lý thuyết và bài tập phần hình học giải tích trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (818.45 KB, 41 trang )
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
1
BÀI 1 : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số
điều kiện cho trước
Sử dụng các đònh nghóa có liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ , độ dài của vectơ ,
biết phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng , biết tính tổng ( hiệu )mcủa hai
vectơ , biết tính các tọa độ trọng tâm của một tam giác ,…
VẤN ĐỀ 2 : Chứng minh các hệ thức vectơ
Sử dụng qui tắc ba điểm đối với phép cộng , phép trừ vectơ và các tính chất của các
phép toánvề vectơ để biến đổi các hệ thức vectơ.
VẤN ĐỀ 3 : Đònh nghóa tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
Sử dụng tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm , tính góc giữa hai vectơ
* Cho
321321
,,,,, bbbbaaaa
và một số k , khi đó ta có :
332211
;; babababa
332211
;; babababa
k
321
,, kakakaa
332211
;; babababa
a cùng phương
0, bRkbkab
332211
. babababa
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
.
.
.
,coscos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
và
0
332211
babababa
21
21
13
13
32
32
,,],[
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba
* Cho A( x
A
, y
A
, z
A
) và B(x
B
, y
B
, z
B
)
ABAA
zzyyxxAB
B
B
;;
222
ABABAB
zzyyxxAB
VẤN ĐỀ 4 : Đònh nghóa tích vectơ và các ứng dụng của vectơ
Dùng đònh nghóa tích vectơ bằng biểu thức tọa độ
Sử dụng các tính chất của tích vectơ như :
o
bbaaba ],[,],[
o
bababa ,sin ],[ .
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
2
* Tính diện tích hình bình hành ABCD bằng công thức :
],[ ADABS
ABCD
* Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức :
],[
2
1
ACABS
ABC
tính thể tích V của hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
bằng công thức :
'
.],[ AAADABV
Dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh ba vectơ
cba ,, đồng phẳng là : 0.,
cba
VẤN ĐỀ 5: Mặt cầu
Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính của mặt cầu đó
Phương trình mặt cầu tâm I ( a, b, c ) bán kính r có dạng : (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= 0
Cho biết phương trình mặt cầu, hãy xác tâm và bán kình của mặt cầu đó
Phương trình mặt cầu có dạng : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Tâm I ( a, b, c) ; bán kính r = dcba
222
.
Mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P). Gọi H là hình chiếu vng góc của tâm I lên
mp (P). Khi đó:
o Nếu
R
IH
thì (P) và (S) khơng có điểm chung.
o Nếu
R
IH
thì (P) và (S) tiếp xúc nhau tại H.
o Nếu
R
IH
thì (P) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( C ) có tâm H,
bàn kính
22
IHRr
. Đường tròn ( C ) chính là giao của (P) và (S).
Mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P). Gọi H là hình chiếu vng góc của tâm I lên
đường thẳng d. Khi đó:
o Nếu IH > R thì d và (S) khơng có điểm chung
o Nếu TH = R thì d và (S) tiếp xúc nha u tại H
o Nếu IH < R thì d và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
**************
Bài 2:PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng
khi đã biết VTPT
CBAn ,,
và một điểm
000
,, zyxM thuộc mặt phẳng.
phương trình mặt phẳng
có dạng : A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Khai triển, rút gọn đưa về dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (Với D = -Ax
0
– By
0
– Cz
0
)
Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng
chứa ba điểm M,N,P không thẳng hàng
Tìm VTPT
n =
MPMN,
đi qua M và có VTPT
n (loại 1)
Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng
chứa
000
,, zyxM và song song với mặt phẳng
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
3
0:
DCzByAx
Cách 1:
o
0':// DCzByAx
(1).
o Thay tọa độ
000
,, zyxM vào (1) ta tìm được D’
Cách 2:
o
nn//
o
đi qua M có VTPT
n (loại 1)
Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng
chứa hai điểm M,N và vuông góc với mặt phẳng
0:
DCzByAx
Tìm VTPT
n =
nMN,
đi qua M có VTPT
n (loại 1).
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho
0: DCzByAx
và
0'''': DzCyBxA
':':'::: CBACBA
'
'
'
'
D
D
C
C
B
B
A
A
'
'
'
'
//
D
D
C
C
B
B
A
A
0'.'.'.
CCBBAA
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách
Loại 1: Khoảng cách từ
000
,, zyxM đến mặt phẳng
0: DCzByAx
Ta dùng công thức:
222
000
,
CBA
DCzByAx
Md
.
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho
0: DCzByAx
và
0': DCzByAx
Chọn một điểm M thuộc
Ta có
,, Mdd
VẤN ĐỀ 4: Chùm mặt phẳng
Cho
0: DCzByAx
và
0'''': DzCyBxA
.
là mặt phẳng đi
qua giao tuyến của
và
. Khi đó
:
0'''' DzCyBxADCzByAx
************
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1 : Viết phương trình tổng quát đường thẳng
Bước 1 : Xác đònh hai mặt phẳng phân biệt
và
cùng chứa
Bước 2 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
và
:
: Ax + By + Cz + D = 0 (1)
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
4
:
A
’
x+ B
’
y + C
’
z + D
’
= 0 (2)
Bước 3 : Viết phương trình tổng quát của
bằng cách viết một hệ gồmhai phương trình (1)
và (2)
0
0
:
''''
DzCyBxA
DCzByAx
(1)
VẤN ĐỀ 2 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Bước 1 : Xác đònh một điểm cố đònh M
0
( x
0
,y
0,
z
0
) thuộc
Bước 2 : Xác đònh một VTCP
321
,, aaaa
của
Bước 3 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của
có dạng :
3
0
2
0
1
0
30
20
10
:2
a
zz
a
yy
a
xx
tazz
tayy
taxx
VẤN ĐỀ 3: Cách chuyển từ PTTS sang PTTQ và ngược lại
Chuyển từ PTTS sang PTTQ:
Từ một trong ba phương trình của hệ (2) ta rút ra t rồi thay vào hai phương trình còn lại
Chuyển từ PTTQ sang PTTS
o Cách 1: Từ (1) suy ra VTCP
nnu , . Để tìm điểm thuộc đường thẳng ta cho
một ẩn và giải hệ tìm hai ẩn còn lại.
