Tài Liệu Quan hệ song song

Quan hệ song song
I. Hai đường thẳng song song
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng phân biệt
Cho 2 đường thẳng phân biệt a,b trong không gian:
a)Không có mặt phẳng nào chứa đồng thời cả a và b , ta nói 2 đường thẳng a và b chéo nhau
b)Có mặt phẳng chứa cả a và b , ta nói 2 đường thẳng a và b đồng phẳng
+) Nếu a và b không có điểm chung , ta nói chúng song song với nhau và kí hiệu a // b
+) Nếu a và b có một điểm chung duy nhất , ta nói chúng cắt nhau. Nếu điểm chung của chúng là I , ta nói chúng cắt
nhau tại I hoặc I là giao điểm của chúng và viết
a ∩ b={I}
Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
2.Hai đường thẳng song song
Tính chất 1:
Trong không gian ,qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng , có một và chỉ một đường thẳng song song với đường
thẳng đó.
Tính chất 2:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
Định lý:
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng qui hoặc song song với nhau.
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có ) song song
với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song :
Sử dụng một trong các cách sau :
• Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung
• Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
• Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành ,
định lý talet … )

• Sử dụng các định lý
• Chứng minh bằng phản chứng
Bài tập :
1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
S
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
Giải
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
D'
C'
1
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB
A'
2
B'
1
//
Trong tam giác SCD, ta có : C’D’
CD
D
C
2
Mặt khác AB // CD
N
M
A
⇒ A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành

B


b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
Gọi N = Mx ∩ AD
Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN
2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD).
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC ∩ (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .
Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
Giải
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB
Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )
Vậy : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC ∩ (ADN):
• Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC
• Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)
Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC
⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE

S

I

N

M

B

A
P
C

D
E

• Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE
Vậy : P = SC ∩ ( ADN )
c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
SI = (SAB) ∩ ( SCD )
AB ⊂ ( SAB)

⇒
SI // AB // CD ( theo định lí 2)
Ta có :

CD ⊂ ( SCD )
AB / / CD
Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB)
M là trung điểm AB
⇒ SI // 2MN
Mà AB // 2.MN

Do đó : SI // AB
Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành
Dạng 2 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)
Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (α) và (β)
• Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm
Chú ý : Để tìm chung của (α) và (β) thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần
lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là
điểm chung của hai mặt phẳng
Bài tập :
1. Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S ∉ (α ) .
a. Xác định giao tuyến của (SAC ) và (SBD)


S

b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Giải
a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
C
Trong (α), gọi O = AC ∩ BD
A
• O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
J
• O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
k
⇒ O là điểm chung của (SAC) và (SBD)
O
B

Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
D
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong (α) , AB không song song với CD
Gọi I = AB ∩ CD
I
• I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB)
• I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)
⇒ I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
A
Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng .
M
Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD
lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song
P
D
song với BC. Tìm giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)
B
Giải
• P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD)
N
• P ∈ ( MNP)
⇒ P là điểm chung của ( BCD) và ( MNP)
C
Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC
E
• E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD)
• E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP)

⇒ E là điểm chung của ( BCD) và ( MNP)
Vậy : PE là giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)
Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp : •Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt
•Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp
Bài tập :
1. Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của
đoạn AB và SC .
a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
S
b. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Giải
N
a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD )
• Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN
• Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)
⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SO
• Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO
I ∈ AN
I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD)
Vậy: I = AN ∩ ( SBD)

I

D

C

J

O

A
M

E

B


b. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
• Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN
• Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)
Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD
⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE
• Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE
J∈ MN
J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD)
Vậy J = MN ∩ ( SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
• I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD)
• I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB)
⇒ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
• J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD)
• J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB)
⇒ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
Vậy : B , I , J thẳng hàng
2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và

OJ cắt SC tại M .
a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Giải
S
a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
• Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ
J
• Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)
S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)
M
Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI
L
K
⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE
B
A
• Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE
K∈ IJ
E
I
C
F
K∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC)
Vậy: K = IJ ∩ ( SAC)
D
b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ
• Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)
O
Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD
⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SF
• Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SF
L∈ DJ
L∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC)
Vậy : L = DJ ∩ ( SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Ta có :A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
• K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO)


