Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình toán trung học phổ thông

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

!
!

Bạn muốn đọc nhanh
những thông tin cần thiết ?
Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi
đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào
mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó
!
!

Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ
trang báo cáo trên màn hình ?
Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th
thưước
có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to
! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th
thưước
muốn,, Nhấn OK
hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn

Chúc bạn hài lòng
với những thông tin đđưược cung cấp

ĐỀ TÀI

Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích
phân trong chương trình Toán trung học phổ
thông


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã gặp rất nhiều khó khăn
và bỡ ngỡ. Nhờ vào sự giúp đỡ và động viên của nhiều thầy cô giáo bạn bè và gia
đình đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Lời đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Th.S Nguyễn Quốc
Tuấn, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và
nghiên cứu khoa học, đã động viên tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian học tập
và đặc biệt là trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại
Học Quảng Bình, giảng viên trong khoa Khoa học tự nhiên đã tận tình giảng dạy,
truyền đạt kiến thức trong suốt quá trình học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu
trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà
còn là hành trang quí báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Xin cảm ơn gia đình và những người bạn đã giúp đỡ động viên về tinh thần
cũng như phương tiện vật chất trong suốt quá trình làm đề tài tốt nghiệp.
Trong thời gian có hạn em đã cố gắng hoàn thành khóa luận này, nhưng vẫn
không tránh khỏi những khiếm khuyết, thiếu sót kính mong nhận được sự góp ý chỉ
bảo của các thầy cô, của các bạn sinh viên trong khoa và những ai quan tâm đến đề
tài này.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô là chủ tịch hội đồng, phản biện và ủy
viên hội đồng đã bỏ thời gian quý báu để đọc, nhận xét và tham gia hội đồng chấm

khóa luận.
Đồng Hới, ngày 20 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Hoàng Thị Mĩ Lệ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 3
PHẦN GIỚI HẠN ................................................................................................. 6
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ .............................................................. 6
1.1

Các kiến thức cơ bản về dãy số ..................................................................... 6

1.1.1

Dãy số ........................................................................................................ 6

1.1.2

Dãy số bị chặn ........................................................................................... 6

1.1.3

Dãy số đơn điệu ......................................................................................... 6

1.1.4

Dãy con...................................................................................................... 7

1.1.5

Giới hạn hữu hạn của dãy số ...................................................................... 7

1.2

Các định lí ..................................................................................................... 7

1.3

Các nguyên lí ................................................................................................ 8

1.3.1

Nguyên lí Weiestrass ................................................................................. 8

1.3.2

Nguyên lí Bolzano – Weiestrass ................................................................ 8

1.4

Giới hạn một số dãy số thường gặp ............................................................... 9

BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.......................................... 10
CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ......................................................... 17
2.1

Các kiến thức cơ bản về hàm số .................................................................. 17

2.1.1

Hàm số ..................................................................................................... 17

2.1.2

Đồ thị của hàm số .................................................................................... 17

2.1.3

Hàm số chẵn, hàm số lẻ ........................................................................... 17

2.1.4

Hàm số bị chặn ........................................................................................ 17

2.1.5

Hàm số đơn điệu ...................................................................................... 18

2.1.6

Giới hạn của hàm số................................................................................. 18

2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm ............................................................ 18
2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực ............................................................... 18
2.2

Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số .................................................... 19
1

2.3

Một vài giới hạn đặc biệt của hàm số .......................................................... 19

BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ....................................... 20
CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................. 24
3.1

Định nghĩa................................................................................................... 24

3.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm ........................................................................ 24
3.1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng .................................................................. 24
3.1.3 Hàm số liên tục trên một đoạn ...................................................................... 24
3.2

Các phép toán số học với hàm liên tục ........................................................ 25

3.3

Các định lí cơ bản về hàm liên tục ............................................................... 25

BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................... 26
PHẦN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ............................................................ 31
1. Nguyên hàm ...................................................................................................... 31
1.1 Các khái niệm .................................................................................................. 31
1.2 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp ....................................................... 32
1.3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm.............................................................. 33
1.3.1 Phương pháp đổi biến số .............................................................................. 33

