Bài giảng giải tích 1 bài 6

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 6
§11. CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Đặt vấn đề
I. Hàm số y = f(x)
1) Điểm uốn
Định nghĩa. Điểm I(c ; f(c)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)  là điểm
phân chia phần lồi, lõm của đồ thị hàm số
Cách tìm. Tìm (c ; f(c)) sao cho f’’(x) đổi dấu khi x biến thiên qua x = c.
2) Tiệm cận
Định nghĩa.  x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị y = f(x)  lim f  x   
x  x0

 y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị y = f(x)  lim (f(x), ax + b) = 0.
x 

f (x )
, b  lim  f ( x )  ax 
x  x
x 

Khi đó ta có a  lim

Khi a = 0 ta có tiệm cận ngang
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận
a) y 

d) y 

x2
2

x 1
1
xe x

,

1

b) y 

x4
2

x 4

,

 x2
,

e) y   x 2  1

0,

c)

1

y  x ln  e   ,

x

x 1
x  1

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
3x2  2
a) y 
(x =  2, y = 3x phải ; y = 3x trái)
2
x 4
2x 2  3
b) y 
(x =  1, y = 2x phải ; y = 2x trái)
x2  1
x 2 arccot x
c) y 
(x =  1, y = 1, y = x + 1  )
x 1
x 2 arccot x
d) y 
(x = 1, y = 1, y = x  1  )
1 x
x 3 arccot x
x 5 arccot x

e) y 
(y
=
1,
y
=
x
+
1)
f)
y

(y = 1, y = x + 1)
1 x2
1 x4
g) 1) y  x  2arctan x

(tc xiên bên phải y =x- , bên trái y = x + )
27


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

2) y 

1
xe x

 1.

(tc đứng bên phải x=0 ; y=x+2)

3. Lược đồ khảo sát đồ thị.
a) Tập xác định
b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi lõm, tiệm cận, bảng biến thiên
c) Đồ thị
Ví dụ 3. y 

Ví dụ 5. y 

4x3  1
x
1
ex

3

Ví dụ 4. y  1  x 3

4

Ví dụ 6. y  ln 1  e  x 

x

 x  f (t )
II. Đường cong cho dưới dạng tham số 
, t  [ ;  ]

 y  g (t )
Tương tự như y = f(x), chỉ khác là khảo sát gián tiếp y theo x qua biến trung gian
t, và chú ý

dy y   t 
;

dx x   t 

d 2y
dx 2



y   t  x   t   y   t  x   t 

 x  2t  t 2
Ví dụ 1. 
3
 y  3t  t

 x  t  3
Ví dụ 2.

2
x3



2

y3



2
a3

,a>0

Ví dụ 3. x3 + y3  3axy = 0, a > 0 (lá Descarter)

 x  3t  2t 3
Ví dụ 4. a) 1) Cho y  f ( x ) , ở đó 
, tính f ( x ), f ( x )
t2
 y  te
2

2

et
2  et
(f  
, f  
)
2
3

9 1  2t

 x  t  et
2et
t

2) Cho y  f ( x ) , ở đó 
, tính f ( x ), f ( x ) ( f   2 1  e , f  
)
t
2t
1

e
 y  2t  e
 x  t 3  t
4
b) 1) Cho y  f ( x ) , ở đó 
, tính f ( x ), f ( x ) . ( f   4t , f   2
)
4
2
3
t

1
y

3
t

2

t

 x  t 3  3t
5  t 2  1
10t



2) Cho y  f ( x ) , ở đó 
, tính f ( x ), f ( x ) . ( f 
, f  
)
5
3
9  t 2  1
 y  t  5t
Ví dụ 5 . Tìm các tiệm cận

28


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

t

x  t 3  1

a) 
2
 y  2t


t3 1
1

x


1 t3
c) 1) 
 y  2t
1 t3

2

x


1 t3
3) 
y  1 t

1 t3
2t

 x  1  t 3
d) 
 y  1  2t

1 t 3

( y  2 x 

( y  2x 

(y  x 

t

x  t 3  1

b) 
(y = 3x  1)
2
3
t
y 

t3  1
1

x


1 t3
2) 
(y = 3x + 1)
3
t

y 
1 t3


2
)
3

2
)
3

1 t

x


1 t3
4) 
y  3

1 t3

1
)
3

(y = x +

1

)
3

3
1
(y   x  )
2
3

III. Đường cong cho trong hệ toạ độ cực
1) Hệ toạ độ cực. Hệ gồm điểm O, trục Ox gọi là hệ toạ độ cực


M(r ; ), r  OM , 0  r < ,  = Ox ; OM  , 0    2
Ví dụ 1.
a)  


2

b) r  cos 

c) r  sin 

d) r 

1
cos 

e) r 

1
sin 

Liên hệ với hệ toạ độ Descartes:
(r ; )  (x ; y), x = rcos, y = rsin.

y
(x ; y)  (r ; ), r  x 2  y 2 ,   arctan , lấy : sin cùng dấu với y.
x
Chú ý. Trong hệ toạ độ cực suy rộng ta có  < r < ,  <  < +, khi r1 < 0 thì
định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ;  + )
2. Lược đồ khảo sát đường cong r = f()
a) Tìm tập xác định
b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (thì đồ thị đối xứng qua trục cực), lẻ (thì đồ thị

đối xứng qua    ), tuần hoàn, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên,
2

r
tanV  , ở đó V là góc dương giữa OM và vectơ chỉ phương của tiếp tuyến
r
với đồ thị tại điểm M.
c) Đồ thị
Ví dụ 1. r = a(1 + cos), a > 0

Ví dụ 2. r = a sin3, a > 0
29

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo


2

Ví dụ 3. r = a sin2, a > 0

Ví dụ 4. (x + y2)2 = a2(x2  y2), a > 0.

Ví dụ 5. r = a(1 + 2cos), a > 0

Ví dụ 6. r = a sinn, n   , a > 0

Ví dụ 7. r = a cosn, n   , a > 0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

30