Dáng điệu tiệm cận nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic elliptic
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (314.1 KB, 43 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN TRƯỜNG LÂM
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRẦN ĐÌNH KẾ
HÀ NỘI, 2016
i
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trần Đình Kế. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn
đề nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng
đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng
các bạn học viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Nguyễn Trường Lâm
ii
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi
xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trần Đình Kế.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
kết quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng
và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Nguyễn Trường Lâm
iii
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1. Độ đo không compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Lý thuyết tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Chương 2. Tính giải được và tính chất tập nghiệm . . . . . .
15
2.1. Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2. Tính chất tập nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Chương 3. Dáng điệu tiệm cận nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.1. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Xét hệ bất đẳng thức vi biến phân
x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq F ♣x♣tq, u♣tqq, x♣tq X, t ➙ 0,
Bu♣tq ❇ φ♣u♣tqq ◗ g ♣x♣tq, u♣tqq, u♣tq U, t ➙ 0,
x♣0q ✏ ξ,
(0.1)
(0.2)
(0.3)
với hàm trạng thái x lấy giá trị trong không gian Banach X, hàm điều
khiển u lấy giá trị trong không gian Hilbert U , A, B là các toán tử tuyến
tính, ❇ φ là dưới vi phân của phiếm hàm φ, F và g là các hàm phi tuyến.
Trong trường hợp X và U là các không gian hữu hạn chiều và φ
✏ IK
là hàm chỉ của một tập lồi đóng K trong U thì ta có một bất đẳng thức
vi biến phân hữu hạn chiều
x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq F ♣x♣tq, u♣tqq, x♣tq X, t ➙ 0,
①v ✁ u♣tq, Bu♣tq ✁ g♣x♣tq, u♣tqq② ➙ 0, ❅v K,
x♣0q ✏ ξ.
(0.4)
(0.5)
(0.6)
Đây là đối tượng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán
học sau công trình của Pang và Stewart [14] năm 2008. Dáng điệu tiệm
cận nghiệm của hệ (0.4)-(0.6) đã được nghiên cứu trong công trình [2]
ứng với một thiết lập cụ thể của hàm F và g. Tiếp theo, kết quả mở
rộng cho trường hợp vô hạn chiều được trình bày trong [3]. Bất đẳng
2
thức vi biến phân là mô hình của nhiều bài toán ứng dụng trong kinh
tế học, cơ học, mạng lưới giao thông, hệ thống mạch điện,...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết các bất đẳng thức vi
biến phân, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trần Đình Kế tôi
chọn vấn đề
"Dáng điệu tiệm cận nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân
dạng parabolic-elliptic"
cho đề tài nghiên cứu của luận văn. Các kết quả được trình bày dựa trên
công trình [3].
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các điều kiện đủ cho tính giải được và sự tồn tại tập hút
toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi hệ (0.1)-(0.3).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về bất đẳng thức biến phân;
• Tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động;
• Tìm hiểu về lý thuyết hệ động lực đa trị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: bất đẳng thức vi biến phân.
• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cận
nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Giải tích đa trị, giải tích hàm phi tuyến, giải tích biến phân;
• Lý thuyết hệ động lực đa trị trong không gian vô hạn chiều.
6. Đóng góp của đề tài
Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [3].
3
Đặt vấn đề
Giả sử ♣X, ⑥
☎ ⑥q
là không gian Banach và ♣U, ①☎, ☎②q là không gian
Hilbert. Xét bài toán
x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq F ♣x♣tq, u♣tqq, x♣tq X, t ➙ 0,
Bu♣tq ❇ φ♣u♣tqq ◗ g ♣x♣tq, u♣tqq, u♣tq U, t ➙ 0,
x♣0q ✏ ξ,
(0.8)
(0.9)
trong đó cặp hàm ♣x♣☎q, u♣☎qq lấy giá trị trong X ✂ U , φ : U
phiếm hàm chính thường (φ
(0.7)
Ñ R là một
✙ ✽), lồi và nửa liên tục dưới xác định
✂ U Ñ P ♣X q là một hàm đa trị, A là toán tử tuyến tính
sinh ra một C0 -nửa nhóm trên X, B : U Ñ U ✶ và g : X ✂ U Ñ U ✶ là các
trên U , F : X
ánh xạ sẽ được mô tả trong phần sau, ở đây ký hiệu U ✶ chỉ không gian
đối ngẫu của U .
