Phương pháp giải toán trắc nghiệm các vấn đề chủ yếu giải tích (NXB Đại học quốc gia 2010) Trần Bá Hà, 352 trang

Trần Bá Hà

P h ư ơ n g p h á p g iả i
4

9

/✓

CAC VAN ĐÊ CHU YÊU
GIẢI TÍCH
• Oanh « M

k tiii tt

ế i lập V# fể i hiÊB kĩ lili I lil cic lậ i| liắB IPÓC lyhlệm
C N Ú K c ü tlr k i t h i t l l t f f t f , lir ỉis la » 0M I 2* U O

bẳn« phittni pkip trắc niniệ» khícíi PUIQ CPI |0 KflAIT.

+

cáu
+ .ĨSOhàầ

□


li i l à

T rou

Giùo viên chu3 ên Toùn
Tu nghtêp îai Institut d e R echerche
Pour L 'enseignem ent d es M athém atiques
Paris-France

Phương pháp giải
CAC VAN ĐE CHU YEU
• Dành cho 9S tĩhõl 12
• Dn tập vả ren luyện kỉ nỉng giải c ic dạng ĩo ín tPắc nghiệm
• Chuấn b| cho các ki thl lốt nghiệp, tuyến sinh BO-CO 2008-2009
hẩng phướng pháp trắc nghiệm khách quan CÙI 09 GD&BĨ.
* Dạo
* Nguyên

Giải
* Sô phức

*

hùm-

Kháo

hàm - Tích phân
tích - Tổ hựp
+ 30 vân đề cơ bản
+ 650 câu hỏi trắc nghiệm

+ 350 bài tập tự luận

NHA XUẤT BẢN BẠI HỌC QUÚC GIA HẢ NỘI

sáthàm


NHÒ XUẤT BÀN ĐỌI
• HỌC
• ọuốc Gin Hồ NỘI
•
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
ĐT (04) 9715013; (04) 7685236 Fax: (04) 9714899

^ *
';w ,
yT A/
/

/■

Chịu trách nhiệm xuất bán:

s

V.. .MT4»':

, ,

•

Giám đốc PHỪNG QUỐC BẢO
rértg hiên
tậpNGUYÊN BÁ THÀNH
Biên tập
dung
MINH HẢI
Sứa bán in
HOÀNG VĨNH, THANH NHÀN
Trìnhbày bìa
SƠN KỲ
„

—

V

“-Eli " *“"V *

\

'V

\
V

PHƯỢNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẤđ NGHIẸM CÁC VÁN ĐÊ CHỦ YÉU
GIẢI TÍCH 12
M ã số: 1L - 192ĐH2007
In 2.000 cuôn, k h ổ 16 X 24 cm tại C ông ti cô p h â n Văn hoá Tán Bình.
S ố x u ất ban: 681- 2007/CXB/14 - 104/ĐHQG HN , ngày 24/08/2007.

Q u y ế t đ ịn h x u ât b ản số: 441/LK/XỊ5
In xong và n ộ p lu u chiêu quý IV năm 2007


T

\

•

r

•

J

a'

Loi noi dau

Nhăm giúp học* sinh phương pháp giai các bài tập trác nghiệm ve các
vân de co Kìn cua môn giai tích 12. Chúng toi biên soạn tập sách: "Phương
pháp giai toái' trắc nghiệm ve các vân đỏ chu yêu giai tích 12". Sách dược
trinh bav theo tung vun đe. môi vân đế bao gom:
Phán tom tất lv thuvót
Cúc dạng toán co ban
Rai tập tụ luận (co huóng dan giai) minh hoạ các dạng toán cơ bản
Bài tàp trác nghiệm (co huong dân giai)
Cuối mỗi chucng còn co phan bai tập trăc nghiệm tỏng họp (có đáp án) đê
học sinh tụ rèr luyện.

Tàp sách n.ìv bao gốm 5 chuông trong đó chúng tỏi chọn 350 bài tập co
ban giai bãng tụ luận vù 650 bài tạp trắc nghiệm có hướng dần giai. H ọc
sinh nên dọc kv phẩn tóm tắt ly thuyết - Phương pháp giai - Một số bài tậ p
co ban băng phương pháp tụ luận trước khi làm phần toán trắc nghiệm.
lỉv vong ráng tập sách nàv giúp ích cho học sinh ôn thi tôt n g h iệ p
I Ị 1PI và tuyến sinh Dại hoe - Cao đăng
Mong sụ g ì p ý cua dộc gia và đdng nghiệp đê lần xucYt ban sau cuốn
sách được tốt hơn.
Mọi gop ý xin goi ve: Trung tâm sách Giáo dục Alpha - 225c N gu yền
Tri Phương - Phường 9 - Q.5 - Tp.HCM. ĐT: 08.8107718 - 8547464.
Fmail: alphjbookcenter(«'Viìhoo.com
Chân thành cám ơn.