• K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC )
⇒ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
• L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO)
• L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC )
⇒ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
• M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO)
• M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC )
⇒ M là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
3. Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC.
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Giải
S
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song với AB
L
Gọi K = AB ∩ LM
C
K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN )
N
K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN)
A
I
M
• Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC
• Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
B
⇒ (ABC) ∩ ( LMN) = NK
• Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC
I∈ BC
I∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) ⇒ I ∈ (LMN)
Vậy : I = BC ∩ ( LMN)
Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN)
• Trong (SAC), LN không song song với SC
gọi J = LN ∩ SC
J∈ SC
J∈ LN mà LN ⊂ (LMN ) ⇒ J ∈ (LMN)
Vậy : J = SC ∩ ( LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Ta có : M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC)
Vậy : M , I , J thẳng hàng
4. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.

a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Giải
a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)
• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ BN
• Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD
⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SO

K

J


S
•

Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO
I∈ BN
I∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC)
Vậy : I = BN ∩ ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) :
• Chọn mp phụ (SMD) ⊃ MN
• Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM
⇒ (SMD) ∩ ( SAC) = SK
• Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK
J ∈ MN
J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) ⇒ J ∈ (SAC)

Vậy : J = MN ∩ ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
Ta có : C , I , J là điểm chung của (BCN ) và (SAC)
Vậy : C , I , J thẳng hàng

N
I
J

D

A
O
B

K

C

M

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Lấy trên a hai điểm A , B . Lấy trên b hai điểm C,D.
Hai đường thẳng AB và CD có thể song song nhau không?
HD: Dùng vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải.
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD . Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD. Chứng minh EF//CD.
HD: Gọi M là trung điểm của CD.
E nằm trên BM
F nằm trên AM
ME MF 1

=
= (tính chất trọng tâm)
Mà
MB MA 3
=> EF // CD ( ta-let đảo)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC.P là điểm di động trên đoạn CD. MP(MNP)
cắt AD tại Q.
a)Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b)Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP khi M di động trên CD
HD :
a)Ta có :
MN // AB ( đường trung bình )
(MNP) và (ABD) có P chung và lần lượt chứa MN và AB song song nên chúng cắt nhau theo giao tuyến PQ // MN .
=> MNPQ là hình thang.
b)I là điểm chung của (ACD) và (BCD)
=> I ∈ giao tuyến CD của 2 mặt phẳng trên.
Gọi E là trung điểm của BD.
Khi P di động trên DE thì PQKhi P trùng E thì PQ = MN,khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành nên I chạy xa vô tận trêm tia Dt
Khi P di động trên BE thì PQ>MN nên I thuộc tia Ct’ nối dài của DC
Vậy điểm I di động trên đường thẳng CD ngoại trừ đoạn CD
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi E và F là trung điểm của SA và SB.
a)Lấy điểm M trên cạnh SC.Mặt phẳng (EFM) cắt hình chóp theo hình gì?
b)Lấy điểm I trên BC. Mặt phẳng (EFI) cắt hình chóp theo hình gì?
HD:
a)Ta có EF // AB // CD.
(EFM) và (SCD) có M chung lần lượt chứa EF và CD song song nên giao tuyến của chúng là MN//EF


Vậy thiết diện là hình thang EFMN.

b)CM tương tự.

IV : PHÉP CHIẾU SONG SONG
A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1/Phép chiếu song song:
Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P). Với mỗi điểm M
trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với d sẽ cắt (P) tại điểm
M’. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng (P)
như trên gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d.

+ Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi là phương chiếu,
điểm M’ gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M’ qua phép chiếu song
song.
+ Cho hình (H). Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song của tất cả các điểm thuộc
(H) gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của hình (H) qua phép chiếu nói trên.
2/Tính chất:
Chú ý: Trong các tính chất dưới đây của phép chiếu song song theo phuơng d, ta
chỉ xét hình chiếu song song của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng không song
song và không trùng với d.
a. Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.
b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song
song hoặc trùng nhau.
d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng nằm trên 2
đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng.
3/Hình biểu diễn của 1 hình không gian:
a. Định nghĩa: Hình biểu diến của 1 hình (H) trong không gian là hình chiếu song
song của hình (H) trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

b. Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu trên hình (H) có 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường
thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi 2
đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) mà tỉ số của 2
đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của 2 đoạn thẳng tương ứng trên hình (H).
c. Hình biểu diễn của 1 số hình không gian:
* Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 tam giác tuỳ ý cho
trước ( có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…)
* Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 hình bình
hành tuỳ ý cho trước( có thể là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông…)
* Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 hình thang tuỳ ý
cho trước, miễn là tỉ số độ dài 2 đáy của hình biểu diễn bằng tỉ số độ dài 2 đáy của hình
đã cho.
* Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.
B : BÀI TẬP ÁP DỤNG
A
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔABC
a. Chứng minh hình chiếu song song K của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD là trọng
tâm ΔBCD
b. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,AD. Tìm hình chiếu song song của các
điểm M,N,P trong phép chiếu song song ở câu a.
Bài làm
A
N

