Giải tích số phạm kỳ anh

THƯ VIỆN
ĐẠI IIỢC TIIUY SẢN

519.4
Ph 104 A

GIẢI TÍ
( Sweep, method J

1
/ -----------I n p u^ t , n , A------------, 2 ? /

1h m 1/n

X

»= l, 2,...,n-l

K

~ i r ~

5 = 2 +£i^i mi =
n, = (2 -M )/5 ;

>

- 2)/S;
= 2/i/5

i

c, * a i / ( a 0h - <*ị ); dp « A h /a i

I

---------- \

I = 1,2, ...,n

1
m, - f»iC»-i); di = M 3 - n,¡Ci-idi-1

y. -

ị
'i + 0icn- ì d n-\)/Ụĩph + 01 -1h 0iCn- i )

I

i as n —1 , 1

c

■

T

s

^

yi » c»(d» —y»+i)

"7 n ~ 7

/ P r i n t Í V iĩĩ/
End

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI I IỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


IN LẦN THỨ II

NHÀ XUẤT BẢNĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI -1996


CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẤN:
Giám Đốc: Nguyễn Văn Thòa
Tổng biên tập: Nghiêm Đỉnh V ỳ

Biên tập: N g u y ễ n H ã u D ư
Trình bày bìa: N gọc A n h

Giải tích số - Phạm Kỳ Anh - H - Đại học Quốc gia Hà Nội
200 trang; 27 cm - Mã số: 01.01-ĐH 96 - 142.96


LÒI NÓIĐẰU

Giáo trình Giải tích số (GTS) này được biên soạn theo chưong trình cải
cách của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Chương trình này đã cắt giảm thòi lượng của

môn GTS từ 6 đon vị học trình (đvht) cho sinh viên khoa Toán - Cơ - Tin học
truòng Đại học Tổng hộp Hà nội xưống còn 3 đvht cho sinh viên nhóm ngành I
và dự định dạy trong giai đoạn I.
Tuy nhiên quá trình thử nghiệm giảng dạy giai đoạn I ở trưòng Đại học
Tổng hộp Hà nội cho thấy do khối lượng kiến thúc đại cương quá lốn nên GTS
phải chuyên sang dạy ỏ giai đoạn II, vổi thòi lượng lớn hon (4 đvht).
Vì. vậy mặc dù được giao viết giáo trình GTS vối thòi lượng 3 đvht, song để
đáp ứng nhu cầu sủ dụng đa dạng của các đối tượng khác nhau và xu thế nâng
cao chất lượng đào tạo của Đại học Quốc gia Hà nội, trong Giáo trình này
chúng tôi vẫn trình bày trong khoảng từ 4 đến 6 đvht những vấn đề co bản của
GTS.
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi giữ quan điểm là dù có tinh giản đến
đâu, giáo trình GTS ngảy nay phải sử dụng ngôn ngữ của Toán và Tin học đương
đại. Nhiều thuật toán được minh hoạ bởi các ví dụ số, các so đồ khối và kết quả
chạy máy. Đây ỉà một trong những điểm khác biệt của Giáo trình này so vỏi các
giáo trình GTS bàng tiếng Việt hiện có.
Kinh nghiệm giảng dạy lý thuyết và huỏng dẫn thực hành máy của tác giả
cho thấy so đồ khối chi tiết giúp sinh viên dễ lập trình và hiểu sâu thuật toán
hơn. Dĩ nhiên những so đồ khối mà chúng tôi trình bày ỏ đây còn mang tính học
thuật. Đ ể áp dụng vào thục tế, học viên cần sáng tạo thêm. Ví dụ để giải phương
trình f (x)—0 bằng phương pháp lặp, ta không nên chỉ dừng máy theo một tiêu
chuẩn
Xn — Xn — 1 < £1 mà nên xét thêm các quy tác dừng khác, như số lần
lặp quá lổn n >Nmax hay lượng không khổp đã khá bé Ị f(x) Ị < £2.
Do thòi gian và trình độ có hạn, Giáo trình này không tránh khỏi thiếu sót.
Chúng tôi rất mong được bạn đọc góp ý và lượng thứ.
H à nội 11 - 6 - 1 9 9 5

Tác giả

Chương mỏr đầu

GIỚI THIÊU VÊ GIẢI TÍCH s ố
§1. Giài tích số là gì?
Giải tích số (Numerical Analysis) hay còn goi là Phương pháp số (Numerical m eth­
ods), Phương pháp tính (Computational methods), Toán hoc tính toán (Computational
mathematics), theo cuốn Bách khoa toàn thư về khoa học và kỹ thuật, NXB Mc.Graw
Hill 1992, là một khoa hoc nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, các phương
trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.
Thoạt đầu, toán hoc phát sinh do nhu cầu giải các bài toán thực tế: Tính diện tích
đất đai, quỹ đạo sao chổi, đường di của các tàu buôn trên biển V. V. .. Như vậy có thể
nói lúc đầu toán học đồng nghĩa với toán học tính toán. Cùng với sự phát triển nội tại
cùa toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng
dụng. Tuy nhiên, những nhà toán học vĩ đại như Newton, Lagrange, Euler, Lobasepski,
Gauss, Chebysev, Hérmitte. v.v... đều có các công trình nền móng trong Giải tích số.
T ừ những năm 50 trờ lại đây, nhất là từ những năm 80, Giải tích số đặc biệt phát
triển cùng với sự phát triển của Tin hoc.
Ngày nay, với sư xuất hiên cúa siêu máy tính (Super Computer) khả năng song song
hoá các quá trình tính toán đươc rộng mở. Nhiều thuât toán song song đã được đề xuất
và áp dụng giải các bài toán thực tế.
Như trên đã nói, ba nhiệm vụ chính của Giải tích số là:
1 . Xấp xỉ hầm s ố : Thay môt hàm có dạng phức tap, hoặc môt hàm cho dưới dạng
bảng bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm, người ta thường
nghiên cứu các bài toán nôi suy, bài toán xấp xỉ đều và xấp xỉ trung bình phương.
2. Giải gần đúng các phương trình: Phương trình đại số và siêu việt, hệ phương trình
đai số tuyến tính, hê phương trình phi tuyến, bài toán tìm vector riêng, giá trị riêng của
một ma trận, giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương
trình tích phân và phương trình vi - tích phân.
3. Giải gần đúng các bài toán tối ưu: quy hoạch tuyến tính, quy hoach lồi, quy hoạch

toàn phương, quy hoạch nguyên, điều khiển tối ưu, trò chơi vi phân v.v...
Tuy nhiên, trong các giáo trình Giải tích số truyền thống, người ta chỉ đề cập đến
hai nhiệm vụ đầu của Giải tích số, còn nhiệm vụ thứ ba dành cho các giáo trình về Quy
hoach.


