Slide bài giảng Giải Tích 1 cô Đặng Lệ Thúy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (615.61 KB, 119 trang )
( 45 tit )
Chng 1 : Phép tính vi phân hàm mt bin
Chng 2 : Phép tính tích phân hàm mt bin
Chng 3 : Lý thuyt chui
Chng 4 : Phép tính vi phân hàm nhiu bin
Chng 5 : ng dng ca hàm nhiu bin
TÀI LIU THAM KHO
[1] Toán hc cao cp, tp 2&3, Nguyn ình Trí (ch biên),
NXB Giáo dc, 2009
[2] Toán cao cp, Gii tích hàm mt bin & Gii tích hàm
nhiu bin, Công Khanh (ch biên), NXB HQG
TP.HCM, 2010
Chng 1. Phép tính vi phân hàm mt bin
1.1. Các khái nim c bn v hàm s mt bin
1.1.1. nh ngha.
Cho X và Y là các tp hp khác rng. Mt ánh x t tp X vào tp
Y là mt quy tc t tng ng mi phn t ca X vi duy nht mt
phn t ca Y. Ký hiu là
trong ó: y c gi là nh ca x qua ánh x f
x c gi là to nh ca y qua ánh x f
VD.
là ánh x; không là ánh x (vì s 0
không có nh)
2
f :
x x
f :
1
x
x
f : X Y
x y f x
Nu ta có tp hp
có không quá mt phn t (hoc )
thì f là n ánh.
Nu ta có tp hp (hoc ) thì
f là toàn ánh.
Nu f va n ánh va toàn ánh thì f là song ánh
. Tc vi mi
, tn ti duy nht mt phn t sao cho f(x) = y.
VD. là song ánh
không n ánh, không toàn ánh
1 2 1 2
f x f x x x
f X Y
3
f :
x x
2
f :
x x
1
f y
y Y
1
f y x X f x y
y Y
y Y
x X
Cho là song ánh. Khi ó, vi mi , tn ti
duy nht mt phn t sao cho f(x) = y. Ánh x
t tng ng phn t y vi ngh ch nh x ca nó c gi là ánh
x ngc ca f.
Vy:
(Ánh x ngc ca f c!ng là song ánh)
Cho hai tp khác rng . Ánh x c
gi là mt hàm s. Ký hiu y = f(x).
Tp X c gi là tp xác nh ca f, ký hiu D
f
.
Tp c gi là min giá tr ca f.
X , Y
f : X Y
Y y f x x X
f : X Y
y Y
x X
1
f : Y X
1
y Y , f y x f x y
1
f
1.1.2. Hàm s ngc
nh ngha. Cho song ánh . Ánh x ngc ca f là
gi là hàm s ngc ca hàm y = f(x), và vit là
Nu là hàm s ngc ca hàm y = f(x) thì th
ca chúng i xng qua "ng th#ng y = x.
VD.
f : X Y
1
f
x y ; y Y
1
y f x
x 1
2
f x 2 f x log x; x 0
>
1.1.3. Hàm s lng giác ngc
Hàm s có hàm
ngc là
y sin x; x ; 1 y 1
2 2
y arcsin x; 1 x 1; y
2 2
Hàm s
có hàm ngc là
Hàm s
có hàm ngc là
Quy c:
y cosx; 0 x ; 1 y 1
y arccosx; 1 x 1; 0 y
y tan x; x ; ; y
2 2
y arctan x; x ; y ;
2 2
arctan
2
arctan
2
Hàm s có hàm ngc là
Quy c:
y cot x; x 0; ; y
y arc cot x; x ; y 0;
arctan
arctan 0
1.2. Gii hn ca hàm s mt bin
1.1.1. nh ngha.
Cho là tp s th$c. i%m x
o
c gi là im gii hn
(hay im t) ca tp D nu trong mi khong
u cha vô s các phn t ca tp D.
VD. i%m t ca D là [0, 1]
D có duy nht mt i%m t là 0
D có 2 i%m t là 1 và –1
o o
x , x
D
D 0,1
1
D ; n
n
! "
# #
# #
$ %
# #
# #
& '
n
n 1
D 1 ; n
n 2
! "
# #
# #
$ %
# #
# #
& '
nh ngha 1. (theo ngôn ng “ ”)
Cho hàm s y = f(x) xác nh trên tp và x
o
là i%m gii
hn ca tp X. S c gi là gii hn ca hàm s f khi x
dn n x
o
nu mà
Khi ó ký hiu: hay khi
Chú ý.