o Cách 2: Đặt một ẩn bằng t, giải hai ẩn còn lại qua t ta tìm được PTTS
VẤN ĐỀ 4 : xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
và
'
trong không gian
Bước 1 : xác đònh điểm cố đònh M
0
( x
0
,y
0,
z
0
) và một VTCP
321
,, aaaa
của
.
xác đònh điểm cố đònh
'
0
'
0
'
0
'
0
,, zyxM và VTCP
'
3
'
2
'
1
'
,, aaaa
của
'
.
Bước 2 : tính
'
aan
.
Bước 3 : dùng các dấu hiệu sau để xét vò trí tương đối giữa
và
'
.
//
'
'
0
0
M
n
'
0
' 0
M
n
0.
0
0
'
nMM
n
và
'
chéo nhau 0.
0
nMM
VẤN ĐỀ 5 : xét vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
( x
0
,y
0,
z
0
) và có VTCP
321
,, aaaa
Cho
: Ax + By + Cz + D = 0 . Gọi
CBAn ,,
là VTPT của
.
Cách 1: Xét tích vô hướng
an . và thay tọa độ điểm M
0
vào phương trình
để kiểm tra, ta
có các trường hợp sau :
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
5
Trường hợp 1:
0
0.
M
an
d//
Trường hợp 2:
0
0.
M
an
d nằm trong
Trường hợp 3:
0.an d cắt
Trường hợp 4:
dakn
Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d:
30
20
10
tazz
tayy
taxx
d
thay x,y,z ở phương trình tham số trên vào PTTQ của
: Ax + By + Cz + D = 0 ta
được:
A(x
0
+ ta
1
) + B(y
0
+ ta
2
) + C(z
0
+ta
3
) + D = 0 hay mt + n (1)
Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: (1) vô nghiệm
d//
Trường hợp 2: (1) có một nghiệm t = t
0
d cắt
tại điểm M
0
(x
0
+ ta
1
; y
0
+ ta
2
; z
0
+ ta
3
)
Trường hợp 3: (1) có vô số nghiệm t
d nằm trong
Trường hợp 4: ( A:B:C) = k( a
1
, a
2
, a
3
)
d
VẤN ĐỀ 6: Tính khoảng cách
Loại 1: khoảng cách từ M
0
( x
0
,y
0,
z
0
) đến đường thẳng
3
0
2
0
1
0
:
a
zz
a
yy
a
xx
Cách 1:
Viết phương trình mặt phẳng
chứa điểm M
0
và vuông góc
Tìm giao điểm H của
và
Tính d( M
0
,
) = AH M
0
Cách 2:
Lấy điểm A thuộc
Tính
aAMn
0
d(M
0
,
) =
a
n
A H
a
Loại 2: Khoảng cách giữa đường thẳng
3
0
2
0
1
0
:
a
zz
a
yy
a
xx
và
: Ax + By + Cz + D = 0 song song với
lấy điểm M
0
( x
0
,y
0,
z
0
) thuộc
Tính d(
,
) = d( M
0
,
) =
222
000
CBA
DCzByAx
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
6
Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3
0
2
0
1
0
:
a
zz
a
yy
a
xx
'
3
'
0
'
2
'
0
'
1
'
0
'
a
zz
a
yy
a
xx
Cách 1:
Lập phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với
'
ta được :
: Ax + By + Cz + D = 0
Lấy điểm M
’
0
( x
’
0
, y
’
0
, z
’
0
) thuộc
'
Tính d(
,
'
) = d( M
’
0
,
) =
222
'
0
'
0
'
0
'
CBA
DCzByAx
M
0
’
'
H
Cách 2 :
Xác đònh điểm M
0
và
''
0
M
Xác đònh hai vectơ
a và
'
a
là hai VTCP của
và
'
Tính
],[
'
aan
M
0
’
Tính V =
nMM .
'
00
'
Tính d(
,
'
) = HK =
n
V
K
a
Chú ý:
Một đường thẳng hồn tồn xác định khi biết:
o Một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP.
o Nó là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì có nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên khi
chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau:
+ Nếu đường thẳng d đi qua M và vng góc với đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm
trong mp đi qua M và vng góc với d’
+ Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mp đi
qua M và đường thẳng d’
+ Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mp (P) thì đường thẳng d nằm trong mp
đi qua M và song song mp (P).
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
7
+ Nếu đường thẳng d song song với d’ và cắt đường thẳng d” thì đường thẳng d nằm
trong mp chứa d” và song song với đường thẳng d’.
VẤN ĐỀ 7: Góc
Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
c
zz
b
yy
a
xx
000
:
có VTCP
cbau ;;
và
'
'
'
:'
'
0
'
0
'
0
c
zz
b
yy
a
xx
có VTCP
';';'' cbau
.
Gọi
',
. Khi đó
222222
'''.
'''
cos
cbacba
ccbbaa
.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho mp
0: DCzByAx
có VTPT
CBAn ;;
và
c
zz
b
yy
a
xx
000
:
có VTCP
cbau ;;
Gọi
, . Khi đó
222222
.
,cossin
cbaCBA
CcBbAa
un
.
Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho mp
0: DCzByAx
có VTPT
CBAn ;;
và
0'''': DzCyBxA
có VTPT
';';' CBAn
Gọi
, , với
00
900
.
Khi đó
222222
'''.