Trong trường hợp X và U là những không gian vô hạn chiều, có thể
tìm thấy các mô hình ứng dụng cụ thể cho hệ (0.7)-(0.9) như các hệ
phương trình đạo hàm riêng. Chẳng hạn với X
✏ U ✏ L2♣Ωq, Ω ⑨ Rn
là một miền. Xét hệ phương trình parabolic-elliptic
✏ ∆Z F ♣Z, uq, trong Ω ✂ ♣0, ✽q,
∆u h♣uq ✏ g ♣Z, uq, trong Ω ✂ ♣0, ✽q,
Z ♣x, 0q ✏ Z0 ♣xq, x Ω,
Zt
(0.10)
(0.11)
(0.12)
4
trong đó Z
✏ Z ♣x, tq và u ✏ u♣x, tq là các hàm xác định trên Ω ✂ R
ứng với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann. Hệ này xuất hiện trong
sinh học khi nghiên cứu chuyển động của vi khuẩn khi có tác động của
hóa chất (xem [9]), và trong bài toán khôi phục ảnh (xem [10]). Chú
ý rằng với điều kiện thích hợp, hàm h♣uq trong (0.11) có thể viết dưới
dạng h♣uq ✏ ❇ j ♣uq, trong đó
j ♣uq ✏
với H ♣uq
✏
➩u
0
✩
➩
✬
✫ H u x dx
Ω
✽
✬
✪
nếu H ♣uq L1 ♣Ωq,
trong các trường hợp còn lại,
h♣sqds (xem [4]). Do đó trong trường hợp nêu trên hệ
(0.10)-(0.11) có dạng (0.7)-(0.9).
Ta xem xét hệ (0.7)-(0.9) như một bất đẳng thức vi biến phân trong
không gian vô hạn chiều. Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về dáng
điệu nghiệm cho hệ này còn chưa được biết đến nhiều. Mục tiêu của
luận văn là trình bày một kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm của hệ
(0.7)-(0.9) được thiết lập trong [3]. Kết quả này mở rộng kết quả trong
[2] cho hệ vô hạn chiều.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Độ đo không compact
Cho E là không gian Banach. Ký hiệu
P ♣E q ✏ tB
⑨ E : B ⑧✏ ❍✉,
B ♣E q ✏ tB P ♣E q : B bị chặn ✉.
Độ đo không compact Hausdorff (MNC) χ♣☎q là một hàm tập hợp xác
định như sau, với Ω B ♣E q,
χ♣Ωq ✏ inf t
→ 0 : Ω có ✁ lưới hữu hạn✉.
Ký hiệu L1 ♣0, T ; E q là không gian các hàm xác định trên đoạn r0, T s,
⑨ L1♣0, T ; E q
là tập con thỏa mãn với mọi f D, ⑥f ♣tq⑥ ↕ ν ♣tq với hầu khắp t r0, T s,
ở đó ν L1 ♣0, T ; Rq, khi đó ta nói D bị chặn tích phân. Xét một số
lấy giá trị trong E và khả tích theo nghĩa Bochner. Giả sử D
ước lượng thông qua độ đo không compact Hausdorff (gọi là MNC-ước
lượng) như sau.
Mệnh đề 1.1. [11] Nếu twn ✉ ⑨ L1 ♣0, T ; E q bị chặn tích phân thì
➺t
χ♣t
0
wn ♣sqds✉q ↕ 2
➺t
0
χ♣twn ♣sq✉qds,
6
với mọi t r0, T s.
Ta cũng có ước lượng tương tự cho tập không đếm được (xem [12,
Proposition 2.5]).
Mệnh đề 1.2. Giả sử D
⑨ L1♣0, T ; E q có các tính chất
1. D bị chặn tích phân,
2. χ♣D♣tqq ↕ q ♣tq với hầu khắp t r0, T s,
ở đó q
L1♣0, T ; Rq. Khi đó
χ
➺t
0
ở đây
➩t
0D
D♣sqds
✟
↕4
➺t
0
q ♣sqds,
➩t
♣sqds ✏ t 0 ξ ♣sqds : ξ D✉.
Ta sử dụng khái niệm χ-chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn T ♣T
L♣E qq như sau
⑥T ⑥χ ✏ inf tβ → 0 : χ♣T ♣B qq ↕ βχ♣B q với mọi tập bị chặn B ⑨ E ✉.
(1.1)
Ta biết rằng χ-chuẩn của T xác định bởi
⑥T ⑥χ ✏ χ♣T ♣B1qq,
với B1 là hình cầu đơn vị trong E. Ta còn có
⑥T ⑥χ ↕ ⑥T ⑥L♣Eq,
trong đó chuẩn cuối cùng trong đánh giá trên là chuẩn toán tử trong
L♣E q. Rõ ràng T là toán tử compact nếu và chỉ nếu ⑥T ⑥χ
✏ 0.
Ta nhắc lại mỗi quan hệ giữa các khái niệm k-nén và k-Lipschitz đối
với toán tử phi tuyến. Cho E˜ là một không gian Banach và χ˜ là độ đo
7
˜ Toán tử Φ : E
không compact Hausdorff trên E.
