BÀI TẬP LỚN SỨC BỀN VẬT LIỆU

 Thay các số liệu và đặt phản lực liên kết thay cho các gối tựa, ta có hình sau:

 Xác định phản lực tại các gối tựa:
- Theo các điều kiện cân bằng ta có:
+ Tổng lực theo phương ngang bằng 0:
∑ X = 0 ⇔ HB = 0
+ Tổng momen đối với điểm B bằng 0:
∑ M / B = 0 ⇔ P × 1,5 + q × 2 × 1 + M − VD × 2 = 0
⇔ 2VD = 12 × 1,5 + 4 × 2 × 1 + 4 ⇔ VD = 15 kN
+ Tổng momen đối với điểm D bằng 0:
∑ M / D = 0 ⇔ P × 3,5 − q × 2 × 1 + M + VB × 2 = 0
⇔ 2VB = −12 × 3,5 + 4 × 2 × 1 − 4 ⇔ VB = −19 kN
+ Kiểm tra lại ta có:
VB + VD + P − 2q = −19 + 15 + 12 − 8 = 0 kN  Như vậy các phản lực đã đúng.
 Chia đoạn:
Chia đoạn sao cho mỗi đoạn không có sự thay đổi đột ngột về ngoại lực và về
phương của trục thanh. Ở đây thanh chia thành ba đoạn AB, BC và CD (như
hình):

Trang 1


 Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn:
(1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1,5 ). Giữ lại phần
thanh bên trái mặt cắt 1-1 và đặt vào trọng tâm O 1 của mặt cắt đó các thành
(1)
phần nội lực: N z(1) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(1) ( z ) .

- Viết điều kiện cân bằng đối với phần thanh được giữ lại:
∑ Z = N z(1) ( z ) = 0

∑Y = Q ( z) − P = 0
∑ M / k = M ( z ) − Pz = 0
(1)
y

1

(1)
x

Suy ra:
N z(1) ( z ) = 0

Qy(1) ( z ) = P
M x(1) ( z ) = Pz
(2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z bất kì ( 1,5 ≤ z ≤ 2,5 ). Giữ lại phần thanh
bên trái mặt cắt 2-2 và đặt vào trọng tâm O2 của mặt cắt đó các thành phần nội
(2)
lực: N z(2) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(2) ( z ) .

Trang 2


Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(2) ( z ) = 0

∑Y = Q
∑M / k

(2)

y

2

( z ) − P + VB + q( z − 1,5) = 0

=M

(2)
x

( z ) − Pz + VB ( z − 1,5 )

( z − 1,5)
+q

2

2

Suy ra:
N z(2) ( z ) = 0

=0

Qy(2) ( z ) = P − VB − q ( z − 1,5)
M

(2)
x

( z ) = Pz − VB ( z − 1,5 )

( z − 1,5 )
−q

2

2

(3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z bất kì ( 2,5 ≤ z ≤ 3,5 ) . Giữ lại phần thanh
bên phải mặt cắt 3-3 và đặt vào trọng tâm O3 của mặt cắt đó các thành phần nội
(3)
lực: N z(3) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(3) ( z ) .

Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(3) ( z ) = 0

∑Y = Q
∑M / k

Suy ra:

(3)
y

3

( z ) − q ( 3,5 − z ) + VD = 0

=M

(3)
x

( 3,5 − z )
(z) + q
2

2

− VD ( 3,5 − z ) = 0
Trang 3


N z(3) ( z ) = 0

Qy(3) ( z ) = q ( 3,5 − z ) − VD
M

(3)
x

( 3,5 − z )
( z ) = −q
2

2

+ VD ( 3,5 − z )