'''
,coscos
CBACBA
CCBBAA
nn
VẤN ĐỀ 8: Hình chiếu
Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng:
Để tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng
ta có các cách sau:
o Cách 1: Chuyển phương trình
về phương trình tham số
Khi đó H là điểm :
uAH
H
//
o Cách 2: Lập phương trình mp
đi qua A, vuông góc với
. Khi đó H là giao điểm
của
và
.
Hình chiếu của điểm lên mp:
Để tìm hình chiếu H của điểm A lên mp (P), ta có các cách sau:
o Cách 1: H là hình chiếu của A lên mp(P)
P
nAH
PH
//
)(
o Cách 2: Lập phương trình đường thẳng
đi qua A và vuông góc với (P). Khi đó H là
giao điểm của
và (P).
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng:
Để tìm hình chiếu của đường thẳng
lên mp (P) ta lập phương trình mp (Q) chứa đường
thẳng
và vuông góc với (P). Khi đó giao tuyến của (P) và và (Q) chính là hình chiếu của
lên (P).
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
8
BÀI TẬP:
BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Các phép toán về tọa độ của vectơ và của điểm
Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2
a i j
+
K3
;
7 8
b i k
;
9
c k
;
4 5
d j k
Bài 2: Viết dưới dạng
x i y j z k
mỗi vectơ sau đây:
0; 3;2
a
4; 5;0
b
4 1
;0;
3
3
c
1 1
; ;
3
5
d
Bài 3: Cho
2; 5;3 ; 0; 2; 1 ; 1;7; 2
a b c
. Tìm tọa độ của
u
, biết:
1
/ 4 3
2
a u a b c
/ 4 2
b u a b c
2
/ 4
3
c u b c
/ 3 5
d u a b c
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ
x
, biết rằng:
/ 0
a a x
với
1; 2;1
a
/ 4
b a x a
với
0; 2;1
a
/ 2
c a x b
với
5; 4; 1 , 2; 5;3
a b
Bài 5: Cho
1; 3;4
a
a/ Tìm y và z để
2; ;
b y z
cùng phương với
a
.
b/ Tìm tọa độ của
c
, biết rằng
a
và
c
ngược hướng và
2
c a
.
Bài 6: Cho 3 vectơ
1; 1;1 ; 4;0; 1 ; 3; 2; 1
a b c
. Tìm
/ .
a a b c
2
/ .
b a b c
2 2 2
/
c a b b c c a
2
/ 3 2 .
d a a b b c b
Bài 7: Tính góc giữa hai vectơ
a
và
b
, biết:
/ 4;3;1 ; 1; 2;3
a a b
/ 2;5;4 ; 6;0; 3
b a b
/ 2;1; 2 ; 0; 2; 2
c a b
/ 3; 2;2 3 ; 3; 2 3; 1
d a b
/ 4;2;4 ; 2 2; 2 2;0
e a b
/ 3; 2;1 ; 2;1; 1
f a b
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
9
Bài 8: Tìm vectơ
u
, biết rằng:
2; 1;3 ; 1; 3;2 ; 3;2; 4
/
. 5, . 11; . 20
a b c
a
a u b u c u
2;3; 1 ; 1; 2;3 ; 2; 1;1
/
5, 4; . 6
a b c
b
a u b u c u
7;2;3 ; 4;3; 5 ; 1;1; 1
/
. 5, . 7;
a b c
c
a u b u c u
Bài 9: Cho hai vectơ
,
a b
. Tìm m để:
2;1; 2 ; 0; 2; 2
/
2 3 , à
a b
a
u a m b v m a b v u v
3; 2;1 ; 2;1; 1
/
3 , 3 2 à
a b
b
u m a b v a m b v u v
3; 2;1 ; 2;1; 1
/
3 , 3 2 à ùng
a b
c
u m a b v a m b v u c phuong v
Bài 10: Cho hai vectơ
,
a b
. Tính
,
X Y
khi biết:
4, 6,
/
a b a b
a
X a b
2; 1; 2 ; 6, 4
/
a b a b
b
Y a b
0
4, 6, , 120
/
,
a b a b
c
X a b Y a b
2; 1; 2 ; 6, , 60
/
,
o
a b a b
d
X a b Y a b
Bài 11: Cho ba vectơ
, ,
a b c
. Tìm
,
m n
để
,
c a b
:
/ 3; 1; 2 ; 1; 2; ; 5;1;7
a a b m c
/ 6; 2; ; 5; ; 3 ; 6;33;10
b a m b n c
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
10
/ 2;3;1 ; 5;6;4 ; ; ;1
c a b c m n
Bài 12: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,
a b c
trong mỗi trường hợp sau:
/ 1; 1;1 ; 0;1; 2 ; 4;2;3
a a b c
/ 4;3; 4 ; 2; 1; 2 ; 1; 2;1
b a b c
/ 3;1; 2 ; 1;1;1 ; 2;2;1
c a b c
/ 4;2;5 ; 3;1;3 ; 2;0;1
d a b c
/ 2;3;1 ; 1; 2;0 ; 3; 2;4
e a b c
/ 5; 4; 8 ; 2;3;0 ; 1;7; 7
f a b c
/ 2; 4;3 ; 1; 2; 2 ; 3; 2;1
g a b c
/ 2; 4;3 ; 1;3; 2 ; 3; 2;1
h a b c
Bài 13: Tìm m để ba vectơ
, ,
a b c
đồng phẳng:
/ 1; ; 2 ; 1; 2;1 ; 0; 2; 2
a a m b m c m
/ 2 1;1;2 1 ; 1;2; 2 ; 2 ; 1; 2
b a m m b m m c m m
/ 1; ; 2 ; 1; 2; ; 1; 2;2
c a m m m b m m m c
/ 1; 3; 2 ; 1; 2;1 ; 0; 2;2
d a b m m m c m
Bài 14: Cho các vectơ
, , ,
a b c u
. Chứng minh 3 vectơ
, ,
a b c
không đồng phẳng.