§2.

Sự khác biêt giữa toán lý thuyết và toán học tính toán (toán

tính).
Nếu toán lý thuyết chỉ quan tâm đến việc chứng minh tồn tại nghiệm, khảo sát dáng
điệu và một số tính chất định tính của nghiệm thì toán tính đề xuất thuật toán giải trên
máy. Giải tích số đặc biệt quan tâm đến các vấn đề: thời gian máy, bộ nhớ cần sử dụng
để giải bài toán, tốc độ hội tụ và sự ổn định của thuât toán.
Sau đây là một số ví dụ về sự khác biệt giữa toán tính và toán lý thuyết.
V í diu 1. Giả sử ta cần tính tích phân
In = f

(n > 1).

x ne x~ ì dx

Jo

Tích phân từng phần, ta được
n Ị Xn 1ex 1 dx = 1 —n / n_ i .
Jo
Ngoài ra
I\ = J

x e x ỉ dx = x e x 1|q —J

ex l dx = -

0,367879

Đến đây, người lảm lý thuyết cho rằng có thể tính được I n theo công thức truy hồi
In = 1 — ư /n - i; /i = - — 0,367879. Thực ra không phải như vậy vì /9 ~ —0,068480,
kết quả hoàn toàn không chính xác vì Vn, I n > 0.
Cho dù ta có tính e 1 chính xác đến như thế nào chăng nữa thì ta vẫn nhận đươc
I n < 0 với N đủ lớn. Nguyên nhân của sự thiếu chính xác này là do sai số ban đầu mắc
phải khi tính e_ 1 tuy rấ t nhỏ nhưng bị khuếch đại sau mỗi bước.
Để khắc phục hiện tượng này, ta tính theo công thức truy hồi ngược
In-Ĩ

=

n

*(1 -

In).

Đề ý rằng
0
x ndx = (n + 1) 2,

nên

lim I n = 0 .

n —► 00

Neu cho /20 — 0 thì sai so mac phải là £20 < — • Khi đó /19 ~ — với sai số £19 < —- X — .
21
20
^ 1 ^0
Đdn / 15, sai số chỉ còn £ 15 < 4 X 10~ 8 và /9 ~ 0,091623. •
6


V í d u 2. Cho hệ phương trình đại số tuyến tính:
( 2. 1 )

Ax = ồ,

trong đó A là ma trận vuông cấp n X n; b là vector n - chiều và detA / 0. v ề nguyên
tắc, có thể giải hệ (2.1) theo quy tắc Cramer:
X, = ^

(?; = 1, n)

(2.2)

trong đó A = đetA, còn Ai là đinh thức của ma trân, nhận được từ A bằng cách thav
cột thứ i bằng cột b.
Đe tìm nghiệm theo (2.2), ta phải tính (n + 1) dinh thúc.
Mỗi định thức có n! số hạng. Mỗi số hang có n thừa số, do vậy để tính mỗi số hang
phải thực hiện (n — 1 ) phép nhân. Như vậy, riêng số phép nhân phải thực hiên trong

(2.2) đã là n\(n + l)(n — 1 ). Giả sử n = 20 (trong thưc tế, đôi khi ta phải giải hệ (2.1)
cho n = O(103)), và máy tính của ta thực hiên dược 105 phép nhân trong một giây. Khi
đó để thực hiện hết các p h é p nhân t h e o (2.2) cũng phải mất 3 X 108 năm!
V í du 3. Xét hệ (2.1) với ma trận A = diag(0.1,0.1,..., 0.1) và n = 100. Khi đó
detA = 10~ 100 ~ 0, và theo quan điểm lý thuyết thì ma trân A rất suy biến. Thực ra
hoàn toàn không phải nhir vâv, A ~ ì = 10.E, trong đó E là ma trận đơn vị. Trong toán
hoc tính toán, người ta dùng môt đặc trưng khác, gọi là số điều kiện c.ond(A) của A đe
kiểm tra tính suy biến cùa nó.
Nếu cond(A) càng lớn thì ma trận A càng gần suy biến. Trong ví dụ này cond(A) = 1 ,
và A được coi là ma trận điều kiện - tốt (well conditioned).
/
1
\ n
V í du 4. Hệ (2.1) với ma trận Hilbert A = Ị -----7----- Ị

thường gặp trong

\ l + J - 1 / i,j=i

bài toán xấp xì trmig bình phương bằng đa thức đại số. Ma trận A khả nghịch và
! _1 =
trong đó
aij

/V_ 1V+j
/~l ì
L / í í + í - l L / n + i - l L , ỉ' + j - 2 L / n

Tuy nhiên, cho đến nay việc giải hệ này vẫn còn là một thách thức đối với những người

làm ứng dụng. Đe thấy được khó khăn trong việc giải số hệ (2.1) với ma trận Hilbert,
ta xét trường hơp đơn giản n — 3. Ta có hê:
( 1
1/2
V 1/3

1 / 2 1/3 \ / x A
( 11/6 \
1/3 1/4 Ị Ị a:2 Ị = Ị 13/12
1/4 1 / 5 / \ x 3 J
V47/60)

(2 .3 )


Nghiệm đúng của (2.3) là X* = (1 ,1 ,1)T. Nếu thay 1/3 ~ 0,333 và tìm nghiệm theo
những phvrơng pháp s ố tốt nhất, ta nhận được X ~ (1, 090; 0, 4880; 1 ,491)T. Kết quả
hoàn toàn không chính xác. Nguyên nhân là do m a trận Hilbert rấ t điều kiện xấu: Khi
n > > 1, cond(A) = 0 ( e n ).
Qua những ví dụ trên, ta thấy trong quá trình giải số một bài toán, có thể nảy sinh
nhiều vấn đề m à toán lý thuyết không quan tâm và không giải quyết được. Như vậy,
cần phải có m ột khoa học riêng, chuyên nghiên cứu việc giải số các bài toán - đó chính là
toán học tính toán.

§3. Quan hệ giữa toán tính và tin học.
Để giải số một bài toán thực tế, người ta phải lần lượt thực hiện các công đoạn của
quá trình mô phỏng số sau:
1 . Xây dựng mô hình toán học của bài toán thực tế.
2. Phân tích mô hình: Tính tương thích giữa mô hình với hiện tượng thực tế. v ấ n
đề tồn tại (và có thể duy nhất) của lời giải.