Ñ E˜ được gọi là nén
với hằng số k (k-nén) nếu
χ˜♣Φ♣Ωqq ↕ k χ♣Ωq, ❅Ω P ♣E q.
Ta biết rằng (xem [1]), nếu Φ là Lipschitz với hằng số k (k-Lipschitz),
tức là
⑥Φ♣xq ✁ Φ♣x˜q⑥E˜ ↕ k⑥x ✁ x˜⑥E , ❅x, x˜ E,
thì Φ là k-nén.
1.2. Một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm
Giả sử X là một không gian Banach. Ký hiệu L♣X q là không gian các
toán tử tuyến tính bị chặn trên X.
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng tS ♣tq✉t➙0 là một nửa nhóm các ánh xạ
tuyến tính bị chặn trên X nếu S ♣tq L♣X q với mọi t ➙ 0, và
i) S ♣0q ✏ I;
ii) S ♣tqS ♣sq ✏ S ♣t sq, ❅t, s ➙ 0.
Nửa nhóm tS ♣tq✉t➙0 gọi là một C0 -nửa nhóm (hay nửa nhóm liên tục
mạnh) nếu
lim S ♣tqx ✏ x, ❅x X.
(1.2)
tÑ0
Định nghĩa 1.2. Giả sử tS ♣tq✉t➙0 là một C0 -nửa nhóm trên X. Ta định
nghĩa toán tử sinh A của nó như sau:
D♣Aq ✏
và
✧
S ♣hq ✁ I
x X : lim
x tồn tại trong X
hÑ0
h
✯
S ♣hq ✁ I
d ♣S ♣tqxq
⑤t✏0 , ❅x D♣Aq.
Ax ✏ lim
x✏
hÑ0
h
dt
8
Ta sẽ dùng ký hiệu ♣S ♣tq, Aq khi cần chỉ rõ nửa nhóm tS ♣tq✉t➙0 sinh
bởi toán tử A. Nửa nhóm tS ♣tq✉t➙0 được gọi là compact nếu với mỗi
t → 0, S ♣tq là một toán tử compact.
Bây giờ chúng ta sẽ nêu định nghĩa nửa nhóm giải tích. Với δ
và σ
♣0, πq ta định nghĩa
♣0, πq
✏ tz C : ⑤ arg z⑤ ➔ δ, z ✘ 0✉,
∆δ ♣aq ✏ a ∆δ ✏ tz C : ⑤ arg♣z ✁ aq⑤ ➔ δ, z ✘ a✉,
Σσ ✏ tz C : ⑤ arg z ⑤ → σ, z ✘ 0✉,
Σσ ♣aq ✏ a Σσ ✏ tz C : ⑤ arg♣z ✁ aq⑤ → σ, z ✘ a✉.
∆δ
Định nghĩa 1.3. Giả sử ♣S ♣tq, Aq là một C0 -nửa nhóm trên không gian
Banach X. Ta nói rằng ♣S ♣tq, Aq là một nửa nhóm giải tích nếu tồn tại
một thác triển của S ♣tq thành ánh xạ S ♣z q xác định với mọi z thuộc
quạt ∆δ ❨ t0✉ và thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) z
ÞÑ S ♣zq là ánh xạ từ ∆δ ❨ t0✉ vào L♣X q;
(2) S ♣z1 z2 q ✏ S ♣z1 qS ♣z2 q với mọi z1 , z2
∆δ ❨ t0✉;
(3) Với mọi w
X, ta có S ♣zqw Ñ w khi z Ñ 0 trong ∆δ ❨ t0✉;
(4) Với mọi w
X, ánh xạ z ÞÑ S ♣zqw là giải tích từ ∆δ vào X.
Mỗi ánh xạ S ♣z q như trên gọi là một thác triển nửa nhóm giải tích
của S ♣tq.
ÞÑ S ♣tq liên tục trên khoảng ♣0, ✽q
theo chuẩn trong L♣X q thì ta nói nửa nhóm tS ♣tq✉t➙0 là liên tục theo
chuẩn (norm-continuous). Nếu S ♣☎q liên tục trên nửa trục r0, ✽q thì ta
Định nghĩa 1.4. Nếu ánh xạ t
nói nửa nhóm này liên tục đều.
9
Ta biết rằng mỗi nửa nhóm compact hoặc giải tích đều là liên tục
theo chuẩn (xem [8]).
Ví dụ 1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Banach X (A L♣X q). Khi đó họ toán tử
tA
e
:✏
✽ tn An
➳
n✏ 0
n!
, t R ,
là một nửa nhóm liên tục đều, do đó nó liên tục theo chuẩn.