1.3.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần ..................................................... 33
2. Tích phân .......................................................................................................... 33
2.1 Định nghĩa ....................................................................................................... 33
2.2 Tính chất ......................................................................................................... 33
2.3 Một số phương pháp tính tích phân ................................................................. 34
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ......................................................... 35
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 48

2


MỞ ĐẦU
Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu
về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo
dục đại học hiện nay.
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn
của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét
giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một
cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.
Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn
là tính chất "tĩnh" như trong đại số.
Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài
toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Nó được thiết
lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là
"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp.
Giới hạn là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích. Có thể nói: Không có
giới hạn thì không có giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan
đến giới hạn.
Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm

số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào
đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một
điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái
niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo
hàm và phép tính tích phân.
Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với nghịch đảo của nó vi
phân đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. Có thể
hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần
3


tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó
thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam
giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn
mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình
nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta
tính được diện tích của hình thang cong đó.
Chủ đề Giới hạn và Nguyên hàm - Tích phân là một trong những phần quan
trọng và cơ bản trong chương trình toán phổ thông nó đóng vai trò quan trọng trong
Toán học cũng như trong thực tiễn. Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng
để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức
Giải tích toán học ở phổ thông. Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trong
chương trình Toán phổ thông còn có lẽ vì khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên
tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân. Tích phân có mặt
trong chương trình phổ thông chỉ với tư cách là những kiến thức thực hành, là công
cụ tính toán để sử dụng trong hình học, vật lí và kĩ thuật. Nội dung nguyên hàm,
tích phân lớp 12 THPT là một nội dung mới đối với học sinh, hơn nữa đây lại là
một nội dung khó, trừu tượng.
Với những lí do trên tôi chọn đề tài để làm đề tài khóa luận là:
“Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình

Toán trung học phổ thông”.
Mục đích của đề tài là nêu các định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp
tính giới hạn, nguyên hàm và tích phân. Sau đó là cách nhận diện, phân dạng các
bài tập.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành hai
phần lớn đó là phần Giới hạn và phần Nguyên hàm - Tích phân.

4


Trong phần Giới hạn gồm có ba chương, chương 1 giới thiệu một số bài toán
về giới hạn dãy số, chương 2 giới thiệu một số bài toán về giới hạn hàm số và
chương 3 giới thiệu các bài toán về tính liên tục của hàm số.
Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu các quy tắc, phương pháp và
bài tập tính nguyên hàm, tích phân.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản
thân còn khiêm tốn nên tồn tại nhiều thiếu sót trong khóa luận là điều khó tránh
khỏi. Tôi rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn để đề tài được hoàn thiện, có hiệu quả và có thể ứng dụng trong
giảng dạy phổ thông sau này.

5


PHẦN GIỚI HẠN
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy
tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của dãy số.
1.1 Các kiến thức cơ bản về dãy số
1.1.1 Dãy số



Ánh xạ f :

n

f (n) gọi là dãy số .

Ta thường ghi un  f (n) .
Kí hiệu là un  ( hay u1, u2 ,..., un ,... ) .
1.1.2 Dãy số bị chặn
 Dãy un  gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

un  M, n  .
 Dãy un  gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho:

un  M, n  .
 Dãy un  gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại
số dương k sao cho:

un  k , n  .
1.1.3 Dãy số đơn điệu
 Dãy un  gọi là tăng (tăng nghiêm ngặt) nếu:

un  un 1, n 
( un  un 1, n  ).
6

 Dãy un  gọi là giảm (giảm nghiêm ngặt) nếu:

un  un 1, n 
( un  un 1, n  ).
Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
1.1.4 Dãy con

nk 1  nk
Cho các dãy un  và 
 k 
nk 

 thì dãy un  gọi là dãy con của un .
k

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:
 nk  k , k  .
 Mọi dãy đều là một dãy con của chính nó.
 Mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn.
 Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là dãy đơn điệu.
1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy un  được gọi là hội tụ đến a ( hay có giới hạn a ) nếu lim  un  a   0
Kí hiệu : lim un  a hay un  a .
n 