Trần Bá Hả
Tu nghiệp tại: Institut de Recherche
Pour 1 enseignement des Mathé matiques
Paris-France


Chương I:

ĐẠO HẢM-KHẢO SÁT HÀM SÒ
§1 v ấ n lie I : D ạo H àm

A. C ác d ạ n g cơ bán.
I. Bô sung giói hạn các hàm so Iuọng giác

mũ - logarit

1.1. Tóm tilt IV thuyết:

1.2. Hài tập áp dụng:
Hài 1: Tính giới hạn các hàm so sau:
. .. s in ' 2.V-sinx.sin4x
b) lim——— 4

.. sin(sinx)
a) lim — —
V

*0

V—
*0

\

\l\ + tan X - Vl + sin X
c) lim —— —---- 7—------ —
w o

XJ

Hirửng
a) lim
X »0

dẫn

X

. .. Vx + 3 - 2 x
d) lim ---------------.
w 0 ta n (x - l)

giải:

sin(sinx) .. sin(sinx) s i n X
sin(sinx)
sinx , , ,
—— — = lim — — — — = lim ------ —— . lim — — = 1.1 = 1.
X
x-»0 sin.x
X
\-*() s in X x-^0 X

b) Bien đối sin22x - 2sinx.sinx - -4sin2x.sinx.sin-7-.sin- r - .
2

2

X

Do dó:

lim
x ->0

sin' 2 x - sin x.sin 4 x

3x

sin — sin
, ,. sin 2 x sinx
2
2
4 lim —- —

X-+0 2x

x

■2 3x ■
2 3*2

X

= ■4. —= -6
:)

,

V1+

lim--------— 7---- t-»c

tgx n
/ 1+ sinx

Ỵ

5


-— , .
= lim—
lim ——
*-*°X

t g x - s i n x ..

/gx(l-cosx) ..

—
----r,........ ==- == lim
l i m - ^ — r ---- -.lim
(yjl+tgx +v l + s i n x )
'-,0
V1+tKx + >/1•+s inx

. 2X

•
2.S n
_
sinx
2 ,•
= lim — —.-------x-»0 X
f

1

1 1

I

f ^ . l m —-ị=----- .... = = =
x/l + tanx + x/l + sinx 2 2 4

~>

..
V x + 3 -2 x
(x + 3 ) - 4 x 2
-(x -l)(4 x +3)cc>s(x-l)
d) lim------ ------- = lim -------------- ,— —------- = lim —-— —------=====—f----X-»I ta n (x -l)
X->I tan(x- lXvx + 3 + 2x) X-*I sin(x-lX v X1-3’ +2x)
(x —1)
- ( 4 x + 3).cos(x-1 )
= lim — ------- .lim ----- ,
— ------- = 1.1
X—
>1 sin(X —1) X—
>1
Vx + 3 + 2x

A
14;

2_

14

Bài 2: Tính giới hạn cùa các hàm số sau:
e Sin2.r - e^.sinx

a) lim

ỉ -*°

b) lim

s inx
x+ 1

c) lim

J—
»ao

3' -co sx
X

X-+0

-2 \’3/Ị
2
e
-v l-x
d) lim ---------- — ----x-» 0

ln(l + x “)

V +2

\x-

H ướng dẫn giải:
sin 2-t

_ e s,nx

a)

e

-1

lim -------------- = lim
sinx
'-*0 sinx

..

sxnx

X—►o

b) lim

3x2 - c o s x

x-*0

X

,

gSÍnx

3x2 -1

= lim
X—►()

X

sin

Ị-c o sx
X2

lim
ô

6

+ lim

3X -1
X2

1- c o s x

X->Ô

/

X2

x ^2
l_Ị_

X

x->0

2

Đặt t = X2

1

. lim 2 cos X - lim ---------- = 1 2 -1 = 1.
X —►()
X—
>0 sinx

.

x-*0

sinx

+ lim
,->0 sinx

í esin 2 x _ ^

= lim

1- e

4” 2
J

lim

t->0'

= In 3,


3 ' -c o s x
!
,
Va\ : lim ------------- = - + 111 3.
' *0
X2
2
c)

lim
1—
»f.

Y+ l

•V- 1;

X+ 1
2
Đe ý: — - = ! + X
XDặt -21—= 2_cî>x = 2v +
X- 1 y
Do đó : lim

lim

2I*1

f.v + l ì

= lim 1+ -• ì
‘
y

[x-ì)

l vV
1+ 2-

y ->/

lim I + —
'-•U

•y
= e . = e*

. (.
I
. li ni 1 + 2>->' V
y

y

\2

, ,,
e'
;': - l + l - V T Ị r
d) lim 1-------— ;------= lim-----------——T--------' -° ln( 1+ .Y )
>-+»
ln( 1+ X )
-»V
ejx - 1
,

+

1 —\/1 —X2

..

r

lim 2

e2x - 1

J-+ lim

1-

= lim — —— ---------------= ^ ọ _ _ r 2x,- . „ w o
x-*0
ln(l
+ x “)
..i m —
ln(l
+ x 2)
-----llim
------ ---- x-»0
X
X
e " 2x - 1

ln(l + X2)

Vi: Uni— -—-— = 1, lim — ———

x-»0 - 2 x 2
x-»0
X'
..