 Phân tích các biểu thức nội lực:
(1) Đoạn AB:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Qy là hằng số: Qy = P = 12 kN
+ Mx là đường bậc nhất: M x(1) ( z ) = Pz
Tại A (z = 0), ta có: M x = M x(1) (0) = 0
Tại B (z = 1,5), ta có: M x = M x(1) (1,5) = 12 × 1,5 = 18 kNm
(2) Đoạn BC:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.
(2)
+ Qy là đường bậc nhất: Qy ( z ) = P − VB − q( z − 1,5)
(2)
Tại B (z = 1,5), ta có: Qy = Qy (1,5) = 12 − 19 = −7 kN
(2)
Tại C (z = 2,5), ta có: Qy = Qy (2,5) = 12 − 19 − 4 ( 2,5 − 1,5 ) = −11 kN

+ Mx là đường cong bậc hai: M
Tại B (z = 1,5), ta có: M x = M
Tại C (z = 2,5), ta có:
Mx = M

(2)
x

(2)
x

(2)
x

( z ) = Pz − VB ( z − 1,5 )

( z − 1,5)
−q

(1,5) = 12 × 1,5 = 18 kNm

(2,5) = 12 × 2,5 − 19 ( 2,5 − 1,5 )

( 2,5 − 1,5)
−4
2

2

2

2

= 9 kNm

Xét cực trị của đường cong
dM x(2) ( z )
P − VB + 1,5q 12 − 19 + 1,5 × 4
= P − VB − q ( z − 1,5 ) = 0 ⇔ z =
=
dz
q
4

= −0,25 m
Vậy điểm cực trị nếu có không thuộc đoạn BC.
d 2 M x(2) ( z )
= −q < 0
dz 2
Do đó Mx quay bề lõm về phía âm của biểu đồ.
(3) Đoạn CD:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.
(3)
+ Qy là đường bậc nhất: Qy ( z ) = q ( 3,5 − z ) − VD

(3)
Tại C (z = 2,5), ta có: Qy = Qy (2,5) = 4 ( 3,5 − 2,5 ) − 15 = −11 kN
(3)
Tại D (z = 3,5), ta có: Qy = Qy (3,5) = −15 kN

Trang 4


+ Mx là đường cong bậc hai: M

(3)
x

Tại C (z = 2,5), ta có:

( 3,5 − 2,5)
(2,5) = −4

( 3,5 − z )

( z ) = −q

2

2

+ VD ( 3,5 − z )

2

+ 15 ( 3,5 − 2,5 ) = 13 kNm
2
Tại D (z = 3,5), ta có: M x = M x(3) (3,5) = 0
Xét cực trị của đường cong:
dM x(3) ( z )
3,5q − VD 3,5 × 4 − 15
= q ( 3,5 − z ) − VD = 0 ⇔ z =
=
= −0, 25 m
dz
q
4
Vậy cực trị nếu có cũng không thuộc đoạn CD.
d 2 M x(3) ( z )
= −q < 0
dz 2
Vậy bề lõm của Mx quay về phía âm của biểu đồ.
So sánh các Mx với nhau ta kết luận, M x = 18 kNm là cực trị của biểu đồ M x, tại
điểm B (z = 1,5).
Với việc tiến hành phân tích các biểu thức nội lực vừa nêu trên, ta tiến hành vẽ

các biểu đồ nội lực.
Mx = M

(3)
x

 Biểu đồ lực dọc Nz, lực cắt Qy và momen uốn Mx:

Trang 5


 Nhận xét:
+ Đoạn AB không có lực phân bố nên lực cắt là hằng số  momen uốn là
đường bậc nhất.
+ Đoạn BD có lực phân bố đều nên lực cắt là đường bậc nhất  momen uốn là
đường cong bậc hai.
+ Tại A có lực tập trung P = 12 kN, nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy.
+ Tại C có momen tập trung M = 4 kNm, nên biểu đồ momen uốn có bước
nhảy.
Trang 6


 Thay các số liệu và đặt phản lực liên kết thay cho ngàm:

 Tìm phản lực VD, HD và momen tại D.
+ Tổng lực theo phương ngang bằng 0:
∑ X = 0 ⇔ HD = 0

