10 goc giua dg thang va mp BG (2017)

/>Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

fb

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn

.c

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

m

o

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA CÓ GIẢI CHI TIẾT

Ví dụ 1 [ĐVH] : Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc.

/g

Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).

ro

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).

u

d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).

p

Lời giải

T
s/
O

u

ie

iL
a
T

n

SI ⊂ (SAB)

a) Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc ta có: (SAB) ∩ (ABCD) = AB 
→ SI ⊥ (ABCD)
SI ⊥ AB

Khi đó, I là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) ⇒ SC có hình chiếu lên (ABCD) là IC.

h

Suy ra, ( SC,(ABCD) ) = ( SC, IC ) = SCI , (do ∆SIC vuông tại I nên góc SCI là góc nhọn).
a 3
.
2

iD

SI là đường cao của tam giác đều SAB nên SI =

2

1

0

c

o

b) Giả sử ta dựng được BH ⊥ (SAD) ⇒ BH ⊥ AD, (1)
Ta sẽ chứng minh được điểm H chính là trung điểm của SA.
Thật vậy, do SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ AD. Mà AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB), (2)

iH
a

a 3
a2

a 5
SI
15
2
Trong tam giác vuông IBC: IC = IB + BC =
+a =
⇒ tan SCI =
= 2 =
4
2
CI a 5
5
2
 15 
Vậy ( SC,(ABCD) ) = SCI = arctan 
 .
 5 
2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
/>

/>Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95

m

o

.c

fb

 AD ⊥ BH
Từ (1) và (2) ta được 
⇒ BH ⊂ (SAB) ⇒ BH ⊥ SA , vậy H là trung điểm của SA (do ∆SAB đều)
 AD ⊥ (SAB)
BH ⊥ (SAD) ⇒ BH chính là khoảng cách từ điểm B đến (SAD).
a 3
a 3
Do BH là trung tuyến của tam giác đều cạnh a, nên BH =
⇒ h ( B;(SAD) ) =
2
2
Để xác định góc giữa SC và (SAD) ta cần xác định hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD).
Do S ∈ (SAD) nên hình chiếu của S là chính nó. Ta cần xác định hình chiếu của C lên (SAD).
Theo trên, BH ⊥ (SAD) nên ta chỉ cần dựng CK // BH thì CK ⊥ (SAD), hay K là hình chiếu vuông góc của C lên
(SAD).
Ta kẻ Sx // AD để mở rộng (SAD) thành (Sx, AD). Trong (Sx, AD) dựng Hy // Sx // AD.
Trong (Hy, BC) ta dựng CK // BH, khi đó CK CK ⊥ (SAD) ⇒ SK là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD).

/g

Từ đó ta được ( SC,(SAD) ) = ( SC,SK ) = CSK , (do ∆SCK vuông tại K nên góc CSK là góc nhọn).

ro

a 3
.
2

Theo (2), AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ HK ⊥ SA.

Ta có CK = BH =

T
s/

p

u

a 3
2
a
a
5
CK
15
Trong tam giác vuông SHK: SK = SH 2 + HK 2 =
+ a2 =
⇒ tan CSK =
= 2 =
4
2
SK a 5
5
2
 15 
Vậy ( SC,(SAD) ) = CSK = arctan 


 5 
c) Theo a, SI ⊥ (ABCD), mà SI ⊂ (SIJ) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Do S ∈ (SCD) nên hình chiếu của S lên (SCD) là chính nó. Ta chỉ cần xác định hình chiếu vuông góc của I lên
(SCD) là ok.
Thật vậy, thực hiện thao tác tương tự như câu b. Trong ∆SIJ, dựng IL ⊥ SJ, (3).
CD ⊥ IJ
Do 
⇒ CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ IL , (4)
CD ⊥ SI
Từ (3), (4) ta được IL ⊥ (SCD) ⇒ hình chiếu vuông góc của SI lên (SCD) là SL.

ie

iL
a

T

n

O

u

Khi đó, ( SI,(SCD) ) = ( SI,SL ) = ISL .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIJ cho đường cao IL ta có
a 21
1
1
1