1 -V T 7

..
1
3/1
1 + vi -

/l-x2 _

Do dó: lim
\ —>0

2
■> 1 /.,
+ x/l( l - . r )

V

X

X

1.3. Bài tập T ự Luyện:
Sài 3: Tinh các giới hạn sau đây:

5
3

'


\llx2+ 1

a) lim

,

(n

b) lim tan 2x. tan
7T
l4

- cosx

V —k -

V2x + 1 - V * 2 +1
ax

A I:

(

(x + 1 ) ^ - 1

0 lim------ —------

e) lim - -- - *-*0ln(l+x)
..

ycos X
sin X

X—►()

-2a\

7

n/cos X -

d) lim

c) lim--------------------j,->0
sinx

)

1Y

h) limÌ5lỊ+ ỉ )
*—0
-Vo 3"
V -1

g) lim 1+-J

ex - e ~ x

.. ..In(í7 + x ) - l n a
i) lim--------—-------

j) lim— :
x-*0 cs inx
*-*°

Hướng dẫn giải:

X
, 1;_ 1 --Vs 2í ĩXx "1+ 1

1;_

-1

a) lim------- --------= lim------. = — ■■lim
1 -c o s x

X-+0

.4 = -2,-

x_+0 sin

2)

b) Đăt t = —- x o x = —- t .

4

4

'

ti

'

..

1+ tan2 t

1

lim tan 2x.tan —-X = lim— -------= —.
4
t->0
2
2
X->-n
4

r

\ o-x
\/2
í a
V 2jt
jc +1
+ 1- n
V/ jc
* 2 +1
+1
v/2
2 xjcT
+ T1 - 1 +1
+ 1 - Vìfjc~+\
J
ínđôi:
c) Biên
đôi: ------------------------------------------ -= ------------------------ —
---------------------sinx
JC
V

( xc ^

Vsimx

\

_ L

_____________ _JL________

' /5 7 T T + I

^

L ^ ì

ỉ + i) 1 + < / 7 7 ĩ + i J l' si" x ')

_
\/cosx - \/c o s x
1
Do đó lim------- — -------- = - — .

x-»0

J N 0 .Ị_

n/ c o s x

sin2 X

12

sX
-\fco

d) Biên đôi: ------ -7—;--------- = ------ -7
+
sin X

sin .V

8

n/ c o s x

-7

sin .V

-1

1-Vcõsx


C’OSX-1

I t’OSX

sin .vỊ Vmsx ^ 1 Ị

sin VỊI + \Aosx + \Jcos~X Ị

.. , .
n/ cosx -x/cõsx
L)o đó lim —
‘ '°
sin A'
c)

l

—t

lim------ ----- = lim
>-*õ ln(l + .v)
’ *"
lim
X-»0

( e a\ - 11

ln(l + X)

X

í e -2a\ - 1, ^
X
- ( - 2 a ) lim
a - lim
\->oll -2ax
x-*0 ln(l -I- x)

J

ax

e*'-l

" (a ^ 2x).l = 3a

0 lim
X

(X + I)e“x -1

= lim -

e X-1

\-*<) V

X

+ lim e
X—
►
()

-X

= - 1 + 1 = 0.

I

g)

lim l + - y
*-*0 V

X

u

= lim 1* + 1
X—
>0 \
X )

ln(l + x)

ln(l + x)

1

= e = 1.
X

1

h) lim — —— = lim — :----- .------- = — .
x-*õ 3X-1
X—
>0 X
3X-1 ln 3
X 3

lna 1+ x - I n a
i)

lim

K-*õ

V

a — - - In a = lim
X

a

a

= lim

x-»0

X

\-»<>

ln a 1 + -

e2x - 1
j)

cx - e x
= lim — 2 x— = 2 .
lim
X—
►
o sin X

X—
>0
sin X
X

Bài 4: Tính các giới hạn sau:
. í
sin

_ n ì
——

a) lim—7=----- —
*-.2 \/3 -2 co sx

b) lim
V

X

a. a

cosx
ịỊĩũ sìĩV x


cos

2sin" x + sinx-1
c) lim

T-,0 2 sin x -3 s in x + l

d)

nx
7

lim —
X -» |

1—X

Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a)

lim

f.+ ± r

JC—¿0 1
l

d) lim
X-+C

b)

x j

ln J C -1

x-e

V

lim

.V—»0c

g4 , - >
c), ,lim -------' -"°

1+ *

(

-

e) lim

0 lim
X—

71

Ị , \ mx

1+

-

xy

A

II.Tính đạo hàm bằng định nghĩa - ý nghĩa hình học của đạo h à n
2.1. Tóm tắt lí thuyết:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a.b), Xo e (a. b)
Ạy
/ (xn) = lim — = lim ----------- —--------—
Ã'-*° Ax Ã*-*°
x0

f (x0 + Ax) - f (x0)

, f W ) = lim Y - ; / ' ( x 0~)= lim ^
AX-+0*

Ar

A.r->0

/\r

Nếu f ( x ) có đạo hàm tại X = x 0thì f(x> liên tục tại X = XoHệ số góc tiếp tuyến tại điểm (x0,f ( x 0))bàng giá trị đạo hàm của h àn số
y = f(x) tại X = XoPhương trình tiếp tuyến cùa đồ thị (C) tại M (x0,f ( x 0)) là:
y - yo =/(xo)(x - Xo).
Điều kiện cần và đủ để 2 đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau

., f/(*0 ) = £(*«)

tai X = x nlà <
l / ’(*o)=£'(*o)

2.2. Bài tập Áp dụng:
Bài 1:
a) Chứng minh hàm số y = Vx^ không có đạo hàm tại X = 0.

10


h) ( 'hứng minh rang ham so \

liên tục tại X - 0 nhưng không có
I4 X

đạo hàm tại X = 0.