+ Tổng momen đối với điểm D bằng 0:
1 5

1 5
∑ M / D = 0 ⇔ M − qo × 2 × 3 + P × 1 + M D = 0 ⇔ M D = − M + qo × 2 × 3 − P
1 5
28
⇔ M D = −8 + 8 × × − 8 = −
kNm
2 3
3
+ Tổng lực theo phương đứng bằng 0:
1
1
1
∑ Y = 0 ⇔ − 2 qo + P + VD = 0 ⇔ VD = 2 qo − P = 2 × 8 − 8 = −4 kN
 Chia đoạn:
- Thanh chia thành 3 đoạn AB, BC và CD. Ta có hình như bên dưới:

Trang 7


 Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn thanh:
(1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 0,5 ). Giữ lại phần
thanh bên trái mặt cắt 1-1 và đặt vào trọng tâm O 1 của mặt cắt đó các thành
(1)
phần nội lực: N z(1) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(1) ( z ) .

- Viết điều kiện cân bằng đối với phần thanh được giữ lại:
∑ Z = N z(1) ( z ) = 0

∑Y = Q ( z) = 0
∑ M / k = M ( z) − M = 0

(1)
y

1

(1)
x

Suy ra:
N z(1) ( z ) = 0

Qy(1) ( z ) = 0
M x(1) ( z ) = M
(2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z bất kì ( 0,5 ≤ z ≤ 1,5 ). Giữ lại phần thanh bên
phải mặt cắt 2-2 và đặt vào trọng tâm O 2 của mặt cắt đó các thành phần nội lực:
(2)
N z(2) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(2) ( z ) .

- Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(2) ( z ) = 0
Trang 8


q ( z ) ( 2,5 − z − 1)
+ P − VD = 0
2
2,5 − z − 1
= qo ( 1,5 − z )
Với: q( z ) = qo
1

( 2,5 − z − 1) ( 2,5 − z − 1) − P 2,5 − z − 1 − M
(
)
∑ M / k2 = M x(2) ( z ) +q( z )
D
2
3
+VD ( 2,5 − z ) = 0

∑Y = Q

(2)
y

( z) −

Suy ra:
N z(2) ( z ) = 0
q ( 1,5 − z )
Q ( z) = o
− P + VD
2
3
qo ( 1,5 − z )
(2)
M x (z) = −
+ P ( 1,5 − z ) + M D − VD ( 2,5 − z )
6
2

(2)
y

(3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z bất kì ( 1,5 ≤ z ≤ 2,5 ). Giữ lại phần thanh
bên phải mặt cắt 3-3 và đặt vào trọng tâm O3 của mặt cắt đó các thành phần nội
(3)
lực: N z(3) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(3) ( z ) .

Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(3) ( z ) = 0

∑Y = Q ( z) − V = 0
∑ M / k = M (z) − M
(3)
y

3

D

(3)
x

D

+ VD ( 2,5 − z ) = 0

Suy ra:
N z(3) ( z ) = 0

Qy(3) ( z ) = VD
M x(3) ( z ) = M D − VD ( 2,5 − z )

 Phân tích các biểu thức nội lực.
Trang 9


(1) Đoạn AB:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Qy không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Mx là hằng số với: M x = M x(1) ( z ) = M = 8 kNm
(2) Đoạn BC:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.

q 1,5 − z )
+ Qy là đường cong bậc 2: Q ( z ) = o (
− P + VD
2
2
8
1,5
−
0,5
(
)
(2)
Tại B (z = 0,5) thì: Q = Q (0,5) =
−8 + 4 = 0
y
y

2
2
8
1,5
−
1,5
(
)
(2)
Tại C (z = 1,5) thì: Q = Q (1,5) =
− 8 + 4 = −4 kN
y
y
2
Xét cực trị của đường cong:
dQy(2) ( z )
= − qo ( 1,5 − z ) = 0 ⇔ z = 1,5 m
dz
Như vậy, điểm cực trị sẽ nằm trong đoạn BC, tại C (z = 1,5).
d 2Qy(2) ( z )
= qo > 0
dz 2
2