Dãy số có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không có giới hạn gọi là dãy phân kì.
1.2 Các định lí
Định lí 1: Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Định lí 2: Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lí 3: Dãy un  hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có

chung một giới hạn.
Định lí 4: Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu.
Định lí 5 ( Định lí kẹp về giới hạn của dãy số):
7


Cho ba dãy số  un  ,  vn  và  w n  . Nếu

un  vn  w n với mọi n và lim un = lim w n  L ( L  ) thì lim vn  L .
n 

n 

n 

Chứng minh:
Ta có un  vn  w n ta suy ra 0  vn  un  w n  un với mọi n.
Vì lim  w n  un  = lim w n  lim un  L  L  0 nên lim  vn  un  = 0 .
n

Do đó

n

n

n

lim vn  lim  vn  un   un   lim  vn  un   lim un  0  L  L .
n

n
n

n

1.3 Các nguyên lí
1.3.1 Nguyên lí Weiestrass
a. Nếu dãy un  tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim un  Supun .
n 

n

b. Nếu dãy un  giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim un  inf un .
n 

n

1.3.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass
Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ.
Chứng minh:

  đơn điệu (theo Định lí 4).

Gọi un  là dãy bị chặn. Hơn nữa, tồn tại dãy con unk

 

Do đó theo nguyên lí Weiestrass dãy unk hội tụ.
1.3.3 Nguyên lí Cauchy
Dãy un  được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

  0, n  : n  , n  n  un  um  
Nguyên lí Cauchy:
Dãy un  hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
8


1.4 Giới hạn một số dãy số thường gặp

1
 0.
n  n p

a. Nếu p  0

thì lim

b. Nếu p  0

thì lim

n 

n

p  lim

n

n 

n  1.

p  0
n
c. Nếu 
thì lim
 0.
n  1  p n
 
d. Nếu q  1

thì lim q n  0 .
n 

9


BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tìm giới hạn

2n  1 
1 3 5
a. lim un với un    2  3  ...  n 
n 
2 
2 2 2
Xét

2n  1 

1 3 5
un    2  3  ...  n 
2 
2 2 2
1
 1 2 1   3 1 
 n
 1      2    2  3   ...   n 1  n 
2 
 2  2 2   2 2 
2

3 4
n  1 1
1 
1 


  2  2  3  ...  n 1     2  ... n   2  vn  1  n 
2 2
2  2 2
2 

 2 
n 
 3 4
Với vn   2  3  ...  2n 1 
2
2 2


2 1   3 2 
 n 1 n  2 
Lại xét vn    2    2  3   ...   n 2  n 1 
2 
2 2  2 2 
2
2 2
2
n2


...


22 23
2n  2 2n 1
1  n2
1 1
 1    2  ...  n 3   n 1
2  2
2 2
1  n2

 1  1  n 3   n 1
 2  2

1

Vậy un  3 

1
2

n 3



n2 1

2n 1 2n

Nên lim un  lim 3  lim
n 

n 

1

n  2n 3

1

 lim

n  2n 3

3
Vậy lim un  3 .
n 

10

n2
1
 lim n
n

1
n  2
n  2

 lim


n

b. lim un với un  2.4 2.8 2...2 2
n 

Xét un

1
1
1 1
2
3
n
 2 2.2 2 .2 2 ...2 2

Vậy lim un  lim
n 

n 

1 
1 1 1
  2  3 ... n 
2
 2 2 2 2 

 1 
1 n 
2 2 

 1 
1 n 
 2 2 

 2.

Bài 2: Chứng minh
a. lim n.q n  0 ( với q  1 )
n 

Giải:
Gọi un  n.q n  un1  (n  1)q n1
Giả sử A  lim un  lim un 1  lim (n  1). q n 1
n 

n

n

 lim (n. q n ). q  lim q n 1
n 

n

 A. q  0
Vì q  1 nên từ A  A. q ta được A  0
Vậy lim n.q n  0 .
n 

b. lim

n 

n

a  1 ( với a  0 )

Giải:

lim

n

n 

a  lim

n 

1
an

1
 a n n
lim

 a0  1 .

c. lim n n  1
n

Giải:
11


Xét sự biến thiên của hàm số y  x x
Ta có ln y

1
 ln x x

1
 ln x
x

1
1

lim  ln y   ln( lim y)  lim  ln x   lim  0
x 
x 
x   x
 x x
Vậy ln( lim y)  0 tức là lim y  1
x 

Áp dụng cho dãy con

x 

n

n ta được lim

n 

n

n  1.