•

c) Dùng định nghĩa tính giá tri cua dạo hàm cùa hàm số y = — ị—ĩ tại X= 0.
1 4 |x|

ì ỉ i r ở n g d ẫ n
a)

- (10 4 Ar)- / ( ( ) ) = ịlIÃ xY

Tacó: Ay
Ay _

Ax

giai:

1
VÃx
Ay

Ay

\v *0' A y

\r->0 /Ax

lim — = oo; lim —— = -oc

Do đó không tồn tại lim --- => không tồn tại đạo hàm tại X = 0.
" • ’ Av
h) Ta có: lim — -— = lim -U ~ = / (0) = 0 => Hàm số liên tục tại X = 0
‘ -»0 1 4 JC0

Ạy _ |4ỵ| _
Av

Aï

> ♦<> 1 4 X

1
14 Av

lim — = 1; lim — = -1
v-o* A.X
A»-»o A.V
Do đó không tồn tại lim —- tại X = 0 nên không có đạo hàm tại X = 0.
,\\ -*0 A\

Ị

c) Tacó: / '’(0 )= lim
— o í — = lim — — ĩ = 1
Air-*0 14 Av
JAv À*-*0 14 |Ar|
Vậy f ( 0 ) = 1.
lia i 2:

a) Chứng minh ràng hàm số:
y=<
■^-V:

x ykhi
X <0
có dạo hàm tại X = 0
khi
X>

0

b) Tìm a và b dế hàm số

11


kh i X , x ft . . .

,

, .

, ,

liên tục và có đạo hàm tại

y=

ax + b

khi

lu

> x0

; w X V

X

X

=

Xo

•

H ướng dẫn giải:

a) Ta có: lim ^

&X-+QT Ax

= lun (0+A jt)!~ <0>; = Um Ar = 0
Ai-*o*

Ax

At->0 *

^

4 jt) , - 0

\x-+0 Ar

Ai

Ar

At-*o

Do đó lim ^ = 0<x>f*(0) = 0.
Ax—»0 Ax
b) lim /(x ) = lim (ax+b)=ax0 +
x-+xit*
*
lim .f(x)= lim
x->x„

x3 =

b

Xq

*-»x, '

Đế hàm số liên tục tại x = x0ỉa phải có:

= ax 0 + /> ( 1)

.
Ạ>’
ư(x 0 + Ar) + />-(ax0 +/>)
Av
Ta có: lim — = lim ------------- —------- ------ = lim a — =a
Ai-*!.* Ar at-»tb*
Ajc
Aĩ->v Ajc

lim — - lim Oo + Ạr)1-*,,1 ^

Để hàm sổ có đạo hảm tại

X =.Xota phải có: a = 3jc02

ía = 3xJ
T ừ ( 1 ) v à ( 2 ) ta d ư ợ c :

Ib = - 2 x J
Bài 3: Tính dạo hàm các hàm số sau:
b

a ) y = v \x \

1 -x

khi

e~* khi
H ưởng dẫn giải:
X'

a) Ta có:

khi

—X2 khi

12

Khi

X>

Khi

X

> 0
X

<0

0: f \ x ) = 2x

< 0:

f\x ) =

x<0>
0


.. . .. _ A

.

..

V

lại \ = O tacó: lim

.

V *<’■ A Y

I
Ạv _ ..
(Av)’
lim — = lim -

At ►O' A r

\» +0

(A v )

lim
Y *"

0

A.V

0

Av

Do đó p(x)= 0.
2xX > 0

Vậy: / ' ,(x) = '|0

V 0

-2.V

khi

V< 0

b) Khi X > 0: f \ x ) = —e
Khi

X

< 0: / ’(*) = - 1
Ạ

Tại

X=

0: lim —
Ar-*0*

Ar

\\
-

lim

\» »<)

I

\x

i;_Ạv _ t:___ (1 —Av) —1

lim —

Ai-.o A.V

= lim ------ ----- -- - 1
Al--.«

,\v

Vậy f(0 ) = -l.
-1
Do đó:

f

-e

khi
'khi

>0

Bài 4: Cho hàm số / (x) xác định bời: f ( x ) = -

xros
0

a) Chứng minh hàm sổ

khi
khi

0
X

=0

f(x)ilên tục trên R.

b) Hàm số f có đạo hàm tại các diêm nào? Tinh dạo hàm tại các điểm đó.
Hirớngdẫn giải:
a) Ta có hàm số f liên tue trên mọi
so V = f ( x ) liên tục tại
Vi 0 < Xcos
liên tục tại

X

X

X

ị 0, do đó ta chi cằn chứng minh hàm

= 0.