Ví dụ 1.2. Giả sử A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không
gian Hilbert thực H thỏa mãn:
(1) A là xác định dương, tức là tồn tại a → 0 sao cho
①Au, u② ➙ a⑤⑤u⑤⑤2, ❅u D♣Aq;
(2) A có giải thức compact, tức là toán tử giải R♣λ, Aq ✏ ♣λI ✁ Aq✁1 là
compact với mọi λ ρ♣Aq.
Từ giả thiết của A suy ra phổ của A là một dãy đếm được gồm toàn giá
trị riêng thực với bội hữu hạn
0 ➔ a ↕ λ1
↕ λ2 ↕ λ3 ↕ . . . ,
và λn
Ñ ✽ khi n Ñ ✽.
Các vectơ riêng tương ứng te1 , e2 , . . . ✉ lập thành một cơ sở trực chuẩn
của H. Khi đó mỗi u H có biểu diễn
u✏
✽
➳
i✏1
①u, ei② ei.
Hơn nữa, đẳng thức Parseval sau đúng
⑤⑤u⑤⑤ ✏
2
✽
➳
i✏1
⑤ ①u, ei② ⑤2.
10
Miền xác định của toán tử A cho bởi
D♣Aq ✏
★
uH:
và toán tử A cho bởi
Au ✏
✽
➳
i✏1
✽
➳
i✏1
✰
⑤λi⑤2⑤ ①u, ei② ⑤2 ➔ ✽
,
λi ①u, ei ② ei , với u D♣Aq.
Định lí ánh xạ phổ nói rằng nếu f là một hàm giá trị thực liên tục
xác định trên phổ σ ♣Aq, thì toán tử tuyến tính f ♣Aq định nghĩa bởi
f ♣Aqu ✏
✽
➳
i✏1
f ♣λi q ①u, ei ② ei ,
ở đó miền xác định của f ♣Aq cho bởi
D♣f ♣Aqq ✏
★
uH:
✽
➳
i✏1
✰
⑤f ♣λiq⑤2⑤ ①u, ei② ⑤2 ➔ ✽
Nói riêng, khi f ♣λq ✏ e✁λt , ta có C0 -nửa nhóm sinh bởi
✽
➳
✁
At
e u✏
e✁λi t ①u, ei ② ei .
i✏1
.
✁A là
Dễ thấy te✁At ✉t➙0 thỏa mãn ba điều kiện trong định nghĩa của một
C0 -nửa nhóm và toán tử sinh của e✁At là
✁A.
Bây giờ ta chỉ rằng toán tử tuyến tính e✁At là compact với mỗi t → 0.
Thật vậy, với mỗi u H ta có
✽
➳
✁
At
✁
At
⑤⑤e u ✁ PN e u⑤⑤ ✏
e✁2λi t ⑤ ①u, ei ② ⑤2
i✏N 1
✽
➳
✁
2λN 1 t
↕e
⑤ ①u, ei② ⑤2 ✏ e✁2λN 1t⑤⑤u⑤⑤,
i✏1
ở đây PN là phép chiếu xuống không gian hữu hạn chiều sinh bởi các
vectơ riêng te1 , . . . , eN ✉. Từ đây suy ra với mỗi t
→ 0, e✁At là giới hạn
đều của một dãy các toán tử hữu hạn chiều, do đó nó là toán tử compact.
11
Định nghĩa 1.5. Cho tS ♣tq✉t➙0 là một C0 -nửa nhóm trên X. Nửa nhóm
này được gọi là:
i) Ổn định mũ nếu tồn tại các số dương M, α sao cho
⑥S ♣tq⑥L♣X q ↕ M e✁αt, với mọi t → 0;
ii) χ-giảm nếu tồn tại N, β
→ 0 sao cho
⑥S ♣tq⑥χ ↕ N e✁βt, với mọi t → 0;
Lưu ý rằng đối với C0 -nửa nhóm S ♣☎q, sự ổn định mũ suy ra tính chất
χ-giảm. Ngoài ra, nếu S ♣☎q compact thì nó χ-giảm với β
✏ ✽.
1.3. Dưới vi phân
Cho X là không gian Banach thực với đối ngẫu X ✝ . Một hàm chính
thường và lồi trên X là hàm ϕ: X
với
Ñ r✁✽, ✽s ✏ R không đồng nhất
✽ và thỏa mãn bất đẳng thức
ϕ♣♣1 ✁ λqx λy q ↕ ♣1 ✁ λqϕ♣xq λϕ♣y q,
(1.3)
X và ❅λ r0, 1s.
Hàm ϕ: X Ñ r✁✽, ✽s được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu
với mọi x, y
lim inf ϕ♣uq ➙ ϕ♣xq,
uÑx
❅x X,
hoặc tương đương mỗi tập con tx X; ϕ♣xq ↕ λ✉ là đóng.