1.3.5...(2n  1)
0
n 
2.4.6...2n

d. lim
Giải:
Gọi

un 

1.3.5... (2n  1)
2.4.6... 2n

vn 

1.3.5... (2n  1)
. (2n  1)
2.4.6... 2n

Ta thấy ngay rằng un là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi số 0, nên tồn tại giới
hạn. Gọi lim un  a .
n 

Ta có: vn  un  2. n. un

un  vn
 lim un
n  2n
n 

Suy ra lim

()

un
 0 khi n  
n  2n

Dễ thấy lim

12


 1 3 2n  1 
. ...

vn  2 4
2n 
Mặt khác

. 2n  1
2n
2n

vn
 2n  1  lim u  a
 lim un . lim
n
n 2n n
n
n
2n

Nên lim

Từ () suy ra 0  a  a . Vậy a  0
Vậy lim un  0 .
n 

Bài 3: Tìm các giới hạn

x
x
x
x
x 

a. lim  tan 2 .tan x  2tan 2 2 .t an  ...  2n 1 tan 2 n .t an n 1 
n  
2
2
2
2
2 
x
x
x
x
x
Đặt Sn  tan 2 .tan x  2tan 2 2 .t an  ...  2n 1 tan 2 n .t an n 1
2
2
2
2

2
Nhận xét :

x
2 , nên tan 2 x .tan x  tan x  2t an x
Vì tan x 
x
2
2
1  tan 2
2
2tan

Tương tự: 2tan 2
Nên 2n 1 tan 2

x
x
x 2
x
.tan

2tan

2
t
an
2
2
22

22

x
x
x
x
.tan n 1  2n 1 tan n 1  2n t an n
n
2
2
2
2

x
x
x
x
x
Vì vậy Sn  tan 2 .tan x  2tan 2 2 .t an  ...  2n 1 tan 2 n .t an n 1
2
2
2
2
2
 tan x  2n t an

x
2n

Ta được lim Sn  tan x  x .

n 

13


x
x
x

b. lim  sin 3  3.sin 3 2  ...  3n 1.sin 3 n 
n  
3
3
3 
x
x
x
Đặt Sn  sin3  3.sin3 2  ...  3n 1.sin3 n
3
3
3

x 1
x
x 
1
Nhận xét: sin3 x  (3sin x  sin3x) , nên 3n 1 sin3 n   3n sin n  3n 1 sin n 1 
4
4
3

3
3 

x
x
x 1
x

Ta được Sn  sin3  3sin3 2  ...  3n 1 sin 3 n   3n sin n  sin x 
3
4
3
3
3

Vậy lim Sn  x  sin x .
n 

x
x
x 

c. lim  ln cos  ln cos 2  ...  ln cos n 
n  
2
2
2 
x
x
x

Đặt Sn  ln cos  ln cos 2  ...  ln cos n
2
2
2

x
x
x
Ta có Sn  ln cos  ln cos 2  ...  ln cos n
2
2
2

x
x
x
x
sin x

 ln  cos . cos 2 ... cos n 1 . cos n   ln
x
2
2
2
2 

2n.sin n
2
Vậy lim Sn  ln
n 

sin x
.
x

Bài 4: Xét sự hội tụ của dãy
a. xn 

1 1
1
1


 ... 
2 2.4 2.6
2.4.6... 2n

Nhận xét: Đây là dãy tăng vì xn  xn 1 và

xn 

1 1
1
1
1


 ... 
1
1

2 2.2 2.3
2n
2n
14


xn là dãy tăng bị chặn trên nên hội tụ.

1 
1
 1 
b. xn  1  .1  2  .1  3  ...
 2  2   2 
Nhận xét: Vì 1 

1

1  n 
 2 

1
 1 nên xn 1  xn , cho nên đây là dãy tăng.
2n

1 1
1 

Mặt khác xn  3 3    ...    192 , với mọi n
2 4
2n 


Một dãy tăng bị chặn trên nên hội tụ.
Bài 5: Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh dãy hội tụ
a. xn 

cos(1!) cos(2!)
cos(n!)

