π
2

2π

x

–1

Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx
sin x , nếu sin x ≥ 0
y = sin x = 
-sin x, nếu sin x < 0.

y
1
y = /sinx/
π

−

π

2

O

π
2

π

3π
2

2π

x

Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thò y = cosx.

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò y = 1 + cos x bằng cách tònh tiến đồ thò
y = cos x lên trục hoành 1 đơn vò.

– Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π  :
x0πy = cosx1
0
–1
01y = 1 + cosx2
1
0
12

y
2
y = 1 + cosx

1

y = cosx
−
π

π
−
2

O

3π
2

π

π
2

x

–1

Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π  :
x02x0y = sin2x
0
–1
01
0

y
1

GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho
họcπ sinh đi Odu học.
π
π
−

2

−

4

4

–1

y = sin2x

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12
π
2

3π
2

π

5π
4

x


Phương pháp giải tốn Đại số 11

Ví dụ 9: Vẽ đồ thò y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π  :
x02x0y = cos2x
–1

01
0
–1

y
1
y = cos2x
π
2

O

π
4

π
4

3π
4

π
2

x

–
1



π
Ví dụ 10: Vẽ đồ thò y = sin  x + 4 ÷ có x–000
chu kỳ T = 2π.



y
1
GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
2 /2
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

−π

−

3π
4

−

π
2

−

π
4

O

− 2 /2

–1

π
4

π
2

–1

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12
y = sin

3π
4

π

5π
4

3π
2

7π
4

x


Phương pháp giải tốn Đại số 11

0
1

0


π
Ví dụ 11: Vẽ đồ thò y = cos  x − 4 ÷ có chu kỳ T = 2π.




x–00

–1

0
1

GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải tốn Đại số 11

π
Ví dụ 12: Vẽ đồ thò y = sin x + cos x = 2 sin  x + 4 ÷ có chu kỳ T = 2π.




x–00–1010

–1

–1
0
1
1
0
y
2

−π

1
−

3π
4

−

π
2

−

π
4

O
− 2

π
4

–1
1
π 1
2

y
2

0
1

1
3π
−
4

π
−
2

π
−
4

O

3π
4

π

5π
4

3π
2

x

7π
4

0
1
1

–1

−π

y=

π
4

π
2

3π
2

y=

π

5π
4

3π
2

7π
4

x

x0cosx–1010–1sinx0–1010cosx
– sinx–10110–1–1

π
Ví dụ 13: Vẽ đồ thò y = cos x − sin x = 2 1cos  x + 4 ÷ có chu kỳ T = 2π.


0
1
1

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

0
1
1



Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

y

y
2

2
1

−π

−

3π π
−
4
2

−

π
4

o
−1

1

y = cosx – sinx
π
4

π
2

3π

4

π

5π
4

−π

x

−

3π
4

−

π
2

−

π
4

o

y = cosx – sinx

π
4

π
2

3π
4

π

5π
4

x

− 2

Ví dụ 14: Vẽ đồ thò y = tanx + cotx.
 π

– Tập xác đònh: D = R \ k . , k ∈ Z 
 2

– Chu kỳ T = π.



x0tanx–101cotx 0–110y =
tanx + cotx

–∞

2

GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

–∞+∞

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


2
+∞y

Phương pháp giải tốn Đại số 11

y = tanx + cotx

4 3
3

2

−

π
2

−

π
π
−
3
4

−

π
6

π
4

O

π
3

π
2

x

–2
4 3
3

II. PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH LƯ
LƯN
NG
G GIÁ
GIÁC
C
II.
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sinα
 x = α + k 2π
a/ sin x = sin α ⇔  x = π − α + k 2π (k ∈ Z )

sin x = a. Điều kiện : − 1 ≤ a ≤ 1.
b/ sin x = a ⇔  x = arcsin a + k 2π
 x = π − arcsin a + k 2π (k ∈ Z )

c/ sin u = − sin v ⇔ sin u = sin(− v)
π

− v÷
2


d/ sin u = cos v ⇔ sin u = sin 
e/

 π
sin u = − cos v ⇔ sin u = sin  v − ÷


2

Các trường hợp đặc biệt:
sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )
GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

sin x = − 1 ⇔ x = −

sin x = ± 1 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

2. Phương trình cosx = cosα
a/ cos x = cos α ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z )
cos x = a. Điều kiện : − 1 ≤ a ≤ 1.