Định nghĩa
X
1.6. Cho hàm chính thường, lồi, nửa liên tục dưới ϕ:
Ñ R. Ánh xạ ❇ϕ xác định bởi
❇ϕ♣xq ✏ tx✝ X ✝; ϕ♣xq ↕ ϕ♣yq ♣x ✁ y, x✝q, ❅y X ✉,
được gọi là dưới vi phân của ϕ.
(1.4)
12
1.4. Lý thuyết tập hút toàn cục
Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích đa trị. Cho Y
là không gian metric.
Ñ P ♣E q được gọi là:
1. Nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F ✁1 ♣V q ✏ ty Y : F ♣y q ❳ V ⑧✏ ∅✉ là
đóng trong Y với mọi tập đóng V ⑨ E;
Định nghĩa 1.7. Một ánh xạ đa trị F : Y
2. Nửa liên tục trên yếu (weakly u.s.c) nếu F ✁1 ♣V q là tập đóng trong
Y với mọi tập đóng yếu V
3. Có đồ thị đóng nếu ΓF
Y
✂ E;
⑨ E;
✏ t♣y, zq : z F ♣yq✉ là tập đóng trong
4. Compact nếu F ♣Y q là tập compact tương đối trong E;
5. Tựa compact nếu hạn chế của F trên mỗi tập compact A
⑨Y
là
compact.
Ta có các khẳng định sau.
Bổ đề 1.3 ([11, Theorem 1.1.12]). Cho G : Y
Ñ P ♣E q là ánh xạ đa trị
đóng, tựa compact và nhận giá trị compact. Khi đó G là u.s.c.
Bổ đề 1.4 ([5, Proposition 2]). Cho E là không gian Banach và Ω
là một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác. Giả sử
Ñ P ♣E q là ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi và compact yếu. Khi
đó G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu mỗi dãy txn ✉ ⑨ Ω với
xn Ñ x0 Ω và yn G♣xn q ta có yn á y0 G♣x0 q theo một dãy con.
G : Ω
Ta nhắc lại khái niệm nửa dòng đa trị và tập hút của nó (chi tiết có
thể tìm thấy trong công trình [13]). Giả sử Γ là một nhóm con của nhóm
cộng các số thực R và Γ
✏ Γ ❳ r0, ✽q.
13
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị G : Γ ✂ E
Ñ P ♣E q được gọi là một
nửa dòng đa trị nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
1. G♣0, wq ✏ tw✉, với mọi w
E.
2. G♣t1 t2 , xq ⑨ G♣t1 , G♣t2 , xqq, với mọi t1 , t2
Γ , x E,
ở đó G♣t, B q ✏ ❨xB G♣t, xq, B
⑨ E.
Nửa dòng này gọi là chặt nếu G♣t1 t2 , wq ✏ G♣t1 , G♣t2 , wqq với mọi
w E và t1 , t2 Γ . G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị
chặn B ⑨ E, tồn tại số T ♣B q → 0 sao cho γT ♣B q ♣B q là tập bị chặn. Ở đây
➈
γT ♣B q ♣B q là tập quỹ đạo sau thời điểm T ♣B q : γT ♣B q ♣B q ✏
G♣t, B q.
t➙T ♣B q
⑨ E được gọi là một tập hấp thụ của
nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⑨ E, tồn tại τ ✏ τ ♣B q ➙ 0
sao cho γτ ♣B q ♣B q ⑨ B1 .
Định nghĩa 1.9. Tập bị chặn B1
Định nghĩa 1.10. Tập A
⑨ E được gọi là tập hút toàn cục của nửa
dòng G nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
B♣E q, tức là dist♣G♣t, B q, Aq Ñ 0 khi
t Ñ ✽, với mọi tập bị chặn B ⑨ E, ở đây dist♣☎, ☎q là nửa khoảng
1. A hút mọi tập bị chặn B
cách Hausdorff trong E;
2. A là nửa bất biến âm, tức là A ⑨ G♣t, Aq, ❅t Γ .
Ta có định lý sau nói về điều kiện đủ để tồn tại tập hút toàn cục đối
với nửa dòng đa trị G.
Định lý 1.5 ([13]). Giả sử nửa dòng đa trị G có các tính chất sau:
1. G♣t, ☎q là u.s.c và nhận giá trị đóng với mỗi t Γ ;
14
2. G là tán xạ điểm, tức tồn tại K
G♣t, wq, ta có ⑥u♣tq⑥E
→
0 sao cho với w
↕ K với mọi t ➙ t0♣⑥w⑥E q;
E, u♣tq
3. G là nửa compact tiệm cận trên, tức là nếu B bị chặn trong E sao
cho tồn tại T ♣B q
với tn
→ 0, γT ♣Bq♣B q bị chặn, thì mỗi dãy ξn G♣tn, B q
Ñ ✽ là compact tương đối trong E.