Phương hướng tính toán.
3. Rời rạc hoá mô hình: Người ta thường dùng các phương pháp sai phân phần tử
hữu hạn v.v... để quy bài toán liên tục về bài toán với số ẩn hữu hạn.
4. Xây dựng thuật toán. Ở công đoạn này, người ta còn chú ý đến các vấn đề: độ
phức tap của thuât toán, tính hội tụ, ổn định của phường pháp giải bài toán.
5. Cài đặt và khai thác tin học.
Giữa toán tính và tin học có mối liên hệ m ật thiết và sư tác đông qua lại. Do việc
tăng tốc độ tính toán ciia máy gặp nhiều khó khăn về kỹ thuật, hơn nữa lai đòi hỏi chi
phí lớn, nên để tính toán nhanh người ta thiên về cải tiến các phương pháp giải bài toán.
T ừ đó xuất hiện phép biến đổi nhanh Fourier, các thuật toán song song v.v... Cùng với
sự ra đời cùa các siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính vector v.v..., xuất hiện
nhiều phương pháp song song. Hiện nay ta được chứng kiến xu thế song song hoá đang
diễn ra trong tấ t cả các lĩnh vực của Giải tích. Để tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính,
người ta đã đề xuất những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa: như kỹ thuật nén
ma trận, kỳ thuật tiền xử lý m a trận V . V. . ..

§4.

Một

Số

khái niệm cơ bán của Giải tích hàm.

4.1. K hôn g gian m etric.
Hàm số d đ ư a mọi cặp phần tử {x,y} của tập X vào ]R'} được goi là khoảng cách
(hay metric) nếu với mọi x , y , z € X ta có:
8

V í d ụ 2. Cho hệ phương trình đại số tuyến tính:
Ax = b,
trong đó A là ma trận vuông cấp n X n; b là vector n
tắc, có thể giải hệ (2.1) theo quy tắc Cramer:
_

( 2. 1)

-

chiều và detrì / 0. Ve nguyên

/ • _ ĩ-----X

X l= A

( 2.2 )

= 1 ’n '

trong đó A = detA, còn Aj là định thức của ma trân, nhận đươc từ A bằng cách thav
cột thứ i bằng cột b.
Đe tìm nghiệm theo (2.2), ta phải tính (n + 1) định thức.
Mỗi định thức có n! số hạng. Mỗi số hạng có n thừa số, do vậy để tính mỗi số hang
phải thưc hiên (n — 1 ) phép nhân. Như vậy, riêng số phép nhân phải thực hiện trong
(2.2) đã là n\(n + 1)(?1 — 1 ). Giả sử n = 20 (trong thực tế, đôi khi
ta phải
giàihê
cho n = O(103)), và máy tính cùa ta thực hiện được 105 phép nhân
trong một giây. Kh

dó để thực hiên hết các phép nhân theo (2.2) cũng phải mất 3 X 108 năm!
V í d u 3. Xét hệ (2.1) với ma trận A = diag(0.1,0.1,..., 0.1) và n — 100. Khi đó
detrì = 1 0 ~ 100 ~ 0 , và theo quan điểm lý thuvết thì ma trân A rất suy biến. Thực ra
hoàn toàn không phải như vậv, A ~ ì = 10.E, trong đó E là ma trận đơn vị. Trong toán
học tính toán, người ta (lùng một đặc trưng khác, goi là số điều kiện cond(A) của A để
kiểm tra tính suy biến của nó.
Nếu cond(A) càng lớn thì ma trận A càng gần suy biến. Trong ví dụ này cond(A) = 1 ,
và A được coi là ma trận điều kiện - tốt (well conditioned).
V í d u 4. Hê (2.1) với ma trân Hilbert

thường gặp trong

oài toán xấp xí trung bình phương bằng đa thức đại số. Ma trận A khả nghịch và
V' 1 = (rtij), trong đó

Tuy nhiên, cho đến nay việc giải hệ này vẫn còn là một thách thức đối với những người
làm ứng dụng. Đe thấy được khó khăn trong việc giải số hệ (2.1) với ma trận Hilbert,
ta xét trường hơp đơn giản n — 3. Ta có hệ:
( 1
. 1 //Z
2
\l/3

1/2
1/Ó
1/3
1/4

1/3
i/

1/4
l/ 5
i

Xị

11/6

•i'3

13/12
47/60

(2.3)


Nghiệm đúng của ( 2 . 3 ) là X * = ( 1, 1, 1) T . Nếu thay 1/3 ~ 0,333 và tìm nghiệm theo
những phương pháp s ố tố t nhất, ta nhận được X ~ ( 1 , 090 ; 0 , 4880 ; 1 , 491 ) T . Kết quả
hoàn toàn không chính xác. Nguyên nhân là do m a trận Hilbert rấ t điều kiện xấu: Khi
n > > 1 . cond(rì) = 0 (en ).
Qua những ví dụ trên, ta thấy trong quá trình giải số một bài toán, có the nảy sinh
nhiều vấn đề m à toán lý thuyết không quan tâm và không giải quyết được. Như vậy,
cần phải có một khoa học riêng, chuyên nghiên cứu việc giải số các bài toán - đó chính là
toán hoc tính toán.

§3. Quan hệ giữa toán tính và tin học.
Để giải số một bài toán thực tế, người ta phải lần lượt thực hiện các công đoạn của
quá trình mô phỏng số sau:
1 . Xây dựng mô hình toán học của bài toán thực tế.
2. Phân tích mô hình: Tính tương thích giữa mô hình với hiện tượng thưc tế. v ấ n

đề tồn tại (và có thể duy nhất) của lời giải.
Phương hướng tính toán.
3. Rời rac hoá mô hình: Người ta thường dùng các phương pháp sai phân phần tử
hữu hạn v.v... để quy bài toán liên tục về bài toán với số ẩn hữu hạn.
4. Xây dựng thuật toán, ơ công đoạn này, người ta còn chú ý đến các vấn đề: độ
phức tạp của thuật toán, tính hội tụ, ổn định của phường pháp giải bài toán.
5. Cài đặt và khai thác tin học.
Giữa toán tính và tin học có mối liên hệ m ật thiết và sự tác động qua lại. Do việc
tăng tốc độ tính toán của máy gặp nhiều khó khăn về kỹ thuật, hơn nữa lại đòi hỏi chi
phí lớn, nên để tính toán nhanh người ta thiên về cải tiến các phương pháp giải bài toán.
T ừ đó xuất hiện phép biến đổi nhanh Fourier, các thuật toán song song v.v... Cùng với
sự ra đời của các siêu máy tính: Máy tính song song, m áy tính vector v.v..., xuất hiện
nhiều phương pháp song song. Hiện nay ta được chứng kiến xu thế song song hoá đang
diễn ra trong tấ t cả các lĩnh vực của Giải tích. Để tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính,
người ta đã đề xuất những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa: như kỹ thuật nén
ma trận, kỳ thuật tiền xử lý ma trận V . V . . . .