Trong nh ngh&a không òi h'i hàm f phi xác nh ti x
o
.
VD. mc dù hàm không xác nh ti x = 2.
(
X
l
0, 0 : x X
)(
o
0 x x f x l
(
o
x x
lim f x l
f x l
o
x x
2
x 2
x 4
lim 4
x 2
nh ngha 2. (theo ngôn ng dãy)
Hàm f c gi là có gii hn l khi x dn n x
o
nu vi mi dãy
s th$c mà và khi thì
khi
Chú ý. Th"ng dùng nh ngh&a này % chng t' hàm không có
gii hn.
(Nu tìm c hai dãy mà hi
t v hai s khác nhau thì hàm không có gii hn).
VD. Chng t' không tn ti gii hn
nh lý. Gii hn ca hàm s f khi nu có là duy nht.
n
n
x X
n o
x x
n o
x x
n
n
f x l
n
n n o
x , x x
*
n n
f x , f x
*
x 0
1
lim sin
x
o
x x
1.1.2. Gii hn vô cùng và gii hn vô cùng. (Xem giáo trình)
1.1.3. Gii hn mt phía.
Cho hàm s y = f(x) xác nh trên X. S c gi là gii
hn trái ca hàm f khi nu mà
. Ký hiu:
Cho hàm s y = f(x) xác nh trên X. S c gi là gii
hn phi ca hàm f khi nu mà
. Ký hiu:
nh lý.
l
o
x x
0, 0 : x X
)(
o
0 x x f x l
(
o
o
x x
lim f x l f x
l
o
x x
0, 0 : x X
)(
o
0 x x f x l
(
o
o
x x
lim f x l f x
o
o o
x x
x x x x
lim f x l lim f x lim f x l
Chú ý. nh lý trên th"ng c dùng % chng t' hàm không có
gi
i hn. Gii hn mt phía th"ng c dùng trong các tr"ng
hp hàm cha c(n bc ch)n, cha tr tuyt i hoc hàm ghép.
VD 1. Chng t' không tn ti gii hn
VD 2. Cho . Tìm
1.1.4. Tính cht và các phép toán ca gii hn hàm s.
(Xem Giáo trình)
nh lý. Gi s ba hàm s f, g, h th'a mãn bt #ng thc:
vi
Khi ó, nu thì
x 0
sin x
lim
x
2 x 3; x 0
f x
1
x sin ; x 0
x
!
+
#
#
#
$
#
#
#
&
x 0
lim f x
f x g x h x
x a , b
o o
x x x x
lim f x lim h x l
o
x x
lim g x l
1.1.5. Mt s kt qu gii hn cn nh.
x
x x 0
1
x
x 0 x 0
1
x
x 0 x 0
x 0 x 0
ln 1 x
1
1) lim 1 e 6) lim 1
x x
tan x
2) lim 1 x e 7) lim 1
x
1 arcsin x
3) lim 1 x 8) lim 1
e x
sin x arctan x
4) lim 1 9) lim
x x
,
x
2
x 0 x 0
1
e 1 1 cos x 1
5) lim 1 10) lim
x x 2
1.3. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng ln (VCL)
nh ngha.
Hàm f c gi là mt VCB khi (x
o
có th% là h*u hn
hoc vô cùng) nu
Hàm f c gi là mt VCL khi (x
o
có th% là h*u hn
hoc vô cùng) nu
VD. x, sinx, tanx, e
x
– 1, ln(1+x), 1 – cosx là các VCB khi
x, lnx, e
x
là các VCL khi
o
x x
o
x x
lim f x 0
o
x x
o
x x
lim f x
x 0
x
T+ng hoc tích ca hai VCB khi là mt VCB khi
Tích ca mt VCB khi và mt hàm b chn trong lân cn ca
x
o
là mt VCB khi .
; trong ó g là VCB khi
* Gi s f và g là hai VCB khi và . Khi ó
Nu l = 0 thì ta nói f là VCB bc cao hn g, ký hiu là f = o(g)
Nu l = thì ta nói f là VCB bc thp hn g
Nu thì ta nói f và g là các VCB cùng bc, ký hiu là
f = O(g)
c bit, nu l = 1 thì ta nói f và g là các VCB tng ng, ký hiu
là
o
x x
o
x x
o
x x
o
x x
o
x x
lim f x l f x l g x
o
x x
o
x x
o
x x
f x
lim l
g x
0 l
f g
– Các VCB tng ng có tính cht bc cu, tc nu và
thì
VD. Các VCB tng ng cn nh khi
* Ta có th% dùng các VCB tng ng % kh các dng vô nh .