< |x |,d o đ ó : lim ỉ (X) = lim Xco s—
-T- = 0 = f ( 0 ) . Vậy f
\ -►o
\—
►
()
= 0 => liên tục trên R.

b) Dê ý răng tại Vx * 0, ham số có dạo hàm là:

13


2 . r_ n
(—
1 1+ —
sin ■y
x
2
U J
U ‘J
1

/

Ax.cos

Ay
Xét tai x = O, lim — = lim
Aí *0 y \ y

y(Ax)2 y

Ax

At -»O

Xét hai dáy: (Ax)n = ,J

= lim eos

V(Ax) y

va (Ax')n =
5 + 2 «n
1 ^

lim eos

A2xA' /

VA x )

Do dó khóng tón tai lim eos

Ar->0

,\
Ar-»0

J lñ ñ

Thi límeos

\

=

0

Ax

váy /( x ) khóng có dao hám tai x = 0.
Bái 5: Cho hám só f xác dinh bai: / (x) =

x 2 sin — khi

0

x

khi

0

x =0

a) Tính dao hám cüa hám só f tren R.
b) Chúng minh /'( * ) khóng lien tuc tai x = 0.
Hirángdan
a) Dé y Vx

giái:
*0 hám só có dao hám f \ x ) = 2xsin

-e o s

f p
x,

Taix = 0, lim — = lim Ax.siní — [.
Ax—»0 Ax
Ax—>0
VAx /
Vi 0< Axsin — <|Ax| nén lim — = 0=> / '(x) = 0
A.-.0 fax
Ax 1 1
.

Váy: / ’(*) =

1

1

2xsin — eos —

khi

0

x;

o

khi

x=0

b) Xét hai dáy x_ = —— , yn = ---------- thi
2rtn

ít + 2 nn
?

14


1
1 ■
- 1, lim cos
lim cos
n ►
/
n-»-*

>11 /
v *n )
Vày không ton tai lim f (x). do do hàm sô / '(.v) không lien tue tai x

\—
»o

khi

j lv +1 )e

liai 6 : Cho hàm sô f xàc dinh bai: / ( v)

v -ax+1
l im a d e hàm sô cô dao hàm tai \

khi

0.

x >0
x <0

0.

/ lu á n g dan g ¡ai:
Av
.. (Av): -¿/Av + 1- 1
lim ——= lim ---------------------- = - a
A r-»0 Av

Av

Tacó:

Av
.. (Av + l)f Al - 1
lim
= l i m ---------Av—
>0 * Av AI-+0 *
Av
Dê hàm sô cô dao hàm tai x
O = -a

0 <=> a

lim
\v

(c " 71

+ e -Aï

V Ax

►

X
= -1 + 1 = 0

Av

Av

0 ta phài cô: lim ——= lim
\r —
>0’ Av
Av—»0* Av

0.

liai 7 : Cho hàm sô f xàc dinh bai:

=

sin rT|.v|

khi

0

khi

x*0

Tinh dao hàm mot ben cùa hàm sô trên tai x = 0. Hàm sô cô dao hàm tai
x

0 hay không?

H irán}’

di

lim — = lim
A\-><>' Ax A x—>0’
y

( sin nAx |
f(A x )-f(0 )
= lim rr
Ax—
*0 x 7tAx j
Ax

Ay

u fsin (

lim —=-= hm (-n )
Ax—*0‘ Ax A\—>0'
V

ïïAx ) '

7ïA x

J

Do dô f ( 0 ) = 7t\ t'(0 ) = - n .
Av

Al
■
Vi lim —— * lim — => không ton tai già tri dao hàm cua càc hàm sô
Av -»<)’ t \ x

Ar-♦O

Av

tai x = 0.
ln(cosx)

liai 8 : Cho hàm sô f xàc dinh bai: /(.v) = •

*x
0

khi

v^O

khi

=0

15


Tính giá trị đạo hàm của hàm số tại

X = 0.

H ướng dẫn giải:
, Ạ)’ _ ln(cosx) _• [ln (l+ cosAx) - 1 ] (c’osA.v-1)
Ax

(Ax)3 ~

(cosAx-1)

(Ax):
- . ì

Aỵ _

Do đó: lim — = lim
Ar->0 \ x

ln[l + (cosA r-l)]

Aí-*0

cosAx -1

A*-»0

” n ,- l _

= 1

. lim ----

Ax

2
Vậy r(0 ) = - i

Bài 9: Tính đạo hàm của: f

= |.r|-ln (l + |jt|)

H ướng dẫn giải:

Khi

X

> 0: /( x ) = x -ln (l + x) = > /'(* ) =

Khi

X

< 0: / (x) = - X - ln(l - x) => f \ x ) =

Khi

X=

0:

f\0 * ) =

lim

1?(l. í

/ ’( 0 ) = lim

-Ax

to)

..
a«-»0‘

X

1- X
Ã.X-+Õ*

.