§4.

Một

Số

khái niêm cơ bán của Giải tích hàm.

4.1. K h ô n g gian m etric.
Hàm so d đ ư a mọi cặp phần tử {x,y} ctỉa tập X vào IR'} đươc goi là khoảng cách
(hay metric) nếu với mọi x , y t z e X ta có:
8

a) d(x, y ) > 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y.
b) d(x,y) = d(y,x).
c) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) (bất đằng thức tam giác).
Cặp (X, d) gồm tập nền X , metric d xác định trong X, được gọi là không gian metric.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể dùng ký hiệu X để chỉ không gian metric (X ,d).
Với mỗi

Xo

6 X cố định, tập
S ( x 0, R ) := {x € X : d( x , x 0) < R}

được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính R. Tương tự như vậy các tập
S ( x 0, R ) := {x 6 X : d( x , x 0) < R}vkS°(x0,R) = {x e X : d ( x , x 0) = R}
được gọi là hình cầu đóng hoặc mặt cầu tâm x0, bán kính R. Ta nói dãy (x „ Ị c X hội
tụ đến phần tử X 6 X (ký hiệu: x n —*■x) nếu d(xn,x) —> 0(n —►oo). Ánh xạ A đưa
không gian metric X vào không gian metric Y liên tục tại điểm X € X khi và chỉ khi mọi
dãy X n —>X suy ra A ( x n) —>A(x).
Dãy {xn} là dãy Cauchy, hay dãy cơ bản, nếu:
Ve > 0 3N(e) Vn, m > N(e) d(xn, x m) < £
Không gian metric X là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản hội tụ đến một phần tử nào đó
thuộc X.
Ánh xạ A đưa không gian metric (X, d) vào trong nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn
tại hằng số q € [0,1) sao cho với mọi X, y e X , d(A(x), A(y)) < qd(x, y). Hằng số q được
gọi là hệ số co của A. Dễ thấy mọi ánh xạ co đều liên tục.
Nguyên lý ảnh xạ CO (Banach). Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ
(X, d). Khi đó:
a) Tồn tại duy nhất X* € X sao cho A(x*) = X * . Phần tử X* gọi là điểm bất động
của ánh xạ A.

b) Mọi dãy lặp X n + 1 = A ( x n) (n > 0) xuất phát từ x0 bất kỳ đều hội tụ. Ngoài ra,
ta có các ước lưcmg sau
d(xn,x*) < qn(l - q)~ỉ d(x0,Xị)
d(xn,x*) < q(ỉ - g)~1 d(xn_1 ,x n)
Chứng minh.
1. Vi d(xn+1, x n) — d(A(xn), A(xfị—I )) 5; qd(x n,x n—i)
nên

(n > 1)
(n > 1 )

(4 .2 )

... ^ qnd(x0ìx j)

d(xfi, x n-ị-m) ^ d(xn, Xn-Ị-X) "b d(xn-ị-1 , xn_|_2 ) T ••• 4" ^(í-n+m—1J
9

(4.1)

)—


< qnd(Kx 0lx i){ l + q + ... + qm

—?) ^ d ( x0, X\).

Từ đây suy ra dãv |x „ Ị là cơ bản. Do X đầy đủ nên x n —> X * . Qua giới han trong biểu
thức X n + 1 = A ( x n) ta được X * = A(x*).
2. Giả sử £, là hai điểm bất động của A. Ta có

0 < d(Z,q) = d(A(£),A(q) < qd(£,q).
T ừ đây suy ra d(C c) = 0 hay £ — q.
3. Cho m —>oo trong biểu thức
d(xn, x n+m) < qn{1 - q)~l d(x0, x i )
ta đươc
d(xn,x*) < qn(1 - ợ)- 1 .
Để nhân đươc (4.2) ta đánh giá
d(xn,x n+m) < gd(xn_ i ,x n){ l + q + ... +

< q( 1 - ạ)_1d(xn_ i , x„).

Qua giới hạn khi m —Vco, ta có (4.2). (đpcm)
H ệ quả. Giả sử Vx, y € S ( x 0,r) c X , trong đó X là không gia.11 metric đủ,
d(A(x), A(y)) < qd(x, y) với hằng số q e (0,1). Nếu d(A(x0) , x 0) < (1 - q)r thì A
có duy nhất với một điểm bất động trong S ( x 0,r).
Chứng minh. Tập z := S ( x 0, r) với metric d cũng là môt không gian metric đù. Đe
áp dung nguyên lý ánh xa co, chỉ cần chứng tỏ A đưa tâp z vào z . T hật vậy,
Vx e z d(A(x), x 0) < d ( A ( x ) , A ( x 0)) + d( A ( x 0), X o ) < qr + (1 - q)r = r,
nghĩa là A(x) 4.2. K h ô n g gian tu y ế n tính.
Ta nói trên X xác định một cấu trúc tuyến tính A, nếu với mọi x ,y € X , với moi
t € JRl (hoăc t € ữ ) xác định phép cộng X + y € X và phép nhân tx £ X , thoả mãn các
tính chất sau:
a ) x + y = y + x (giao hoán)
b) (x + y) + z = X + (y + z)] s(t x) = (st)x (kết hợp)
c) (s + t)x = sx + tx; t(x -f y) — tx + ty (phân phối)
d) Tồn tại phần tử không: r + ớ = ĩ V ĩ £ X
e) Tồn tai phần tử đối: X + (—x) — 9 Vx £ X ,
f) l.x = X ,
10

a) d(x, y) > 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y.
b) d(x,y) = d(y, x).
c) d(x,z) < d(x,y) +d ( y , z ) (bất đẳng thức tam giác).
Cặp (X , d) gồm tập nền X , metric d xác định trong X , được gọi là không gian metric.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể dùng ký hiệu X để chỉ không gian metric (X, d).
Với mỗi X o e X cố định, tập
S ( x 0, R ) := {x e X : d(xì x 0) < R}
được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính R. Tương tự như vậy các tập
S ( x 0, R) := {x G X : d(x,Xo) < R}vkS°( x0, R) = {x € X : d ( x , x 0) = R}
được gọi là hình cầu đóng hoặc mặt cầu tâm x 0, bán kính R. Ta nói dãy {xn } c X hội
tụ đến phần tử x £ X (ký hiệu: x n —►x) nếu d(xn,x) —►0(n —►oo). Anh xạ Ả đưa
không gian metric X vào không gian metric Y liên tuc tại điểm X € X khi và chỉ khi mọi
dãy x n —* X suy ra A ( x n) —* A(x).
Dãy {Xn} là dãy Cauchy, hay dãy cơ bản, nếu:
Ve > 0 3N(e) Vn, m > N(e) d(xn, x m) < £
Không gian metric X là
thuộc X .
*