C th% ta dùng các kt qu sau:
nh lý. iu kin cn và % f, g là hai VCB tng ng là
f – g là VCB bc cao hn f hoc g
f g
g h
f h
x 0
x
s inx x; tanx x; arcsin x x; arctan x x;
e 1 x; ln 1 x x
0
0
f , g, f , g
* *
Mnh . a) Nu là các VCB khi và ,
thì
b) N
u f, g là hai VCB khác bc thì f + g tng ng vi VCB bc
thp hn
c) Nu f, g là hai VCB khi và chúng u là t+ng ca nhiu
VCB. Khi ó b,ng gii hn ca t- s ca hai VCB bc
thp nht . t và . m/u (Vt b' các VCB bc cao hn)
VD 1. Tìm gii hn:
o
x x
f f
*
o o
x x x x
f x f x
lim lim
g x g x
*
*
g g
*
o
x x
o
x x
f x
lim
g x
3 3 3
4 2 2 6
x 0 x 0
x cos x 1 x sin x tan x
a ) lim b) lim
x x 3x x 9x
2
1
x
2
2
x 0 x 1
x 1
2 3
x 0 x 1
si
2
x 0 x 0
1
e cos
x
x
1) I lim 5) I lim x
sin x arctan x
sin e 1
ln 1 x tan x
2) I lim 6) I lim
x sin x ln x
ln cos x
e
3) I lim 7) I lim
ln 1 x
2
n 5 x sin x
x
x
2 3 4
x 0 x 0
e
ln 1 2x
e 1 cos x 1
e cos x
4) I lim 8) I lim
sin x sin x 2x
VD 2. Tìm gii hn
Chú ý. Quy tc VCB tng ng không áp dng c cho hiu hoc
t
+ng ca các VCB nu chúng làm trit tiêu t hoc m/u ca phân thc.
VD.
3 3
x 0 x 0
3 3
x 0 x 0
x 0 x 0
x x
x x
2 2 2
x 0 x 0 x 0
2
2 2
x 0
tan x sin x tan x x
1) lim lim
x x
tan x sin 2x x sin 2x
2) lim lim
x x
tan x sin 2x x 2x
3) lim lim
sinx x
e 1 e 1
x x
e e 2
4) lim lim lim
x x x
1 cos x
5) lim
x sin x
2
2 2
x 0
1 cos x
lim
x x
Sai
úng
úng
Sai
Sai
* T nh ngh&a suy ra: ngh ch o ca mt VCB là mt VCL và
ngh
ch o ca mt VCL là mt VCB nên ta c!ng có các kt qu
t
ng t$ nh trên i vi VCL và ta dùng các VCL tng ng %
kh
các dng vô nh
VD. Tìm gii hn
(vt b' các VCL bc thp hn)
2
2
x
x 4 2 x 3 x
lim
x 4 x
Mt s công thc o hàm c bn.
x x
2
a
2
2
2
1
1) a a ln a 4) arccos x
1 x
1 1
2) log x 5) arctan x
x ln a 1 x
1 1
3) arcsin x 6) arccot x
1 x
1 x
*
*
* *
* *
1.4. o hàm và vi phân hàm mt bin. (Xem giáo trình)
1.5. Công thc Taylor
nh lý.
Nu hàm f có o hàm n cp n + 1 trong lân cn ca i%m .
Khi
ó ta có công thc Taylor ca hàm f n cp n ti là:
Trong
ó: R
n
(x – x
o
) c gi là phn d th n, ta có:
* **
-
0 < <1
(dng Lagrange)
-
(dng Peano)
– Khai tri%n Taylor ti i%m x
o
= 0 c gi là khai tri%n
Maclaurin c
a hàm f. Khi ó ta có:
– Khai tri
%n Maclaurin ca mt s hàm s cp:
a)
b)
c)
* **
d)
e)
f)
g)
h)
i)
i vi hàm f(x) = tanx ta khó tính c o hàm cp n t+ng
quát, nhng vi n = 4 ta có:
.
. . .
. .
.