b/ cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π (k ∈ Z )
c/ cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v)
π

− v÷
2


d/ cos u = sin v ⇔ cos u = cos 

π

+ v÷
2


e/ cos u = − sin v ⇔ cos u = cos 
Các trường hợp đặc biệt:
cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z )

cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z )

cos x = ± 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ sin2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

3. Phương trình tanx = tanα
a/ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z )
b/ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z )
c/ tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v)
π

− v÷
2


d/ tan u = cot v ⇔ tan u = tan 

π

+ v÷
2


e/ tan u = − cot v ⇔ tan u = tan 
Các trường hợp đặc biệt:
tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

tan x = ± 1 ⇔ x = ±

π
+ kπ (k ∈ Z )

4

4. Phương trình cotx = cotα
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z )
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z )
GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

Các trường hợp đặc biệt:
cot x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

cot x = ± 1 ⇔ x = ±

π
+ kπ (k ∈ Z )
4

5. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa
căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ≠

π
+ kπ (k ∈ Z ).
2

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z )
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k

π
(k ∈ Z )
2

* Phương trình có mẫu số:
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z )
•
π
+ kπ (k ∈ Z )
2

•

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

•

tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

•

cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

π
(k ∈ Z )
2

π
(k ∈ Z )
2

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các
cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.

Bài 1. Giải các phương trình:


π
1) cos  2 x + ÷ = 0
6


π
2) cos  4 x − ÷ = 1
3

π

3) cos  − x ÷ = −1

5



π
4) sin  3 x + ÷ = 0
3


x π
5) sin  − ÷ = 1
2 4

π

6) sin  + 2 x ÷ = −1
6










GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

7) sin ( 3 x + 1) =

(

1
2

)

8) cos x − 150 =

x π
3
9) sin  − ÷ = −
2
2 3

2
2

π

1
− 2x ÷= −
11) tan ( 2 x − 1) = 3

2
6


(

10) cos 


π
13) tan  3 x + ÷ = −1
6





π
14) cot  2 x − ÷ = 1
3


)

12) cot 3 x + 100 =

3
3

15) cos(2x + 250) = −



2
2

Bài 2. Giải các phương trình:

1) sin ( 3 x + 1) = sin ( x − 2 )



π
π
2) cos  x − ÷ = cos  2 x + ÷
3
6

3) cos3 x = sin 2 x

0
4) sin x − 120 + cos 2 x = 0



π
π
5) cos  2 x + ÷+ cos  x − ÷ = 0
3
3




6) sin 3 x + sin 



π
π
7) tan  3 x − ÷ = tan  x + ÷
4
6



π
π
8) cot  2 x − ÷ = cot  x + ÷
4
3

9) tan ( 2 x + 1) + cot x = 0

2
10) cos x + x = 0





(



(





(
12) tan ( x

)

)





)

2





)

+ 2 x + 3 = tan 2

14) sin 2 x =

13) cot 2 x = 1



π x 
− ÷= 0
 4 2



2
11) sin x − 2 x = 0

15) cos x =



1
2

π
2
2
16) sin  x − ÷ = cos x
4

1
2





II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Dạng
asin x + b sin x + c = 0

Đặt
t = sinx

−1 ≤ t ≤ 1

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cosx

−1 ≤ t ≤ 1

a tan 2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

x≠

a cot 2 x + b cot x + c = 0

t = cotx

2

Điều kiện

π
+ kπ (k ∈ Z )
2
x ≠ kπ (k ∈ Z )

Nếu đặt: t = sin2 x hoặc t = sin x thì điều kiện : 0 ≤ t ≤ 1.
Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0
GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0
Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
tan 2 x + ( 1 − 3 ) tan x − 3 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x

4)

4sin 2 x − 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0

6) 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x

7) tan2x + cot2x = 2

8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

5)

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 4sin23x + 2 ( 3 + 1) cos3 x − 3 = 4

2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13

4)

5)
7)

3
+ tan2x = 9
cos x
1
2

sin x

cos2 x

− ( 3 + 3 ) tan x − 3 + 3 = 0

6) 9 – 13cosx +

= cotx + 3

8)

9) cos2x – 3cosx = 4 cos2
Bài 3. Cho phương trình

1

x
2

1

4
1 + tan 2 x

=0

+ 3cot2x = 5

2

cos x

10) 2cos2x + tanx =

4
5


sin 3 x + cos3 x  3 + cos 2 x
. Tìm các nghiệm của
 sin x +
÷=
1 + 2sin 2 x 
5


phương trình thuộc ( 0 ; 2π ) .
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm

của phương trình thuộc ( −π ; π ) .