đầy

đủ, nếu mọi dãy cơ bản hội tụ đến một phần tử nào đó

Anh xạ A đưa không gian metric (X, d) vào trong nó đươc goi là ánh xạ co nếu tồn
tại hằng số q e [0,1) sao cho với mọi X , y e X , d(A(x), A(y)) < qd(x, y). Hằng số q được
gọi là hệ số co của A. Dễ thấy mọi ánh xạ co đều liên tục.
Nguyên lý ánh xạ CO (Banach). Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ
(X, d). Khi đó:

a) Tồn tại duy nhất x* G X sao cho A(x*) = X * . Phần tử X* goi là điểm bất đông
của ánh xạ A.
b) Mọi dãy lặp £ n+1 = A ( x n) (n > 0) xuất phát từ x 0 bất kỳ đều hội tụ. Ngoài ra,
ta có các ước lượng sau
d(xn,x*) < qn(l - q)~1d(x0, x ì )
d(xn,x*) < q(ì - q ) - 1d(xn^.u x n)
Chứng minh.
1. Vi d(xn^-i,xn)
nên

d(A(xn), A ( x n—1 )) V ợd(xn,x n_ i)

(n > 1)
(n > 1)

... ^ ợnd(x0,x i)

dịxịi, xn+m) V d(xn, xn+i) + d(xn+i, xn-|-2) + ••• + địxn+m- i , xn+m) <
9

(4.1)
(4.2)


<■ qnd(x0, Xị ) { l

q

A qm 1} ^ q n(l —q) 1c?(xo, Xi).

T ừ đây suy ra dãv {xn} là cơ bản. Do X đầy đủ nên x n —>X * . Qua giới hạn trong biểu
thức x n+\ — A { x n ) ta được X * — A(x*).
2. Giả sử £, q là hai điểm bất đông của A. Ta có
0 < d (£ ,ọ = d(A({),A(q) < qd(£,q).
T ừ đây suy ra d(£, q) = 0 hay £ = c.
3. Cho rn —> oo trong biểu thức
d(xn, x njrJn ) ^ q ( 1

q)

d(x o, XỊ)

ta đươc
d(xn,x*) < qn( 1 - q)~l .
Để nhận đươc (4.2) ta đánh giá
d( xn , x n+m) < qd(xn- i , x n){ 1 + q + ... + qm_1} < q( 1 - q)- 1 d (x „ -i, x n ).
Qua giới hạn khi m —* co, ta có (4.2). (đpcm)
H ê quả. Giả sử Vx,y € S ( x 0,r) c X , trong đó X là không gian metric đủ,
d(A(x), A(y)) < qd(x,y) với hằng số q £ (0,1). Nếu d( A(x 0) , x 0) < ( 1 — q)r thì A
cố duy nhất với môt điểm bất động trong S ( x 0,r).
Chứng minh. Tập z := S ( x 0,r) với metric d cũng là môt không gian metric đủ. Đe
áp dụng nguyên lý ánh xa co, chỉ cần chứng tỏ A đưa tập z vào z . T hật vây,
'ix £ z d(A(x), x 0) < d(A(x), A ( x 0)) + d(A(x0), x 0) < qr + ( 1 - q)r = r,
nghĩa là A(x) £ z . ( đ p c m )
4.2. K h ôn g gian tu y ế n tính.
Ta nói trên X xác đinh một cấu trúc tuyến tính A, nếu với mọi x , y £ X , với moi
t £ M 1 (hoặc t £ C ) xác định phép cộng X + y £ X và phép nhân tx £ X , thoả mãn các
tính chất sau:
a) X + y = y + X (giao hoán)
b) (x + y) 4- z = X + (y + z)\ s(tx) — (st)x (kết hợp)

c) (5 + t)x = sx + tx\ t(x -f y) = tx + ty (phân phối)
d) Tồn tại phần tử không: X + 9 = X VT £ X
e) Tồn tại phần tử đối: X -Ị- (—x) = 9 \fx £ X ,
f) l.x = X,
10


trong đó x , y , z là các phần tử bất kỳ thuộc X , s,t là hai số thực (phức) bất kỳ.
Không gian tuyến tính (X, A) là tập nền X được trang bị cấu trúc tuyến tính A. Sau
này, nếu không sợ nhầm lẫn có thể dùng ký hiệu X để chỉ không gian tuyến tính (X, A).
Tâp F c X là không gian con của không gian tuyến tính X , nếu F kín đối với phép
cộng và phép nhân với đại lượng vô hướng:
Va, ậ G JR}{C)\ Vx , y ( z F = > a x - ị - Ọ y € : F
Bao tuyến tính của tập hợp M
n

^ ^ tịX i,

trong đó

tị

€ IR1,

Xi

c

X , ký hiệu là Span(M), là tập các phần từ có dạng

e M, (i = 1, n), n e IV.

1=1

n
Hệ {x,}-!.! là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức ^T^tịXi = 0 suy ra t\ = ... —
i=1
t n = 0. Ngược lại, ta nói hê {xi}" phụ thuộc tuyến tính. Không gian X là n chiều, nếu
tồn tại hệ n vector độc lập tuyến tính trong X , còn mọi hệ (n + 1 ) vector đều phụ thuộc
tuyến tính. Nếu trong X có vô hạn các vector độc lập tuyến tính thì ta nói không gian
X vô hạn chiều.
Ánh xạ A đưa không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính Y được gọi là
toán tử tuyến tính, nếu với mọi X , y 6 X , và a,/3 £ ]Rl (C), ta có
A( ax -f /3y) = oiAx + /8Ay.
Auli xạ / đưa không gian tuyến tính X vào iR1 gọi là phiếm hàm. Nếu / là toán tử
tuyen tính đưa X vào ]R} ta nói / là phiếm hàm tuyến tính
Tập M c X là tập hợp lồi, nếu với mọi x, y e M, ta có
[z, y} := {tx + ( 1 - t)y : t e [0,1]} c M.
4.3. K hông gian tu y ến tính đinh chuẩn.
Ta nói trêu không gian tuyến tính X xác định một cấu trúc chuẩn nếu với mọi X € X,
Aấc định một số ||x||, gọi là chuẩn của X, thoả mãn 3 tính chất sau:
a) Xác định dương: ||x|| > 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X — 9.
b) Thuần nhất dương: ||tx|| = |í|||x|Ị V.T e X Ví € JRl .
c) Bất đẳng thức tam giác: ||x + y II < Ịị;cII + \\y\\ Vx,y € X.
Moi không gian tuyến tính định chuẩn là không gian metric với khoảng cách (l(x. y) :=
||x - y ||. Dãy {x„} c X hội tụ đến X € X khi và chỉ khi ||xn - x|| —>0 (n —> oo).
Không gian Banac.h là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đù. Hai chuẩn ||.||i và
ỊI. II2 xác định trong không gian tuyến tính X gọi là tương dương, nếu tồn tại hai hằng
số