Biểu diễn vectơ
u
theo các vectơ
, ,
a b c
:
2;1;0 , 1; 1; 2 , 2;2; 1
/
3;7; 7
a b c
a
u
1; 7;9 , 3; 6;1 , 2;1; 7
/
4;13; 6
a b c
b
u
1;0;1 , 0; 1;1 , 1;1; 0
/
8;9; 1
a b c
c
u
1; 0;2 , 2; 3; 0 , 0; 3;4
/
1; 6;22
a b c
d
u
2; 3;1 , 1; 2;5 , 2; 2;6
/
3;1;2
a b c
e
u
2; 1;1 , 1; 3;2 , 3; 2; 2
/
4;3; 5
a b c
f
u
Bài 15: Chứng minh 4 vectơ
, , ,
a b c d
đồng phẳng
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
11
/ 2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , 2; 11;1
a a b c d
/ 2;6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , 2;11; 1
b a b c d
Vấn đề 2: Xác định điểm trong KG. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích-
Thể tích
Bài 1: Cho điểm
1;2;3
M . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên:
a/ Các mặt phẳng tọa độ
b/ Trên các trục tọa độ
Bài 2: Cho điểm
3; 1;2
M . Tìm tọa độ điểm
'
M
đối xứng với điểm M:
a/ Qua gốc tọa độ
b/ Qua Các mặt phẳng tọa độ
c/ Qua các trục tọa độ
Bài 3: Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
/ 1;3;1 ; 0;1;2 ; 0;0;1
a A B C
/ 1;1;1 ; 4;3;1 ; 9;5;1
b A B C
/ 10;9;12 ; 20;3; 4 ; 50; 3; 4
c A B C
/ 1;5; 10 ; 5; 7;8 ; 2;2; 7
d A B C
Bài 4: Cho ba điểm
, ,
A B C
.
4.1/ Chứng minh ba điểm
, ,
A B C
tạo thành một tam giác.
4.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
4.3/ Xác định điểm D để ABCD là hình bình hành.
4.4/ Tính số đo các góc trong của tam giác ABC.
4.5/ Tính diện tích của tam giác ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của
ABC
.
/ 1; 2; 3 ; 0;3;7 ; 12;0;5
a A B C
/ 0;13; 21 ; 11; 23;17 ; 1; 0;19
b A B C
/ 3; 4;7 ; 5;3; 2 ; 1;2; 3
c A B C
/ 4;2;3 ; 2;1; 1 ; 3;8;7
d A B C
/ 3; 1;2 ; 1;2; 1 ; 1;1; 3
e A B C
/ 4;1; 4 ; 0;7; 4 ; 3;1; 2
f A B C
/ 1;0;0 ; 0;0;1 ; 2;1;1
g A B C
/ 1; 2;6 ; 2;5;1 ; 1;8;4
h A B C
Bài 5: Trên các trục
,
Ox Oy Oz
, tìm điểm cách đều hai điểm:
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
12
/ 3;1;0 ; 2;4;1
a A B
/ 1; 2;1 ; 11;0;7
b A B
/ 4;1; 4 ; 0;7; 4
c A B
/ 3; 1;2 ; 1;2; 1
d A B
/ 3; 4;7 ; 5;3; 2
e A B
/ 4;2;3 ; 2;1; 1
f A B
Bài 6: Trên mặt phẳng
,
Oxy Oyz Oxz
, tìm điểm cách đều ba điểm:
/ 1;1;1 ; 1;1; 0 ; 3;1; 1
a A B C
/ 3;2;4 ; 0;0;7 ; 5;3;3
b A B C
/ 3; 1;2 ; 1;2; 1 ; 1;1; 3
c A B C
/ 0;13; 21 ; 11; 23;17 ; 1; 0;19
d A B C
/ 1; 0;2 ; 2;1;1 ; 1; 3; 2
e A B C
/ 1; 2;6 ; 2;5;1 ; 1;8;4
f A B C
Bài 7: Cho bốn điểm
, , ,
A B C D
.
7.1/ Chứng minh bốn điểm
, , ,
A B C D
là bốn đỉnh của một tứ diện.
7.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện.
7.3/ Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện
.
ABCD
7.4/ Tính thể tích của khối tứ diện
7.5/ Tính diện tích của tam giác
BCD
.Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện kẻ
từ
A
.
/ 2;5; 3 ; 1;0;0 ; 3;0; 2 ; 3; 1;2
a A B C D
/ 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 2;1; 1
b A B C D
/ 1;1;0 ; 0;2;1 ; 1; 0;2 ; 1;1;1
c A B C D
/ 2;0;0 ; 0; 4;0 ; 0;0;6 ; 2; 4;6
d A B C D
/ 2;3;1 ; 4;1; 2 ; 6;3;7 ; 5; 4;8
e A B C D
/ 5;7; 2 ; 3;1; 1 ; 9;4; 4 ; 1;5;0
f A B C D
/ 2;4;1 ; 1;0;1 ; 1;4;2 ; 1; 2;1
g A B C D
/ 3; 2;4 ; 2;5; 2 ; 1; 2;2 ; 4;2;3
h A B C D
/ 3;4;8 ; 1; 2;1 ; 5;2;6 ; 7; 4;3
i A B C D
/ 3; 2;6 ; 2;4;4 ; 9;9; 1 ; 0;0;1
j A B C D
Bài 8: Cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại và tính thể tích
khối hộp.