Nếu G bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact A
trong E. Hơn nữa, nếu G là nửa dòng đa trị ngặt thì A là bất biến, tức
là A ✏ G♣t, Aq với mọi t Γ .
15
Chương 2
Tính giải được và tính chất tập
nghiệm
2.1. Sự tồn tại nghiệm toàn cục
Ta đưa ra các giả thiết cho bài toán (0.7)-(0.9) như sau.
(A) Toán tử A sinh ra một C0 -nửa nhóm S ♣☎q.
Ñ U ✶ xác định bởi
(B) Toán tử B : U
①u, Bv② ✏ b♣u, vq, ❅u, v U,
trong đó b : U
U
✂ U Ñ R là một dạng song tuyến tính liên tục trên
✂ U sao cho
với ηB
b♣u, uq ➙ ηB ⑥u⑥2U , ❅u U
→ 0.
(F) Ánh xạ đa trị F : X
✂ U Ñ P ♣X q
là u.s.c và nhận giá trị lồi,
compact. Hơn nữa,
(1) nếu nửa nhóm S ♣☎q không compact thì
χ♣F ♣C, Dqq ↕ p χ♣C q q U ♣Dq
với mọi tập bị chặn C
⑨ X và D ⑨ U , trong đó p, q là các hằng
16
số dương; χ và U tương ứng là độ đo không compact Hausdorff
trên X và U .
(2) tồn tại các hằng số không âm a, b, c sao cho
⑥F ♣x, uq⑥ :✏ supt⑥ξ ⑥X : ξ F ♣x, uq✉ ↕ a⑥x⑥X b⑥u⑥U c
với mọi x X, y
U.
✂ U Ñ U ✶ liên tục Lipschitz, tức là tồn tại các hằng số
dương η1 và η2 sao cho η2 ➔ ηB và
(G) Hàm g : X
⑥g♣y, vq ✁ g♣y¯, v¯q⑥U ✶ ↕ η1⑥y ✁ y¯⑥X η2⑥v ✁ v¯⑥U .
với mọi y, y¯ X và v, v¯ U .
Xét ánh xạ đa trị PF xác định bởi
PF : C ♣r0, T s; X q ✂ L1 ♣0, T ; U q Ñ P ♣L1 ♣0, T ; X qq,
PF ♣x, uq ✏ tf
L1♣0, T ; X q : f ♣tq F ♣x♣tq, u♣tqq với hầu khắp t r0, T s✉,
(2.1)
tức là, PF ♣x, uq là tập các hàm chọn của F ♣x♣☎q, u♣☎qq với mỗi ♣x, uq
C ♣r0, T s; X q ✂ L1 ♣0, T ; U q.
Ta định nghĩa nghiệm của (0.7)-(0.9) như sau.
Định nghĩa 2.1. Hàm liên tục x : r0, T s Ñ X là nghiệm của (0.7)-(0.9)
nếu tồn tại hàm u : r0, T s Ñ D♣B q và hàm chọn f
x♣tq ✏ S ♣tqξ
➺t
0
PF ♣x, uq sao cho
S ♣t ✁ sqf ♣sqds, t r0, T s,
Bu♣tq ❇ φ♣u♣tqq ◗ g ♣x♣tq, u♣tqq, t r0, T s.
Xét bất đẳng thức biến phân (0.8). Ký hiệu
S♣z q ✏ tu U : Bu ❇ φ♣uq ◗ z ✉.
Ta có kết quả sau (xem [4, Corollary 2.9]).
17
Bổ đề 2.1. Giả sử (B) thỏa mãn. Khi đó với mỗi z
ÞÑ S♣zq là Lipschitz từ U ✶ vào U .
tập một điểm. Hơn nữa, ánh xạ z
Với y
U ✶, tập S♣zq là
X cố định, xét bất đẳng thức biến phân sau
Bu ❇ φ♣uq ◗ g ♣y, uq.
(2.2)
Sử dụng bổ đề trên ta có kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất của
ánh xạ nghiệm của (2.2) như sau.
Bổ đề 2.2. Giả sử (B) và (G) thỏa mãn. Khi đó với mỗi y
X, tồn
tại duy nhất nghiệm u U của (2.2). Hơn nữa, ánh xạ nghiệm
Ñ U,
y ÞÑ u,
V:X
là liên tục Lipschitz, cụ thể
⑥V♣y1q ✁ V♣y2q⑥U ↕ η η✁1 η ⑥y1 ✁ y2⑥X , ❅y1, y2 X.
B
2
Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ S ✆ g ♣y, ☎q : U Ñ U
(2.3)
có điểm
bất động duy nhất. Trước tiên ta chứng minh
⑥S♣z1q ✁ S♣z2q⑥U ↕ η1 ⑥z1 ✁ z2⑥U ✶ , ❅z1, z2 U ✶.