(2)
y

Như vậy bề lõm của Qy sẽ quay về phía dương của biểu đồ.
+ Mx là đường cong bậc 3:
3

qo ( 1,5 − z )
(2)
M x (z) = −
+ P ( 1,5 − z ) + M D − VD ( 2,5 − z )
6
Tại B (z = 0,5), thì:

8 ( 1,5 − 0,5 )
28
M x = M (0,5) = −
+ 8 ( 1,5 − 0,5 ) +
− 4 ( 2,5 − 0,5 ) = 8 kNm
6
3
Tại C (z = 1,5), thì:
3
8 ( 1,5 − 1,5 )
28
16
(2)
kNm
M x = M x (1,5) = −
+ 8 ( 1,5 − 1,5 ) +
− 4 ( 2,5 − 1,5 ) =
6
3
3
Vì trong đoạn BC, lực cắt Qy tại điểm B (z = 0,5) bằng 0 nên biểu đồ M x đạt cực
trị. Mặt khác, lực cắt Qy phân bố trong đoạn này luôn âm nên đường biểu diễn
Mx quay bề lõm về phía trên.

3

(2)
x

(3) Đoạn CD:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Qy là hằng số, với Qy = Qy(3) ( z ) = 4 kN

(3)
+ Mx là đường bậc nhất M x ( z ) = M D − VD ( 2,5 − z )

Trang 10


28
16
− 4 ( 2,5 − 1,5 ) =
kNm
3
3
28
28
(3)
− 4 ( 2,5 − 2,5 ) =
Tại D (z = 2,5), ta có: M x = M x (2,5) =
kNm
3
3
- Với những phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực.

 Biểu đồ nội lực.
(3)
Tại C (z = 1,5), ta có: M x = M x (1,5) =

 Nhận xét:
+ Đoạn AB lực cắt không tồn tại  momen uốn là hằng số. Đoạn CD lực cắt là
hằng số  momen uốn là đường bậc nhất.
Trang 11


+ Đoạn BC có lực phân bố là đường bậc nhất  lực cắt là đường bậc hai 
momen uốn là đường bậc ba.
+ Tại C có lực tập trung P = 8 kN nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy.
+ Tại A có momen tập trung M = 8 kNm nên biểu đồ momen uốn có bước nhảy.

 Thay các số liệu và đặt phản lực liên kết thay cho các gối tựa, ta có hình sau:

 Tính các phản lực HA, HE và VD.
+ Tổng lực theo phương ngang bằng 0:
∑ X = 0 ⇔ H A + H E − q × 1 = 0 ⇔ H A + H E = q = 3 kN
+ Tổng lực theo phương đứng bằng 0:
∑ Y = 0 ⇔ −q × 2 + P + VD = 0 ⇔ VD = 2q − P = 2 × 3 − 18 = −12 kN
+ Tổng momen tại A bằng 0:
1
∑ M / A = 0 ⇔ q × 2 × 1 − P × 1 + M − VD × 3 + q × 1× 2 − H E × 1 = 0
3
63
kN
⇔ 6 − 18 + 6 − (−12) × 3 + − H E = 0 ⇔ H E =
2

2
63
57
=−
Suy ra được: H A = 3 − H E = 3 −
kN
2
2

Trang 12


 Chia đoạn.
Chia khung thành 4 đoạn AB, BC, CD, và CE như hình bên dưới:

 Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn thanh.
(1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1 ). Giữ lại phần thanh
bên trái mặt cắt 1-1 và đặt vào trọng tâm O1 của mặt cắt đó các thành phần nội
(1)
lực: N z(1) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(1) ( z ) .