C \ , C2

> 0 sao cho
Vx € X

Ci||x||i < |Ịx ||2 < c2 ||j||i
11


Trong không gian hữu han chiều, mọi chuẩn đều tương dương. Toán tử tuyến tính A
đư a không gian tuvến tính định clmẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn y gọi
là giới nôi (bị chặn) nếu tồn tại liằng số M > 0, sao cho
VxeX

\\Ax \\y < M\\x\\x

Toán từ tuyến tính là liên tục khi và chỉ khi nó giới nội. Gọi C(X, F ) là tập hợp
các toán từ tuyến tính liên tuc đưa không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian
tuyến tính định chuẩn Y. Cấu trúc tuyến tính trong £ { X , Y ) được xây dtmg như sau:
VA, B e £ ( X ,F ) ; Ví € í ? 1; Vx e X
(.4 +' B)x := Ax -f B x ; ( t A) x := t{Ax).
Đặt

Dê dàng kiểm tra các tính chất của chuẩn, do dó £(.Y, y ) trờ thành không gian tuyến
tính định chuẩn. £ ( X , Y ) đầy dù nếu Y - đầy đù. Không gian liên hợp X * cùa không
gian X là £ ( X , 2R1 ). Như vậy X* := £{ X , M 1) luôn dầy đii.
Trong không gian hữu hạn chiều X — IRn, khi có một cơ sở cố dịnh, toán tử tuyến
tính A đươc cho bời m a trân («ij)"j=iChuẩn trong M n có thể xác định như sau
, vớil < p < -Ị-oo.
Ba chuẩn thường dùng là:

1/2

Ba chuẩn tương ứng cùa m a trận Ả là
n

\\A\\2 = { max Xi(AT A ) } l /2,
trong đó Aj( A1 A) là các giá trị riêng của ma trận dối xứng A TA ,
n
IMIIoo = 1max
<1< 11V
1
12


4.4 K hông giàn có tích vô hướng
Hàm số (.,.) đưa mọi cặp x,y trong không gian tuyến tính H vào M 1 gọi là tích vô
hướng của X, y, ký hiệu là (x, y) nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
a) (x, x) > 0. Đằng thức cảy ra khi và chỉ khi X = 9
fc>) (x,y) = (y,x)
c)
(ax + fiý; z) = a(x, z) + /3{y, z) Vx, y, z £ H; V», ¡3 £ ỈR1
Cặp (H , (.,.)) gọi là không gian có tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert. Mọi không
gian có tích vô hựớng là không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| = (x, x) 1 / 2 .
Không gỉan Hilbert là không gian tiền Hilbett đầy đủ.
Với mọi x,y £ ỉ ĩ ta có bất đằng thức CBS (Cauchy-Buniakovski-Schwartz):

l(x>y)l < IMIIIyllHai phần tử X, y là trực giao nếu ( x , y ) = 0 . Hê {éi}^ trực giao nếu
trực chuẩn nếu (en ,e m) = Snm (n , m £ ]N).
Hệ {£n}i° đầỳ đủ nếu Span({x„}^°) = H , nghĩa là:

(en,

em )

=

0 (n

ỹí m ) ,

Ve > 0, Vx e H , 3Sn — Ỵ 2 cix i (ci € .iR1; n = n(e) € IV) : IISn - x|| < £
1
Giả sử { e ijf3 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert. Với mỗi
n
Fourier Sfi =
Cịtị, với a = (x, e ì ) .
¿=1
Ta nói chuỗi Fourier hội tụ đến X nếu IISn — XII —>0 (n —> o ó) .
Trong không giần Hilbert, 4 mệnh đề sau tương đường.

X

£ H, ta lập tổng

oo

(a)

X

= y > , . 6j)ej
i=1

(b) |[x||2 =

'ix £ H

|(x,e;)|2 (đẳng thức Parseval)
í '= i

(c) Hệ
đầy đủ
(d) Nếu X trực giao với mọi ti (i £ JN) thì X = 0
Tròng giáo trình này chúng tôi đứa ra khá nhiều sơ đồ khối để mô tả các thuật toán.
Sau đây là một số ký hiệu thường gặp trong các sơ đồ khối:
/

Input /
Compute

- Nhập số liệu
- Tính toán
Kiểm tra điều kiên
13


^

i=

/p r in t/

Ç End )

- Chu trình
- In kết quả
- Kết thúc chưcmg trình

Ví dụ. Thuật toán tìm ’’epsilon” của máy được mô tả bằng sơ đồ khối sau

14


Chương I
SỐ G Ầ N Đ Ú N G VÀ SAI s ố

§1. Khái niêm về số gần đúng
1.1. Sai số tu y êt đối, sai số tưo'ng đối
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng.
•Ta nói O là số gần đúng của o*, nếu a không sai khác a* nhiều. Đai lượng A := \a — a*\
gọi là sai số thật sư của a. Do không biết o* nên ta cũng không biết A. Tuy nhiên, ta có
thể tìm đươc Aa > 0, gọi là sai số tuyêt đối cùa a, thoả mãn điều kiện:
I« —0*1 < Ao,

(1.1)

hav a — A a < a* < a + A a. Đương nhiên, A a thoà mãn điều kiên (1.1) càng nhỏ càng
tốt. Sai số tương đối cùa o là ỗa := ——.
Ịo|
V í du 1. Giả sử o* = 7r; o = 3.14. Do 3.14 < 0* < 3.15 = 3.14 + 0.01 nên ta có the

lấy Ao = 0.01. Mặt khác, 3.14 < 7T < 3.142 = 3.14 + 0.002 do đó có thể coi Ao = 0.002
V í d u 2. Đo đô dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a — lOcin và b — lem với
Ao = Ab = O.Olcm. Khi đó ta có ốa = —— = 0.1% còn ỗb = —— = 1% hay ốb = 10.ốa.
10

