Bài giảng giải tích 1 bài 8

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 8
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TIẾP THEO)
4. Tích phân của một vài lớp hàm
b) Hàm lượng giác.

 R  sin x, cos x  dx , ở đó R(sinx, cosx) là hàm hữu tỉ đối với

các biến

 2t
1 t 2  2
R
,
dt

 1 t2 1 t2  1 t2
+) R(sinx, cosx) chẵn với sinx và cosx thì đặt t = tanx hoặc t = cotx
+) R(sinx, cosx) lẻ với sinx thì đặt t = cosx
+) R(sinx, cosx) lẻ với cosx thì đặt t = sinx

x
Đặt t  tan ,  < x <  
2
Chú ý.



Ví dụ 1.
3

 sin

a)
c)
e)

b)



dx
2sin x  cos x  3

d)



sin x sin2 x sin3 x dx

f)

dx

  sin x  cos x 2

g)

i)

x cos2 xdx

h)

dx

 sin2 x  3 sin x cos x  cos2 x

l)

cos 2x dx

 cos4 x  sin4 x
sin2 x

 cos3 x  sin2 x  1dx
dx

 1  sin2 x



3 sin x  2cos x
dx
2sin x  3 cos x

1
cos2 x

(  ln
C)
2 1  cos2 x

tan x

 1  cos2 x dx

m)

k)

dx

 sin2 x cos4 x

1
sin2 x
( ln
C )
2 1  sin2 x

cot x

 1  sin2 x dx


ax  b 
c) Tích phân các hàm số vô tỉ R x , Ax 2  Bx  C dx và R  x, n
 dx

cx  d 


 

 R  x,

1)







a2  x 2 dx , đặt x = asint hoặc x = acost đưa về tích phân hàm

lượng giác (4b).

 R  x,
3)  R  x,
2)


a
x 2  a 2  dx , đặt x 
cos t

a2  x 2 dx , đặt x = atan t hoặc x = acot t  (4b)

Ví dụ 2.
x5
a)
dx
2
1 x



b)



hoặc x 

x 3
x 2  2x  2
33

a
 (4b).
sin t

dx

c)

x

dx

x2  x  1


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

d)
g)

a2  x 2
dx, a  0
x




k)



l)



x  x 2  3 x  2 dx

h)

e)





x

x 1
dx
x 1

f)

x 1
dx
x 1

i)

2x

dx

 3 2  x  2  x 2



x 1
dx
1 3 x

x 3dx

1  2x  x 2
x4



m)



x 2  2x  3
x 3

( x 2  2 x  3  3ln x  1  x 2  2 x  3  C )

dx
dx

( x 2  4 x  5  ln x  2  x 2  4 x  5  C )

x 2  4x  5
x2
n)
dx
(   x 2  2x  3arcsin( x  1)  C )
 x 2  2x
Ví dụ 3. Dùng phép thế Euler để tính



 A > 0, đặt

Ax 2  Bx  C  t  Ax

 C > 0, đặt

Ax 2  Bx  C  xt  C

 Nếu Ax2 + Bx + C = A(x  )(x  ), đặt Ax 2  Bx  C = t(x  ) hoặc t(x 
) sẽ đưa về tích phân hàm hữu tỉ.
dx
dx
a)
b)
x  x2  x  1
1  1  2x  x 2



c)



dx

  x 2  a2 

2

d)

2

x2  1

  x 2  1

4

dx

x a
x 1
Chú ý. Có những hàm không có nguyên hàm sơ cấp:
x
cos x sin x
1
1
x2
2
2 e
 e , cos x , sin x ,
,
,
,
, 1 x3 ,
(Chứng minh
3
x
x
x

ln x
1 x
bởi Liouville (Pháp) vào thế kỉ 19).
 Một số công thức hay dùng
dx
 ln x  x 2  a2  C
x 2  a2
dx
x
 arcsin  C
a
a2  x 2








x
a2
x
2
2
a  x dx 
a x 
arcsin  C
2
2

a
2
x
a
x 2  a2 dx 
x 2  a2 
ln x  x 2  a 2  C
2
2
2

2

34


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đặt vấn đề
I. Định nghĩa.
1) Ý nghĩa hình học:
+) Bài toán diện tích hình
thang cong: f(x) liên tục và
không âm trên [a ; b], khi đó
diện tích của hình thang cong
0  y  f(x), a  x  b
n

là S  lim

 0

xi
 f  xi  xi ,   max
i 1, n
i 0

b

2) Ý nghĩa cơ học

 f  x  dx ,

f(x) > 0

a

 Là khối lượng của đoạn [a ; b] với mật độ khối lượng là f(x)
 là công của lực có độ lớn f(x) > 0 tác động vào vật chuyển động thẳng từ x =
a đến x = b.
3) Tính áp lực lên mặt đĩa. Tính áp lực lên một mặt đĩa phẳng chìm trong
nước trong hình
b



F  whxdh ,

a

1
tấn/(ft)3
32
4) Định nghĩa. f(x) xác định trên [a ; b]
ở đó w là trọng lượng riêng của nước =

+) Chia [a ; b] bởi các điểm chia a  x0 < x1 < x2 < ... < xn  b
+) Lấy i  [xi  1 ; xi]
n

+) Lập tổng  

xi
 f i   xi , đặt   max
i 1, n
i 1

Nếu lim   I không phụ thuộc vào cách chia [a ; b] và cách chọn điểm i thì
 0
( n  )

b

I là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a ; b] và kí hiệu là

 f  x  dx .
a

30

Ví dụ 1. a) Tính



2

0 dx

b) Tính

20

1



2010dx

11

n

k
d ) lim 2
k cos
n  n
2n
k 1



1

(

2  4



2

c)

1, x  
y  x  dx, y  x   
0, x  I
0



1

n

k

 k sin 2n
n  n 2

e ) lim

)

k 1

35

(

4



2

)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
n



n

 n2  k 2
n 

f ) lim

n


( )
4

k 1

n

 3n 2  k 2
n 

g ) lim

(

k 1

n

n

1
h) Chứng minh rằng
 ln2 .
n


k
k 1



n


n 

1

k) lim

k 1

2

4n  3k

(

2


3 3

i) Chứng minh rằng
n

)

1

 2n  k  ln2

n

 n 2  3k 2
n 

l) lim

)

(

k 1


3 3

)

a

 f  x  dx   f  x  dx
a
b

 Khi a = b có

6 3

k 1

b

Định nghĩa.  Khi b < a có



b

 f  x  dx  0
a

II. Tiêu chuẩn khả tích, tính chất
1) Tiêu chuẩn khả tích
Định lí 1. f(x) khả tích trên [a ; b]  lim  S  s   0 ,
 0

n

S

n

f  x  , mi  min f  x 
 Mi  xi , s   mi  xi , Mi  max

x
x
i 0

i

i

i 0

Định lí 2. f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) khả tích trên [a ; b]
Định lí 3. f(x) bị chặn trên [a ; b] và có hữu hạn điểm gián đoạn trong [a ; b] 
f(x) khả tích trên [a ; b]
Định lí 4. f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a ; b]  f(x) khả tích trong [a ; b]
Ví dụ 2. Tính
2

a)

1

 x dx

b)

0

c)

 x dx

e)

b
x

 a dx, a  0
0

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

36

x

 e dx
1

1
3

1

 x dx
0

5

d)

2
2

f)

x
a



dx, a  0