M
G

P

B

M’

K

E

D
P’

C

a. Từ giả thiết ta được :
GK//AD
AG∩DK=E là trung điểm của BC
EK EG 1
=
= ⇒K là trọng tâm ΔBCDΔBCD
suy ra :
KD GA 2
b. Ta lần lượt thực hiện :
- Trong (ABD) dựng Mx song song với AD và cắt BD tại M′, khi đó M′chính là hình chiếu song song của
điểm M trong phép chiếu song song ở câu a.a.
- Vì N thuộc AD nên D chính là hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu song song ở câu a.
- Trong (ACD) dựng Ny song song với AD và cắt CD tại N′ khi đó N′ chính là hình chiếu song song của
điểm N trong phép chiếu song song ở câu a.

Bài 2: Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A’B’C’ .Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC có
hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A’B’C’.
Bài làm: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và G′ là hình chiếu của nó. Gọi M là trung điểm của BC,
thì A,G,M thẳng hàng. Gọi M′ là hình chiếu của M. Khi đó tính chất của phép chiếu song song ta cũng có M′ là
A' G '
AG 2
=
= .
trung điểm của B′C′. Ngoài ra A′,G′,M′ thẳng hàng và
A' M ' AM 3
Từ đó suy ra G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′.
Bài 3: Cho ba điểm A,B,C nằm ngoài mặt phẳng α. Giả sử BC song song với α, còn AB,AC cắt α lần lượt
tại D,E. Hãy chọn phương chiếu l sao cho hình chiếu của tam giác ABC trên α theo phương l là một tam giác đều

Thực hiện cách dựng :
- Trong mặt phẳng α, dựng điểm A′ sao cho ΔA′ED đều
- Dựng hình chiếu B′,C′ của B,C trên mặt phẳng α theo phương chiếu AA′
Ta đi chứng minh ΔA′B′C′ là tam giác đều.
Thật vậy, ta có ngay :
E,A′,C′ thẳng hàng
D,A′,B′ thẳng hàng
ED//B′C′
suy ra ΔA′DE,ΔA′B′C′ đồng dạng tức là ΔA′B′C′ là tam giác đều.
C: BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: CMR hình chiếu song song của hình bình hành trên mp(P) theo một phương d cho trước thường là hình
bình hành:
HD: Áp dụng tính chất của phép chiếu song song
Bài 2:Cho đường thẳng a cắt mp (P) tại A .Gọi a’ là hình chiếu song song của a trên mp(P) theo phương d cho
trước.
a)Chứng tỏ a’ qua A

b)Lấy hai điểm B và C trên a và gọi B’ , C’ lần lượt là hình chiếu song song của B và C trên mp (P) theo phương
d. Chọn phương d sao cho B’C’=BC.
HD:
a) Ta có điểm A ∈ a và điểm A ∈ mp(P).
=> hình chiếu song song của A trên mp(P) theo phương d nào cũng là điểm A.
Mà hình chiếu song song của đường thẳng a trên mp(P) là a’
=> A∈ a’
b)Nếu B’C’=BC thì tứ giác BCC’B’ là hình thang cân cạnh đá BB’ và CC’. Do đó AB’=AB


Vậy :
Lấy điểm B’ trên mp(P) sao cho AB’=AB và chọn phương d // với BB’
Bài 3: Cho tam giác ABC nằm ngoài mp (P) .Giả sử BC // với (P) , AB và AC lần lượt cắt (P) tại D và E. Hãy
chọn phương chiếu d sao cho hình chiếu của tam giác ABC trên (P) theo phương d là một tam giác đều.
HD:Ta có BC// (P) nên BC // DE // B’C’ ( B’ ,C’ là hình chiếu của BC lên (P) ) .
Do đó :
Nếu tam giác A’B’C’ là tam giác đều thì tam giác A’DE cũng là tam giác đều.
Vậy trong mp (P) ta dựng tam giác đều A’DE biết cạnh DE cho trước .
Chọn phương d// AA’.