Bài toán lăng trụ biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng LTĐH

Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 3


BÀI 02: LĂNG TRỤ BIẾT GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
I. Kiến thức cần nhớ:
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là
góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
- Cách diễn đạt khác: 2 cách diễn đạt góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng hay đường
thẳng nghiêng so với mặt phẳng đều giống nhau.
Các em chú ý vì có nhiều đề bài ra dưới dạng khác nhau, khi đó không bở ngỡ nữa.
Sau đây chúng ta cùng nhau xem xét các ví dụ cụ thể:
II.Các ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b,

0
60
ACB
=

,. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng
trụ.
Giải:
Ta có:
(
)
(
)

0
',( ' ') ', ' ' 30
BC ACC A BC AC AC B= = =
  

Và
2
0
1 1 3
. tan 60 .
2 2 2
ABC
b
S AB AC b b= = =


Mặt khác:
do:
(
)
AA '; ' ' '
AB AB AC AB ACC A AB AC
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Và ta có:
0
' cot 30 3 3
AC AB AB b
= = =

( )
( )
2
2
' 3 3 2 3
BC b b b
⇒ = + =
; BC = B’C’ =
( )
2
2
3 2
b b b
+ =


2 2 2 2
' ' ' ' 12 4 2 2
h BB BC B C b b b
⇒ = = − = − =
Vậy:
2
3
3
.2 2 6
2
b
V Bh b b= = =

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. AC’ hợp với
(BCC’B’) một góc 45
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải:
Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
Gọi M là trung điểm của BC ta thấy:

(
)
; ' ' '
AM BC AM BB AM BB C C
⊥ ⊥ ⇒ ⊥


(
)
(
)
0
';( ' ') ', ' ' 45
AC BCC B AC MC AC M⇒ = = =
  

Mặt khác:
' '
AM C M AMC
⊥ ⇒


vuông cân tại M và
ta có:
3
'
2
a
AM C M= =


2
2
2 2
3 2
' '
2 2 2
a a a
h CC C M CM
 
 
⇒ = = − = − =
 
 
 
 
 

Vậy ta có:
2 3
3 2 6

.
4 2 8
a a a
V Bh= = =

Bài 3: . Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B =
A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
Giải:
Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC
A’A = A’B = A’C (gt)
⇒A’O⊥ (ABC)
(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 60
0

A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC)
Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 60
0
= a
Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC =
4
3
2
a

⇒
V
ABC.A’B’C’ = S∆ABC.A’O =
4

3
3
a

Bài 4: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a,
AC = a
3
.Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
Tính VA’ABC theo a?
Giải:
Gọi H là trung điểm BC ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)
Ta có S∆ABC =
3.
2
2
1
2
1
aACAB =

Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3
Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH
Tam giác vuông A’HA có:
A’H
2
= A’A
2
- AH

2
= (2a)
2
-
4
1
.(a
2
+ 3a
2
)
hay A’H
2
= 4a
2
- a
2
= 3a
2
⇒ A’H = a
3

⇒ VA’ABC =
3
1
S∆ABC .A’H =
2
2
1 1
. 3. 3

3 2 2
a
a a =

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết
diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
Giải:
Gọi
1
V
là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích
lăng trụ. Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’)
Ta có:

( )
1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
1 1
. . .
3 3
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
∆ ∆
∆ ∆ ∆
= = = +

 
= + = = =
 
 

Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng
1
2
V
nên ta có đ
pcm


====================Hết===================



Giáo viên: Trịnh Hào Quang

Nguồn:

Hocmai.vn