/ 1; 0;1 ; 2;1; 2 ; 1; 1;1 ; ' 4;5; 5
a A B D C
/ 2;5; 3 ; 1;0;0 ; 3;0; 2 ; ' 3; 1;2
b A B C A
/ 0;2;1 ; 1; 1;1 ; 0;0;0 ; ' 1;1;0
c A B D A
/ 0;2; 2 ; 0;1;2 ; 1;1;1 ; ' 1; 2; 1
d A B C C
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
13
Bài 9: Cho bốn điểm
3;1; 2 , 5;3;1 , 2;3; 4 , 1;2;0
S A B C
a/ Chứng minh
, ,
SA SBC SB SAC SC SAB
b/ Chứng minh
.
S ABC
là một hình chóp đều.
c/ Xác định tọa độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao
SH
.
Vấn đề 3: Phương trình mặt cầu
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
2 2 2
/ 8 2 1 0
a x y z x y
2 2 2
/ 4 8 2 4 0
b x y z x y z
2 2 2
/ 2 4 4 0
c x y z x y z
2 2 2
/ 6 4 2 86 0
d x y z x y z
2 2 2
/ 12 4 6 24 0
e x y z x y z
2 2 2
/ 6 12 12 72 0
f x y z x y z
2 2 2
/ 8 4 2 4 0
g x y z x y z
2 2 2
/ 3 4 0
h x y z x y
2 2 2
/ 3 3 3 6 3 15 2 0
i x y z x y z
2 2 2
/ 6 2 2 10 0
j x y z x y z
Bài 2: Xác định các tham số
, , ,
m t
để các phương trình sau xác định một mặt cầu,
tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó.
2 2 2 2
/ 2 2 4 2 5 9 0
a x y z m x my mz m
2 2 2 2
/ 2 3 2 1 2 2 7 0
b x y z m x m y mz m
2 2 2
/ 2 os 1 4 2 os . os2 7 0
c x y z c x y c z c
2 2 2 2 2
/ 2 3 2 os 4 sin 1 2 os4 8 0
d x y z c x y z c
2 2 2
/ 2ln . 2 6 3ln 8 0
e x y z t x y z t
2 2 2 2
/ 2 2 ln 4 ln . 2 ln 1 5 ln 8 0
f x y z t x t y t z t
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a/ Có tâm
1; 3;5
I , bán kính
3
R
b/ Có tâm
2;4; 1
I
và đi qua
5;2;3
A
c/ Có đường kính
AB
với
3; 2;1 ; 2;1; 3
A B
.
d/ Đi qua bốn đỉnh
, , ,
A B C D
với
1;1;0 ; 0; 2;1 ; 1; 0;2 ; 1;1;1
A B C D
e/ Đi qua 3 điểm
1;2;0 ; 1;1;3 ; 2;0; 1
A B C
và có tâm nằm trong mặt phẳng
Oxz
.
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
14
f/ Có tâm
5;1;1
I và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 5 0
S x y z x y z
Bài 4: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt cầu:
2 2 2
2 2 2
8 4 2 4 0
/
4 2 4 5 0
x y z x y z
a
x y z x y z
2 2 2
2 2 2
1 2 3 9
/
6 10 6 21 0
x y z
b
x y z x y z
2 2 2
2 2 2
2 4 10 5 0
/
4 6 2 2 0
x y z x y z
c
x y z x y z
2 2 2
2 2 2
8 4 2 15 0
/
4 12 2 25 0
x y z x y z
d
x y z x y z
2 2 2
2 2 2
2 6 4 5 0
/
6 2 4 2 0
x y z x y z
e
x y z x y z
2 2 2
2 2 2
4 2 2 3 0
/
6 4 2 2 0
x y z x y z
f
x y z x y z
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Vấn đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng
P
trong các trường hợp sau:
a/
P
đi qua điểm
3;1;1
M và có VTPT
1;1; 2
n
b/
P
là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với
2;1;1 ; 2; 1; 1
A B
c/
P
đi qua điểm
1;2; 3
M
và có cặp VTCP
2;1; 2 ; 3;2; 1
a b
d/
P
đi qua điểm
2;1;5
M và song song với mặt phẳng
: 2 10 0
x y z
e/
P
đi qua điểm
1; 2;1
M và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
f/
P
đi qua ba điểm không thẳng hàng
1; 2; 4 ; 3;2; 1 ; 2;1; 3
A B C
g/
P
đi qua điểm
1; 2; 4
A và vuông góc với đường thẳng
BC
với
3;2; 1 ; 2;1; 3
B C
.
h/
P
đi qua hai điểm
3;1; 1 ; 2; 1;4
A B và vuông góc với
mp
: 2 3 1 0
x y z
i/
P
đi qua điểm
1; 2;5
M và vuông góc với hai mặt phẳng
: 2 3 1 0
x y z
,
: 2 3 1 0
x y z
j/
P
đi qua điểm
1;2; 3
M
và đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 3 5 0
x y z
,
: 3 2 5 1 0
x y z
.
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
15
k/
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 4 0
P y z
,
: 3 0
Q x y z
và song song với mặt phẳng
: 2 0
R x y z
m/
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 3 4 0
P x y
,
: 2 3 5 0
Q y z
và vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 2 0
R x y z
.
n/
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 0
P x y
,
: 5 13 2 0
Q x y z
và cách điểm
1;2;3
M cho trước một khoảng bằng 2.
Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
2 3 2 5 0
/
3 4 8 5 0
x y z
a
x y z
3 4 3 6 0
/
3 2 5 3 0
x y z
b
x y z
5 5 5 1 0
/
3 3 3 7 0
x y z
c
x y z
6 4 6 5 0
/
12 8 12 5 0
x y z
d
x y z
2 2 4 5 0
/
25
5 5 10 0
2
x y z
e
x y z
3 2 6 23 0
/
3 2 6 33 0
x y z
f
x y z
Bài 2: Xác định
,
m n
để các cặp mặt phẳng sau: song song; cắt nhau; trùng nhau.