1

Hiên nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép do b mặc dù A a = Ab. Như vậy dộ
chính xác cùa môt phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
1.2. Sai số thu gon
Môt số thâp phân o có dang tông quát nlur sau:
0 = ±(/%10p + /íp-ilOP- 1 + ... + ỊỈp-slOp~s )
trong đó 0 < ß i < 9 (i — p —1, p —$)', ftp > 0 là những số nguyên. Nếu p — .s > 0 thì a
là số nguyên; p —s = —m (m > 0) thì a có phần lẻ gồm rn chữ số. Nếu s = + 00, a là số
thập phán vô hạn. Thu gọn một số o là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được
môt số ã ngắn gon hơn và gần đúng nhất với o.
Qui t,ắc thu gọn: Giả sử
o = ßplO“ + ... + ß j W + ... + ß p . s 1 0 p-*
và ta giữ lại đến hạng thứ j . Gọi phần vứt bò là /í, ta đặt
a = ßplQ1 + ... + ßj+11 0 J+1 + ßjlOJ,
15


trong đó:
ßj + 1 nến 0.510J < ỊI < 10J
ßj nếu 0 < /U < 0.5 10J
Nếu //. = 0.510J thì íij = iij nếu ßj là chẵn và ßj = ßj nếu
chăn

-lẻ vì tính toán với số

lợi hơn.
V í dụ. 7T ~ 3.141592 ~ 3.14159 ~ 3.1416 ~ 3.1412 ~ 3.14 ~ 3.1 ~ 3.
Sai số thu gọn r<í > 0 là mọi số thoà mãn điều kiện:
tu'11

a — a\ Vì a = ßp10? + ... + ßjlQJ + /i,
còn 77 = ßplOP + ... + ßj+ 1 1 0 7+1 + ßjlQj,
nên |ơ - ã| = \(ß} - ßj)l(y + ft] < 0.5 10^'
Sau khi thu gọn, sai số tuyêt đối tăng lên:
a* —o| < |a* —a\ + \a — a\ < A a + Ta.
1.3 C h ữ số chắc Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác ”0” và cả ”0’ . nếu no ke])
giữa hai chừ số có nghĩa hoặc nó dai diên cho hàng được giữ lai.
V í dụ. a = 0.0030140. Ba chữ số ”0” đầu không có nghĩa.
Moi chữ số ßi của a = ±(/^pl0p -Ị- ... 4- ßp-s^0p~s) gọi là chữ số chắc. I l l ' l l
Aa < ừ

X

10‘

trong đó LO- là tham số cho trước. Tham số LO được chọn đế một chữ số vốn dà chắc sau
khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Già sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gon là
ßi- Đe ßi+1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có
Aa +
hay

F a < L 0

X

10ì+1.Suy ra

u x 10l + 0.5

X

10i+1 <

LO X

10ỉ+1

> 5/9. Ta sẽ gọi chừ số chắc theo nghĩa hep (rông) nếu LO = 0.5 lu.’ — 1).
Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc de khi tính toán
số chỉ tác động dến các chữ số không chắc thôi.
LO

SỈI1

1.4. Q uan hê giữ a sai số tư ư n g đ ố i và ch ữ số chắc
Gọi 7 „ là số chữ số chắc (theo nghĩa rộng) của a. Quan hệ giữa 7 a và A a đả xét
trong mục 1.3. Ớdâv chúng ta nghiên cứu mối quan hê giữa 7 a và òa
Xét một số gồm toàn số chắc «Ị = 314 X 10 1+1 (i = 1,2,...) vứi Aa¿ = 10~Ỉ+I Kỉii
đó ốa, = 1/314 ( /• > ! )

16

Ta nhận thấy:
a) Sai số tương đối không phụ thuộc vào vị trí dấu chấm thập phân trong một số.
Như vây Sa = 1Ịa° trong đó a° là số a gồm toàn chữ so chac và chữ so chac CUOI cung ơ
hàng đơn vị.
b) Nếu a° > b° (> 0) thì a chính xác hơn b. Điều khẳng định này còn đúng nếu
7 a > 7 b.
Biết sai số tương đối của một số có thề tìm được sổ chữ số chắc của nó và ngược
lại. Cụ thề hơn ta xét hai bài toán sau:
Bài toán 1. Biết 7 a tìm Sa
Giả sử a = ß... (ß > 1), 7a = s, ta CÓ: {/310s-;1 < a0 < (ß + l)10's _1 < 10*, do đó

( ß T m ^ - Sa- w ^ '
Nếu không biết ß ta lấy
---- < ¿a < ———T.
10*
IO* - 1
Bải toán 2. Biết Sa tìm 7 a;
Giả sử a = ß... (ß > 1), còn Sa = Al0_m (0.1 < A < 1). Ta có A a = A|a|10-m . Tạm
thời dời vị trí dấu chấm thập phân của a để có số am với rn + 1 chữ số trước dấu chấm
thâp phân. Ta có
am < iß + 1 )1 0 "*

A a = amSam = amSa = am Al0_m < X(ß +*1).

Vì 0.2 < X(ß + 1) < 10 nên ta có thể kết luận:
a) Nếu X(ß + 1) < 1, thì A am < 1, do đó am có m + 1 chữ số chắc và không nhiều
hơn (vì A am > 0 .2 ).
b) Nếu A(d + 1 ) > 1 thì 1 < A am < 10, như vậy am có m chữ số chắc và không ít hơn
(vì A am < 1 0 ).
Do lý luận trên không phụ thuộc vào vi trí của dấu chấm thâp phân nên ta có qui

tắc sau: Giả sử a = ß... (ß > 1 ), và Sa = A10~m (0.1 < A < 1 ). Khi â ó a c ó m + l chữ số
chắc nếu X(ß + 1) < 1. Ngược lại, nếu X(ß + 1 ) > 1 thì a có m chữ số chắc. Nếu không
biết ß thì a có ít nhất m chữ số chắc.

§ 2.

Sai số tính toán

Trong tính toán ta thường gặp 4 loại sai số sau:
a) Sai so gia thiet - Do mô hình hoá, lý tưởng hoá bài toán thưc tế. Sai số này không
.loại trừ đươc.
17


b) Sai số phương phấp - Các bài toán thường gặp rấ t phức tạp, không thể giải đúng
được m à phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này sẽ được nghiên cứu cho
từng phương pháp cụ thể.
c) Sai số các số liệu - Các số liệu thường thu được bằng thưc nghiệm do đó có sai
số. Sai số của các số liêu gần đúng đã được nghiên cứu trơng §1
d) Sai số tính toán - Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính
toán sẽ xuất hiện sai số títih toán.
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:
y = f ( x I , x 2, . . . , x n)
y* ( i — 1 , n ) và Xi , y ( i
số. Nếu / khả vi liên tục thì
Goi

X*,

=

1, n)

là các giá trị dúng và gần đúng của đối số và hàm

Iy - y* I = |/(zi,...,£n) - / O Ĩ , - , O I =

- x*\
i=1

trong đó f ị là đạo hàm

a/
tính tai các điểm trung gian. Do
dxị

có thể coi

liên tục, A x ị khá bé ta

n
Ay =

|/ '( x i ,

x n)\Axi,

i= 1
do đó
ỗy =

Ay

A

I»i

k

Axị .

Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:
a) Sai số các ph ép tín h công tr ừ
Vì
n

y= E^1
’
1=1
n

nên A y = Ỵ ^ A x t
Giả sử
A x m = max Axị
1 và chữ số chắc cuối cùng của x m ờ hàng th ứ k, nghĩa là A x m = 10fc. Ta có A y > A x m =
10*, vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên qui tròn các Xi đến mức giữ lại 1 hoặc 2 chữ
số bên phải hàng th ứ k.
18

n

Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là |y|
Axt

r í \y\
¿=1

1 , do đó kết

quả không chính xác.
Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không
tránh đirơc thì cần lấy các số với nhiều chữ số chắc để hiêu của chúng có thêm chử số
chắc.
b) Sai số của các phép tính nhân chia
Giả sử

X\ ...Xp

y=
Khi đó

— ...—
•Ep-1-1

p

lny =

n

ln.x:, Í=1

suy ra

lnXj,
i=p+i

n
ày = Ỵ ^ 6 x i .
i=l

Gọi
8xm = max ỖXị
1 <¡'<71

và 7 x m = k,

ta thấy 6y > ỗ x m (lo (16 7 ;/ < k. Vì vậy khi làm các phép tính trung gian để tính y, chỉ
cần lấy k + 1 , k + 2 chừ số là đủ.
c) Sai số của các phép luỹ th ừ a, khai căn, nghich đảo
d_
Cho y — ,rn, khi đổ 8y =
lny Ax = |a|ốa:
dĩ
- Nếu o > 1 (phép luỹ thừa) thì ỏy > 6x, do đó đô chính xác giảm
- Nếu 0 < Oí < 1 ta có phép khai căn, khi đổ ểy < ỗx, hay đô chính xác tăng.
- Ncu cv = —1 ta có phép nghịch dào, ỗy = 8x nghĩa là đô chính xác không

dổi
V í du. Diên tích hình vuông s = 12.34, A S = 0.01 tính cạnh a. Ta có a
= y /s —
3.5128 Vì ỖS = A S / S ~ 0.01/12.34 ~ 0.0008
nên Aa ~ 3.5128 X 0.0004 ~
1.4 X 10“ 3. Như vậy a có 4 chừ số chắc và a ~ 3.513.

§3.

Bài toán ngược của lý thuyết sai số

Già sừ đại lương y tính theo công thức y = f ( x 1 , ..., x,j). Hỏi phải lấy Ax-i bằng bao
nhiêu đế A y < c.onst cho trước?. Sau đây là hai phương pháp đơn giản để giải bài toán
nêu 'trên.

19


3.1. N g u y ê n lý ảnh h ư ờn g đ ề u
a) Ta coi
df
Aa:¿ = c (const)
dx i
suy ra

(i = l,n ),

n

df

Axị = nc,
Ay = 5 2
1=1 dxi
vậy
AXi

Ay

=

(i = 1 , n)

P L
dxi

Ề L
dxi

b) Nếu coi A ï, = const (i = l,n ) thì
Ay

Axị

n
E j=
1

c) Neu coi

ỖX\

IL
dx¡

Axi
= Sx2 = ... = Sxn và đăt k = -J— r thì
F«l
n
Xi

Ay =

i—1

do đó
Axi

ẼL
dxi

EU

\xi\Ay
E

Ay

hay k —

n

ịL
j=i Xi
x i dxj

X .*L
x j dxj

(i = 1 ,n).

V í du. Một hình trụ có bán kính đáy R = 2m, chiều cao h — 3m. Hỏi A R và Ah
phải bàng bao nhiêu để thể tích V đưạc tính chính xác tới o .lm 3
Ta có V = TĩR2h. Áp dụng nguyên lý ảnh hường đều thứ nhất (xem phần (a)), ta
,' d v
Oi2
] = 1 2 ; nên
CÓ — - = R
£h
Ơ7T

0 003; 3Ä = 2* R h = 3 7 7
suy ra
AR

3

X

37.7 < °'001’

do đó

Ah

õh ~ nR2 ~ 12'6,

0.1
< 0.003.
3 X 12.ộ

20


3.2 P hự ư ng pháp biên
Giả sử hàm y — f ( x 1 ,
đồng biến theo các biến Xi, ...,xp và nghịch biến theo
các biến còn lai Xp+1 , x n. Nếu biết cận thay đổi của đối số Xị < Xi < Xi (i = 1, n ) thì
y := f ( x ĩ ,...,xpìXp+i,...,xn) < y < ỹ := /(x -! , ..., Xp,

..., x n).

T ừ đây suy ra 0 < A y < ỹ —y.

§4. Sai số ngẫu nhiên
Sai số ngẫu nhiên trong các kết quà quan trắc là không thể tránh khỏi trong mọi
quá trình thực nghiêm. Vì trong quá trình thực nghiệm, các yếu tố như: Thể trạng, tâm
lý người trực tiếp quan trắc, độ chính xác hạn chế của các thiết bị đo, tác động ngẫu
nhiên của môi trường xung quanh v.v... có thể ảnh hường đến kết quả quan trắc. Do
đó xuất hiện sai số ngẫu nhiên. Trong từng trường hợp cụ thể, sai số ngẫu nhiên có thể
đánh giá được khi biết phân phối xác suất của nó.
Giả sử đại lương a đươc đo n lần vợi các giá trị ai,...,an trong đó chứa các sai số
ngẫu nhiên tương ứng ỗk = ctfc —a.

Nếu các sai số quan trắc ỏk có phân bố chuẩn thì xác suất xuất hiện sai số đó có
dạng
Pk := P{ồk < ỗ < Sk + A S) ~ — 7 = e x p

ơ\/2ĩĩ

Xác suất cùng xuất hiện các sai số đó bằng
(4.1).
Giá trị chân thực của a thường không biết, ta chỉ có thể xác định giá trị gần đúng a xấp
xỉ tốt nhất a theo nghĩa bình thường tối thiểu:
n
ậ := ^T^(a —ai)2 —> min
i= 1

thuyết sai số ngẫu nhiên. Tham số này liên quan chặt chẽ đến sai số trung phương:
(4.2).

21