1
1
7
a 21
IL
2 7
= 2+ 2 =
+ 2 = 2 ⇒ IL =
⇒ sin ISL= = 7 =
2
2
IL SI
IJ
a
3a
7
SI
7
a 3
a 3


2
 2 
2 7
Vậy ( SI,(SCD) ) = ISL = arcsin 

 7 

h

iD

Ví dụ 2 [ĐVH] : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600.

b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Lời giải

1

0

c

o

iH
a

a) Tính độ dài đoạn MN.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
/>

/>Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95

/g

m

o

.c

fb
p

nên ( MN,IN ) = 600 .

u

ro

a) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SA = SB = SC = SD và SO ⊥ (ABCD).
Gọi I là trung điểm của OA, khi đó MI // SO, và do SO ⊥ (ABCD) ⇒ MI ⊥ (ABCD), hay I là
hình chiếu vuông góc của M xuống (ABCD).
Theo giả thiết, góc giữa MN và (ABCD) bằng 600, có IN là hình chiếu của MN xuống (ABCD)
CI 3 CH
= =
⇒ IH // AB
CA 4 CB
Ta tách riêng hình vuông ABCD như hình dưới, ta dễ dàng tính toán được IN.

T
s/

Gọi H là trung điểm của NH, do I là trung điểm OA nên
2

2

ie

iL
a

a 10
 3a   a 
Trong ∆IHN vuông ta có: IN = IH 2 + HN 2 =   +   =
4
 4  4

IN
IN
a 10
0
⇒ MN =
=
cosMNI = cos60 =
0

MN
cos60
2
Trong tam giác vuông MIN ta có 
MI
a 30

0

0
 tan MNI = tan 60 = IN ⇒ MI = IN.tan 60 = 4

Do MI là đường trung bình của tam giác SOA nên SO = 2MI =

u

a 30
2

O

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

n

Câu 1: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
cosin các góc giữa:

b) ( SD; ( ABCD ) )

h

a) ( SC ; ( ABCD ) ) .

T

trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho HB = 3HA .Biết tam giác SAB vuông tại S. Tính

iD

Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC = 4a ; BAC = 1200 . Gọi
M là trung điểm của BC,N là trung điểm của AB, tam giác SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng

a) ( SB; ( ABC ) ) .

b) ( SN ; ( ABC ) ) .

iH
a

vuông góc với đáy. Biết SA = a 2 . Tính cosin góc giữa

c

a) Xác định độ dài SA để góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) bằng 300.

o

Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAC = 600 . Biết SA ⊥ ( ABCD ) .

1

( SAD ) .

0

b) Với SA xác định được ở trên, tính góc giữa SC và mặt phẳng ( SAB ) , góc giữa AC và mặt phẳng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

/>Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95

Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = a 3 . Điểm H

fb

nằm trên cạnh AB thỏa mãn AH =

1
AB . Hai mặt phẳng ( SHC ) và ( SHD ) cùng vuông góc với mặt
3

.c

phẳng đáy. Biết SA = a 5 , tính:

a) Góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) .

o

m

b) Góc giữa SD và ( SHC ) .
c) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) . Từ đó tính góc giữa SD và ( SBC ) .

/g

Câu 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông cân tại A , cạnh huyền BC = 2a .

ro

Hình chiếu của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của BC .

a) Biết AA′ = 2a . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ.

u

b) Tính góc giữa A′C với mặt phẳng ( AA′H ) và ( ABB′A′ ) .

p

Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S
a) SA và BD.
c) AD và (SAC)

T
s/

xuống mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa

b) SC và (ABCD)
d) SD và (ABCD)

iL
a

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD

= 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy, SA = a 2. Tính góc giữa

a) SC và (SAB)

b) SD và (SAC)

c) AC và (SAD)

T

n

O

u

ie
h
iH
a

Nhắc nhở:

iD

Thầy Đặng Việt Hùng

Các em cố gắng hoàn thành ít nhất 80% bài tập luyện tập rồi check đáp án trên Moon.vn nhé!

1

0

c

o
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
/>