Ajc

Ar-+0

X

1- lim

—

Ar

Ar->0*

l +x

Ax

!n(l-Ax)
A.V

khi X> 0

l+x
Vậy f \ x ) = <0

khiX = 0 hay / '( * ) =
1+ x

X

H ướng dẫn giải:

2002-

lim ^ = j i m
Ax Xx~+Ồ

(

At in 2002

Ax
1

-1
= lim 2002 xị e
In 2002
Ar-*0
Axln2002

16

= 2002 \ln 2002

— =lim — -- = -1 + 1


Bài 11: Tìm m đê đồ thị hàm số V - 4.v' - 3x tiếp xúc với đường tháng: y =
mx - 1
Hướng dân

giải:

4V
f)ièu kiện tiếp xúc là:
-

Giãi hệ ta đưực

3.V,, =

- 1

=0

Vậy khi m = 0 thi đồ thị tiếp xúc với đường thăng y = 1.
Bài

12:

Chứng

minh đường cong

và đường

g = (x2 + 2x + 3)sin ax tiếp xúc với nhau tại giao điểm cùa chủng a
Hướng dẫn
Gọi
x02 +

cong

0.

giai:

X

= x0là hoành độ giao diêm. ta có:
2x0
+ 3 = ( jc02 +

f (x) = X2

2x0
+ 3)sinax <=> sinax0 = 1 <=> ax0

+2x + ĩ=>f\ x 0) = 2.vn + 2

g(x) = (x2+ 2x + 3)sinax =>g'(x0) = (2jc0 +2)sinax0 +«(x02 +2x0 +3)cosax0
Vì ax„ =-^- + Ả2n =>cos(ax0) = 0 .d o đ ó :
f { x ữ) = g0)
=> Hai dường cong tiếp xúc với nhau tại
Vậy ^
\ f ' ( x 0) = g '(x 0)

Bài 13: Chimg minh ràng dường cong y =

X=

không có đạo hàm tại

0
X =

0.

Xác định góc tạo bởi hai tiếp tuyên (ở mồi phía) cùa đường cong tại X = 0.
Hướng dẫn giải:
eX
Ta có: f(x) = •
e -X
/'(()* )= lim
A. ->l) ;\x
Do: / '( 0 +)

khi X > 0
khi x < 0
= l , / ’(0 )= lim
At -»0 /Yv
*■

= -l

f\0 ’ ) nên hàm sổ không có đạo hàm tại X = 0.

Hệ số góc tiếp tuyến bên trái

X

= 0 là

= / '(0 ) = -1
17

Hệ số góc tiếp tuyến bên phái X = 0 là

' = / ’(0*) = 1

Vì k.k’ = - 1 nên góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại X = 0 là góc vuông.

III. Đ ạo hàm củ a h àm số h ọ p - Đ ạ o h àm cấ p ca o
3.1. Tóm tắt lý thuyết:
Nếu: u = g(x) có đạo hàm li'rvà V= f{ u ) có đạo hàm yu thì h.àr-1 .-số hợp:
V= /(g (x ) ) có đạo hàm theo X là: y 'x = y'„
Công thức đạo hàm cấp n:

3.2. Bài tập áp dụng:
)x(f óc dạo hàm Va- e R .Chứng minh:

Bài 1: Cho hàm số
a) Nếu

)x{fàl hàm số chần thì / '( * ) là hàm số lẻ.

b ) Nếu

)x(fàl hàm số lẻ thì / '( x ) l à hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:
a) f là hàm số chằn o f { —x) = /(x )V .r € R
Đạo hàm hai vế: - / ' ( - * ) = /'(*)<=> / \ - x ) = - f \ x )

do d( / (x)là

hàm số lẻ.
b) f là hàm sổ lẻ co / ( -

x) = -/(* •)Vx € R

Đạo hàm hai vế: - f ( - x ) = - f ( x ) co P (-x ) = f(x ) Vx eR, Co đó
f \ x ) là hàm số chằn.

Bài 2: Tính đạo hàm cùa các hàm số sau:
a) y = / ( s i n : x) + f ( c o s 2x)

b) v =

Hướng dẫn giải:
a)

y ' = (sin: Ar)'./'(sin2
y ' = sin 2 . r . [ / ’(sin: x ) - / '( c o s 2x)J

b)

y ' = exf X e x)enxì + f X x ) e nx). f
y ' = e “x)exf X e x) + f ( e x) f X x )

Bài 3: Tính đạo hàm cùa các hàm số sau:
18

m

a) y

V
Hu ứ

a)

I

h) )
n

g

V'

dẫn

(sinxT

d) V =

ỊỊÌai:

In r - -VIn

V

c) 1

■

In V+ 1

I
\

' y- ( In .V + 1)

V ( In .Y 1-1)

r’

h) Ta có ln\ - I n * —
\

c)

.
ln

- In \

:\

\ ' \ l i t X.

X

X

. .
,
cos:.v
\ =tosx.ln(sinx) => - - - s i n \ In(sinx)* — — .
\
sinx

Do đó y-(sinx)1 " -sinx.ln(sinx)

d ) ln V= .V'

cos.v
s inx

V

— = .V (ln .V+1)
y

y'

=c .e' (In X

Bài 4: Cho hàm

+I)

số

/ ( .V) có dạo hàm

f\x)

V a: € R

và thoà

/(2 v) = 4cosxf(x)-2x . Tinh f (0).
Hướng dẫn

giải:

Dạo hàm hai vế ta có: 2 f(2 x ) = -4sinxf(x‘) + 4 cosxf(x) - 2.
Tại \

0 => 2 f(0 ) = 4 f ( 0 ) - 2 o f(0 ) - 1.