(2.4)
B
Thật vậy, đặt u1
✏ S♣z1q, v2 ✏ S♣z2q, sử dụng (B) ta có
b♣u1 , u1 ✁ v q φ♣u1 q ✁ φ♣v q ↕ ①u1 ✁ v, z1 ②, ❅v
U,
b♣u2 , u2 ✁ v q φ♣u2 q ✁ φ♣v q ↕ ①u2 ✁ v, z2 ②, ❅v U.
Thay v
(2.5)
(2.6)
✏ u2 trong (2.5) và v ✏ u1 trong (2.6), kết hợp hai bất đẳng
thức này, ta có
b♣u1 ✁ u2 , u1 ✁ u2 q ↕ ①u1 ✁ u2 , z1 ✁ z2 ②.
18
Từ đây ta nhận được
⑥u1 ✁ u2⑥U ↕ η1 ⑥z1 ✁ z2⑥U ✶ ,
B
nhờ giả thiết b♣u1 ✁ u2 , u1 ✁ u2 q ➙ ηB ⑥u1 ✁ u2 ⑥2U .
Cố định y
X. Xét ánh xạ S ✆ g♣y, ☎q : U Ñ U . Sử dụng (2.4), ta có
⑥S♣g♣y, u1qq ✁ S♣g♣y, u2qq⑥U ↕ η1 ⑥g♣y, u1q ✁ g♣y, u2q⑥U ✶
↕
Do η2
B
η2
⑥u1 ✁ u2⑥U .
ηB
(2.7)
➔ ηB , u ÞÑ S ✆ g♣y, uq là ánh xạ co, nó có điểm bất động duy nhất,
và điểm bất động này chính là nghiệm duy nhất của (2.2).
Ta còn phải chứng minh ánh xạ y
V♣y1 q ✏ u1 , V♣y2 q ✏ u2 , khi đó
ÞÑ
u là liên tục Lipschitz. Đặt
⑥u1 ✁ u2⑥U ✏ ⑥S♣g♣y1, u1qq ✁ S♣g♣y2, u2qq⑥U
↕ η1 ⑥g♣y1, u1q ✁ g♣y2, u2q⑥U ✶
↕
B
η1
⑥ y1 ✁ y 2 ⑥ X
ηB
ηη2 ⑥u1 ✁ u2⑥U .
B
Vậy
⑥u1 ✁ u2⑥U ↕ η η✁1 η ⑥y1 ✁ y2⑥X .
B
2
✆
Bổ đề được chứng minh.
Để giải bài toán (0.7)-(0.9), ta sẽ chuyển nó về bao hàm thức vi phân.
Xét ánh xạ đa trị
G♣y q :✏ F ♣y, V♣y qq, y
Ta thấy ánh xạ G : X
X.
Ñ P ♣X q nhận giá trị lồi và compact. Hơn nữa,
nhờ giả thiết (F) và tính liên tục của ánh xạ V, ta có G là u.s.c. Ngoài
ra, nhờ có (2.3) và tính chất của độ đo Hausdorff ta nhận được
U ♣V♣Ωqq ↕
η1
ηB ✁ η2
χ♣Ωq, ❅Ω B ♣X q,
19
ở đây U là độ đo Hausdorff trong U .
Bây giờ nếu nửa nhóm S ♣☎q không compact thì
χ♣G♣Ωqq ✏ χ♣F ♣Ω, V♣Ωqq
↕ p χ♣Ωq q U ♣V♣Ωqq
✡
✂
qη1
↕ p η ✁ η χ♣Ωq.
B
(2.8)
2
Liên quan đến độ tăng trưởng của G, sử dụng (F)(2) ta có
⑥G♣yq⑥ :✏ supt⑥z⑥ : z G♣yq✉
↕ a⑥y⑥X b⑥V♣yq⑥U c
↕ a⑥y⑥X η bη✁1 η ⑥y⑥X ⑥V♣0q⑥U c
✏
ở đó d ✏ ⑥V♣0q⑥U
✂
B
a
c.
bη1
ηB ✁ η2
✡2
⑥y⑥X d,
(2.9)
Nhờ các thiết lập ở trên, bài toán (0.7)-(0.9) chuyển thành
x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq G♣x♣tqq, t r0, T s,
x♣0q ✏ ξ.
(2.10)
(2.11)
Ta định nghĩa ánh xạ đa trị
PG : C ♣r0, T s; X q Ñ P ♣L1 ♣0, T ; X qq,
PG ♣xq ✏tf
L1♣0, T ; X q : f ♣tq G♣x♣tqq với hầu khắp t r0, T s✉.
Mệnh đề 2.3. Với các giả thiết (B),(F) và (G), ánh xạ PG là nửa liên
tục trên yếu, nhận giá trị lồi và compact yếu.