- Viết điều kiện cân bằng đối với phần thanh được giữ lại:
∑ Z = N z(1) ( z ) − H A = 0

∑Y = Q

(1)
y

( z ) + qz = 0

z2
∑ M / k1 = M ( z ) + q 2 = 0
Suy ra:
N z(1) ( z ) = H A
Qy(1) ( z ) = −qz
(1)
x

Trang 13


M x(1) ( z ) = −q

z2
2

(2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z bất kì (1 ≤ z ≤ 2 ). Giữ lại phần thanh bên
trái mặt cắt 2-2 và đặt vào trọng tâm O 2 của mặt cắt đó các thành phần nội lực:
(2)
N z(2) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(2) ( z ) .

- Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(2) ( z ) − H A = 0

∑Y = Q

∑M / k

(2)

y

2

( z ) + qz − P = 0

=M

(2)
x

z2
( z ) +q − P ( z − 1) = 0
2

Suy ra:
N z(2) ( z ) = H A
Qy(2) ( z ) = P − qz
M

(2)
x

z2
( z ) = P ( z − 1) − q
2

(3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z bất kì ( 2 ≤ z ≤ 3 ). Giữ lại phần thanh bên
phải mặt cắt 3-3 và đặt vào trọng tâm O 3 của mặt cắt đó các thành phần nội lực:
(3)

N z(3) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(3) ( z ) .

Trang 14


Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(3) ( z ) = 0

∑Y = Q ( z) − V = 0
∑ M / k = M (z) + V ( 3 − z ) = 0
(3)
y

D

(3)
x

3

D

Suy ra:
N z(3) ( z ) = 0

Qy(3) ( z ) = VD
M x(3) ( z ) = −VD ( 3 − z )

(4) Đoạn EC: Xét mặt cắt 4-4 với z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1 ). Giữ lại phần thanh phía
dưới mặt cắt 4-4 và đặt vào trọng tâm O 4 của mặt cắt đó các thành phần nội lực:

(4)
N z(4) ( z ) ; Qy ( z ) và M x(4) ( z ) .

Tương tự, ta có:
∑ Z = N z(4) ( z ) = 0

∑Y = Q

(4)
y

( z ) + H E − qz = 0

Trang 15


∑M / k

4

=M

(4)
x

z2
(z) + H E z − q = 0
2

Suy ra:

N z(4) ( z ) = 0

Qy(4) ( z ) = qz − H E
M

(4)
x

z2
( z) = q − H E z
2

 Phân tích các biểu thức nội lực.
(1) Đoạn AB:
+ Nz là hằng số trong toàn đoạn với N z = N z(1) ( z ) = H A =
(1)
+ Qy là đường bậc nhất: Qy ( z ) = − qz

57
kN
2

(1)
Tại A (z = 0)  Qy = Qy (0) = 0
(1)
Tại B (z = 1)  Qy = Qy (1) = − q = −3 kN

z2
+ Mx là đường cong bậc hai: M ( z ) = −q
2

Tại A (z = 0)  M x = M x(1) (0) = 0
q
3
Tại B (z = 1)  M x = M x(1) (1) = − = − kNm
2
2
Xét cực trị của đường cong:
dM x(1) ( z )
= − qz = 0 ⇔ z = 0
dz
Như vậy, điểm cực trị sẽ nằm trong đoạn AB, tại A (z = 0).
d 2 M x(1) ( z )
= −q < 0
dz 2
(1)
x

Như vậy bề lõm của Mx sẽ quay về phía âm của biểu đồ.
(2) Đoạn BC:
+ Nz là hằng số trong toàn đoạn với N z = N z(2) ( z ) = H A =
(2)
+ Qy là đường bậc nhất: Qy ( z ) = P − qz
Tại B (z = 1) thì: Q = Q (2) (1) = 18 − 3 = 15 kN
y

57
kN
2

y

Tại C (z = 2) thì: Qy = Qy(2) (2) = 18 − 3 × 2 = 12 kN
+ Mx là đường cong bậc hai: M