3 2 7 0
/
7 6 4 0
x my z
a
nx y z
5 2 11 0
/
3 5 0
x y mz
b
x ny z
2 3 5 0
/
6 6 2 0
x my z
c
nx y z
3 9 0
/
2 2 3 0
x y mz
d
x ny z
2 3 5 0
/
6 6 2 0
x y z
e
mx y z
3 5 3 0
/
2 3 1 0
x y mz
f
x y z
2 0
/
2 4 3 0
x my z
g
x y mz
2 2 1 0
/
3 2 0
x ny z
h
x y mz
3 3 2 5 0
/
2 2 10 0
x m y z
i
m x y mz
Bài 3: Xác định
m
để các cặp mặt phẳng sau vuông góc nhau:
2 7 2 0
/
3 2 15 0
x y mz
a
x y z
2 1 3 2 3 0
/
1 4 5 0
m x my z
b
mx m y z
2 12 0
/
7 0
mx y mz
c
x my z
3 3 2 9 0
/
2 2 10 0
x m y z
d
m x y mz
4 3 3 0
/
2 7 1 0
x y z
e
mx y z
3 5 3 0
/
3 2 5 0
x y mz
f
x y z
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
16
Vấn đề 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng- khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng của
một điểm qua mặt phẳng.
Bài 1: Cho mặt phẳng
P
và điểm
M
1.1/ Tính khoảng cách từ điểm
M
đến
P
.
1.2/ Tìm tọa độ hình chiếu H của
M
trên
P
1.2/ Tìm tọa độ điểm
'
M
đối xứng với
M
qua
P
.
/ 2; 3;5 ; : 2 2 6 0
a M P x y z
/ 1; 4; 2 ; : 5 14 0
b M P x y z
/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0
c M P x y z
/ 2; 3; 4 ; : 2 4 4 3 0
d M P x y z
/ 2;1; 1 ; : 4 0
e M P x y z
/ 1; 2;4 ; :3 2 0
f M P x y z
Bài 2: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
2 3 1 0
/
2 3 5 0
x y z
a
x y z
6 2 1 0
/
6 2 3 0
x y z
b
x y z
2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
c
x y z
4 8 1 0
/
4 8 5 0
x y z
d
x y z
2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
e
x y z
3 6 3 7 0
/
2 1 0
x y z
f
x y z
Bài 3: Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
/ 6 3 2 7 0, 3
a x y z k
/ 3 2 6 5 0, 4
b x y z k
/ 6 2 3 12 0, 2
c x y z k
/ 2 4 4 14 0, 3
d x y z k
.
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
2 3 1 0
/
2 3 5 0
x y z
a
x y z
6 2 1 0
/
2 2 3 0
x y z
b
x y z
2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
c
x y z
4 8 1 0
/
4 8 5 0
x y z
d
x y z
2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
e
x y z
3 6 3 7 0
/
2 1 0
x y z
f
x y z
Bài 5: Tìm điểm M trên trục
,
Ox Oy Oz
cách đều điểm N và mặt phẳng
P
/ 1;2; 2 ; : 2 2 5 0
a N P x y z
/ 1; 4; 2 ; : 5 14 0
b N P x y z
/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0
c N P x y z
/ 2; 3;4 ; : 2 4 4 3 0
d N P x y z
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
17
/ 2;1; 1 ; : 4 0
e N P x y z
/ 1; 2;4 ; : 3 2 0
f N P x y z
Bài 6: Tìm điểm M trên trục
,
Ox Oy Oz
cách đều hai mặt phẳng:
1 0
/
5 0
x y z
a
x y z
2 2 1 0
/
2 2 5 0
x y z
b
x y z
2 4 5 0
/
4 2 1 0
x y z
c
x y z
4 8 1 0
/
4 8 5 0
x y z
d
x y z
2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
e
x y z
3 6 3 7 0
/
2 1 0
x y z
f
x y z
Bài 7: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng
P
đi qua điểm A và song song
với mặt phẳng
Q
cho trước. Tính khoảng cách giữa
P
và
Q
.
/ 1; 2; 3 ; : 2 4 4 0
a A Q x y z
/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0
b A Q x y z
Bài 8: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
và cách điểm A một khoảng cách cho trước:
/ 2; 1;4 ; 4; : 2 2 5 0
a A k Q x y z
/ 2; 3;4 ; 3; : 2 4 4 3 0
b A k Q x y z
Bài 9: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng
P
cách mặt phẳng
Q
một
khoảng k:
/ 14; : 3 2 3 0
a k Q x y z
/ 29; : 4 3 2 5 0
b k Q x y z
Vấn đề 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1 0
/
5 0
x y z
a
x y z
2 2 1 0
/
2 2 5 0
x y z
b
x y z
2 4 5 0
/
4 2 1 0
x y z
c
x y z
4 4 2 7 0
/
2 4 5 0
x y z
d
x z
2 2 3 0
/
2 2 12 0
x y z
e
y z
3 3 3 2 0
/
4 2 4 9 0
x y z
f
x y z
Bài 2: Tìm
m
để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng góc
cho trước.