4
4
Bài 5. Giải phương trình : sin x + sin  x +

π
π 5
4

÷+ sin  x − ÷ = .
4

4 4

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
•

Chia hai vế phương trình cho
a

(1) ⇔
•

Đặt: sin α =

a
2

a +b

2

a 2 + b2
, cos α =

phương trình trở thành:

a2 + b2 ta được:
b

sin x +

a2 + b2

b
2

a +b

2

cos x =

c
a 2 + b2

( α ∈ 0, 2π )

sin α .sin x + cos α .cos x =

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

c
a2 + b 2
Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải tốn Đại số 11
⇔ cos( x − α ) =

•

2

a +b

2

= cos β (2)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c

≤ 1 ⇔ a2 + b 2 ≥ c 2 .

a2 + b2

•

c

(2) ⇔ x = α ± β + k 2π (k ∈ Z )

Cách 2:
a/ Xét x = π + k 2π ⇔

x π
= + kπ có là nghiệm hay không?
2 2
x
2

b/ Xét x ≠ π + k 2π ⇔ cos ≠ 0.
x
2t
1 − t2
t
=
tan
,
thay
sin
x
=
,
cos
x
=
, ta được phương trình bậc hai theo t:
Đặt:
2
1 + t2
1 + t2
(b + c)t 2 − 2at + c − b = 0 (3)

Vì x ≠ π + k 2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi:

∆ ' = a 2 − (c 2 − b 2 ) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ c 2 .

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

x
= t0 .
2

Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
a2 + b2 ≥ c2 .

3/ Bất đẳng thức B.C.S:
y = a.sin x + b.cos x ≤ a2 + b2 . sin2 x + cos2 x = a2 + b2
⇔ min y = − a2 + b2 và max y = a2 + b2 ⇔

sin x cos x
a
=
⇔ tan x =
a
b
b

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) cos x + 3 sin x = 2

2) sin x + cos x =

4) sin x + cos x = 2 sin 5 x

5)

(

6
2

3) 3 cos3 x + sin 3 x = 2

3 − 1) sin x − ( 3 + 1) cos x + 3 − 1 = 0

GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
π

+ 2 x ÷= 1
2


6) 3 sin 2 x + sin 

Bài 2. Giải các phương trình sau:

2) sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )

1) 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3
3) 8cos x =

π

− x÷
3


3
1
+
sin x cos x

4) cosx – 3 sin x = 2 cos 

2
2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6) + 2 = – 3(3cosx – 4sinx –

5) sin5x + cos5x =
6)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2

2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1

4) 2sinx – 5cosx = 5

Bài 4. Giải các phương trình sau:




π
π 3 2
π
1) 2sin  x + ÷ + sin  x − ÷ =
2) 3 cos 2 x + sin 2 x + 2sin  2 x − ÷ = 2 2


4



4



2

6

Bài 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .

Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin x + b sinx.cosx + c cos x = d (1)
2

2

Cách 1:
•

Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0 ⇔ x =

•

π
+ kπ ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1.
2

Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được:
a.tan 2 x + b.tan x + c = d (1 + tan 2 x )

•

Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a − d )t 2 + b.t + c − d = 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
(1) ⇔ a.