Chứng minh. Chứng minh tương tự như trong [5, Theorem 1].
Lúc này, mỗi nghiệm x của (0.7)-(0.9) được xác định bởi
x♣tq ✏ S ♣tqξ
➺t
0
S ♣t ✁ sqf ♣sqds, f
PG♣xq, t r0, T s.
✆
20
Xét toán tử Cauchy
W : L1 ♣0, T ; X q Ñ C ♣r0, T s; X q
W ♣f q♣tq ✏
Với ξ
➺t
0
S ♣t ✁ sqf ♣sqds.
X, xét toán tử nghiệm
F : C ♣r0, T s; X q Ñ P ♣C ♣r0, T s; X qq
F ♣xq ✏ tS ♣☎qξ W ♣f q : f
PG♣xq✉.
Rõ ràng x là điểm bất động của F nếu và chỉ nếu x là một nghiệm của bài
toán (0.7)-(0.9). Để chứng minh tính giải được của bài toán (0.7)-(0.9),
ta sử dụng định lý điểm bất động sau đây.
⑨ E là một tập khác
rỗng, lồi và compact. Nếu ánh xạ đa trị F : D Ñ P ♣Dq có đồ thị đóng
Bổ đề 2.4. Cho E là không gian Banach và D
và nhận giá trị lồi, đóng thì F có điểm bất động.
Bổ đề trên là một trường hợp đặc biệt trong [17].
⑨ L1♣0, T ; X q được gọi là nửa compact nếu nó
bị chặn tích phân và tập D♣tq ✏ tf ♣tq : f D✉ là compact tương đối
trong X với hầu khắp t r0, T s.
Định nghĩa 2.2. Tập D
Ta biết rằng nếu một dãy tfn ✉
⑨ L1♣0, T ; X q là nửa compact thì nó
là compact yếu (xem [11]). Hơn nữa, ta có kết quả sau ([11]).
⑨ L1♣0, T ; X q là nửa
compact thì W ♣Dq là compact tương đối trong C ♣r0, T s; X q. Nói riêng,
nếu dãy tfn ✉ là nửa compact và fn á f ✝ (hội tụ yếu) trong L1 ♣0, T ; X q
thì W ♣fn q Ñ W ♣f ✝ q (hội tụ mạnh) trong C ♣r0, T s; X q.
Mệnh đề 2.5. Giả sử (A) được thỏa mãn. Nếu D
Ta sẽ chứng minh kết quả sau về sự tồn tại nghiệm toàn cục.
21
Định lý 2.6. Giả sử (A), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Khi đó bài
toán (0.7)-(0.9) có ít nhất một nghiệm với mỗi giá trị ban đầu ξ
X.
Chứng minh. Theo cách xác định toán tử F, ta có
F ♣xq ✏ S ♣☎qξ W
✆ PG♣xq, x C ♣r0, T s; X q.
C ♣r0, T s; X q, PG♣xq là tập compact yếu trong L1♣0, T ; X q.
Do vậy W ✆ PG ♣xq là tập compact trong C ♣r0, T s; X q theo Mệnh đề 2.3.
Hơn nữa do PG ♣xq lồi nên F ♣xq cũng lồi. Tức là ánh xạ đa trị F nhận
Với mỗi x
giá trị lồi và compact.
Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của tập lồi M0
F ♣M0 q ⑨ M0 . Với y
⑨ C ♣r0, T s; X q sao cho
F ♣xq, tồn tại f PG♣xq sao cho
⑥y♣tq⑥X ↕ ⑥S ♣tqξ ⑥X ⑥
➺t
➺t
0
S ♣t ✁ sqf ♣sqds⑥X
↕ M ⑥ξ ⑥X ⑥S ♣t ✁ sq⑥⑥f ♣sq⑥X ds
0
➺t
↕ M ⑥ξ ⑥X dT M ♣a η ✁ η q ⑥x♣sq⑥X ds
B
2
0
➺t
↕ M1 M2 ⑥x♣sq⑥X ds,
bη1
(2.12)
0
(sử dụng (2.9)), ở đó M
dT, M2
✏ M ♣a η bη✁η q.
✏
supt⑥S ♣tq⑥ : t
r0, T s✉, M1 ✏
M ⑥ξ ⑥X
1
B
2
Ký hiệu
M0
✏ tx C ♣r0, T s; X q : ⑥x♣tq⑥X ↕ κ♣tq, ❅t r0, T s✉,
với κ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân
κ♣tq ✏ M1 M2
➺t
0
κ♣sqds.
Rõ ràng M0 là một tập lồi đóng trong C ♣r0, T s; X q và đánh giá (2.12)
đảm bảo rằng F ♣M0 q ⑨ M0 .