(2)
x

z2
( z ) = P ( z − 1) − q
2
Trang 16


Tại B (z = 1)  M x = M x(2) (1) = 18 ( 1 − 1) − 3 × 1 = − 3 kNm
2
2
2
2
Tại C (z = 2)  M x = M x(2) (2) = 18 ( 2 − 1) − 3 × = 12 kNm
2
Xét cực trị của đường cong:
dM x(2) ( z )
P 18
= P − qz = 0 ⇔ z = = = 6 m
dz
q 3
Như vậy, điểm cực trị nếu có sẽ không nằm trong đoạn BC.
d 2 M x(2) ( z )
= −q < 0
dz 2

Như vậy bề lõm của Mx sẽ quay về phía âm của biểu đồ.
(3) Đoạn CD:
+ Nz không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Qy là hằng số với: Qy = Qy(3) ( z ) = VD = 12 kN
(3)
+ Mx là đường bậc nhất: M x ( z ) = −VD ( 3 − z )
Tại C (z = 2)  M x = M x(3) (2) = −12 ( 3 − 2 ) = −12 kNm
(3)
Tại D (z = 3)  M x = M x (2) = −12 ( 3 − 3) = 0

(4) Đoạn EC:
+ Nz là không tồn tại trong toàn đoạn.
(4)
+ Qy là đường bậc nhất: Qy ( z ) = qz − H E
Tại E (z = 0) thì: Q = Q (4) (0) = − 63 kN
y
y
2
Tại C (z = 1) thì: Qy = Qy(4) (1) = 3 × 1 − 63 = − 57 kN
2
2
2
z
+ Mx là đường cong bậc hai: M x(4) ( z ) = q − H E z
2
Tại E (z = 0)  M x = M x(4) (0) = 0
1 63
Tại C (z = 1)  M x = M x(4) (1) = 3 × − × 1 = −30 kNm
2 2
2

(4)
d M x ( z)
=q>0
dz 2
Như vậy bề lõm của Mx sẽ quay về phía dương của biểu đồ.
- Với những phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực.
 Biểu đồ nội lực.

Trang 17


Biểu đồ lực cắt Qy và momen uốn Mx được biểu diễn ở bên dưới.

Trang 18


Xét cân bằng tại nút C:

Ta thấy rằng, nút C đã cân bằng.
 Nhận xét:
+ Đoạn CD không có lực phân bố  lực cắt là hằng số  momen uốn là đường
bậc nhất. Đoạn AC và EC có lực phân bố đều  lực cắt là đường bậc nhất 
momen uốn là đường cong bậc hai.
+ Tại B có lực tập trung  biểu đồ lực cắt có bước nhảy. Tại C có momen tập
trung  biểu đồ momen uốn có bước nhảy.
Trang 19


 Đặt số liệu, hệ trục tọa độ và kí hiệu các mặt phẳng chứa các thanh.
Ta thực hiện việc chia các mặt cắt theo các mặt phẳng, sẽ có được như hình bên

dưới.

Trang 20


 Viết các biểu thức nội lực (chỉ xét lực dọc N z, momen uốn Mx và momen xoắn
Mz).
(1) Đoạn AB: dời lực P từ điểm C về B, tại B sẽ có lực P = 18 kN và một
momen nằm trong mặt phẳng (α ) theo chiều kim đồng hồ là MP = 18 kNm. Dời
momen M = 6 kNm về B, ta nhận thấy momen M này làm xoắn thanh AB.
- Xét mặt cắt 1-1 (nằm trong mặt phẳng (γ ) ) với z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1 ). Giữ lại
phần thanh phía bên phải mặt cắt 1-1 và đặt vào trọng tâm O1 của mặt cắt đó các
thành phần nội lực: N z(1) ( z ) ; M x(1) ( z ) .