1 − cos 2 x
sin 2 x
1 + cos 2 x
+ b.
+ c.
= d
2
2
2

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11
⇔ b.sin 2 x + (c − a).cos 2 x = 2d − a − c (đây là phương trình bậc nhất đối với

sin2x và cos2x)
Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin 2 x + ( 1 − 3 ) sin x.cos x + ( 1 − 3 ) cos2 x = 1
2) 3sin 2 x + 8sin x.cos x + ( 8 3 − 9 ) cos2 x = 0
3) 4sin 2 x + 3 3 sin x.cos x − 2 cos2 x = 4
4) sin 2 x + sin 2 x − 2 cos2 x =

1
2

5) 2sin 2 x ( 3 + 3 ) sin x.cos x + ( 3 − 1) cos2 x = −1
6) 5sin 2 x + 2 3 sin x.cos x + 3cos2 x = 2
7) 3sin 2 x + 8sin x.cos x + 4 cos2 x = 0

(
9) (
8)

2 − 1 ) sin 2 x + sin 2 x + ( 2 + 1) cos2 x = 2
3 + 1) sin 2 x − 2 3 sin x.cos x + ( 3 − 1) cos2 x = 0

10) 3cos4 x − 4sin2 x cos2 x + sin 4 x = 0
11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin x.cos x − sin2 x =
2

2 −1
2

2

Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin x – sin2x + 2cos x = 1 có nghiệm.
2

2

Bài 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos x = 0

vô

nghiệm .
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
•


π
Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos  x m ÷; t ≤ 2.


4

1
⇒ t 2 = 1 ± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1).
2
GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11

•

Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương
trình này tìm t thỏa t ≤ 2. Suy ra x.

Lưu ý dấu:
•



π
π
cos x + sin x = 2 cos  x − ÷ = 2 sin  x + ÷

4

4

•



π
π
cos x − sin x = 2 cos  x + ÷ = − 2 sin  x − ÷

4

4

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
•


π
Đặt: t = cos x ± sin x = 2. cos  x m ÷ ; Đk : 0 ≤ t ≤ 2.


4

1
⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1).
2

•

Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Bài 1. Giải các phương trình:

1) 2sin 2 x − 3 3 ( sin x + cos x ) + 8 = 0 2) 2 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 2
3) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x = −3

4) ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x + cos x ) = sin 2 x

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) ( 1 + 2 ) ( sin x + cos x ) − sin 2 x = 1 + 2
Bài 2. Giải các phương trình:

1) sin 2 x − 4 ( cos x − sin x ) = 4

2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x − cos x ) = sin 2 x

4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0


π
5) sin2x + 2 sin  x − ÷ = 1
4



2
6) ( sin x − cos x ) − ( 2 + 1) (sin x − cos x ) + 2 = 0

Bài 3. Giải các phương trình:

1) sin3x + cos3x = 1 +

(

2 − 2 ) sinx.cosx

2) 2sin2x – 3 6 sin x + cos x + 8 = 0

VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau:

GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phng phỏp gii toỏn i s 11

1) sin2x = sin23x

2) sin2x + sin22x + sin23x =

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1

3
2

4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

3
2

Baứi 2. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:

1) sin6x + cos6x =

1
4

2) sin8x + cos8x =

3) cos4x + 2sin6x = cos2x

1
8

4) sin4x + cos4x cos2x +

1
4 sin2 2x

1=0

Baứi 3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx

2) sinx(sinx cosx) 1 = 0

3) sin3x + cos3x = cos2x

4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x
6) (2sinx 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 4cos2x
7) (sinx sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x
8) sinx + sin2x + sin3x =

2 (cosx + cos2x + cos3x)

Baứi 4. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:

1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0

3) 3cosx + cos2x cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1
Baứi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:

1) sinx + sin3x + sin5x = 0

2) cos7x + sin8x = cos3x sin2x

3) cos2x cos8x + cos6x = 1

4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

Baứi 6. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:

1) sin3x + cos3x +

1



sin 2 x.sin x + ữ = cosx + sin3x

4
2

2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

CHNG II
II
CHNG

T HP
HP XC
XC SUT
SUT
T

GV:TRN NGC HIU 01659033374
Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc.

Nhn dy kốm hc sinh L6-L12


Phương pháp giải toán Đại số 11

A. TỔ HỢP

I. Qui tắc đếm
1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc
B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và
không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n
cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có
m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì
công việc đó có m.n cách thực hiện.
Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố

C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố
C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với

thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS:
có 12 đường.
Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và

về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
ĐS:
có 25.24 = 600 trận
Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng

vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số
khác nhau?
ĐS: a) 18.
b) 15.
Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội

diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn
nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các
vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
ĐS: 36.
GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12