Bài giảng Giải tích 11 chương 4 bài 1 Giới hạn của dãy số

Chương IV: GIỚI HẠN
§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài giảng tại lớp Tiết 49, 50, 51, 52
I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Câu hỏi 1> Cho dãy số ( u
n
) với

a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:

Hãy tính các khoảng cách từ u
4
; u
10
; u
100
; u
2008
; …
đến 0

Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n
trở nên rất lớn ?
n
u
n
1

=
,
2008
1
, ,
100
1
, ,
10
1
, ,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì
khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?

Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách
này tiến dần đến 0, hay ta nói rằng u
n
dần đến 0.


Ta ký hiệu: u
n
0

ĐỊNH NGHĨA 1: ( SGK )

VÝ dô 1: Cho d·y sè (u
n
) víi

Chøng minh r»ng
( )
2
1
n
u
n
n
−
=
0lim
=
+∞→
n
n
u
ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK)

Ví dụ 2: Cho dãy số ( u

n
) với

Chứng minh rằng

Một vài giới hạn đặc biệt:
/q/<1, c - const
23
16
+
−
=
n
n
u
n
2
23
16
lim
=
+
−
+∞→
n
n
n
ccc
qb
nn

a
n
n
n
k
nn
=
=
==
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
lim)
0lim)
0
1
lim;0
1
lim)
II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

ĐINH LÝ 1:
a
a
b
a
ba
ba
va
=

≥=≥
≠=+
=+
−=−+
+=++
==
n
nn
nn
ulimvµ
0a thi u limvµ n mäi víi u NÕu b)
) 0b Õu
lim( /
limµ lim Õu
0
N (
v
u
lim /
.)lim( /
)lim(/
)
: thib va N )
n
n
nn
nn
nn
.vu
vu

bavu
u
CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 3:

Tìm

Lgiải: Chia cả tử và
mẫu cho n
2
thì:
2
2
1
3
lim
n
nn
+
−
1
1
1
3
1
3
2
2
2

+
−
=
+
−
n
n
n
nn
Làm thế nào để tìm được
giới hạn này ?
Em hãy cho biết
kết quả tìm được của mình?
3
1
3
1
1
lim
1
3lim
1
11 v3
2
2
==







+






−
=
+
−
=






+=






n
n
n

n
2
2
3n
lim nNª
n
1
limµ
n
1
-3lim cãTa
CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 4:

Tìm
n
n
21
41
lim
2
−
+
Có thể tìm được giới hạn
mà không phải dùng phép
chia hay không? Nếu được,
Hãy trình bày lời giải ?
1
2

2
2
1
4
1
lim
2
1
4
1
lim
2
2
−=
−
=
−
+
=






−
+
=
+
n

n
n
n
n
n
2n-1
4n1
lim cãTa
2
Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Biết dãy số (u
n
) thoả mãn:
Chứng minh rằng : lim u
n
= 1
Lời giải:
Do đó |W
n
| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số
hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác theo giả thiết
Từ (1) và (2) suy ra lim a
n
= 0. Vậy lim u
n
= 1 (đpcm)
*Nn;
∈∀<−

3
1
1
n
u
n
0
1
lim,1
.
1
1
2
2
==−=
=−=
n
u
n
u
n
n
nn
nn
limw v cãTa
wvµ vÆt §
(2) wv
nn nn
wu
≤≤−=

1
Bài tập 2: Tìm
nn
nn
24
4.53
lim
+
+
Hướng dẫn học ở nhà:

1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về
giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn

2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức
của định lý về giới hạn hữu hạn

3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang 121.
III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

1) Khái niệm:
,
2
1
, ,
8
1
,
4
1

,
n
2
1
:sau sè cÊp vÒxÐt nhËn unª H·y
*/ Dãy số là một cấp số nhân. Vì sao?
*/ Công bội là q = 1/ 2, q < 1
*/ Dãy số là cấp số nhân vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn
có công bội q với / q / < 1
III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
,
3
1
, ,
27
1
,
9
1
,
1
−






−−

n
3
1
1,-
Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?
Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?
Hãy nêu công thức tính tổng S
n
của cấp số nhân
lùi vô hạn biết u
1
và Công bội q, với /q/ < 1.
Tìm giới hạn của tổng S
n
khi n —> +∞ ?
Lời giải:
( )
0
111
lim
11
*
1
1

111
11
1
21
=

−
=














−
−
−
=








−
−

−
=
−
−
=+++=
n
n
n
n
limq
limS
S:d¹ng vÒViÕt
Sã
Do
q
u
q
q
u
q
u
raSuy
q
q
u
q
u
q
qu
uuu

n
n
n
n
c Ta
q
u
uuu
n
−
=++++=
1

1
21
Tæng S2)
n
Các ví dụ:

Ví dụ 5: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn
(u
n
), sau:
n
3
1
=
n
u Víi 1/

2
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
1
+






−++−−
−
n
Víi 2/
Đáp số: S = 1/ 2 Đáp số: S = 2/ 3
IV/ GIỚI HẠN VÔ CỰC
1) ĐỊNH NGHĨA

Câu hỏi 3: Cho dãy số tự nhiên u
n

= n

1/ Hãy kể một vài số hạng u
2008
?

2/ Cho u
n
là một số tự nhiên bất kỳ, có thể chỉ ra
được những số lớn hơn u
n
không?

3/ Hãy nêu nhận xét về dãy số vừa xét? Khoảng
cách giữa 0 và u
n
như thế nào khi n —> +∞ ?
Định nghĩa về giới hạn vô cực: ( SGK )
Kí hiệu: limu
n
= +∞ hay u
n
—>+∞ khi n—>+∞
Limu
n
=-∞ hay u
n
—>-∞ khi n—>+∞
Nhận xét: limu
n

=+∞ <=> lim(-u
n
) = -∞
2. Một vài ứng dụng

2.1) Lim n
k
= +∞ với k nguyên dương

2.2) Lim q
n
= +∞ nếu q>1

Ví dụ 7:

Ví dụ 8:
n
n
n.3
52n
lim :sau h¹ngiíira suy nµothÕ Lµm
lim3 vµ
n
5
2lim h¹ngiíi c¸c TÝnh
+







+
( )
25 −+ n
2
n-lim TÝnh
Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng
vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.
3/ Định lý:
Định lý 2:
+∞=>=+∞=
+∞=
∀=>=
=+∞==
n
vac
ab
a
nnn
n
n
nn
n
n
nn
limu thi limv vµ limu NÕu
v
u
lim

thi n víilimv vµ limu NÕu
v
u
lim thi limv vµ limu NÕua)
0)
00)
0
Hướng dẫn học ở nhà:

1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về
giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, và định nghĩa về
giới hạn vô cực

2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức
của định lý về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.

3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122.

4/ Làm bài tập trong sách bài tập gồm bài 1.9,
1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14.