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
18
2 1 3 2 3 0
/ 1 4 5 0
90
o
m x my z
a mx m y z
2 12 0
/ 7 0
45
o
mx y mz
b x my z
2 2 5 0
/ 3 2 3 0
90
o
m x my mz
c mx m y z
3 0
/ 2 1 1 1 6 0
30
o
mx y mz
d m x m y m z
Vấn đề 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng
P
và mặt cầu
S
:
2 2 2
: 2 2 1 0
/
: 6 2 4 5 0
P x y z
a
S x y z x y z
2 2 2
: 2 3 6 9 0
/
: 1 3 2 16
P x y z
b
S x y z
2 2 2
: 2 11 0
/
: 2 4 2 2 0
P x y z
c
S x y z x y z
2 2 2
: 2 2 5 0
/
: 6 4 8 13 0
P x y z
d
S x y z x y z
2 2 2
: 2 2 0
/
: 6 2 2 0
P x y z
e
S x y z x y z
2 2 2
: 3 0
/
: 6 2 16 22 0
P z
f
S x y z x y z
Bài 2: Biện luận theo
m
vị trí tương đối giữa mặt phẳng
P
và mặt cầu
S
:
2 2 2
/ : 2 2 4 0; : 2 1 4 4 8 0
a P x y z S x y z m x my z m
2 2 2 2
/ : 4 2 4 5 0; : 1 2 3 1
b P x y z S x y z m
2 2 2 2
/ :3 2 6 7 0; : 2 1 1 2
c P x y z S x y z m
2 2 2 2
/ : 2 3 6 10 0; : 4 2 1 2 3 5 4 0
d P x y z S x y z mx m y z m m
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
19
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng
P
cho
trước:
/ 3; 5; 2 ; : 2 3 1 0
a I P x y z
/ 1;4;7 ; : 6 6 7 42 0
b I P x y z
/ 1;1;2 ; : 2 2 3 0
c I P x y z
/ 2;1;1 ; : 2 2 5 0
d I P x y z
Bài 4: Viết phương trình m,ặt phẳng
P
tiếp xúc với mặt cầu
S
cho trước:
2 2 2
/ : 3 1 2 24
a S x y z
tại điểm
1;3;0
M
2 2 2
/ : 6 2 4 5 0
b S x y z x y z
tại điểm
4;3;0
M
2 2 2
/ : 1 3 2 49
c S x y z
tại điểm
7; 1;5
M
2 2 2
/ : 2 2 2 22 0
d S x y z x y z
và song song
: 3 2 6 14 0
x y z
2 2 2
/ : 6 4 2 11 0
e S x y z x y z
và song song
: 4 3 17 0
x z
2 2 2
/ : 2 4 4 0
f S x y z x y z
và song song
: 2 2 5 0
x y z
2 2 2
/ : 2 6 2 8 0
g S x y z x y z
và chứa đường thẳng
4 4
: 1 3
1
x t
d y t
z t
h/ Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
tại A với
6; 2;3 ; 0;1;6 ; 2;0; 1 ; 4;1; 0
A B C D
i/ Tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
: 10 2 26 113 0
S x y z x y z
và song song với
hai đường thẳng :
1 2
5 1 13 7 1 8
: , :
2 3 2 3 2 0
x y z x y z
d d
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
20
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng
Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng
trong các trường hợp sau:
a/
đi qua điểm
1;2; 3
M
và có VTCP
1;3;5
u
b/
đi qua hai điểm
2;3; 1 ; 1; 2;4
A B
c/
đi qua điểm
2; 5;3
A và song song với đường thẳng
2 3
: 3 4
5 2
x t
d y t
z t
d/
đi qua điểm
3;2; 4
A
và song song với trục
Ox
.
e/
đi qua điểm
2; 5;3
A và song song với đường thẳng
MN
với
5;3;2 ; 2;1; 2
M N
.
f/
đi qua điểm
2;4;3
A và vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 6 19 0
P x y z
g/
là giao tuyến của hai mặt phẳng
: 6 2 2 3 0; :3 5 2 1 0
P x y z Q x y z
h/
đi qua điểm
1;0;5
M và vuông góc với hai đường thẳng
1
1 2
: 3 2
1
x t
d y t
z t
và
2
1 2 1
:
1 1 3
x y z
d
i/
đi qua điểm
1;2; 2
A
, vuông góc và cắt đường thẳng
' : 1
2
x t
y t
z t
j/
đi qua điểm
2; 1;1
A và cắt cả hai đường thẳng
1 2
1 1 3 '
: 2 ; : 2 '
3 3 '
x t x t
d y t d y t
z z t
k/
nằm trong mặt phẳng
: 2 0
P y z
và cắt hai đường thẳng
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
21
1 2
2
1
: ; : 4 2
1 1 4
1
x t
x y z
d d y t
z
m/
song song với đường thẳng
1 1
' :
2 1 2
x y z
và cắt cả hai đường thẳng
1 2
1 1 2 1 3
: ; :
1 2 1 3 2 1
x y z x y z
d d
n/
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng
1 2
3 2 2 3 '
: 1 4 ; : 4 '
2 4 1 2 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
t/
là hình chiếu của đường thẳng
2 3 1
:
2 1 3
x y z
d
trên
mp
: 2 2 3 0
P x y z
.
l/
đi qua điểm
0;1;1
A , vuông góc với
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
và cắt
đthẳng
2
1
:
1
x
d y t
z t
Bài 2: Cho tứ diện
ABCD
có
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 1;1;1
A B C D . Viết phương
trình tham số của các đường thẳng sau:
a/ Chứa các cạnh của tứ diện
ABCD
b/ Đường thẳng qua
C
và vuông góc với mặt phẳng
ABD
.
c/ Đường thẳng qua
A
và trọng tâm của tam giác
BCD
.
Bài 3: Cho tam giác
ABC
có
1;2;5
A và hai trung tuyến
1
3 6 3
:
2 2 1
x y z
d
;
2
4 2 2
:
1 4 1
x y z
d
. Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh
của tam giác.
Bài 4: Cho bốn điểm
1;2; 1 ; 3; 4; 1 ; 1; 4;1 ; 3;2;1
S A B C .
a/ Chứng minh
.
S ABC
là một hình chóp
b/ Viết phương rình tham số các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
22
c/ Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.
Bài 5: Cho bốn điểm
1; 2;3 ; 2; 2;3 ; 1; 1;3 ; 1; 2;5
S A B C .
a/ Chứng minh
.
S ABC
là một tứ diện.
b/ Viết phương trình các hình chiếu của SA,SB trên mặt phẳng
ABC
.
Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
a/
1
1 2 4
:
2 1 3
x y z
d
2
1
:
2 3
x t
d y t
z t
b/
1
5 2
: 1
5
x t
d y t
z t
2
3 2 '
: 3 '
1 '
x t
d y t
z t
c/
1
2 2
: 1
1
x t
d y t
z
2
1
: 1 '
3 '
x
d y t
z t
d/
1
1 2 3
:
9 6 3
x y z
d
2
7 6 5
:
6 4 2
x y z
d
e/
1
1 5 3
:
2 1 4
x y z
d
2
6 1 3
:
3 2 1
x y z
d
f/
1
2 1
:
4 6 8
x y z
d
2
7 2
:
6 9 12
x y z
d
g/
1
2 2 2 0
:
2 2 4 0
x y z
d
x y z
2
2 2 0
:
2 1 0
x y z
d
x y z
h/
1
9
: 5
3
x t
d y t
z t
2
2 3 3 9 0
:
2 3 0
x y z
d
x y z
Bài 2: Chứng tỏ các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường
vuông góc chung của chúng.
a/
1
1 2
: 3
2 3
x t
d y t
z t
2
2 '
: 1 '
3 2 '
x t
d y t
z t
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
23
b/
1
1 2
: 2 2
x t
d y t
z t
2
2 '
: 5 3 '
4
x t
d y t
z
c/
1
3 2
: 1 4
2 4
x t
d y t
z t
2
2 3 '
: 4 '
1 2 '
x t
d y t
z t
d/
1
2 1
:
3 2 2
x y z
d
2
1 1
:
1 2 4
x y z
d
e/
1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d
2
3 1 1
:
7 2 3
x y z
d
f/
1
2 1 3
:
2 1 2
x y z
d
2
3 1 1
:
2 2 1
x y z
d
g/
1
2 2 2 0
:
2 2 4 0
x y z
d
x y z
2
2 2 0
:
2 1 0
x y z
d
x y z
Bài 3: Tìm giao điểm của hai đường thẳng
1
d
và
2
d
:
a/
1
: 1 2
3
x t
d y t
z t
2
1 '
: 2 '
4 '
x t
d y t
z t
b/
1
: 1 2
4 3
x t
d y t
z t
2
1 '
: 2 '
3 '
x t
d y t
z t
c/
1
: 2 3
8 5
x t
d y t
z t
2
2 '
: 7 2 '
'
x t
d y t
z t
d/
1
2 1 0
:
1 0
x y
d
x y z
2
3 3 0
:
2 1 0
x y z
d
x y
Bài 4: Tìm m để hai đường thẳng
1 2
à
d v d
cắt nhau. Khi đó tìm tọa độ giao điểm
của chúng
1
1
/ :
1 2
x mt
a d y t
z t
2
1 '
: 2 2 '
3 '
x t
d y t
z t
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
24
1
1
/ : 3 2
x t
b d y t
z m t
2
2 '
: 1 '
2 3 '
x t
d y t
z t
1
2 4 0
/ :
3 0
x y z
c d
x y
2
2 3 0
:
2 6 0
x y mz
d
x y z
Vấn đề 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
P
. Tìm giao điểm
(nếu có) của chúng.
2
/ : 1 : 10 0
3
x t
a d y t P x y z
z t
3 2
/ : 1 4 : 4 3 6 5 0
4 5
x t
b d y t P x y z
z t
12 9 1
/ : :3 5 2 0
4 3 1
x y z
c d P x y z
11 3
/ : : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d d P x y z
13 1 4
/ : : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
e d P x y z
3 5 7 16 0
/ : : 5 4 0
2 6 0
x y z
f d P x z
x y z
2 3 6 10 0
/ : : 4 17 0
5 0
x y z
g d P y z
x y z
Bài 2: Cho đường thẳng
d
và mặt phẳng
P
. Tìm
,
m n
để:
2.1/
d
cắt
P
2.2/
d
//
P
2.3/
d
P
2.4/
d P
1 2 3
/ : : 3 2 5 0
2 1 2
x y z
a d P x y z
m m
1 3 1
/ : : 3 2 5 0
2 2
x y z
b d P x y z
m m
3 2 3 0
/ : : 2 3 2 0
4 3 4 2 0
x y z
c d P x y m z
x y z
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
25
3 4
/ : 1 4 : 1 2 4 9 0
3
x t
d d y t P m x y z n
z t
3 2
/ : 5 3 : 2 3 3 5 0
2 2
x t
e d y t P m x n y z
z t
Bài 3: Cho đường thẳng
d
và mặt phẳng
P
. Tìm
,
m n
để:
/ : 2
3
x m t
a d y t
z t
cắt
: 2 5 0
P x y z
tại điểm có tung độ bằng 3.
2 3 0
/ :
2 5 0
x y
b d
y z
cắt
: 2 2 2 0
P x y z m
tại điểm có cao độ bằng -1.
Vấn đề 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng
d
và mặt cầu
S
. Tìm giao điểm
(nếu có) của chúng.
2 2 2
1 2
/ : : 2 4 1 0
2 1 1
x y z
a d S x y z x z
2 2
2
2 1 0
/ : : 1 2 16
2 3 0
x y z
b d S x y z
x z
2 2 2
2 1 0
/ : : 2 2 14 0
2 0
x y z
c d S x y z x y
x y
2 2 2
2 1 0
/ : : 4 2 10 8 0
2 0
x y z
d d S x y z x y z
x y
2 2 2
2
/ : : 2 4 2 2 0
3
x t
e d y t S x y z x y z
z t
2 2 2
1 2
/ : 2 : 2 4 6 2 0
3
x t
f d y t S x y z x y z
z t
2 2 2
1
/ : 2 : 2 4 6 2 0
4
x t
g d y t S x y z x y z
z