 ... 
1.2
2.3
n(n  1)

Với mọi   0 , và m  n ta có:

xm  xn 

cos  (n  1)! cos (n  2)!
cos(m!)

 ... 
(n  1)(n  2) (n  2)(n  3)
m(1  n)



1
1
1


 ... 
(n  1)(n  2) (n  2)(n  3)
m(m  n)



1
1
1
1
1
1
1
1
1



 ...  



n 1 n  2 n  2 n  3
m m 1 n 1 m 1 n 1

1
1

Chọn no    thì
no  1

 
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy xn hội tụ.
b. xn  1 

1 1
1


...

22 32
n2

Xét với m  n thì xm  xn 

1
1
1


n 2 m2 n 2
15


1
Với   0 chọn no     1
 
Khi đó

1

  và do đó xm  xn  
no 2

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy xn hội tụ .
Bài 6:

1
 1 1
Chứng minh dãy xn  1    ...    ln n hội tụ
n
 2 3
Từ đó suy ra 1 

1 1
1
  ...   C  ln n   (n) , với C là hằng số và  (n)  0
2 3
n

a. Với m  n , xét:

xm  xn 




1
1
1


 ...   ln n  ln m
n 1 n  2
m
mn
n
1
n
 ln 
 ln
do m  n  0
n 1
m n 1
m
n
1
n
do m  n  0   1  ln  0
m
n 1
m

1
1

Với mọi   0 , chọn no    thì
no  1
 
Và khi đó ta có m  n  no thì xm  xn  
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy xn hội tụ.
b. Gọi lim xn  C thì xn  C   (n) , với  (n)  0 khi n   .

n 

Nên 1 

1 1
1
  ...   C  ln n   (n) .
2 3
n

16


CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy
tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của hàm số.
2.1 Các kiến thức cơ bản về hàm số
2.1.1 Hàm số
Cho X 

. Ta gọi một ánh xạ f từ X vào

là một hàm số. Tập X được gọi là

tập xác định của hàm f .
Đặt Y   f  x  : x  X  , Y được gọi là tập giá trị của hàm f .
Kí hiệu y  f  x  .
2.1.2 Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số f là tập hợp G   x, f ( x)  : x  X  trong hệ tọa độ Descartes.
Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M  x, f ( x)  ,

x  X trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc Oxy .
2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
 Hàm f : X 

được gọi là hàm số chẵn nếu tập X là tập đối xứng (tức là

x, x  X   x  X ) và f   x   f  x  .
 Hàm f : X 

được gọi là hàm số lẻ nếu tập X là tập đối xứng (tức là

x, x  X   x  X ) và f   x    f  x  .
2.1.4 Hàm số bị chặn
Hàm số f : X 

, trong đó X 

được gọi là:

 Bị chặn trên nếu tồn tại số A

sao cho f ( x)  A, x  X ;

 Bị chặn dưới nếu tồn tại số B 

sao cho f ( x)  B, x  X ;
17

 Bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
2.1.5 Hàm số đơn điệu
Hàm số f : X 

, trong đó X 

được gọi là:

 Tăng nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2  ;
 Tăng thực sự (hay đồng biến) nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2  ;
 Giảm nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2  ;
 Giảm thực sự (hay nghịch biến) nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2 
 Đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.
 Đơn điệu thực sự nếu nó tăng thực sự hoặc giảm thực sự.
2.1.6 Giới hạn của hàm số
2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Giả sử  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên
tập  a; b  \  x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0
(hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong tập hợp  a; b  \  x0  ( tức là

xn   a; b  và xn  x0 với mọi n ) mà lim xn  x0 , ta đều có lim f  xn   L .
Khi đó ta viết : lim f  x   L hay f  x   L khi x  x0 .
x  x0

2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a;    . Ta nói rằng hàm số f có
giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dãy số  xn  trong khoảng

 a;

   ( tức là xn  a với mọi n ) mà lim xn   , ta đều có lim f  xn   L .