Bài 5: C ho hàm số: y =

- X
n!

Chứng minh: y(n'

<1 - X)

n +l

.Hướng dẫn giải:

1

Ta có: y' = — -—
( 1-.V)-

Gii sư y “ ’ =

___ *!_

(l-.v )

(t

”)

v" = — —
—7 công thức dũng khi n = 1.
•

(\-

— công thức don bậc k.

19


k!

Ta có: y(k +1) =

(1 -x )

k+l

j

9

= ( k ! ( l - x ) - k- ') '

-k-2/1 ..-V, _ (k + 1)!
= k!(-k-1)( 1-x)'K
'2( 1-x)’ =
k+l

( 1- k )

Công thức đủng khi n = k + 1.
Vậy công thức đúng V n e N
Bài 6: Cho

=

X2 -

. Chứng minh:

2x2+ x - l

y n ,= (-D " « !

( 2 * - l ) ,,+l

+1)

n+l

Hướng dẫn giải:
7x2 - 3 x + 2

Khi n = 1 ta có:
Và:

y-> =(-!)"„!

{2x2 + x - \ Ỹ
2 "'1

(2 * -ir

2

v/1+l
(x+1)'

So sánh ta có công thức đúng khi n = 1.
Giả sử công thức đúng đến n = k nghĩa là:

r

2*"1

/•> = (-!)* * ! — —

Ta có:

— --------

2

( 2 x - \ ) k+
i( x+l)*+l

y*+,) =[O0*]' = (-l)**!

2*-'
(2 jt-l)* +l

2*
(2 x -l)* * 2

(x + l)* +2

( jc+ 1)*+’

: Công thức đúng khi n = K+ 1

Do đó công thức đúng \/ n e N => đpcm.

Bài 7: Cho hàm số: y =

X 2e x

.Tính y,n)

Hưởng dẫn giải:
Tacó:

y ' = ( x 2 + 2x)e*; y " = (x 2

Ta chứng minh: y(n> = (x2 + 2nx + n(n-l))ex.
20

+ 6 x + 6 )e-‘


Ciià sử công thức đúng đen N = k nghĩa là:
y,k) =

(X2

+ 2kx + k(k

-

l))ex

1 a có:
y '*’ ” =

2 kx + -(k

+

j =

+ ( x 2 + 2kx 1 ) /

= (x2 + 2(k+l)x + k(k+l ))ex Công thức đúng đến n = k + 1
Vậy yn = (X2 + 2nx + n(n-l))ex Vn e N.
Bài 8:
a) Cho y

\-l 2 x - X 2

.Chứng minh:

b) Cho y = x" [cos(lnx)+sin(lnx)]

(x > 0,n e N)

Chứng minh: x2y + (1 - 2n)xy' + (1 + n2)y = 0.
Hưởng dẫn giải:
a) Ta có:

y' =-

Do đó:

,y ’’ = ■

\l2x-x

j =

y. y

'= 1- x; y 3y " = - 1

Vậy: X + yy’ + y3y = 0.
b) Ta có: y = V2x"cos ' l n x - T
4
y'=

r\\Ỉ2xn1cos
ln X -

Tí

-\Í2 .n ,s in ( ln x - —).
4
)
_\

y" = (n: - n - 1).

\Í2.x"‘2cos

ln X - — + ( l - 2 n ) \/ 2 x n 2.s in ( ln x - —).

4

4

Do đỏ: x2y " + (l-2 « ) x y '+ (l + « 2)y = 0.đpc|Ti.

ỉài 9: Cho f ( x ) = ( x 2 - 2 x + 2 )s in (x -l) . Chứng minh hệ phương trình sau
đây có nghiệm:

/ ,2002’(*) + / <2002)y = 0
X2 + y 2 =10

Với

/ {n)( x )là đạo hàm cấp n.

H ướng dẫn giải:
Đặt a = X - 1; b = y - l ,t a c ó

21


f i x ) = (a2 + l)sin(a) = g (ư ).
g (2002)( a ) + g (2002,(b ) = 0

(1 )

(a+1)2 + (b + 1)2 =10

(2)

Hệ trở thành:
Để ý ràng g(x) là hàm số lè =>g'(x) chẵn = >g(20021(x)

là làm số lé

Nếu b = - a thl (1 ) thoà.
í / = 2,6= -2
(a+ 1): +
(a -l )2 =10 =

Thay b = - 1 vào (2) =>

a = -2,6 = 2

Hệ có nghiệm (3, —1),( —1,3).