Ta có các phương trình cân bằng sau:
∑ Z = 0 ⇔ N z(1) ( z ) + P = 0

∑M / k

1

=0⇔M

(1)
x

Suy ra:
N z(1) ( z ) = − P
M

(1)
x

(1− z)
( z ) = −q

(1− z)
( z) + q
2

2

=0

2

2
- Xét mặt cắt 2-2 (nằm trong mặt phẳng (α ) ) với z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1 ). Giữ lại
phần thanh phía bên phải mặt cắt 2-2 và đặt vào trọng tâm O2 của mặt cắt đó các
(2)
thành phần nội lực: N z(2) ( z ) ; M y ( z ) .

Trang 21


Ta có các phương trình cân bằng sau:
∑ Z = 0 ⇔ N z(2) ( z ) + P = 0

∑M / k

2

= 0 ⇔ M y(2) ( z ) − M P = 0

Suy ra:
N z(2) ( z ) = − P

M y(2) ( z ) = M P
Ngoài ra đoạn thanh AB còn chịu một momen xoắn M với M z = −6 kNm.
(2) Đoạn CB:
- Xét mặt cắt 3-3 (nằm trong mặt phẳng (α ) ) với z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1 ). Giữ lại
phần thanh phía bên trái mặt cắt 3-3 và đặt vào trọng tâm O 3 của mặt cắt đó các
(3)
thành phần nội lực: N x(3) ( z ) ; M y ( z ) .

Ta có các phương trình cân bằng sau:
Trang 22


∑ X = 0 ⇔ N (z) = 0
∑ M / k = 0 ⇔ M ( z) + Pz = 0
(3)
x

(3)
y

3

Suy ra:

N x(3) ( z ) = 0

M y(3) ( z ) = − Pz

- Xét mặt cắt 4-4 (nằm trong mặt phẳng ( β ) ) với z bất kì ( 0 ≤ z ≤ 1 ). Giữ lại
phần thanh phía bên trái mặt cắt 4-4 và đặt vào trọng tâm O 4 của mặt cắt đó các
thành phần nội lực: N x(4) ( z ) ; M z(4) ( z ) .

Ta có các phương trình cân bằng sau:
∑ X = 0 ⇔ N x(4) ( z ) = 0

∑M / k

4

= 0 ⇔ M z(4) ( z ) − M = 0

Suy ra:
N x(4) ( z ) = 0
M z(4) ( z ) = M
 Phân tích các biểu thức nội lực.
(1) Đoạn AB:
+ Nz là hằng số trong toàn thanh với N z = N z(1) ( z ) = − P = −18 kN
Trong mặt phẳng (γ ) :
+ Mx là đường bậc hai: M

(1)
x

(1− z)

( z ) = −q

2

2
2
1 − 0)
(
3
(1)
Tại A (z = 0)  M x = M x (0) = −3
= − kNm
2
2
Trang 23


Tại B (z = 1)  M x = M

(1)
x

( 1 − 1)
(1) = −3
2

2

=0

d 2 M x(1) ( z )
= −q < 0
dz 2
Vậy bề lõm hướng về phía âm của biểu đồ.
+ Ngoài ra đoạn thanh AB còn chịu một momen xoắn M với M z = −6 kNm.
+ Trong mặt phẳng (α ) :
(2)
My là hằng số trong toàn thanh với M y = M y ( z ) = 18 kNm
(2) Đoạn CB:
Trong mặt phẳng (α ) :
+ Nx không tồn tại trong toàn đoạn.
(3)
+ My là đường bậc nhất: M y ( z ) = − Pz
Xét:

(3)
Tại C (z = 0)  M y = M y ( z ) = 0
(3)
Tại B (z = 1)  M y = M y ( z ) = P = −18 kNm
Trong mặt phẳng ( β ) :
+ Nx không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Mz là hằng số trong toàn đoạn với M z = M z(4) ( z ) = M = 6 kNm
- Với những phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực.
 LỰC DỌC:

 MOMEN UỐN:

Trang 24

 MOMEN XOẮN:

Trang 25