18


Khi đó ta viết : lim f  x   L hay f  x   L khi x   .
x 

2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số
Định lí 1: Giả sử f là một hàm đơn điệu trên khoảng (a, b) và c là một điểm nằm
trong đó. Nếu f thì tồn tại các giới hạn từng phía (hữu hạn) lim f  x  và
x c

lim f  x  .

x c

Định lí 2: Giả sử hàm f  x  bị “kẹp” giữa hai hàm g  x  , h  x  (tức là

g  x   f  x   h  x  ) và tồn tại lim h  x   lim g  x   L . Khi ấy tồn tại giới hạn
x a

x a

của f khi x tiến tới a và lim f  x   L .
x a

2.3 Một vài giới hạn đặc biệt của hàm số

sin x

1
x 0 x

a. lim

ln 1  x 
1
x 0
x

b. lim

x

 1
c. lim 1    e
x  
x

ex  1
1
d. lim
x 0 x

19


BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các giới hạn

 3 1  x2  4 1  2 x 
a. lim 

2
x0 

x

x


1  x2  4 1  2 x
Đặt f ( x) 
x  x2
3

Nhận xét khi x  0 , f ( x) có dạng


. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được


2
3
2
1
2 3
x 1  x   1  2 x  4 1
3
2

lim f ( x)  lim

x0
x0
1  2x
2

3

b. lim
x0

x 4
x
 1
3
4
x
1 1
2

1

3

Đặt f ( x) 

x 4
x
 1

3
4
x
1 1
2

1

Nhận xét khi x  0 , f ( x) có dạng
2

lim f ( x)  lim
x0

x0

m

c. lim
x0

0
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
0
3

1 x  3 1  x  4
1    1  
9 3 
16  4 

1

1 x  2
1  
4 2 

1 1

9
16  5

1
36
4

1  x  n 1  x
x
20


Đặt f ( x) 

m

1  x  n 1  x
x

Nhận xét khi x  0 , f ( x) có dạng

0

. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
0

1
1

 
1
1 

m
lim f ( x)  lim  .1   x   .1   x  n   
x0
x0 m
n

 m n

1   x.n 1   x  1
d. lim
x0
x
m

Đặt f ( x) 

m

1   x.n 1   x  1
x

Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
1
1
1
1

 
1
1 

lim f ( x)  lim  .1   x  m .1   x  n  .1   x  m .1   x  n   
x0
x0 m
n

 m n

e.

x
lim f ( x)  lim

Đặt

x0

x0

x

f ( x)  lim
x0

n

n

 a n   na n1  x  a 

 x  a

2

 a n   na n1  x  a 

 x  a

2

Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được

n  n  1 x
nxn1  na n1
 lim
lim f ( x)  lim
x 0
x0
x0
2
2 x  a 

1  cos x. cos2 x. cos3x
x0
1  cos x

f. lim

1  cos x. cos2 x. cos3x
x0
1  cos x

Đặt lim

21

n2

n  n  1 a n2

2


Nhận xét khi x  0 , f ( x) có dạng

Ta có f ( x) 

0
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
0

 cos3x  cos x .cos3x
1
2

2sin 2

x
2

cos2 3x  cos4 x  cos2 x 
1

2
4

x
2sin 2
2

1 1
1
1
1   cos6 x  cos4 x  cos2 x
4 4
4
4

x
2sin 2
2

Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được

3sin 6 x
sin 2 x
3sin 6 x
sin 2 x
 sin 4 x 
 sin 4 x 
2  lim 2
2
lim 2
x0
x0
x
x
sin x
2sin .cos
2
2
9cos6 x  4cos 4 x  cos x
 9  4  1  14
x0
cosx

 lim

g.

1  cos x.
lim

Đặt

x0

cos2 x. 3 cos3x



x2

1  cos x.
f ( x) 

cos2 x . 3 cos3x



x2

Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
1
1
2
1
1
1




3
3
3
2
2
2
sin x.cos 2 x.cos 3x cosx.sin 2 x.cos 2 x.cos 3x 3cosx.cos 2 x.sin 3x.cos 3x 

lim



x0 
2x
x
2x




1
3
 1  3
2
2
Bài 2: Tìm các giới hạn
22