IV.Bài tập tự luyện về đạo hàm
,
1 N
Bài 1: Chứng minh hàm sô y = In —-— thoả hệ thức xv’ + 1 = r \

1+ X
Bài 2: Cho hàm số

y - 2c os: ( 4 x - l).Tính miền giá trị của f(x)

ì¿ « t
X
Ă
Bài 3: Chứng minh ràng hàm số y =

1* "

M * AA

1+X + ln X

.1
- j = - ,y =
v2x '
V2 •

Bài 4: Cho hàm sô:

X2

y=

t

1

«

thoá xy' = yíyln X—
ị

—=

, ,

.
. Viêt phương trìn

đồ thị tại giao điểm cùa chúng và tính góc giữa 2 tiếp tuyến tr;n .
Bài 5: Cho
y = f ( x ) > OVx € R và
là hàm số có đạo him tr
Chứng minh đường cong y= /(x) và đường cong y= /(x)sinix tíềp xúc
nhau tại các giao điểm cùa chúng.
,

,

,

„

,

l i ï ï ï l i à ’u é , « 0
X

Bài 6: Cho hàm số f xác định bời: f(x) = j

0

khi X = 0

Xét tính liên tục và đạo hàm cùa hàm số tại X = 0.

,
|.t
Bài 7: Cho hàm sô / ị x ) = —2— . Xét tính liên tue và tôn tại đao htàn lai X = 0.
X+1

22


Bài 8: Cho hàm số t'xác định boi: f( X'

•! xc*nx

khi X > 0
khi X = 0

Ị0
a) Chứng minh hàm số liên tục trên (0. x ) .
h) Xét sụ tôn tại đạo ham tại

X =

Bài 9: Tim trên do thị hàm sô: \

0
X

lnx các điểm mà tiếp tuyến tại đó

song song với Ox.

Bài 10:
a) Tính dạo ham cấp n cùa các hàm số:

= —ỉ— , y 2 =
-r + 1

X

2x
h) Suy ra đạo hàm hậc n cua V= — 7
.V - 1
(X

Bài 11: Cho hàm sô y = •

khi X < 1

,
ax" + b

khi X > 1

Tìm a và b đê hàm số có dạo hàm tại X = 1
2

Bài 12: cho /(.t)x á c định bới. f(x) =

2

— ln x - —

khi X > 0

0

khi X = 0

2

4

Xác định f(x).
Hướng dẫn

B à i Miền giá trị: H = I - 8.8ị.
(

1 3

l

V2 /

Bài á: foạ dộ giao diêm A
-1
ỈZ
= .v + V 2
ể

0

Các tiêp tuyên

síĩ

1
V2
4 Ì

kk’ = - 1. Hai tièp tuyến vuông góc nhau.
Bài 5: Giao diêm 2 dường cong là nghiệm cùa: sinax = 1.
)->'=('{

)Xsin ax+acos( ax )1'( X)
23


ax= — + ¿ 2 n =c> >>2 ’ = / '( * ) = T l'(* ): Tại các giao điểm này các đì thị

2

tiếp xúc nhau.

Bài 6 : f(0) = 0.
X Iníx2 + n

lim / (x) = lim ———T------= 0.1 = 0 = / ( 0 ) : Hàm số liên tục tail X = 0.
X—
►
o

ỵz

X-+0

]im ^ = ï i m ü ^ h Æ
Ax-*0 \ x Ax-*0
Ax

) = Ịịm Í ^ Ị i > . ,
\x->0 A ¿x

Vậy: f(0 ) = 1.
Bài 7: Hàm số liên tục tại X = 0. Không tồn tại đạo hàm tại X= 0.
Bài 8 : b) f (0) = 0.
Bài 9: A (l,l)
Bài 10:

a)

(-If”!

1

«»,- t W n j

(x+ ir1 2

(x -ir'

b ) y tin) = (-íy'w !—+ — - (vT -

1

(x2—1)

Bài 11: a = b = -

2

Bài 12: f'(x) =

xin

khi X > 0

0

khi X = 0

B. T rắc nghiệm về giới hạn và đạo hàm
V

Câu 1: Giá tri của lim —
X -¥ 0

A .o

sin2x

là:

B. -

3

c .ỉ
2

D. 00.

c. 2

D. —

Câu 2: Giá trị của lim -—^ -s— là:
A. 00

24

B. 1

2


.

.

..

s in x -c o s x

..

C âu 3: (iiá tri cua lim — ------ - — là

">

A. 1/2

4x-n

B ủ

^
2

4

C âu 4: Giá trị cùa lim C——-— là:
ln(l + X)
A .o

B. - 1

c. 1

D. 2.

c.

D. - 1.

2 X- 1
C âu 5: Giá trị cùa lim ------ là:

A. 1

X-K)

X

B.

—

In 2

In2

C âu 6 : Dựa vào dịnh nghĩa đạo hàm cùa hàm số f(x) = sin(x - —) thì
sin x lim
X-

n\
3

n

1

I

là:

2

A. - —
2

B.

1

c.

V3

D.

-

Câu 7: Cho f(x) = 2|x|. Giá trị đạo hàm của f(x) tại X = 0 là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. Không tồn tại.

Câu 8 : Cho f(x) = ^ x 3 Giá trị f(0 ) là:
A.ỉ
3

B. -

9

c.o

D. Không tồn tại.

Câu 9: Đạo hàm của hàm số y = - c o s 3 X là
3
A y'= 2cos2 X

B. y'= 2cos 2 xsinx

c.

D. y ' = -2cos 2xsinx.

y’=2sin'! x

Câu 10: V= x' có đạo hàm là:

25